資源簡介

第09講 函數(shù)模型及其應(yīng)用
目錄
第一部分：基礎(chǔ)知識 1
第二部分：高考真題回顧 2
第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過 3
高頻考點(diǎn)一：幾類不同增長的函數(shù)模型 3
高頻考點(diǎn)二：利用常見函數(shù)模型解決實(shí)際問題（二次模型；分段模型） 10
高頻考點(diǎn)三：利用常見函數(shù)模型解決實(shí)際問題（指、對、冪函數(shù)模型） 14
高頻考點(diǎn)四：利用給定函數(shù)模型解決實(shí)際問題 20
第一部分：基礎(chǔ)知識
1、常見函數(shù)模型
函數(shù)模型 函數(shù)解析式
一次函數(shù)模型 (為常數(shù)，)
反比例函數(shù)模型 (為常數(shù)且)
二次函數(shù)模型 （均為常數(shù)，）
指數(shù)函數(shù)模型 （均為常數(shù)，，，）
對數(shù)函數(shù)模型 （為常數(shù)，）
冪函數(shù)模型 （為常數(shù)，）
分段函數(shù)
2、指數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù)模型性質(zhì)比較
函數(shù) 性質(zhì)　　
在(0，＋∞)上的增減性 單調(diào)遞增 單調(diào)遞增 單調(diào)遞增
增長速度 先慢后快，指數(shù)爆炸 先快后慢，增長平緩 介于指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)之間,相對平穩(wěn)
圖象的變化 隨x的增大，圖象與軸行 隨x的增大，圖象與軸行 隨n值變化而各有不同
值的比較 存在一個(gè)，當(dāng)時(shí)，有
第二部分：高考真題回顧
1．（多選）（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）噪聲污染問題越來越受到重視．用聲壓級來度量聲音的強(qiáng)弱，定義聲壓級，其中常數(shù)是聽覺下限閾值，是實(shí)際聲壓．下表為不同聲源的聲壓級：
聲源 與聲源的距離 聲壓級
燃油汽車 10
混合動(dòng)力汽車 10
電動(dòng)汽車 10 40
已知在距離燃油汽車、混合動(dòng)力汽車、電動(dòng)汽車處測得實(shí)際聲壓分別為，則（ ）．
A． B．
C． D．
第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過
高頻考點(diǎn)一：幾類不同增長的函數(shù)模型
典型例題
例題1．（2023上·廣東廣州·高三鐵一中學(xué)校考階段練習(xí)）函數(shù)的數(shù)據(jù)如下表，則該函數(shù)的解析式可能形如（ ）
-2 -1 0 1 2 3 5
2.3 1.1 0.7 1.1 2.3 5.9 49.1
A．
B．
C．
D．
例題2．（2023上·河北石家莊·高一石家莊二中校考階段練習(xí)）有一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如表：
2 3 4 5 6
1.40 2.56 5.31 11 21.30
則體現(xiàn)這組數(shù)據(jù)的最佳函數(shù)模型是
A． B．
C． D．
例題3．（2023上·山西臨汾·高一統(tǒng)考期中）在一次物理實(shí)驗(yàn)中某同學(xué)測量獲得如下數(shù)據(jù)：
1 2 3 4 5
5.380 11.232 20.184 34.356 53.482
下列所給函數(shù)模型較適合的是（ ）
A． B．
C． D．
例題4．（2023上·四川南充·高一四川省南充高級中學(xué)校考階段練習(xí)）假設(shè)某學(xué)習(xí)小組對家庭每月用水的收費(fèi)提供了如下兩種模型：模型一：若用水量不超過基本月用水量，則只付基本費(fèi)8元和損耗費(fèi)c元（）；若用水量超過基本月用水量，則除了需付基本費(fèi)和損耗費(fèi)外，超過部分還需按元進(jìn)行付費(fèi)；模型二：用函數(shù)模型（其中k，m，n為常數(shù)，且）來模擬說明每月支付費(fèi)用y（元）關(guān)于月用水量的函數(shù)關(guān)系.已知該市某家庭1—3月的用水量x分別為，和，支付的費(fèi)用y分別為9元，19元和31元.
(1)寫出模型一中每月支付費(fèi)用y（元）關(guān)于月用水量的函數(shù)解析式；
(2)寫出模型二中每月支付費(fèi)用y（元）關(guān)于月用水量的函數(shù)解析式，并分析說明學(xué)習(xí)小組提供的模型哪個(gè)更合理？
練透核心考點(diǎn)
1．（2023上·江蘇·高一專題練習(xí)）今有一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下：
現(xiàn)準(zhǔn)備用下列函數(shù)中的一個(gè)近似地表示這些數(shù)據(jù)滿足的規(guī)律，其中最接近的一個(gè)是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·浙江·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）今有一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)及對應(yīng)散點(diǎn)圖如下所示，則體現(xiàn)這些數(shù)據(jù)關(guān)系的最佳函數(shù)模型是（ ）
10 20 29 41 50 58 70
1 2 3.8 7.4 11 15 21.8
A． B．
C． D．
3．（2023上·上海·高一上海市建平中學(xué)校考階段練習(xí)）近來，國內(nèi)多個(gè)城市紛紛加碼布局“夜經(jīng)濟(jì)”，以滿足不同層次的多元消費(fèi)，并拉動(dòng)就業(yè)、帶動(dòng)創(chuàng)業(yè)，進(jìn)而提升區(qū)域經(jīng)濟(jì)發(fā)展活力，某夜市的一位工藝品售賣者，通過對每天銷售情況的調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該工藝品在過去的一個(gè)月內(nèi)（以30天計(jì)），每件的銷售價(jià)格（單位：元）與時(shí)間（單位：天）的函數(shù)關(guān)系近似滿足.且銷售量（單位：件）與時(shí)間（單位：天）的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示
10 15 20 25 30
50 55 60 55 50
(1)給出以下四個(gè)函數(shù)模型：①；②；③；④.請你根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，從中選擇你認(rèn)為最合適的一種函數(shù)模型來描述日銷售量與時(shí)間的變化關(guān)系，并求出該函數(shù)的解析式及定義域
(2)設(shè)該工藝品的日銷售收入為（單位：元），求的最小值.
4．（2023上·四川宜賓·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）2023年宜賓市新添城市名片“中國動(dòng)力電池之都”，初步建成較為完整的配套協(xié)同動(dòng)力電池產(chǎn)業(yè)布局，并搭建起從原材料到整車制造的新能源汽車產(chǎn)業(yè)鏈.新能源電動(dòng)車主要采用電能作為動(dòng)力來源，目前比較常見的主要有兩種：混合動(dòng)力汽車 純電動(dòng)汽車.有關(guān)部門在國道上對某型號純電動(dòng)汽車進(jìn)行測試，國道限速.經(jīng)數(shù)次測試，得到該純電動(dòng)汽車每小時(shí)耗電量（單位：）與速度（單位：）的數(shù)據(jù)如下表所示：
0 10 40 60
0 1420 4480 6720
為了描述該純電動(dòng)汽車國道上行駛時(shí)每小時(shí)耗電量與速度的關(guān)系，現(xiàn)有以下三種函數(shù)模型供選擇：①；②；③.
(1)當(dāng)時(shí)，請選出你認(rèn)為最符合表格中所列數(shù)據(jù)的函數(shù)模型（需說明理由），并求出相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；
(2)現(xiàn)有一輛同型號純電動(dòng)汽車從宜賓行駛到重慶某地，其中，國道上行駛，高速上行駛.假設(shè)該電動(dòng)汽車在國道和高速上均做勻速運(yùn)動(dòng)，國道上每小時(shí)的耗電量與速度的關(guān)系滿足（1）中的函數(shù)表達(dá)式；高速路上車速（單位：）滿足，且每小時(shí)耗電量（單位：）與速度（單位：）的關(guān)系滿足.則當(dāng)國道和高速上的車速分別為多少時(shí)，該車輛的總耗電量最少，最少總耗電量為多少？
高頻考點(diǎn)二：利用常見函數(shù)模型解決實(shí)際問題（二次模型；分段模型）
典型例題
例題1．（2023上·湖南岳陽·高二統(tǒng)考期末）2022年某開發(fā)區(qū)一家汽車生產(chǎn)企業(yè)計(jì)劃引進(jìn)一批新能源汽車制造設(shè)備，通過市場分析，全年需投入固定成本1000萬元，生產(chǎn)（百輛）新能源汽車，還需另投入成本萬元，且.由市場調(diào)研，每輛車售價(jià)5萬元，且全年內(nèi)生產(chǎn)的車輛當(dāng)年能全部銷售完.
(1)求出2022年該企業(yè)生產(chǎn)新能源汽車的利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（百輛）的函數(shù)關(guān)系式；（利潤銷售量-成本）
(2)2022年產(chǎn)量為多少百輛時(shí)，該企業(yè)生產(chǎn)新能源汽車所獲利潤最大？并求出最大利潤.
例題2．（2023上·貴州六盤水·高一統(tǒng)考期末）心理學(xué)家根據(jù)高中生心理發(fā)展規(guī)律，對高中生的學(xué)習(xí)行為進(jìn)行研究，發(fā)現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)的接受能力依賴于老師引入概念和描述問題所用的時(shí)間.上課開始時(shí)，學(xué)生的興趣激增，中間有一段時(shí)間學(xué)生的興趣保持理想狀態(tài)，隨后學(xué)生的注意力開始分散.分析結(jié)果和實(shí)驗(yàn)表明，用表示學(xué)生掌握和接受概念的能力（的值越大，表示接受能力越強(qiáng)），x表示提出和講授概念的時(shí)間（單位：），滿足以下關(guān)系：
(1)上課多少分鐘后，學(xué)生的接受能力最強(qiáng)？能維持多少分鐘？
(2)有一道數(shù)學(xué)難題，需要54的接受能力及的講授時(shí)間，老師能否及時(shí)在學(xué)生處于所需接受能力的狀態(tài)下講授完成這道難題？
練透核心考點(diǎn)
1．（2023下·河南·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）中國建設(shè)新的芯片工廠的速度處于世界前列，這是朝著提高半導(dǎo)體自給率目標(biāo)邁出的重要一步.根據(jù)國際半導(dǎo)體產(chǎn)業(yè)協(xié)會(SEMI)的數(shù)據(jù)，在截至2024年的4年里，中國計(jì)劃建設(shè)31家大型半導(dǎo)體工廠.某公司打算在2023年度建設(shè)某型芯片的生產(chǎn)線，建設(shè)該生產(chǎn)線的成本為300萬元，若該型芯片生產(chǎn)線在2024年產(chǎn)出萬枚芯片，還需要投入物料及人工等成本（單位：萬元），已知當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，已知生產(chǎn)的該型芯片都能以每枚80元的價(jià)格售出.
(1)已知2024年該型芯片生產(chǎn)線的利潤為（單位：萬元），試求出的函數(shù)解析式.
(2)請你為該型芯片的生產(chǎn)線的產(chǎn)量做一個(gè)計(jì)劃，使得2024年該型芯片的生產(chǎn)線所獲利潤最大，并預(yù)測最大利潤.
2．（2023上·浙江杭州·高一浙江省杭州第二中學(xué)校考期中）“智能”是本屆杭州亞運(yùn)會的辦賽理念之一.在亞運(yùn)村里，時(shí)常能看到一輛極具科技感的小巴車出現(xiàn)在主干道上，車內(nèi)沒有司機(jī)，也沒有方向盤，這就是無人駕駛AR智能巴士.某地在亞運(yùn)會后也采購了一批無人駕駛巴士作為公交車，公交車發(fā)車時(shí)間間隔（單位：分鐘）滿足，，經(jīng)測算，該路無人駕駛公交車載客量與發(fā)車時(shí)間間隔滿足：，其中.
(1)求，并說明的實(shí)際意義；
(2)若該路公交車每分鐘的凈收益（元），問當(dāng)發(fā)車時(shí)間間隔為多少時(shí)，該路公交車每分鐘的凈收益最大？并求每分鐘的最大凈收益.
高頻考點(diǎn)三：利用常見函數(shù)模型解決實(shí)際問題（指、對、冪函數(shù)模型）
典型例題
例題1．（2023上·湖南長沙·高一長沙市第十五中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）中國茶文化源遠(yuǎn)流傳，博大精深，茶水的口感與茶葉的類型和水的溫度有關(guān)，某種綠茶用的水泡制，再等到茶水溫度降至?xí)r飲用，可以產(chǎn)生最佳口感．為了控制水溫，某研究小組聯(lián)想到牛頓提出的物體在常溫下的溫度變化冷卻規(guī)律：設(shè)物體的初始溫度是，經(jīng)過后的溫度是，則，其中表示環(huán)境溫度，表示半衰期．該研究小組經(jīng)過測量得到，剛泡好的綠茶水溫度是，放在的室溫中，以后茶水的溫度是，在上述條件下，大約需要放置多長時(shí)間能達(dá)到最佳飲用口感？（結(jié)果精確到0.1，參考數(shù)據(jù)，）（ ）
A． B．
C． D．
例題2．（2023上·湖北咸寧·高一校考階段練習(xí)）中國的5G技術(shù)領(lǐng)先世界，5G技術(shù)的數(shù)學(xué)原理之一便是著名的香農(nóng)公式：．它表示在受噪音干擾的信道中，最大信息傳遞速度C取決于信道帶寬W，信道內(nèi)信號的平均功率S，信道內(nèi)部的高斯噪聲功率N的大小，其中叫作信噪比．當(dāng)信噪比比較大時(shí)，公式中真數(shù)里面的1可以忽略不計(jì)．按照香農(nóng)公式，若帶寬W不變，信噪比從1000提升到12000，則C比原來大約增加了（ ）．(附：)
A．32% B．43% C．36% D．68%
例題3．（2023上·安徽六安·高一校考階段練習(xí)）一種放射性元素，最初質(zhì)量為，按每年衰減．
(1)寫出年后這種放射性元素質(zhì)量與之間的函數(shù)關(guān)系式
(2)求這種放射性元素的半衰期（放射性物質(zhì)的質(zhì)量衰減為原來的一半所需要的時(shí)間）精確到0.1年，已知（，）.
例題4．（2023上·全國·高一期末）“實(shí)施科教興國戰(zhàn)略,強(qiáng)化現(xiàn)代化建設(shè)人才支撐”是2022年10月16日習(xí)近平同志在中國共產(chǎn)黨第二十次全國代表大會上報(bào)告的一部分.必須堅(jiān)持科技是第一生產(chǎn)力、人才是第一資源、創(chuàng)新是第一動(dòng)力,深入實(shí)施科教興國戰(zhàn)略、人才強(qiáng)國戰(zhàn)略、創(chuàng)新驅(qū)動(dòng)發(fā)展戰(zhàn)略,開辟發(fā)展新領(lǐng)域新賽道,不斷塑造發(fā)展新動(dòng)能新優(yōu)勢.某科技企業(yè)通過加大科技研發(fā)投資,提高了企業(yè)的技術(shù)競爭力,也提高了收入.下列一組數(shù)據(jù)是該公司從2017年以來每年的收入(單位:億元),2017年記為1,后面的年份依次類推.
x/年 1 2 3 4 5 6
y/億元 0.9 1.40 2.56 5.31 11 21.30
(1)給出以下兩個(gè)函數(shù)模型:①y=;②y=.試問:用哪個(gè)模型更適合模擬該企業(yè)的收入
(2)該企業(yè)大約在哪一年收入超過100億元 (參考數(shù)據(jù):）
練透核心考點(diǎn)
1．（2023上·江蘇·高一期末）生物入侵是指生物由原生存地侵入到另一個(gè)新的環(huán)境，從而對入侵地的生態(tài)系統(tǒng)造成危害的現(xiàn)象，若某入侵物種的個(gè)體平均繁殖數(shù)量為，一年四季均可繁殖，繁殖間隔為相鄰兩代間繁殖所需的平均時(shí)間．在物種入侵初期，可用對數(shù)模型（為常數(shù)）來描述該物種累計(jì)繁殖數(shù)量與入侵時(shí)間（單位：天）之間的對應(yīng)關(guān)系，且，在物種入侵初期，基于現(xiàn)有數(shù)據(jù)得出．據(jù)此估計(jì)該物種累計(jì)繁殖數(shù)量是初始累計(jì)繁殖數(shù)量的倍所需要的時(shí)間為（ ）天．（結(jié)果保留一位小數(shù)．參考數(shù)據(jù)：）
A．19.5 B．20.5 C．18.5 D．19
2．（2023上·江蘇南通·高一海安高級中學(xué)校考階段練習(xí)）牛頓冷卻定律描述一個(gè)物體在常溫環(huán)境下的溫度變化：如果物體初始溫度為，則經(jīng)過一定時(shí)間（單位：分鐘）后的溫度滿足，其中是環(huán)境溫度，為常數(shù)，現(xiàn)有一杯的熱水用來泡茶，研究表明，此茶的最佳飲用口感會出現(xiàn)在.經(jīng)測量室溫為，茶水降至大約用時(shí)一分鐘，那么為了獲得最佳飲用口感，從泡茶開始大約需要等待 分鐘.
（參考數(shù)據(jù)：.）
高頻考點(diǎn)四：利用給定函數(shù)模型解決實(shí)際問題
典型例題
例題1．（2023上·福建莆田·高一統(tǒng)考期末）已知某種放射性元素在一升液體中的放射量（單位：）與時(shí)間（單位：年）近似滿足關(guān)系式且.已知當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則據(jù)此估計(jì)，這種放射性元素在一升液體中的放射量為10時(shí)，大約為（ ）（參考數(shù)據(jù)：）
A．50 B．52 C．54 D．56
例題2．（2023上·江蘇鹽城·高一校考期中）天氣轉(zhuǎn)冷，某暖手寶廠商為擴(kuò)大銷量，擬進(jìn)行促銷活動(dòng).根據(jù)前期調(diào)研，獲得該產(chǎn)品的銷售量萬件與投入的促銷費(fèi)用萬元滿足關(guān)系式（為常數(shù)），而如果不搞促銷活動(dòng)，該產(chǎn)品的銷售量為4萬件.已知該產(chǎn)品每一萬件需要投入成本18萬元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為元，設(shè)該產(chǎn)品的利潤為萬元.（注：利潤=銷售收入-投入成本-促銷費(fèi)用）
(1)求出的值，并將表示為的函數(shù)；
(2)促銷費(fèi)用為多少萬元時(shí)，該產(chǎn)品的利潤最大？此時(shí)最大利潤為多少？
例題3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）學(xué)校鼓勵(lì)學(xué)生課余時(shí)間積極參加體育鍛煉，現(xiàn)需要制定一個(gè)課余鍛煉考核評分制度，建立一個(gè)每天得分y與當(dāng)天鍛煉時(shí)間x（單位：分鐘）的函數(shù)關(guān)系，要求如下：（i）函數(shù)的圖象接近圖示；（ii）每天運(yùn)動(dòng)時(shí)間為0分鐘時(shí)，當(dāng)天得分為0分；（iii）每天運(yùn)動(dòng)時(shí)間為30分鐘時(shí)，當(dāng)天得分為3分；（iiii）每天最多得分不超過6分.現(xiàn)有以下三個(gè)函數(shù)模型供選擇：①；②；③.
(1)請根據(jù)函數(shù)圖像性質(zhì)你從中選擇一個(gè)合適的函數(shù)模型不需要說明理由；
(2)根據(jù)你對（1）的判斷以及所給信息完善你的模型并給出函數(shù)的解析式；
(3)已知學(xué)校要求每天的分?jǐn)?shù)不少于4.5分，求每天至少運(yùn)動(dòng)多少分鐘（結(jié)果保留整數(shù)）.
練透核心考點(diǎn)
1．（2023·廣東東莞·東莞市東華高級中學(xué)校考一模）中國5G技術(shù)領(lǐng)先世界，其數(shù)學(xué)原理之一便是著名的香農(nóng)公式：，它表示：在受噪聲干擾的信道中，最大信息傳遞速率C取決于信道帶寬W、信道內(nèi)信號的平均功率S、信道內(nèi)部的高斯噪聲功率N的大小，其中叫做信噪比，按照香農(nóng)公式，若不改變帶寬W，而將信噪比從1000提升至5000，則C大約增加了（ ）．
A．20% B．23% C．28% D．50%
2．（2023上·廣東·高一校聯(lián)考期末）某企業(yè)生產(chǎn)的一款新產(chǎn)品，在市場上經(jīng)過一段時(shí)間的銷售后，得到銷售單價(jià)x（單位：元）與銷量Q（單位：萬件）的數(shù)據(jù)如下：
元 1 2 3 4
萬件 3 2 1.5 1.2
為了描述銷售單價(jià)與銷量的關(guān)系，現(xiàn)有以下三種模型供選擇：．
(1)選擇你認(rèn)為最合適的一種函數(shù)模型，并求出相應(yīng)的函數(shù)解析式；
(2)已知每生產(chǎn)一件該產(chǎn)品，需要的成本（單位：元）與銷量Q（單位：萬件）的關(guān)系為，不考慮其他因素，結(jié)合（1）中所選的函數(shù)模型，若要使生產(chǎn)的產(chǎn)品可以獲得利潤，問該產(chǎn)品的銷售單價(jià)應(yīng)該高于多少元？
3．（2023上·河南·高一校聯(lián)考期中）2023年9月23日，第19屆亞運(yùn)會開幕式在杭州舉行，完美展現(xiàn)了“綠色”與“科技”的融合.已知某種綠色科技產(chǎn)品在亞運(yùn)會開幕式后的30天內(nèi)（包括第30天），第天每件的銷售價(jià)格（單位：元）滿足，第天的日銷售量（單位：千件）滿足，且第2天的日銷售量為13000件，第3天的日銷售量為12000件.
(1)求的解析式；
(2)若每件該產(chǎn)品的總成本為20元，求該產(chǎn)品在開幕式后的30天內(nèi)第天的日銷售利潤（單位：千元）的解析式，并求開幕式后的第幾日銷售利潤最小.
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第09講 函數(shù)模型及其應(yīng)用
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第一部分：基礎(chǔ)知識 1
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第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過 3
高頻考點(diǎn)一：幾類不同增長的函數(shù)模型 3
高頻考點(diǎn)二：利用常見函數(shù)模型解決實(shí)際問題（二次模型；分段模型） 10
高頻考點(diǎn)三：利用常見函數(shù)模型解決實(shí)際問題（指、對、冪函數(shù)模型） 14
高頻考點(diǎn)四：利用給定函數(shù)模型解決實(shí)際問題 20
第一部分：基礎(chǔ)知識
1、常見函數(shù)模型
函數(shù)模型 函數(shù)解析式
一次函數(shù)模型 (為常數(shù)，)
反比例函數(shù)模型 (為常數(shù)且)
二次函數(shù)模型 （均為常數(shù)，）
指數(shù)函數(shù)模型 （均為常數(shù)，，，）
對數(shù)函數(shù)模型 （為常數(shù)，）
冪函數(shù)模型 （為常數(shù)，）
分段函數(shù)
2、指數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù)模型性質(zhì)比較
函數(shù) 性質(zhì)　　
在(0，＋∞)上的增減性 單調(diào)遞增 單調(diào)遞增 單調(diào)遞增
增長速度 先慢后快，指數(shù)爆炸 先快后慢，增長平緩 介于指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)之間,相對平穩(wěn)
圖象的變化 隨x的增大，圖象與軸行 隨x的增大，圖象與軸行 隨n值變化而各有不同
值的比較 存在一個(gè)，當(dāng)時(shí)，有
第二部分：高考真題回顧
1．（多選）（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）噪聲污染問題越來越受到重視．用聲壓級來度量聲音的強(qiáng)弱，定義聲壓級，其中常數(shù)是聽覺下限閾值，是實(shí)際聲壓．下表為不同聲源的聲壓級：
聲源 與聲源的距離 聲壓級
燃油汽車 10
混合動(dòng)力汽車 10
電動(dòng)汽車 10 40
已知在距離燃油汽車、混合動(dòng)力汽車、電動(dòng)汽車處測得實(shí)際聲壓分別為，則（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】根據(jù)題意可知，結(jié)合對數(shù)運(yùn)算逐項(xiàng)分析判斷.
【詳解】由題意可知：，
對于選項(xiàng)A：可得，
因?yàn)椋瑒t，即，
所以且，可得，故A正確；
對于選項(xiàng)B：可得，
因?yàn)椋瑒t，即，
所以且，可得，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，故B錯(cuò)誤；
對于選項(xiàng)C：因?yàn)椋矗?br/>可得，即，故C正確；
對于選項(xiàng)D：由選項(xiàng)A可知：，
且，則，
即，可得，且，所以，故D正確；
故選：ACD.
第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過
高頻考點(diǎn)一：幾類不同增長的函數(shù)模型
典型例題
例題1．（2023上·廣東廣州·高三鐵一中學(xué)校考階段練習(xí)）函數(shù)的數(shù)據(jù)如下表，則該函數(shù)的解析式可能形如（ ）
-2 -1 0 1 2 3 5
2.3 1.1 0.7 1.1 2.3 5.9 49.1
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由函數(shù)的數(shù)據(jù)即可得出答案.
【詳解】由函數(shù)的數(shù)據(jù)可知，函數(shù)，
偶函數(shù)滿足此性質(zhì)，可排除B，D；
當(dāng)時(shí)，由函數(shù)的數(shù)據(jù)可知，函數(shù)增長越來越快，可排除C.
故選：A.
例題2．（2023上·河北石家莊·高一石家莊二中校考階段練習(xí)）有一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如表：
2 3 4 5 6
1.40 2.56 5.31 11 21.30
則體現(xiàn)這組數(shù)據(jù)的最佳函數(shù)模型是
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)數(shù)據(jù)判斷函數(shù)的增長速度選擇函數(shù)模型.
【詳解】，，，，
通過所給數(shù)據(jù)可知，y隨x的增大而增大，且增長的速度越來越快，
AC選項(xiàng)函數(shù)增長的速度越來越慢，D選項(xiàng)函數(shù)增長的速度不變，B選項(xiàng)函數(shù)增長的速度越來越快，所以B正確.
故選：B.
例題3．（2023上·山西臨汾·高一統(tǒng)考期中）在一次物理實(shí)驗(yàn)中某同學(xué)測量獲得如下數(shù)據(jù)：
1 2 3 4 5
5.380 11.232 20.184 34.356 53.482
下列所給函數(shù)模型較適合的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由數(shù)據(jù)中y隨x的變化情況，分析適用的函數(shù)模型.
【詳解】由所給數(shù)據(jù)可知y隨x的增大而增大，且增長速度越來越快，
而A中的函數(shù)增長速度保持不變，B中的函數(shù)增長速度越來越慢，C中的函數(shù)是隨x的增大而y減小，D中的函數(shù)符合題意.
故選:D．
例題4．（2023上·四川南充·高一四川省南充高級中學(xué)校考階段練習(xí)）假設(shè)某學(xué)習(xí)小組對家庭每月用水的收費(fèi)提供了如下兩種模型：模型一：若用水量不超過基本月用水量，則只付基本費(fèi)8元和損耗費(fèi)c元（）；若用水量超過基本月用水量，則除了需付基本費(fèi)和損耗費(fèi)外，超過部分還需按元進(jìn)行付費(fèi)；模型二：用函數(shù)模型（其中k，m，n為常數(shù)，且）來模擬說明每月支付費(fèi)用y（元）關(guān)于月用水量的函數(shù)關(guān)系.已知該市某家庭1—3月的用水量x分別為，和，支付的費(fèi)用y分別為9元，19元和31元.
(1)寫出模型一中每月支付費(fèi)用y（元）關(guān)于月用水量的函數(shù)解析式；
(2)寫出模型二中每月支付費(fèi)用y（元）關(guān)于月用水量的函數(shù)解析式，并分析說明學(xué)習(xí)小組提供的模型哪個(gè)更合理？
【答案】(1)
(2)，，模型一與生活中的實(shí)際情況更接近
【分析】（1）分析出第2，3月份用水量和均大于最低限量，列出方程組，求出，，不妨設(shè)，推出矛盾，故，得到，求出答案；
（2）得到方程組，求出，，，得到解析式，并用三個(gè)方面說明模型一與生活中的實(shí)際情況更接近.
【詳解】（1）由題意得，
第2，3月份水費(fèi)均大于13元，故用水量和均大于最低限量，
于是有，解得，
從而，
再考慮1月份用水量是否超過最低限量，
不妨設(shè)，將代入中，得，
故，與矛盾，舍去，
故，即，解得，
故，
所以每月支付費(fèi)用（元）關(guān)于月用水量的函數(shù)解析式.
（2），
由題意知，，即
由得，由得，
所以，解得，所以，
代入，解得，又，所以，
所以，.
模型一與生活中的實(shí)際情況更接近（言之有理即可）.
建議從以下三方面考慮：
原因一：惠民政策，生活中，比如：打車，交稅，交氣費(fèi)等都是與模型一接近，
百姓繳費(fèi)少；
原因二：指數(shù)爆炸，由知，關(guān)于x是快速增長，
但模型一在上勻速增長，更符合實(shí)際意義；
原因三：當(dāng)時(shí)，，
由于，，，
所以，故，不符合實(shí)際意義.
練透核心考點(diǎn)
1．（2023上·江蘇·高一專題練習(xí)）今有一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下：
現(xiàn)準(zhǔn)備用下列函數(shù)中的一個(gè)近似地表示這些數(shù)據(jù)滿足的規(guī)律，其中最接近的一個(gè)是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】選代入四個(gè)選項(xiàng)的解析式中選取所得的最接近的解析式即可.
【詳解】對于選項(xiàng)A：當(dāng)時(shí)，，與相差較多，故選項(xiàng)A不正確；
對于選項(xiàng)B：當(dāng)時(shí)，，與相差較多，故選項(xiàng)B不正確；
對于選項(xiàng)C：當(dāng)時(shí)，，故選項(xiàng)C正確；
對于選項(xiàng)D：當(dāng)時(shí)，，與相差較多，故選項(xiàng)D不正確；
故選：C.
2．（2023上·浙江·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）今有一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)及對應(yīng)散點(diǎn)圖如下所示，則體現(xiàn)這些數(shù)據(jù)關(guān)系的最佳函數(shù)模型是（ ）
10 20 29 41 50 58 70
1 2 3.8 7.4 11 15 21.8
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)散點(diǎn)圖的變化趨勢及散點(diǎn)的分布情況判斷回歸方程的類型.
【詳解】由散點(diǎn)圖中各點(diǎn)的變化趨勢：非線性、且在第一象限內(nèi)上單調(diào)遞增，
對于，由題意可得：
10 20 29 41 50 58
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.57
可知，近似于線性，所以適合二次函數(shù)模型.
故選：C
3．（2023上·上海·高一上海市建平中學(xué)校考階段練習(xí)）近來，國內(nèi)多個(gè)城市紛紛加碼布局“夜經(jīng)濟(jì)”，以滿足不同層次的多元消費(fèi)，并拉動(dòng)就業(yè)、帶動(dòng)創(chuàng)業(yè)，進(jìn)而提升區(qū)域經(jīng)濟(jì)發(fā)展活力，某夜市的一位工藝品售賣者，通過對每天銷售情況的調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該工藝品在過去的一個(gè)月內(nèi)（以30天計(jì)），每件的銷售價(jià)格（單位：元）與時(shí)間（單位：天）的函數(shù)關(guān)系近似滿足.且銷售量（單位：件）與時(shí)間（單位：天）的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示
10 15 20 25 30
50 55 60 55 50
(1)給出以下四個(gè)函數(shù)模型：①；②；③；④.請你根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，從中選擇你認(rèn)為最合適的一種函數(shù)模型來描述日銷售量與時(shí)間的變化關(guān)系，并求出該函數(shù)的解析式及定義域
(2)設(shè)該工藝品的日銷售收入為（單位：元），求的最小值.
【答案】(1)選擇模型②，
(2)441元.
【分析】（1）根據(jù)表格中數(shù)據(jù)的增減性，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，可得答案；
（2）根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合基本不等式，可得答案.
【詳解】（1）由表格數(shù)據(jù)知，當(dāng)時(shí)間變換時(shí)，先增后減，而①③④都是單調(diào)函數(shù)
所以選擇模型②，
由，可得，解得
由，解得
所以日銷售量與時(shí)間的變化的關(guān)系式為.
（2）由（1）知：
所以
即
當(dāng)時(shí)，
由基本不等式，可得，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號成立，
當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，
所以函數(shù)的最小值為，
綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值441元.
4．（2023上·四川宜賓·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）2023年宜賓市新添城市名片“中國動(dòng)力電池之都”，初步建成較為完整的配套協(xié)同動(dòng)力電池產(chǎn)業(yè)布局，并搭建起從原材料到整車制造的新能源汽車產(chǎn)業(yè)鏈.新能源電動(dòng)車主要采用電能作為動(dòng)力來源，目前比較常見的主要有兩種：混合動(dòng)力汽車 純電動(dòng)汽車.有關(guān)部門在國道上對某型號純電動(dòng)汽車進(jìn)行測試，國道限速.經(jīng)數(shù)次測試，得到該純電動(dòng)汽車每小時(shí)耗電量（單位：）與速度（單位：）的數(shù)據(jù)如下表所示：
0 10 40 60
0 1420 4480 6720
為了描述該純電動(dòng)汽車國道上行駛時(shí)每小時(shí)耗電量與速度的關(guān)系，現(xiàn)有以下三種函數(shù)模型供選擇：①；②；③.
(1)當(dāng)時(shí)，請選出你認(rèn)為最符合表格中所列數(shù)據(jù)的函數(shù)模型（需說明理由），并求出相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；
(2)現(xiàn)有一輛同型號純電動(dòng)汽車從宜賓行駛到重慶某地，其中，國道上行駛，高速上行駛.假設(shè)該電動(dòng)汽車在國道和高速上均做勻速運(yùn)動(dòng)，國道上每小時(shí)的耗電量與速度的關(guān)系滿足（1）中的函數(shù)表達(dá)式；高速路上車速（單位：）滿足，且每小時(shí)耗電量（單位：）與速度（單位：）的關(guān)系滿足.則當(dāng)國道和高速上的車速分別為多少時(shí)，該車輛的總耗電量最少，最少總耗電量為多少？
【答案】(1)選①，；
(2)在高速上的行駛速度為，在國道上的行駛速度為，.
【分析】（1）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，對3個(gè)函數(shù)模型逐一判斷即得.
（2）分別求出國道和高速上該輛車耗電量的最小值及對應(yīng)行駛速度即可得解.
【詳解】（1）對于③，，當(dāng)時(shí)，它無意義，不符合題意；
對于②，，當(dāng)時(shí)，，又，
所以，不符合原意；
因此選①，.
由表中的數(shù)據(jù)得，，解得，
所以.
（2）高速上行駛，所用時(shí)間為，
則所耗電量為，
顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，
于是；
國道上行駛，所用時(shí)間為，
則所耗電量為，
而，則當(dāng)時(shí)，.
所以當(dāng)這輛車在高速上的行駛速度為，在國道上的行駛速度為時(shí)，
該車從宜賓行駛到重慶某地的總耗電量最少，最少為.
高頻考點(diǎn)二：利用常見函數(shù)模型解決實(shí)際問題（二次模型；分段模型）
典型例題
例題1．（2023上·湖南岳陽·高二統(tǒng)考期末）2022年某開發(fā)區(qū)一家汽車生產(chǎn)企業(yè)計(jì)劃引進(jìn)一批新能源汽車制造設(shè)備，通過市場分析，全年需投入固定成本1000萬元，生產(chǎn)（百輛）新能源汽車，還需另投入成本萬元，且.由市場調(diào)研，每輛車售價(jià)5萬元，且全年內(nèi)生產(chǎn)的車輛當(dāng)年能全部銷售完.
(1)求出2022年該企業(yè)生產(chǎn)新能源汽車的利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（百輛）的函數(shù)關(guān)系式；（利潤銷售量-成本）
(2)2022年產(chǎn)量為多少百輛時(shí)，該企業(yè)生產(chǎn)新能源汽車所獲利潤最大？并求出最大利潤.
【答案】(1)
(2)50百輛時(shí)，企業(yè)所獲得利潤最大為1600萬元
【分析】（1）根據(jù)利潤與產(chǎn)量、成本之間的關(guān)系，寫出分段函數(shù)的解析式即可；
（2）分別根據(jù)二次函數(shù)、均值不等式求函數(shù)在每一段的最值，比較大小即可得解.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，
（2）當(dāng)時(shí)，
取得最大值，最大值為1250
當(dāng)時(shí)，
當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪ⅲ?br/>所以當(dāng)時(shí)，有最大值1600.
綜上所述：，取得最大值，最大值為1600，即2022年生產(chǎn)量為50百輛時(shí)，企業(yè)所獲得利潤最大，最大利潤為1600萬元.
例題2．（2023上·貴州六盤水·高一統(tǒng)考期末）心理學(xué)家根據(jù)高中生心理發(fā)展規(guī)律，對高中生的學(xué)習(xí)行為進(jìn)行研究，發(fā)現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)的接受能力依賴于老師引入概念和描述問題所用的時(shí)間.上課開始時(shí)，學(xué)生的興趣激增，中間有一段時(shí)間學(xué)生的興趣保持理想狀態(tài)，隨后學(xué)生的注意力開始分散.分析結(jié)果和實(shí)驗(yàn)表明，用表示學(xué)生掌握和接受概念的能力（的值越大，表示接受能力越強(qiáng)），x表示提出和講授概念的時(shí)間（單位：），滿足以下關(guān)系：
(1)上課多少分鐘后，學(xué)生的接受能力最強(qiáng)？能維持多少分鐘？
(2)有一道數(shù)學(xué)難題，需要54的接受能力及的講授時(shí)間，老師能否及時(shí)在學(xué)生處于所需接受能力的狀態(tài)下講授完成這道難題？
【答案】(1)上課10分鐘后，學(xué)生的接受能力最強(qiáng)，能維持10分鐘
(2)老師不能及時(shí)在學(xué)生處于所需接受能力的狀態(tài)下講授完這道題
【分析】（1）在上利用二次函數(shù)求得最大值；時(shí)，，在利用一次函數(shù)求得最大值即可；
（2）當(dāng)，，時(shí)分別令求解.
【詳解】（1）解：由題知在上單調(diào)遞增，
所以，
又時(shí)， ，
在上單調(diào)遞減，，
所以上課10分鐘后，學(xué)生的接受能力最強(qiáng)，能維持10分鐘.
（2）當(dāng)時(shí)，令，即，
化簡得，解得，又，
所以，此時(shí)有效時(shí)間為2分鐘 ，
當(dāng)時(shí)，，有效時(shí)間為10分鐘，
當(dāng)時(shí)，令，解得，有效時(shí)間為1分鐘，
由于講授時(shí)間需15分鐘，但有效時(shí)間分鐘，，
所以老師不能及時(shí)在學(xué)生處于所需接受能力的狀態(tài)下講授完這道題.
練透核心考點(diǎn)
1．（2023下·河南·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）中國建設(shè)新的芯片工廠的速度處于世界前列，這是朝著提高半導(dǎo)體自給率目標(biāo)邁出的重要一步.根據(jù)國際半導(dǎo)體產(chǎn)業(yè)協(xié)會(SEMI)的數(shù)據(jù)，在截至2024年的4年里，中國計(jì)劃建設(shè)31家大型半導(dǎo)體工廠.某公司打算在2023年度建設(shè)某型芯片的生產(chǎn)線，建設(shè)該生產(chǎn)線的成本為300萬元，若該型芯片生產(chǎn)線在2024年產(chǎn)出萬枚芯片，還需要投入物料及人工等成本（單位：萬元），已知當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，已知生產(chǎn)的該型芯片都能以每枚80元的價(jià)格售出.
(1)已知2024年該型芯片生產(chǎn)線的利潤為（單位：萬元），試求出的函數(shù)解析式.
(2)請你為該型芯片的生產(chǎn)線的產(chǎn)量做一個(gè)計(jì)劃，使得2024年該型芯片的生產(chǎn)線所獲利潤最大，并預(yù)測最大利潤.
【答案】(1)；
(2)當(dāng)2024年該型芯片產(chǎn)量為40萬枚時(shí)利潤最大，最大利潤為220萬元．
【分析】（1）根據(jù)利潤等于售價(jià)減成本可求利潤的表達(dá)式；
（2）根據(jù)的表達(dá)式分別求出每段函數(shù)的最大值即可.
【詳解】（1）（1）由題意可得，，
所以，
即.
（2）當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，對稱軸，；
當(dāng)時(shí)，由基本不等式知，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，故，
綜上，當(dāng)2024年該型芯片產(chǎn)量為40萬枚時(shí)利潤最大，最大利潤為220萬元．
2．（2023上·浙江杭州·高一浙江省杭州第二中學(xué)校考期中）“智能”是本屆杭州亞運(yùn)會的辦賽理念之一.在亞運(yùn)村里，時(shí)常能看到一輛極具科技感的小巴車出現(xiàn)在主干道上，車內(nèi)沒有司機(jī)，也沒有方向盤，這就是無人駕駛AR智能巴士.某地在亞運(yùn)會后也采購了一批無人駕駛巴士作為公交車，公交車發(fā)車時(shí)間間隔（單位：分鐘）滿足，，經(jīng)測算，該路無人駕駛公交車載客量與發(fā)車時(shí)間間隔滿足：，其中.
(1)求，并說明的實(shí)際意義；
(2)若該路公交車每分鐘的凈收益（元），問當(dāng)發(fā)車時(shí)間間隔為多少時(shí)，該路公交車每分鐘的凈收益最大？并求每分鐘的最大凈收益.
【答案】(1)35；發(fā)車時(shí)間間隔為5分鐘時(shí)，載客量為35
(2)6分鐘，38元
【分析】（1）根據(jù)題意求得，從而說明其實(shí)際意義；
（2）根據(jù)題意，分類討論的取值范圍，利用基本不等式與反比例函數(shù)的單調(diào)性即可得解.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br/>所以，
實(shí)際意義為：發(fā)車時(shí)間間隔為5分鐘時(shí)，載客量為35.
（2）因?yàn)椋?br/>所以當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，
所以當(dāng)時(shí)，取得最大值38；
當(dāng)時(shí)，，該函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
則當(dāng)時(shí)，取得最大值28.4；
綜上所述，當(dāng)發(fā)車時(shí)間間隔為6分鐘時(shí)，該路公交車每分鐘的凈收益最大，最大凈收益為38元.
高頻考點(diǎn)三：利用常見函數(shù)模型解決實(shí)際問題（指、對、冪函數(shù)模型）
典型例題
例題1．（2023上·湖南長沙·高一長沙市第十五中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）中國茶文化源遠(yuǎn)流傳，博大精深，茶水的口感與茶葉的類型和水的溫度有關(guān)，某種綠茶用的水泡制，再等到茶水溫度降至?xí)r飲用，可以產(chǎn)生最佳口感．為了控制水溫，某研究小組聯(lián)想到牛頓提出的物體在常溫下的溫度變化冷卻規(guī)律：設(shè)物體的初始溫度是，經(jīng)過后的溫度是，則，其中表示環(huán)境溫度，表示半衰期．該研究小組經(jīng)過測量得到，剛泡好的綠茶水溫度是，放在的室溫中，以后茶水的溫度是，在上述條件下，大約需要放置多長時(shí)間能達(dá)到最佳飲用口感？（結(jié)果精確到0.1，參考數(shù)據(jù)，）（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)已知條件列出關(guān)于，的方程組可得答案.
【詳解】由題意可得方程組：
，由①式化簡可得：，代入②式，
所以，
大約需要放置能達(dá)到最佳飲用口感．
故選：A．
例題2．（2023上·湖北咸寧·高一校考階段練習(xí)）中國的5G技術(shù)領(lǐng)先世界，5G技術(shù)的數(shù)學(xué)原理之一便是著名的香農(nóng)公式：．它表示在受噪音干擾的信道中，最大信息傳遞速度C取決于信道帶寬W，信道內(nèi)信號的平均功率S，信道內(nèi)部的高斯噪聲功率N的大小，其中叫作信噪比．當(dāng)信噪比比較大時(shí)，公式中真數(shù)里面的1可以忽略不計(jì)．按照香農(nóng)公式，若帶寬W不變，信噪比從1000提升到12000，則C比原來大約增加了（ ）．(附：)
A．32% B．43% C．36% D．68%
【答案】C
【分析】根據(jù)和表示出對應(yīng)，然后根據(jù)結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算求解出結(jié)果.
【詳解】當(dāng)時(shí)，最大信息傳遞速度為，
當(dāng)時(shí)，最大信息傳遞速度為，
所以比原來增加了
，
故選：C.
例題3．（2023上·安徽六安·高一校考階段練習(xí)）一種放射性元素，最初質(zhì)量為，按每年衰減．
(1)寫出年后這種放射性元素質(zhì)量與之間的函數(shù)關(guān)系式
(2)求這種放射性元素的半衰期（放射性物質(zhì)的質(zhì)量衰減為原來的一半所需要的時(shí)間）精確到0.1年，已知（，）.
【答案】(1)
(2)6.6年
【分析】（1）由遞推關(guān)系寫出函數(shù)解析式即可.
（2）依據(jù)題意列出方程，求解即可.
【詳解】（1）最初的質(zhì)量為，經(jīng)過年后，，
經(jīng)過年后，，由此推知，年后，，
年后，關(guān)于的表達(dá)式為．
（2）列出方程，
，
年，
即這種放射性元素的半衰期約為年．
例題4．（2023上·全國·高一期末）“實(shí)施科教興國戰(zhàn)略,強(qiáng)化現(xiàn)代化建設(shè)人才支撐”是2022年10月16日習(xí)近平同志在中國共產(chǎn)黨第二十次全國代表大會上報(bào)告的一部分.必須堅(jiān)持科技是第一生產(chǎn)力、人才是第一資源、創(chuàng)新是第一動(dòng)力,深入實(shí)施科教興國戰(zhàn)略、人才強(qiáng)國戰(zhàn)略、創(chuàng)新驅(qū)動(dòng)發(fā)展戰(zhàn)略,開辟發(fā)展新領(lǐng)域新賽道,不斷塑造發(fā)展新動(dòng)能新優(yōu)勢.某科技企業(yè)通過加大科技研發(fā)投資,提高了企業(yè)的技術(shù)競爭力,也提高了收入.下列一組數(shù)據(jù)是該公司從2017年以來每年的收入(單位:億元),2017年記為1,后面的年份依次類推.
x/年 1 2 3 4 5 6
y/億元 0.9 1.40 2.56 5.31 11 21.30
(1)給出以下兩個(gè)函數(shù)模型:①y=;②y=.試問:用哪個(gè)模型更適合模擬該企業(yè)的收入
(2)該企業(yè)大約在哪一年收入超過100億元 (參考數(shù)據(jù):）
【答案】(1)用模型②y=更適合模擬該企業(yè)的收入
(2)大約在2025年該企業(yè)的收入超過100億元.
【分析】（1）在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)與的圖象,并在此坐標(biāo)系內(nèi)描出表格提供的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點(diǎn),觀察即可；
（2）解出，,則，即可求解.
【詳解】（1）在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)與的圖象,
并在此坐標(biāo)系內(nèi)描出表格提供的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點(diǎn)如圖所示.
觀察圖象知,這些點(diǎn)基本上都落在函數(shù)的圖象上或附近,
所以用模型②更適合模擬該企業(yè)的收入.
（2）當(dāng)時(shí),,
因此=≈,
而,則,
所以大約在2025年該企業(yè)的收入超過100億元.
練透核心考點(diǎn)
1．（2023上·江蘇·高一期末）生物入侵是指生物由原生存地侵入到另一個(gè)新的環(huán)境，從而對入侵地的生態(tài)系統(tǒng)造成危害的現(xiàn)象，若某入侵物種的個(gè)體平均繁殖數(shù)量為，一年四季均可繁殖，繁殖間隔為相鄰兩代間繁殖所需的平均時(shí)間．在物種入侵初期，可用對數(shù)模型（為常數(shù)）來描述該物種累計(jì)繁殖數(shù)量與入侵時(shí)間（單位：天）之間的對應(yīng)關(guān)系，且，在物種入侵初期，基于現(xiàn)有數(shù)據(jù)得出．據(jù)此估計(jì)該物種累計(jì)繁殖數(shù)量是初始累計(jì)繁殖數(shù)量的倍所需要的時(shí)間為（ ）天．（結(jié)果保留一位小數(shù)．參考數(shù)據(jù)：）
A．19.5 B．20.5 C．18.5 D．19
【答案】A
【分析】根據(jù)題意，利用結(jié)定的函數(shù)模型求得，進(jìn)而利用對數(shù)的運(yùn)算法則列式即可得解.
【詳解】因?yàn)椋裕獾茫?br/>設(shè)初始時(shí)間為，初始累計(jì)繁殖數(shù)量為，累計(jì)繁殖數(shù)量是初始累計(jì)繁殖數(shù)量的倍的時(shí)間為，
則
（天．
故選：A.
2．（2023上·江蘇南通·高一海安高級中學(xué)校考階段練習(xí)）牛頓冷卻定律描述一個(gè)物體在常溫環(huán)境下的溫度變化：如果物體初始溫度為，則經(jīng)過一定時(shí)間（單位：分鐘）后的溫度滿足，其中是環(huán)境溫度，為常數(shù)，現(xiàn)有一杯的熱水用來泡茶，研究表明，此茶的最佳飲用口感會出現(xiàn)在.經(jīng)測量室溫為，茶水降至大約用時(shí)一分鐘，那么為了獲得最佳飲用口感，從泡茶開始大約需要等待 分鐘.
（參考數(shù)據(jù)：.）
【答案】6
【分析】根據(jù)已知條件求出參數(shù)的值，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為解指數(shù)方程，利用對數(shù)的運(yùn)算以及換底公式即可求出結(jié)果.
【詳解】根據(jù)題意可知, 環(huán)境溫度，初始溫度，
經(jīng)過一定時(shí)間（單位：分鐘）后的溫度滿足
因?yàn)椴杷抵链蠹s用時(shí)一分鐘，即，
所以，解得，則，
所以要使得該茶降至，即，則有，得，
故.
所以大約需要等待6分鐘.
故答案為：6.
3．（2023上·上海·高一上海南匯中學(xué)校考階段練習(xí)）用打點(diǎn)滴的方式治療“支原體感染”病患時(shí)，血藥濃度（血藥濃度是指藥物吸收后，在血漿內(nèi)的總濃度）隨時(shí)間變化的函數(shù)符合，其函數(shù)圖象如圖所示，其中為與環(huán)境相關(guān)的常數(shù)，此種藥物在人體內(nèi)有效治療效果的濃度在4到15之間，當(dāng)達(dá)到上限濃度時(shí)，必須馬上停止注射，之后血藥濃度隨時(shí)間變化的函數(shù)符合，其中c為停藥時(shí)的人體血藥濃度．
(1)求出函數(shù)的解析式；
(2)一病患開始注射后，最遲隔多長時(shí)間停止注射？為保證治療效果，最多再隔多長時(shí)間開始進(jìn)行第二次注射？（如果計(jì)算結(jié)果不是整數(shù)，保留小數(shù)點(diǎn)后一位）
【答案】(1)
(2)最遲隔16小時(shí)停止注射，為保證治療效果，最多再隔7.7小時(shí)開始進(jìn)行第二次注射．
【分析】（1）根據(jù)已知條件及函數(shù)的圖象，利用點(diǎn)在圖象上列方程求解即可；
（2）根據(jù)已知條件得出最遲停止注射時(shí)間，利用函數(shù)關(guān)系式及對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求解.
【詳解】（1）由圖象可知，圖象經(jīng)過，兩點(diǎn)，將兩點(diǎn)代入，
則，解得，
所以；
（2）由題意，可知有治療效果的濃度在4到15之間，
所以濃度為15時(shí)為最遲停止注射時(shí)間，
故，解得，
濃度從15降到4為最長間隔時(shí)間，
故，即，
兩邊同時(shí)取以2為底的對數(shù)，則，
即
，
所以，
所以最遲隔16小時(shí)停止注射，為保證治療效果，
最多再隔7.7小時(shí)開始進(jìn)行第二次注射．
4．（2023上·廣東汕頭·高一統(tǒng)考期末）潮汕人喜歡喝功夫茶，茶水的口感和水的溫度有關(guān)，如果剛泡好的茶水溫度是℃，環(huán)境溫度是℃，那么t分鐘后茶水的溫度（單位：℃）可由公式求得．現(xiàn)有剛泡好茶水溫度是100℃，放在室溫25℃的環(huán)境中自然冷卻，5分鐘以后茶水的溫度是50℃．
(1)求k的值；
(2)經(jīng)驗(yàn)表明，當(dāng)室溫為15℃時(shí)，該種茶剛泡好的茶水溫度95℃，自然冷卻至60℃時(shí)飲用，可以產(chǎn)生最佳口感，那么，剛泡好的茶水大約需要放置多長時(shí)間才能達(dá)到最佳飲用口感？（結(jié)果精確到0.1；參考值：，）
【答案】(1)
(2)2.7分鐘
【分析】（1）由所給函數(shù)模型結(jié)合已知條件列方程得，由指對互換即可求解.
（2）由所給函數(shù)模型結(jié)合已知條件列方程得，由指對互換以及對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求解.
【詳解】（1）依題意，，．
則
化簡得，，
，
即：．（寫也正確）
（2）由（1）得
令，
即．得，
；
得．
所以剛泡好的茶水大約需要放置2.7分鐘才能達(dá)到最佳飲用口感．
高頻考點(diǎn)四：利用給定函數(shù)模型解決實(shí)際問題
典型例題
例題1．（2023上·福建莆田·高一統(tǒng)考期末）已知某種放射性元素在一升液體中的放射量（單位：）與時(shí)間（單位：年）近似滿足關(guān)系式且.已知當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則據(jù)此估計(jì)，這種放射性元素在一升液體中的放射量為10時(shí)，大約為（ ）（參考數(shù)據(jù)：）
A．50 B．52 C．54 D．56
【答案】B
【分析】根據(jù)已知列方程組先求出的值，然后利用對數(shù)運(yùn)算可得.
【詳解】由題知，，解得，
所以，
由，得.
故選：B
例題2．（2023上·江蘇鹽城·高一校考期中）天氣轉(zhuǎn)冷，某暖手寶廠商為擴(kuò)大銷量，擬進(jìn)行促銷活動(dòng).根據(jù)前期調(diào)研，獲得該產(chǎn)品的銷售量萬件與投入的促銷費(fèi)用萬元滿足關(guān)系式（為常數(shù)），而如果不搞促銷活動(dòng)，該產(chǎn)品的銷售量為4萬件.已知該產(chǎn)品每一萬件需要投入成本18萬元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為元，設(shè)該產(chǎn)品的利潤為萬元.（注：利潤=銷售收入-投入成本-促銷費(fèi)用）
(1)求出的值，并將表示為的函數(shù)；
(2)促銷費(fèi)用為多少萬元時(shí)，該產(chǎn)品的利潤最大？此時(shí)最大利潤為多少？
【答案】(1)4；
(2)7萬元，125萬元
【分析】（1）根據(jù)時(shí)，，即可求得k的值；根據(jù)利潤=銷售收入-投入成本-促銷費(fèi)用即可求得表示為的函數(shù)關(guān)系式；
（2）結(jié)合（1）的結(jié)果，化簡變形，利用基本不等式，即可求得答案.
【詳解】（1）由題意知時(shí)，，故，
則，
故，
即；
（2），
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，
故促銷費(fèi)用為7萬元時(shí)，該產(chǎn)品的利潤最大，此時(shí)最大利潤為125萬元.
例題3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）學(xué)校鼓勵(lì)學(xué)生課余時(shí)間積極參加體育鍛煉，現(xiàn)需要制定一個(gè)課余鍛煉考核評分制度，建立一個(gè)每天得分y與當(dāng)天鍛煉時(shí)間x（單位：分鐘）的函數(shù)關(guān)系，要求如下：（i）函數(shù)的圖象接近圖示；（ii）每天運(yùn)動(dòng)時(shí)間為0分鐘時(shí)，當(dāng)天得分為0分；（iii）每天運(yùn)動(dòng)時(shí)間為30分鐘時(shí)，當(dāng)天得分為3分；（iiii）每天最多得分不超過6分.現(xiàn)有以下三個(gè)函數(shù)模型供選擇：①；②；③.
(1)請根據(jù)函數(shù)圖像性質(zhì)你從中選擇一個(gè)合適的函數(shù)模型不需要說明理由；
(2)根據(jù)你對（1）的判斷以及所給信息完善你的模型并給出函數(shù)的解析式；
(3)已知學(xué)校要求每天的分?jǐn)?shù)不少于4.5分，求每天至少運(yùn)動(dòng)多少分鐘（結(jié)果保留整數(shù)）.
【答案】(1)
(2)，
(3)55
【分析】（1）根據(jù)圖像和函數(shù)性質(zhì)選擇模型，
（2）將，代入求解系數(shù)即可.
（3）將代入解析式即可.
【詳解】（1）根據(jù)題中材料和題圖選擇合適的函數(shù)模型
從題圖看應(yīng)選擇先快后慢增長的函數(shù)模型，故選；
（2）將，代入解析式得到，即，
解得，，即.
為了描述銷售單價(jià)與銷量的關(guān)系，現(xiàn)有以下三種模型供選擇：．
(1)選擇你認(rèn)為最合適的一種函數(shù)模型，并求出相應(yīng)的函數(shù)解析式；
(2)已知每生產(chǎn)一件該產(chǎn)品，需要的成本（單位：元）與銷量Q（單位：萬件）的關(guān)系為，不考慮其他因素，結(jié)合（1）中所選的函數(shù)模型，若要使生產(chǎn)的產(chǎn)品可以獲得利潤，問該產(chǎn)品的銷售單價(jià)應(yīng)該高于多少元？
【答案】(1)最合適，
(2)元．
【分析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合給定的函數(shù)模型，代入驗(yàn)證，即可求解；
（2）由成本與銷量Q的關(guān)系為，列出不等式，結(jié)合不等式的解法，即可求解.
【詳解】（1）解：若選擇模型，將代入可得，即，
經(jīng)驗(yàn)證，均不滿足，故模型不合適．
若選擇模型，因?yàn)檫^點(diǎn)，所以模型不合適．
若選擇模型，將代入可得，即，
經(jīng)驗(yàn)證，，均滿足，故模型最合適，且．
（2）解：由成本與銷量Q的關(guān)系為．
要使生產(chǎn)的產(chǎn)品可以獲得利潤，則．
因?yàn)椋裕矗?br/>因?yàn)椋裕?br/>故該產(chǎn)品的銷售單價(jià)應(yīng)該高于元．
3．（2023上·河南·高一校聯(lián)考期中）2023年9月23日，第19屆亞運(yùn)會開幕式在杭州舉行，完美展現(xiàn)了“綠色”與“科技”的融合.已知某種綠色科技產(chǎn)品在亞運(yùn)會開幕式后的30天內(nèi)（包括第30天），第天每件的銷售價(jià)格（單位：元）滿足，第天的日銷售量（單位：千件）滿足，且第2天的日銷售量為13000件，第3天的日銷售量為12000件.
(1)求的解析式；
(2)若每件該產(chǎn)品的總成本為20元，求該產(chǎn)品在開幕式后的30天內(nèi)第天的日銷售利潤（單位：千元）的解析式，并求開幕式后的第幾日銷售利潤最小.
【答案】(1)（，）
(2)，開幕式后的第30天的日銷售利潤最小
【分析】（1）由題可知，求出即可得解；
（2）先求出每件該產(chǎn)品的銷售利潤，再根據(jù)日銷售利潤即可求出的解析式，再根據(jù)基本不等式和函數(shù)的單調(diào)性即可得解.
【詳解】（1）由題可知，解得，
所以（，）；
（2）由題可得每件該產(chǎn)品的銷售利潤為，
所以第天的日銷售利潤，
即，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，
當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)楹瘮?shù)在上都是減函數(shù)，
所以函數(shù)在上為減函數(shù)，
所以此時(shí)，
綜上所述，當(dāng)時(shí)，取得最小值714，
即開幕式后的第30天的日銷售利潤最小.
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