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三角函數、解三角形
一、任意角和弧度制及任意角的三角函數
1.任意角的概念
(1)我們把角的概念推廣到任意角，任意角包括正角、負角、零角．
①正角：按__逆時針__方向旋轉形成的角．
②負角：按__順時針__方向旋轉形成的角．
③零角：如果一條射線__沒有作任何旋轉__，我們稱它形成了一個零角．
(2)終邊相同角：與α終邊相同的角可表示為：{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}，或{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
(3)象限角：角α的終邊落在__第幾象限__就稱α為第幾象限的角，終邊落在坐標軸上的角不屬于任何象限.
象限角
軸線角
2．弧度制
(1)1度的角：__把圓周分成360份，每一份所對的圓心角叫1°的角__.
(2)1弧度的角：__弧長等于半徑的圓弧所對的圓心角叫1弧度的角__.
(3)角度與弧度的換算：
360°＝__2π__rad,1°＝____rad,1rad＝(____)≈57°18′.
(4)若扇形的半徑為r，圓心角的弧度數為α，則此扇形的弧長l＝__|α|·r__，面積S＝__|α|r2__＝__lr__.
3．任意角的三角函數定義
(1)設α是一個任意角，α的終邊上任意一點(非頂點)P的坐標是(x，y)，它與原點的距離為r，則sinα＝____，cosα＝____，tanα＝____.
(2)三角函數在各象限的符號是：
sinα cosα tanα
Ⅰ __＋__ __＋__ __＋__
Ⅱ __＋__ __－__ __－__
Ⅲ __－__ __－__ __＋__
Ⅳ __－__ __＋__ __－__
記憶口訣：一全正，二正弦，三正切，四余弦．
(3)三角函數線可以看作是三角函數的幾何表示．正弦線的起點都在x軸上，余弦線的起點都是原點，正切線的起點都是(1,0)．如圖中有向線段MP，OM，AT分別叫做角α的__正弦__線、__余弦__線和__正切__線．
4．終邊相同的角的三角函數
sin(α＋k·2π)＝__sinα__，
cos(α＋k·2π)＝__cosα__，
tan(α＋k·2π)＝__tanα__(其中k∈Z)，
即終邊相同的角的同一三角函數的值相等．
重要結論
1．終邊相同的角不一定相等，相等角的終邊一定相同，在書寫與角α終邊相同的角時，單位必須一致．
2．確定(k∈N*)的終邊位置的方法
(1)討論法：
①用終邊相同角的形式表示出角α的圍．
②寫出的圍．
③根據k的可能取值討論確定的終邊所在位置．
(2)等分象限角的方法：已知角α是第m(m＝1,2,3,4)象限角，求是第幾象限角．
①等分：將每個象限分成k等份．
②標注：從x軸正半軸開始，按照逆時針方向順次循環標上1,2,3,4，直至回到x軸正半軸．
③選答：出現數字m的區域，即為所在的象限．
如判斷象限問題可采用等分象限法．
二、同角三角函數的基本關系式與誘導公式
1．同角三角函數的基本關系式
(1)平方關系：__sin2x＋cos2x＝1__. (2)商數關系：__＝tanx__.
2．三角函數的誘導公式
組數 一 二 三 四 五 六
角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α
正弦 sinα __－sinα__ __－sinα__ __sinα__ __cosα__ __cosα__
余弦 cosα __－cosα__ __cosα__ __－cosα__ __sinα__ __－sinα__
正切 tanα __tanα__ __－tanα__ __－tanα__
重要結論
1．同角三角函數基本關系式的變形應用：如sinx＝tanx·cosx，tan2x＋1＝，(sinx＋cosx)2＝1＋2sinxcosx等．
2．特殊角的三角函數值表
角α 0° 30° 45° 60° 90° 120° 150° 180° 270°
角α的弧度數 0 π
sinα 0 1 0 －1
cosα 1 0 － － －1 0
tanα 0 1 － － 0
3.誘導公式的記憶口訣
“奇變偶不變，符號看象限”．“奇”與“偶”指的是誘導公式k·＋α中的整數k是奇數還是偶數．“變”與“不變”是指函數的名稱的變化，若k是奇數，則正、余弦互變；若k為偶數，則函數名稱不變．“符號看象限”指的是在k·＋α中，將α看成銳角時k·＋α所在的象限．
4.sinx＋cosx、sinx－cosx、sinxcosx之間的關系
sinx＋cosx、sinx－cosx、sinxcosx之間的關系為(sinx＋cosx)2＝1＋2sinxcosx，(sinx－cosx)2＝1－2sinxcosx，(sinx＋cosx)2＋(sinx－cosx)2＝2.
因此已知上述三個代數式中的任意一個代數式的值，便可求其余兩個代數式的值．　
三、兩角和與差的三角函數　二倍角公式
1．兩角和與差的正弦、余弦和正切公式
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin2α＝__2sinαcosα__；
(2)cos2α＝__cos2α－sin2α__＝__2cos2α__－1＝1－__2sin2α__；
(3)tan2α＝____(α≠＋且α≠kπ＋，k∈Z)．
3．半角公式(不要求記憶)
(1)sin＝±；
(2)cos＝±；
(3)tan＝±＝＝.
重要結論
1．降冪公式：cos2α＝，sin2α＝.
2．升冪公式：1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α.
3．公式變形：tanα±tanβ＝tan(α±β)(1 tanα·tanβ)．
＝tan(－α)；＝tan(＋α)
cosα＝，sin2α＝，cos2α＝，1±sin2α＝(sinα±cosx)2.
4．輔助角(“二合一”)公式：
asinα＋bcosα＝sin(α＋φ)，
其中cosφ＝____，sinφ＝____.
5.三角形中的三角函數問題
在三角形中，常用的角的變形結論有：A＋B＝π－C；2A＋2B＋2C＝2π；＋＋＝.
三角函數的結論有：sin(A＋B)＝sinC，cos(A＋B)＝－cosC，tan(A＋B)＝－tanC，sin＝cos，cos＝sin.
A>B sinA>sinB cosA四、三角函數的圖象與性質
1．周期函數的定義及周期的概念
(1)對于函數f(x)，如果存在一個非零常數T，使得當x取定義域的每一個值時，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函數f(x)就叫做__周期函數__.非零常數T叫做這個函數的__周期__.如果在周期函數f(x)的所有周期中存在一個最小的正數，那么這個最小正數就叫做f(x)的最小__正周期__.(2)正弦函數、余弦函數都是周期函數，__2kπ(k∈Z，k≠0)__都是它們的周期，最小正周期是__2π__.
2．正弦、余弦、正切函數的圖象與性質
函數 y＝sinx y＝cosx y＝tanx
圖象
定義域 x∈R x∈R x∈R，且x≠＋kπ，k∈Z
值域 __{y|－1≤y≤1}__ __{y|－1≤y≤1}__ __R__
單調性 在__ [－＋2kπ，＋2kπ] __，k∈Z上遞增；在__ [＋2kπ，＋2kπ] __，k∈Z上遞減 在__ [(2k－1)π，2kπ] __，k∈Z上遞增；在__ [2kπ，(2k＋1)π] __，k∈Z上遞減 在(－＋kπ，＋kπ)，k∈Z上遞增
最值 x＝__＋2kπ(k∈Z)__ 時，ymax＝1；x＝__－＋2kπ(k∈Z)__ 時，ymin＝－1 x＝__2kπ(k∈Z)__ 時，ymax＝1；x＝__π＋2kπ(k∈Z)__ 時，ymin＝－1 無最值
奇偶性 __奇__ __偶__ __奇__
對稱性 對稱中心 __(kπ，0)，k∈Z__ __, k∈Z __ (，0)，k∈Z__
對稱軸 __x＝kπ＋，k∈Z__ __x＝kπ，k∈Z__ 無對稱軸
最小正周期 __2π__ __2π__ __π__
重要結論
1．函數y＝sinx，x∈[0,2π]的五點作圖法的五個關鍵點是__(0,0)__、__(，1)__、__(π，0)__、__(，－1)__、__(2π，0)__.
函數y＝cosx，x∈[0,2π]的五點作圖法的五個關健點是__(0,1)__、__(，0)__、__(π，－1)__、__(，0)__、__(2π，1)__.
2．函數y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期為T＝，函數y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期為T＝.
3．正弦曲線、余弦曲線相鄰兩對稱中心、相鄰兩對稱軸之間的距離是半周期，相鄰的對稱中心與對稱軸之間的距離是周期．而正切曲線相鄰兩對稱中心之間的距離是半周期．
4．三角函數中奇函數一般可化為y＝Asinωx或y＝Atanωx的形式，而偶函數一般可化為y＝Acosωx＋b的形式．
五、函數y＝Asin(ωx＋φ)的圖象及應用
1．五點法畫函數y＝Asin(ωx＋φ)(A>0)的圖象
(1)列表：
X＝ω·x＋φ 0 π 2π
x __－__ __－__ __－__ __－__ __－__
sinx 0 1 0 －1 0
y __0__ __A__ __0__ __－A__ __0__
(2)描點：__(－，0)__，__(－，A)__，(－，0)，(－，－A)__，(－，0)__.
(3)連線：把這5個點用光滑曲線順次連接，就得到y＝Asin(ωx＋φ)在區間長度為一個周期的圖象．
(4)擴展：將所得圖象，按周期向兩側擴展可得y＝Asin(ωx＋φ)在R上的圖象
2．由函數y＝sinx的圖象變換得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的圖象的步驟
3．函數y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈[0，＋∞)的物理意義
(1)振幅為A. (2)周期T＝____.
(3)頻率f＝____＝____. (4)相位是__ωx＋φ__. (5)初相是φ.
重要結論
1．函數y＝Asin(ωx＋φ)的單調區間的“長度 ”為.
2．“五點法”作圖中的五個點：①y＝Asin(ωx＋φ)，兩個最值點，三個零點；②y＝Acos(ωx＋φ)，兩個零點，三個最值點．3．正弦曲線y＝sinx向左平移個單位即得余弦曲線y＝cosx.
六、正弦定理、余弦定理
1．正弦定理和余弦定理
定理 正弦定理 余弦定理
容 __＝＝__＝2R(其中R是△ABC外接圓的半徑) a2＝__b2＋c2－2bccosA__b2＝__a2＋c2－2accosB__c2＝__a2＋b2－2abcosC__
常見變形 ①a＝__2RsinA__，b＝__2RsinB__，c＝__2RsinC__；②sinA＝____，sinB＝____，sinC＝____；③a?b?c＝__sinA?sinB?sinC__④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA cosA＝____；cosB＝____；cosC＝____
解決解斜三角形的問題 (1)已知兩角和任一邊，求另一角和其他兩條邊；(2)已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊和其他兩角 (1)已知三邊，求各角；(2)已知兩邊一角，求第三邊和其他兩個角
2．在△ABC中，已知a，b和A時，解的情況如下
A為銳角 A為鈍角或直角
圖形
關系式 a< bsinA a＝bsinA bsinA< ab a≤b
解的個數 無解 一解 兩解 一解 一解 無解
3．三角形常用面積公式
(1)S＝a·ha(ha表示a邊上的高)．
(2)S＝absinC＝acsinB＝bcsinA.
(3)S＝r(a＋b＋c)(r為切圓半徑)．
重要結論
在△ABC中，常有以下結論
1．∠A＋∠B＋∠C＝π.
2．在三角形邊對大角，大角對大邊．
3．任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．
4．sin(A＋B)＝sinC；cos(A＋B)＝－cosC；tan(A＋B)＝－tanC；sin＝cos，cos＝sin.
5．tanA＋tanB＋tanC＝tanA·tanB·tanC.
6．∠A>∠B a>b sinA>sinB cosA7．三角形式的余弦定理sin2A＝sin2B＋sin2C－2sinBsinCcosA，
sin2B＝sin2A＋sin2C－2sinAsinCcosB，
sin2C＝sin2A＋sin2B－2sinAsinBcosC.
8．若A為最大的角，則A∈[，π)；若A為最小的角，則A∈(0，]；若A、B、C成等差數列，則B＝.
9.三角形形狀的判定方法
(1)通過正弦定理和余弦定理，化邊為角(如a＝2RsinA，a2＋b2－c2＝2abcosC等)，利用三角變換得出三角形角之間的關系進行判斷．此時注意一些常見的三角等式所體現的角關系，如sinA＝sinB A＝B；sin(A－B)＝0 A＝B；sin2A＝sin2B A＝B或A＋B＝等．
(2)利用正弦定理、余弦定理化角為邊，如sinA＝，cosA＝等，通過代數恒等變換，求出三條邊之間的關系進行判斷．
(3)注意無論是化邊還是化角，在化簡過程中出現公因式不要約掉，否則會有漏掉一種形狀的可能．