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第12講：拓展五：利用洛必達法則解決導數(shù)問題
一、型及型未定式
1、定義：如果當（或）時，兩個函數(shù)與都趨于零（或都趨于無窮大），那么極限（或）可能存在、也可能不存在.通常把這種極限稱為型及型未定式.
2、定理1（型）：（1）設(shè)當時， 及；
（2）在點的某個去心鄰域內(nèi)（點的去心鄰域內(nèi)）都有，都存在，且；
（3）；
則：.
3、定理2（型）： 若函數(shù)和滿足下列條件：(1) 及；
　　(2)，和在與上可導，且；
　　(3)，
那么 .
4、定理3（型）：若函數(shù)和滿足下列條件：(1) 及；
　　(2)在點的去心鄰域內(nèi)，與可導且；
　　(3)，
那么 =.
5、將上面公式中的,,,洛必達法則也成立.
6、若條件符合，洛必達法則可連續(xù)多次使用，直到求出極限為止:
A． B． C．1 D．2
3．（23-24高二下·重慶江北·階段練習）我們把分子、分母同時趨近于0的分式結(jié)構(gòu)稱為型，比如：當時，的極限即為型．兩個無窮小之比的極限可能存在，也可能不存在，為此，洛必達在1696年提出洛必達法則：在一定條件下通過對分子、分母分別求導再求極限來確定未定式值的方法．如：，則（ ）
A．0 B． C．1 D．2
練透核心考點
1．（23-24高二下·四川成都·期中）年，洛必達在他的著作《無限小分析》一書中創(chuàng)造了一種算法，用以尋找滿足一定條件的兩函數(shù)之商的極限，法則的大意為：在一定條件下通過對分子、分母分別求導再求極限來確定未定式值的方法．如：，按此方法則有 ．
2．（23-24高二下·四川成都·期中）1696年，洛必達在他的著作《無限小分析》一書中創(chuàng)造了一種算法，用以尋找滿足一定條件的兩函數(shù)之商的極限，法則的大意為：在一定條件下通過對分子、分母分別求導再求極限來確定未定式值的方法．如：，按此方法則有 ．
3．（23-24高二下·重慶萬州·階段練習）我們把分子、分母同時趨近于0的分式結(jié)構(gòu)稱為型，比如：當時，的極限即為型．兩個無窮小之比的極限可能存在，也可能不存在，為此，洛必達在1696年提出洛必達法則：在一定條件下通過對分子、分母分別求導再求極限來確定未定式值的方法．如：，則 ．
類型二：洛必達法則在導數(shù)中的應(yīng)用
典型例題
1．（2024·浙江·二模）①在微積分中，求極限有一種重要的數(shù)學工具——洛必達法則，法則中有結(jié)論：若函數(shù)，的導函數(shù)分別為，，且，則
.
②設(shè)，k是大于1的正整數(shù)，若函數(shù)滿足：對任意，均有成立，且，則稱函數(shù)為區(qū)間上的k階無窮遞降函數(shù).
結(jié)合以上兩個信息，回答下列問題：
(1)試判斷是否為區(qū)間上的2階無窮遞降函數(shù)；
(2)計算：；
(3)證明：，.
2．（2024高三·全國·專題練習）已知函數(shù)，如果當，且時，，求的取值范圍．
練透核心考點
1．（2024·浙江·模擬預測）已知函數(shù)，
(1)當時，求函數(shù)的值域；
(2)若函數(shù)恒成立，求的取值范圍.
2．（23-24高三上·四川成都·期中）已知函數(shù).
(1)當時，求過原點且與的圖象相切的直線方程；
(2)若有兩個不同的零點，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
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第12講：拓展五：利用洛必達法則解決導數(shù)問題
一、型及型未定式
1、定義：如果當（或）時，兩個函數(shù)與都趨于零（或都趨于無窮大），那么極限（或）可能存在、也可能不存在.通常把這種極限稱為型及型未定式.
2、定理1（型）：（1）設(shè)當時， 及；
（2）在點的某個去心鄰域內(nèi)（點的去心鄰域內(nèi)）都有，都存在，且；
（3）；
則：.
3、定理2（型）： 若函數(shù)和滿足下列條件：(1) 及；
　　(2)，和在與上可導，且；
　　(3)，
那么 .
4、定理3（型）：若函數(shù)和滿足下列條件：(1) 及；
　　(2)在點的去心鄰域內(nèi)，與可導且；
　　(3)，
那么 =.
5、將上面公式中的,,,洛必達法則也成立.
6、若條件符合，洛必達法則可連續(xù)多次使用，直到求出極限為止:
,如滿足條件，可繼續(xù)使用洛必達法則.
二、型、、、型
1、型的轉(zhuǎn)化：
或；
2、型的轉(zhuǎn)化：
3、、型的轉(zhuǎn)化：冪指函數(shù)類
高頻考點類型
類型一：洛必達法則的簡單計算
典型例題
1．（23-24高二下·新疆伊犁·期中）我們把分子 分母同時趨近于0的分式結(jié)構(gòu)稱為型，比如：當時，的極限即為型.兩個無窮小之比的極限可能存在，也可能不存在，為此，洛必達在1696年提出洛必達法則：在一定條件下通過對分子 分母分別求導再求極限來確定未定式值的方法.如：，則（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【分析】
根據(jù)題意利用洛必達法則求解即可
【詳解】由題意得，
故選：B
2．（23-24高二下·廣東佛山·階段練習）兩個無窮小之比或兩個無窮大之比的極限可能存在，也可能不存在，為此，洛必達在1696年提出洛必達法則，即在一定條件下通過對分子 分母分別求導再求極限來確定未定式值的方法，如，則（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【分析】利用洛必達法則直接求解即可.
【詳解】.
故選：B.
3．（23-24高二下·重慶江北·階段練習）我們把分子、分母同時趨近于0的分式結(jié)構(gòu)稱為型，比如：當時，的極限即為型．兩個無窮小之比的極限可能存在，也可能不存在，為此，洛必達在1696年提出洛必達法則：在一定條件下通過對分子、分母分別求導再求極限來確定未定式值的方法．如：，則（ ）
A．0 B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】利用洛必達法則直接求解即可
【詳解】，
故選：D
練透核心考點
1．（23-24高二下·四川成都·期中）年，洛必達在他的著作《無限小分析》一書中創(chuàng)造了一種算法，用以尋找滿足一定條件的兩函數(shù)之商的極限，法則的大意為：在一定條件下通過對分子、分母分別求導再求極限來確定未定式值的方法．如：，按此方法則有 ．
【答案】
【分析】由洛必達法則，分別對分子和分母求導，代入即可求得該極限值.
【詳解】由題意可得：．
故答案為：.
2．（23-24高二下·四川成都·期中）1696年，洛必達在他的著作《無限小分析》一書中創(chuàng)造了一種算法，用以尋找滿足一定條件的兩函數(shù)之商的極限，法則的大意為：在一定條件下通過對分子、分母分別求導再求極限來確定未定式值的方法．如：，按此方法則有 ．
【答案】2
【分析】根據(jù)題中所給方法也就是洛必達法則，直接計算可求得答案.
【詳解】由題意可得：,
故答案為：2.
3．（23-24高二下·重慶萬州·階段練習）我們把分子、分母同時趨近于0的分式結(jié)構(gòu)稱為型，比如：當時，的極限即為型．兩個無窮小之比的極限可能存在，也可能不存在，為此，洛必達在1696年提出洛必達法則：在一定條件下通過對分子、分母分別求導再求極限來確定未定式值的方法．如：，則 ．
【答案】/0.5
【分析】依據(jù)洛必達法則去計算即可解決.
【詳解】
故答案為：
類型二：洛必達法則在導數(shù)中的應(yīng)用
典型例題
1．（2024·浙江·二模）①在微積分中，求極限有一種重要的數(shù)學工具——洛必達法則，法則中有結(jié)論：若函數(shù)，的導函數(shù)分別為，，且，則
.
②設(shè)，k是大于1的正整數(shù)，若函數(shù)滿足：對任意，均有成立，且，則稱函數(shù)為區(qū)間上的k階無窮遞降函數(shù).
結(jié)合以上兩個信息，回答下列問題：
(1)試判斷是否為區(qū)間上的2階無窮遞降函數(shù)；
(2)計算：；
(3)證明：，.
【答案】(1)不是區(qū)間上的2階無窮遞降函數(shù)；
(2)
(3)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)為區(qū)間上的k階無窮遞降函數(shù)的定義即可判斷；
（2）通過構(gòu)造，再結(jié)合即可得到結(jié)果；
（3）通過換元令令，則原不等式等價于，再通過構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)題干中函數(shù)為區(qū)間上的k階無窮遞降函數(shù)的定義證出，即可證明結(jié)論.
【詳解】（1）設(shè)，
由于，
所以不成立，
故不是區(qū)間上的2階無窮遞降函數(shù).
（2）設(shè)，則，
設(shè)，
則，
所以，得.
（3）令，則原不等式等價于，
即證，
記，則，
所以，
即有對任意，均有，
所以，
因為，
所以，
所以，證畢!
【點睛】方法點睛：利用函數(shù)方法證明不等式成立問題時，應(yīng)準確構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)，注意題干條件中相關(guān)限制條件的轉(zhuǎn)化.
2．（2024高三·全國·專題練習）已知函數(shù)，如果當，且時，，求的取值范圍．
【答案】
【分析】將題意轉(zhuǎn)化為，令，利用洛必達法則求出，即可得出答案.
【詳解】根據(jù)題目的條件，當且時，
得，等價于．
設(shè)，，
因為，設(shè)，
則，
所以在上單調(diào)遞增，
因為，所以當時，，
即在上單調(diào)遞減，當在上單調(diào)遞增．
當趨近時，趨近，當趨近時，趨近，
所以符合洛必達法則的條件，
即，
所以當時，
所以的取值范圍是．
練透核心考點
1．（2024·浙江·模擬預測）已知函數(shù)，
(1)當時，求函數(shù)的值域；
(2)若函數(shù)恒成立，求的取值范圍.
使得當時，故在上單調(diào)遞減，
則，
④當時，
令，
則，
所以在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，
，即在上遞增，則成立.
綜上所述，若函數(shù)恒成立，則.
方法二
當時，成立，當時，成立，
當時，恒成立，
令，則，
又，
令，
，
當時，，
，
在上單調(diào)遞增.
，
，故，
，又，
，故.
【點睛】方法點睛：對于恒成立問題，法一：由求解；法二：轉(zhuǎn)化為 由求解.
2．（23-24高三上·四川成都·期中）已知函數(shù).
(1)當時，求過原點且與的圖象相切的直線方程；
(2)若有兩個不同的零點，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）利用導數(shù)的幾何意義計算即可；
（2）函數(shù)有兩個零點等價于有兩個不同根，構(gòu)造函數(shù)判定其單調(diào)性與零點得方程有兩個不等實根，利用換元法得，構(gòu)造，法一、將恒成立問題轉(zhuǎn)化為，利用對勾函數(shù)的單調(diào)性，分類討論計算即可；法二、利用導數(shù)求的單調(diào)性結(jié)合洛必達法則最小值即可.
【詳解】（1）易知的定義域為，
設(shè)切點坐標，則切線方程為：，
把點帶入切線得：，
所以，的切線方程為：；
（2），
又有兩個不同零點，
則 有兩個不同零點，
構(gòu)造函數(shù)，
則為增函數(shù)，且，
即方程有兩個不等實根，
令，則，
則，
設(shè)，
法一、原不等式恒成立等價于恒成立，
令，
由單調(diào)遞增，即，
若單調(diào)遞增，即恒成立，
此時符合題意；
若有解，此時有時，單調(diào)遞減，則，不符合題意；
綜上所述：的取值范圍為.
法二、，
設(shè)，在恒成立，
在單調(diào)遞增，，則在單調(diào)遞增，所以，
，
所以的取值范圍為.
【點睛】難點點睛：本題難點在于：需要利用同型構(gòu)造根據(jù)函數(shù)有零點得出 有兩個不同零點，構(gòu)造函數(shù)，利用其單調(diào)性與零點得出方程有兩個不等實根，再將零點換元將問題化為，一種方法是含參分類討論，一種方法是利用洛必達法則求函數(shù)最值.
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