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第14講：拓展七：極值點偏移問題
目錄
類型一：不含參數的極值點偏移問題 1
類型二：含參數的極值點偏移問題 3
類型三：與對數均值不等式有關的極值點偏移問題 5
類型四：與指數均值不等式有關的極值點偏移問題 6
高頻考點類型
類型一：不含參數的極值點偏移問題
典型例題
1．（23-24高三上·北京房山·期中）已知函數
(1)求函數單調區間；
(2)設函數，若是函數的兩個零點，
①求的取值范圍；
②求證：．
2．（23-24高三上·山東臨沂·開學考試）已知函數.
(1)證明：.
(2)若函數，若存在使，證明：.
3．（23-24高三下·廣東深圳·階段練習）已知函數
(1)若對任意的，都有恒成立，求實數的取值范圍；
(2)設是兩個不相等的實數，且．求證：
練透核心考點
1．（23-24·河南平頂山·模擬預測）已知函數有兩個零點．
(1)求a的取值范圍；
(2)設是的兩個零點，證明：．
2．（23-24高三上·廣東清遠·期末）已知函數．
(1)討論的零點個數．
(2)若有兩個不同的零點，證明：．
3．（23-24高三·全國·專題練習）已知函數，其中為常數，且．
(1)當時，若在，上的最大值為1，求實數的值；
(2)若，且函數有兩個不相等的零點，，證明：．
類型二：含參數的極值點偏移問題
典型例題
1．（23-24高二下·四川南充·期末）設函數．
(1)當時，討論函數的單調性；
(2)設，記，當時，若方程有兩個不相等的實根，求證：．
2．（2023·遼寧丹東·模擬預測）已知函數．
(1)若，證明：；
(2)若有兩個不同的零點，求a的取值范圍，并證明：．
3．（2024·全國·模擬預測）已知函數．
(1)求的單調區間；
(2)若有兩個零點，，且，求證：．
類型三：與對數均值不等式有關的極值點偏移問題
典型例題
1．（23-24高三上·遼寧大連·階段練習）已知函數.
(1)當時，試比較與的大小；
(2)若斜率為的直線與的圖象交于不同兩點，，線段的中點的橫坐標為，證明：.
2．（23-24高二下·上海浦東新·期末）已知，函數.
(1)若，求曲線在處的切線方程；
(2)若有零點，求實數的取值范圍；
(3)若有兩個相異零點，求證：.
練透核心考點
1．（2023·安徽六安·模擬預測）已知函數為函數的導函數．
(1)討論函數的單調性；
(2)已知函數，存在，證明：．
2．（2023·河南·模擬預測）已知函數，其中為自然對數的底數.
(1)當時，求的單調區間；
(2)若函數有兩個零點，證明：.
類型四：與指數均值不等式有關的極值點偏移問題
典型例題
1．（23-24高三下·重慶渝中·階段練習）已知函數.
(1)若，求函數的極值；
(2)若，，且滿足，求證：.
練透核心考點
1．（23-24高三上·江蘇南通·期中）已知，是函數在區間上的極值點.
(1)若函數的圖象過點，求；
(2)求證：在區間上存在兩個零點，且.
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第14講：拓展七：極值點偏移問題
目錄
類型一：不含參數的極值點偏移問題 1
類型二：含參數的極值點偏移問題 9
類型三：與對數均值不等式有關的極值點偏移問題 18
類型四：與指數均值不等式有關的極值點偏移問題 24
高頻考點類型
類型一：不含參數的極值點偏移問題
典型例題
1．（23-24高三上·北京房山·期中）已知函數
(1)求函數單調區間；
(2)設函數，若是函數的兩個零點，
①求的取值范圍；
②求證：．
【答案】(1)單調遞增區間為；單調遞減區間為
(2)①；②證明見解析
【分析】（1）求導后，根據正負即可得到的單調區間；
（2）①將問題轉化為與在上有兩個不同的交點，采用數形結合的方式可求得結果；
②由①可得，設，利用導數可求得，進而得到，即，根據的范圍和單調性可得結論.
【詳解】（1）定義域為，，
當時，；當時，；
的單調遞增區間為；單調遞減區間為.
（2）①若是的兩個不同零點，則與在上有兩個不同交點；
由（1）知：，又，
在的圖象如下圖所示，
由圖象可知：，，即的取值范圍為.
②不妨設，由①知：，
，，
在上單調遞增，在上單調遞減；
設，則，
在上單調遞減，，，
又，，又，；
，，在上單調遞增，
，則.
【點睛】方法點睛：處理極值點偏移問題中的類似于（）的問題的基本步驟如下：
①求導確定的單調性，得到的范圍；
②構造函數，求導后可得恒正或恒負；
③得到與的大小關系后，將置換為；
④根據與所處的范圍，結合的單調性，可得到與的大小關系，由此證得結論.
2．（23-24高三上·山東臨沂·開學考試）已知函數.
(1)證明：.
(2)若函數，若存在使，證明：.
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）構造，求導后判斷函數最大值，得到，即得證；
（2）根據題意判斷，，將原題轉化為證明，構造函數后求導證明即可.
【詳解】（1）令，，，
令，解得：；令，解得：，
∴在遞增，在遞減，則，
∴恒成立，即.
（2）∵，，∴，
令，解得：；令，解得：；
∴在遞增，在遞減.
又∵，，，，且，.
要證，即證.
∵，∴，
又∵，∴只證即可.
令，，
恒成立，
∴在單調遞增.
又∵，∴，∴，
即，∴.
【點睛】極值點偏移的題目常用的手法就是對稱構造，本題可先判斷，，再轉化為證明，根據的單調性可以將其轉化為證明，構造函數后利用導數證明不等式即可.
3．（23-24高三下·廣東深圳·階段練習）已知函數
(1)若對任意的，都有恒成立，求實數的取值范圍；
(2)設是兩個不相等的實數，且．求證：
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）先判斷不成立，當時，求出函數的導數，結合最值可得參數的取值范圍；
（2）設，可得恒成立，從而可證不等式.
【詳解】（1）當時，，
因為，所以，即，不符合題意；
當時，，
當時，，當時，，
所以在上單調遞增，在上單調遞減．
所以．
由恒成立可知，所以．
又因為，所以的取值范圍為．
（2）因為，所以，即．
令，由題意可知，存在不相等的兩個實數，，使得．
由（1）可知在區間上單調遞增，在區間上單調遞減．
不妨設，則．
設，
則，
所以在上單調遞增，
所以，即在區間上恒成立．
因為，所以．
因為，所以．
又因為，，且在區間上單調遞增，
所以，即．
【點睛】思路點睛：不等式恒成立問題，可轉化函數的最值問題，而極值點偏移問題，通過可構建新函數，并利用原函數的單調性進行轉化.
練透核心考點
1．（23-24·河南平頂山·模擬預測）已知函數有兩個零點．
(1)求a的取值范圍；
(2)設是的兩個零點，證明：．
【答案】(1)；
(2)證明見解析.
【分析】（1）等價于有兩個零點，設，求出函數的最小值利用零點存在性定理分析即得解；
（2）不妨設，等價于證明，再利用極值點偏移的方法證明.
【詳解】（1）解：由，得，
設，則，，
因為，所以當時，，當時，，
所以在上單調遞減，在上單調遞增．
又因為，所以，
，
，
所以a的取值范圍是．
（2）證明：不妨設，
由（1）知，則，，，
又在上單調遞增，
所以等價于，即．
設，
則．
設，則，
設，則，當時，，單調遞減，
當時，，單調遞增，又因為，，，
所以存在，使得，當時，，即，
當時，，即，
所以在上單調遞減，在上單調遞增．
又因為，，
所以當時，，當時，，
所以當時，，單調遞減，
因為，所以，
所以，即原命題得證．
【點睛】關鍵點睛：解答本題的關鍵是掌握極值點偏移的解題方法，對于這些典型題型，學生要理解并靈活掌握.
2．（23-24高三上·廣東清遠·期末）已知函數．
(1)討論的零點個數．
(2)若有兩個不同的零點，證明：．
【答案】(1)答案見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）先通過求導得到函數的單調區間，再運用數形結合思想分類討論即可求解；
（2）將問題轉化為研究函數的單調性后再求解即可.
【詳解】（1）因為，所以1不是的零點．
當，可變形為，
令，則的零點個數即直線與圖象的交點個數．
因為，，得，又，
所以在上單調遞減，在上單調遞增．
因為，且當時，，
所以當時，沒有零點；
當時，有一個零點；
當時，有兩個零點．
（2）證明：由（1）知，當時，有兩個零點．
設，則，
由得，
所以，即．
令，則，
易得在上單調遞減，在上單調遞增．
要證，即證．
因為，且在上單調遞增，所以只需證．
因為，所以即證．
令，
則，
所以在上單調遞減．
因為，所以．
因為，所以，故．
3．（23-24高三·全國·專題練習）已知函數，其中為常數，且．
(1)當時，若在，上的最大值為1，求實數的值；
(2)若，且函數有兩個不相等的零點，，證明：．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）由題知，進而分，，，四種情況討論求解即可得答案；
（2）根據題意，不妨設，則，，再構造函數，結合函數的單調性證明即可.
【詳解】（1）解：（1）函數的定義域為，
①當，即時，函數在，上單調遞增，其最大值為，不符合題意；
②當，即時，函數在，，上單調遞增，在單調遞減，
，，所以，不符合題意；
③當，即時，函數在，，在，單調遞減，其最大值為，不符合題意；
④當，即時，函數在，，上單調遞增，在，單調遞減，
，，所以，符合題意；
綜上所述，實數的值為；
（2）證明：，
令，得，
當時，函數在，遞減，在單調遞增，
函數有兩個不相等的零點，，
不妨設，則，，
構造函數，，則，
，
在單調遞減，，
，恒成立．
，恒成立．
即，
，，且函數在單調遞增，
，．
【點睛】本題考查利用導數研究函數的的最值，極值點偏移問題，考查運算求解能力，邏輯推理能力，分類討論思想等，是難題.本題第一問解題的關鍵在于求導得，進而分類討論求解；第二問解題的關鍵在于結合函數的性質得，，進而構造函數，，結合函數的單調性求解.
類型二：含參數的極值點偏移問題
典型例題
1．（23-24高二下·四川南充·期末）設函數．
(1)當時，討論函數的單調性；
(2)設，記，當時，若方程有兩個不相等的實根，求證：．
【答案】(1)答案見解析；
(2)證明見解析.
【分析】（1）求導后轉化為含參的函數，討論單調性的實質就是解含參的不等式，借助分子函數的圖像，完成討論．
（2）本問題為極值點偏移問題，可轉換為單變量的不等式證明，構造函數利用導數證明即可．
【詳解】（1）的定義域為，
.
令，則得到導函數的兩個零點，或，由于分母為正，
故我們只關注分子函數，其為二次函數，借助其圖像，
以兩個零點的大小關系為分類標準得到如下：
①當時，即時，當時，，單調遞減，
當時，，單調遞增；
②當時，即時，恒成立，即恒成立，故在上單調遞增；
綜上所述，當時，的單減區間為，單增區間為；
當時，只有單增區間；
（2）由題可知，，
設是方程的兩個不等實根，不妨設為，
則，兩式相減整理得到
，從而得到，
要證，故只需要證明，
由于，
轉化為，
即，即，
令，則上述式子轉化為
設，則，
當且僅當時等號成立，故在上單調遞增，故有，
故得證，
即.
2．（2023·遼寧丹東·模擬預測）已知函數．
(1)若，證明：；
(2)若有兩個不同的零點，求a的取值范圍，并證明：．
【答案】(1)證明見詳解；
(2)證明見詳解．
【分析】（1）令，利用導數分析其單調性求出最大值即可證明；
（2）令，通過求導分析單調性，結合的單調性從而證明結結論．
【詳解】（1）當時，，定義域為
令，則
當時，；當時，；
所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，
故，所以，得；
（2）因為有兩個不同的零點，則在定義域內不單調；
由
當時，在恒成立，則在上單調遞減，不符合題意；
當時，在上有，在上有，
所以在上單調遞增，在上單調遞減．不妨設
令
則
當時，，則在上單調遞增
所以
故，因為
所以，又，
則，又在上單調遞減，
所以，則．
3．（2024·全國·模擬預測）已知函數．
(1)求的單調區間；
(2)若有兩個零點，，且，求證：．
【答案】(1)答案見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）先求出函數的導數，然后分類討論的取值情況，從而可求解.
（2）結合（1）中結論可知，從而求出，，然后設并構造函數，然后利用導數求解，然后再構造函數證明，從而求解.
【詳解】（1）因為函數的定義域是，，
當時，，所以在上單調遞減；
當時，令，解得，
當時，，單調遞增；當時，，單調遞減．
綜上所述，當時，的減區間為，無增區間；
當時，的增區間為，減區間為．
（2）因為是函的兩個零點，由（1）知，
因為，設，則，
當，，當，，
所以在上單調遞增，在上單調遞減，．
又因為，且，
所以，．
首先證明：．
由題意，得，設，則
兩式相除，得．
要證，只要證，即證．
只要證，即證．
設，．
因為，所以在上單調遞增．
所以，即證得①．
其次證明：．設，．
因為，所以在上單調遞減．
所以，
即．
所以②．
由①②可證得．
【點睛】導數是研究函數的單調性、極值(最值)最有效的工具，而函數是高中數學中重要的知識點，對導數的應用的考查主要從以下幾個角度進行：
（1）考查導數的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯系．
（2）利用導數求函數的單調區間，判斷單調性；已知單調性，求參數．
（3）利用導數求函數的最值(極值)，解決生活中的優化問題．
（4）利用導數研究函數的零點問題．
練透核心考點
1．（23-24高二下·吉林長春·期末）已知函數，．（為自然對數的底數）
(1)當時，求函數的極大值；
(2)已知，，且滿足，求證：．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）運用導數研究的單調性，進而求得其最大值.
（2）同構函數，轉化為，結合換元法，分別討論與，當時運用不等式性質即可證得結果，當時運用極值點偏移即可證得結果.
【詳解】（1）當時，，定義域為，
則，，，
所以在上單調遞增，在上單調遞減，
故的極大值為；
（2）由題意知，，由可得，
所以，令，
由（1）可知，在上單調遞增，在上單調遞減，則，
令，，又，，所以，，則，
①若，則，即，所以；
②若，設，且滿足，如圖所示，

則，所以，下證：．
令，，
則，
所以在上單調遞增，所以，
所以，即，
又因為，所以，，，
所以，即，
又因為，所以，即．
由①②可知，得證.
【點睛】方法點睛：極值點偏移問題的一般題設形式：
1.若函數存在兩個零點且，求證：（為函數的極值點）；
2.若函數中存在且滿足，求證：（為函數的極值點）；
3.若函數存在兩個零點且，令，求證：；
4.若函數中存在且滿足，令，求證：.
2．（23-24高二上·福建福州·期末）已知函數（）．
(1)試討論函數的單調性；
(2)若函數有兩個零點，（），求證：．
【答案】(1)當時，在區間上單調遞增；
當時，在區間上單調遞增，在區間上單調遞減.
(2)證明見解析
【分析】（1）求導后，根據的不同取值范圍，對的符號進行討論即可；
（2）由已知及（1）中單調性，可知，且，故只需證明，再借助不等式性質和放縮，即可證出.
【詳解】（1）由已知，的定義域為，，
①當時，，恒成立，
∴此時在區間上單調遞增；
②當時，令，解得，
當時，，在區間上單調遞增，
當時，，在區間上單調遞減，
綜上所述，當時，在區間上單調遞增；
當時，在區間上單調遞增，在區間上單調遞減.
（2）若函數有兩個零點，（），
則由（1）知，，在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，
且，，，
當時，，當時，，（*）
∵，∴，∴，
又∵，∴，
∴只需證明，即有.
下面證明，
設
，，
設，則，
令，解得，
當時，，在區間單調遞減，
當時，，在區間單調遞增，
∴，在區間上單調遞增，
又∵，∴，
即，
∴由（*）知，，∴，即.
又∵，，
∴，原命題得證.
【點睛】本題第（2）問為極值點偏移的變式，首先需要通過和，確認只需證，再通過構造關于其中一個零點的一元差函數，利用導數研究該函數的單調性，證出，最后使用不等式性質和放縮得到.
3．（23-24高三上·山西·階段練習）已知函數.
(1)討論的單調性；
(2)若有兩個零點，證明：.
【答案】(1)答案見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）函數求導，分類討論通過判斷導函數符號，確定函數單調性.
（2）對分類討論，求得有兩個零點時的范圍，及的范圍，構造函數，研究在上的單調性，可得，又，及的單調性可得結論.
【詳解】（1）函數的定義域為，
時，恒成立，所以在上單調遞減；
時，令得，
當時，；當時，，
所以在上單調遞減，在上單調遞增.
（2）證明：時，由（1）知至多有一個零點.
時，由（1）知當時，取得最小值，最小值為.
①當時，由于，故只有一個零點；
②當時，即，故沒有零點；
③當時，即，
又，
由（1）知在上有一個零點.
又，
由（1）知在有一個零點，
所以在上有兩個零點，的取值范圍為
不妨設，則，且，
令
，
則，
由于（且僅當等號成立，
所以當時，在單調遞減，又，
所以，即，
又，所以，
又由于，且在上單調遞增，
所以即.
【點睛】極值點偏移問題是根據極值點的偏移情況，即極值點兩側函數增長速度的差異構造關于其中一個極值點的一元差函數（或比函數），然后通過探究該函數的單調性解決問題。
類型三：與對數均值不等式有關的極值點偏移問題
典型例題
1．（23-24高三上·遼寧大連·階段練習）已知函數.
(1)當時，試比較與的大小；
(2)若斜率為的直線與的圖象交于不同兩點，，線段的中點的橫坐標為，證明：.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）利用作差得，通過構造函數，證明當時，函數小于0恒成立，即可比較與的大小；
（2）通過題干條件求出和，利用分析法得出只需證成立，通過構造函數，通過求導結合函數的單調性證明式子成立.
【詳解】（1）因為，
所以，
，
所以，
令，，
所以，
又因為，所以，所以在區間上單調遞減，
所以，
所以，即.
（2）因為斜率為的直線與的圖象交于不同兩點，，
所以，
，
所以，
因為，
所以，所以，
要證，即證，
又因為線段的中點的橫坐標為，所以，即證，
不妨設，上式可整理為，即，
令，則，所以上式即為，
令，則，
因為，所以，所以函數在區間上單調遞增，
所以，即，
故得證.
【點睛】關鍵點睛：題干中涉及到含兩個變量的不等式時，都是要把雙變量問題轉化成一元變量問題求解，途徑都是構造一元函數.
2．（23-24高二下·上海浦東新·期末）已知，函數.
(1)若，求曲線在處的切線方程；
(2)若有零點，求實數的取值范圍；
(3)若有兩個相異零點，求證：.
【答案】(1)
(2)
(3)證明見解析
【分析】（1）根據導數幾何意義得切線斜率為，再根據點斜式求切線方程；
（2）對分三種情況討論得解；
（3）利用分析法證不等式，要證，只要證，根據零點解得，化簡欲證不等式，再令，構造關于t的函數，利用導數法求得范圍證不等式.
【詳解】（1）函數的定義域為，，
當時，，則切線方程為，
即切線方程為.
（2）①若時，則，是區間上的增函數，
因為，，
所以，則函數在區間有唯一零點；
②若，有唯一零點；
③若，令，得，
在區間上，，函數是增函數；
在區間上，，函數是減函數；
故在區間上，的極大值為，
由于有零點，須使，解得，
故所求實數的取值范圍是.
綜上，所求實數的取值范圍是.
（3）要證，兩邊同時取自然對數得.
由得，得.
所以原命題等價于證明.
不妨取，故只需證，即.
令，則，設（），只需證.
而，故在單調遞增，所以.
綜上得.
【點睛】關鍵點點睛：解答本題的難點在第3小問，解答有兩個關鍵，其一是要會利用分析法等價轉化命題；其二是能夠利用代換化雙變量問題為單變量問題解答.
練透核心考點
1．（2023·安徽六安·模擬預測）已知函數為函數的導函數．
(1)討論函數的單調性；
(2)已知函數，存在，證明：．
【答案】(1)函數在區間上單調遞減，在區間上單調遞增
(2)證明見解析
【分析】（1）運用導數研究函數單調性即可.
（2）由可得，結合（1）可得，聯立兩者可得，運用比值代換法，設，轉化為求證,即可證明.
【詳解】（1）的定義域為，，
令，則，
所以函數在單調遞增，
又因為，
所以，，
即：，，
所以函數在區間上單調遞減，在區間上單調遞增.
（2）由（1），得，
又，即，
所以．
不妨設，所以．
由（1）得當，函數單調遞增，所以，
故，
所以，
所以，故．
下證．
即證：，
設，
則，
所以函數在區間上單調遞增，
所以，
故，即，
所以，即，
所以，得證．
【點睛】方法點睛：極值點偏移問題
(1)(對稱化構造法)構造輔助函數：對結論型，構造函數；對結論型，構造函數，通過研究的單調性獲得不等式．
(2)(比值代換法)通過代數變形將所證的雙變量不等式通過代換化為單變量的函數不等式，利用函數單調性證明．
2．（2023·河南·模擬預測）已知函數，其中為自然對數的底數.
(1)當時，求的單調區間；
(2)若函數有兩個零點，證明：.
【答案】(1)單調遞增區間為，單調遞減區間為
(2)證明見解析
【分析】（1）將代入后得，對其求導，利用導數與函數的單調性即可得解；
（2）由題意得，從而利用分析法將變形為，構造函數，利用導數證得，由此得證.
(2)若，，且滿足，求證：.
【答案】(1)極小值為，無極大值.
(2)證明見解析
【分析】（1）求出函數的導函數，即可求出函數的單調區間，從而求出函數的極值；
（2）依題意可得，則，先證明，構造函數利用導數即可證明，則，再構造函數，利用導數說明函數的單調性，即可證明.
【詳解】（1）當時，則，
當時，當時，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
所以在處取得極小值為，無極大值.
（2）證明：當時，依題意可得，顯然，
先證明，令，則，
所以當時，單調遞增，所以，
當時，單調遞減，所以，
所以，
又依題意，
令，則，
所以當時，所以在上單調遞減，
所以，也即，
當時利用在上單調遞減可知，
當時也有，
所以，則，綜上可得.
【點睛】方法點睛：導函數中常用的兩種常用的轉化方法：一是利用導數研究含參函數的單調性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數形結合思想的應用；二是函數的零點、不等式證明常轉化為函數的單調性、極(最)值問題處理．
練透核心考點
1．（23-24高三上·江蘇南通·期中）已知，是函數在區間上的極值點.
(1)若函數的圖象過點，求；
(2)求證：在區間上存在兩個零點，且.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）求導，求出函數的極值點滿足的等式，再加上函數的圖象過點得到的等式，聯立求出；
（2）求導，可得一個零點為0，另一個零點所在范圍，再利用的單調性，判斷出，進而可通過單調性去掉得到答案.
【詳解】（1），
令，
時，，
在上單調遞增，
∵，，
∴存在唯一的使，
且當時，，單調遞減；
當時，，單調遞增；
∴為的極小值點且，
則，
∵過，
∴，
，
，
∴，，
;
（2）當時，，在上單調遞增，
由（1）知存在唯一的使，
∴在上單調遞減；上單調遞增，
∵，，，
∴在上有兩個零點，不妨設一個零點為，另一個零點
∴且，在上單調遞增，
，
（利用放縮）
∴，即命題得證！
證明：，
設，，
則，即在上單調遞增，
，
即；
證明：，
設，
則，即在上單調遞增，
，
即.
【點睛】方法點睛：1：當一次求導不能解決問題的時候，可以再求一次導；
2：針對不等式的證明，有時候可以利用不等式，來幫助進行證明.
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