資源簡介

第13講：拓展六：泰勒展開式與超越不等式在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用
目錄
高頻考點(diǎn)類型 2
類型一：泰勒展開式 2
類型二：利用超越不等式比較大小 8
類型三：利用對(duì)數(shù)型超越放縮證明不等式 13
類型四：利用指數(shù)型超越放縮證明不等式 21
1、泰勒公式形式：
泰勒公式是將一個(gè)在處具有階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)利用關(guān)于的次多項(xiàng)式來逼近函數(shù)的方法.
若函數(shù)在包含的某個(gè)閉區(qū)間上具有階導(dǎo)數(shù)，且在開區(qū)間上具有階導(dǎo)數(shù)，則對(duì)閉區(qū)間上任意一點(diǎn)，成立下式：
其中：表示在處的階導(dǎo)數(shù)，等號(hào)后的多項(xiàng)式稱為函數(shù)在處的泰勒展開式，剩余的是泰勒公式的余項(xiàng)，是的高階無窮小量.
2、麥克勞林(Maclaurin)公式
雖然麥克勞林公式是泰勒中值定理的特殊形式，僅僅是取的特殊結(jié)果，由于麥克勞林公式使用方便，在高考中經(jīng)常會(huì)涉及到.
3、常見函數(shù)的麥克勞林展開式：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
4、兩個(gè)超越不等式：（注意解答題需先證明后使用）
4.1對(duì)數(shù)型超越放縮：（）
上式（1）中等號(hào)右邊只取第一項(xiàng)得：結(jié)論①
用替換上式結(jié)論①中的得：結(jié)論②
對(duì)于結(jié)論②左右兩邊同乘“”得，用替換“”得：
（）結(jié)論③
4.2指數(shù)型超越放縮：（）
上式（2）中等號(hào)右邊只取前2項(xiàng)得：結(jié)論①
用替換上式結(jié)論①中的得：結(jié)論②
當(dāng)時(shí)，對(duì)于上式結(jié)論②結(jié)論③
當(dāng)時(shí)，對(duì)于上式結(jié)論②結(jié)論④
高頻考點(diǎn)類型
類型一：泰勒展開式
典型例題
例題1．（2024·陜西漢中·一模）蘇格蘭數(shù)學(xué)家科林麥克勞林（ColinMaclaurin）研究出了著名的Maclaurin級(jí)數(shù)展開式，受到了世界上頂尖數(shù)學(xué)家的廣泛認(rèn)可，下面是麥克勞林建立的其中一個(gè)公式：，試根據(jù)此公式估計(jì)下面代數(shù)式的近似值為（ ）（可能用到數(shù)值）
A．2.322 B．4.785 C．4.755 D．1.005
例題2．（23-24高三上·湖南永州·階段練習(xí)）蘇格蘭數(shù)學(xué)家科林麥克勞林(Colin Maclaurin)研究出了著名的Maclaurin級(jí)數(shù)展開式，受到了世界上頂尖數(shù)學(xué)家的廣泛認(rèn)可，下面是麥克勞林建立的其中一個(gè)公式：，試根據(jù)此公式估計(jì)下面代數(shù)式的近似值為（ ）（可能用到數(shù)值）
A． B． C． D．
例題3．（多選）（2023·遼寧·二模）泰勒公式通俗的講就是用一個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)去逼近一個(gè)給定的函數(shù)，也叫泰勒展開式，下面給出兩個(gè)泰勒展開式
由此可以判斷下列各式正確的是（ ）．
A．（i是虛數(shù)單位） B．（i是虛數(shù)單位）
C． D．
例題4．（2023·遼寧丹東·一模）計(jì)算器計(jì)算，，，等函數(shù)的函數(shù)值，是通過寫入“泰勒展開式”程序的芯片完成的．“泰勒展開式”是：如果函數(shù)在含有的某個(gè)開區(qū)間內(nèi)可以多次進(jìn)行求導(dǎo)數(shù)運(yùn)算，則當(dāng)，且時(shí)，有．
其中是的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)……．
取，則的“泰勒展開式”中第三個(gè)非零項(xiàng)為 ，精確到0.01的近似值為 ．
練透核心考點(diǎn)
1．（2023·寧夏銀川·模擬預(yù)測(cè)）蘇格蘭數(shù)學(xué)家科林麥克勞林（ColinMaclaurin）研究出了著名的Maclaurin級(jí)數(shù)展開式，受到了世界上頂尖數(shù)學(xué)家的廣泛認(rèn)可，下面是麥克勞林建立的其中一個(gè)公式：，試根據(jù)此公式估計(jì)下面代數(shù)式的近似值為（ ）（可能用到數(shù)值ln2.414＝0.881，ln3.414＝1.23）
A．3.23 B．2.881 C．1.881 D．1.23
2．（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）科林·麥克勞林（Colin Maclaurin）是18世紀(jì)英國最具有影響的數(shù)學(xué)家之一．他研究出數(shù)學(xué)中著名的Maclaurin級(jí)數(shù)展開式，下面是麥克勞林建立的其中一個(gè)公式：，其中，，，例如：，，．則的近似值為（參考數(shù)據(jù)：，結(jié)果精確到0.01）（ ）
A．1.35 B．1.37 C．1.62 D．1.66
3．（23-24高二下·四川成都·階段練習(xí)）英國數(shù)學(xué)家布魯克 泰勒以發(fā)現(xiàn)泰勒公式、泰勒級(jí)數(shù)和泰勒展開式而聞名于世．計(jì)算器在計(jì)算，，，等函數(shù)的函數(shù)值時(shí)，是通過寫入“泰勒展開式”程序的芯片完成的．“泰勒展開式”是：如果函數(shù)在含有的某個(gè)開區(qū)間內(nèi)可以多次進(jìn)行求導(dǎo)數(shù)運(yùn)算，則當(dāng)，且時(shí)，有．其中是的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)，階乘，．取，則的“泰勒展開式”中第三個(gè)非零項(xiàng)為 ，精確到0.01的近似值為 ．
4．（2023高三·全國·專題練習(xí)）計(jì)算器計(jì)算，，，等函數(shù)的函數(shù)值，是通過寫入“泰勒展開式”程序的芯片完成的．“泰勒展開式”是：如果函數(shù)在含有的某個(gè)開區(qū)間內(nèi)可以多次進(jìn)行求導(dǎo)數(shù)運(yùn)算，則當(dāng)，且時(shí)，有．
其中是的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)……．
取，則的“泰勒展開式”中第三個(gè)非零項(xiàng)為 ，精確到0．01的近似值為 ．
類型二：利用超越不等式比較大小
典型例題
例題1．（23-24高二下·北京豐臺(tái)·階段練習(xí)）已知，則（ ）
A． B．
C． D．
例題2．（23-24高三下·海南省直轄縣級(jí)單位·開學(xué)考試）若，則的大小關(guān)系為（ ）
A． B． C． D．
例題3．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
練透核心考點(diǎn)
1．（23-24高三下·全國·階段練習(xí)）已知，則（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·甘肅隴南·一模）若，則（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高二下·浙江·開學(xué)考試）已知，則（ ）
A． B． C． D．
類型三：利用對(duì)數(shù)型超越放縮證明不等式
典型例題
例題1．（23-24高二下·河南·階段練習(xí)）已知函數(shù)的最小值為0.
(1)求．
(2)證明：（i）；
（ii）對(duì)于任意.
例題2．（2024·云南昆明·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).
(1)若，求的取值范圍；
(2)證明：若有兩個(gè)零點(diǎn)，則.
例題3．（2024·黑龍江齊齊哈爾·二模）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)當(dāng)時(shí)，證明：．
類型四：利用指數(shù)型超越放縮證明不等式
典型例題
例題1．（23-24高三下·江西·開學(xué)考試）已知函數(shù)．
(1)若，求的極值；
(2)若，設(shè)．證明：
（ⅰ）；
（ⅱ）．
例題2．（2024·吉林·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最小值；
(2)若，證明：．
例題3．（2024·福建福州·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)求證：；
(3)若且，求證：．
練透核心考點(diǎn)
1．（23-24高三下·山東濰坊·階段練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)若在R上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
(2)當(dāng)時(shí)，證明：，．
2．（2024·內(nèi)蒙古包頭·一模）設(shè)函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性，并證明；
(2)證明：①當(dāng)時(shí)，；
②當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；
③當(dāng)時(shí)，函數(shù)存在唯一的零點(diǎn)．
3．（23-24高二上·福建南平·期末）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，比較與的大小；
(2)若，比較與的大小.21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)
第13講：拓展六：泰勒展開式與超越不等式在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用
目錄
高頻考點(diǎn)類型 2
類型一：泰勒展開式 2
類型二：利用超越不等式比較大小 8
類型三：利用對(duì)數(shù)型超越放縮證明不等式 13
類型四：利用指數(shù)型超越放縮證明不等式 21
1、泰勒公式形式：
泰勒公式是將一個(gè)在處具有階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)利用關(guān)于的次多項(xiàng)式來逼近函數(shù)的方法.
若函數(shù)在包含的某個(gè)閉區(qū)間上具有階導(dǎo)數(shù)，且在開區(qū)間上具有階導(dǎo)數(shù)，則對(duì)閉區(qū)間上任意一點(diǎn)，成立下式：
其中：表示在處的階導(dǎo)數(shù)，等號(hào)后的多項(xiàng)式稱為函數(shù)在處的泰勒展開式，剩余的是泰勒公式的余項(xiàng)，是的高階無窮小量.
2、麥克勞林(Maclaurin)公式
雖然麥克勞林公式是泰勒中值定理的特殊形式，僅僅是取的特殊結(jié)果，由于麥克勞林公式使用方便，在高考中經(jīng)常會(huì)涉及到.
3、常見函數(shù)的麥克勞林展開式：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
4、兩個(gè)超越不等式：（注意解答題需先證明后使用）
4.1對(duì)數(shù)型超越放縮：（）
上式（1）中等號(hào)右邊只取第一項(xiàng)得：結(jié)論①
用替換上式結(jié)論①中的得：結(jié)論②
對(duì)于結(jié)論②左右兩邊同乘“”得，用替換“”得：
（）結(jié)論③
4.2指數(shù)型超越放縮：（）
上式（2）中等號(hào)右邊只取前2項(xiàng)得：結(jié)論①
用替換上式結(jié)論①中的得：結(jié)論②
當(dāng)時(shí)，對(duì)于上式結(jié)論②結(jié)論③
當(dāng)時(shí)，對(duì)于上式結(jié)論②結(jié)論④
高頻考點(diǎn)類型
類型一：泰勒展開式
典型例題
例題1．（2024·陜西漢中·一模）蘇格蘭數(shù)學(xué)家科林麥克勞林（ColinMaclaurin）研究出了著名的Maclaurin級(jí)數(shù)展開式，受到了世界上頂尖數(shù)學(xué)家的廣泛認(rèn)可，下面是麥克勞林建立的其中一個(gè)公式：，試根據(jù)此公式估計(jì)下面代數(shù)式的近似值為（ ）（可能用到數(shù)值）
A．2.322 B．4.785 C．4.755 D．1.005
【答案】C
【分析】由題目觀察可知，代入即可發(fā)現(xiàn)解法.
【詳解】
所以=4.755
故選：C
例題2．（23-24高三上·湖南永州·階段練習(xí)）蘇格蘭數(shù)學(xué)家科林麥克勞林(Colin Maclaurin)研究出了著名的Maclaurin級(jí)數(shù)展開式，受到了世界上頂尖數(shù)學(xué)家的廣泛認(rèn)可，下面是麥克勞林建立的其中一個(gè)公式：，試根據(jù)此公式估計(jì)下面代數(shù)式的近似值為（ ）（可能用到數(shù)值）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由麥克勞林公式得，進(jìn)而可得答案.
【詳解】解：根據(jù)麥克勞林公式得：，
所以
由于.
故的近似值為.
故選：B.
【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)學(xué)知識(shí)遷移與應(yīng)用能力，解題的關(guān)鍵是將所求近似代替，是中檔題.
例題3．（多選）（2023·遼寧·二模）泰勒公式通俗的講就是用一個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)去逼近一個(gè)給定的函數(shù)，也叫泰勒展開式，下面給出兩個(gè)泰勒展開式
由此可以判斷下列各式正確的是（ ）．
A．（i是虛數(shù)單位） B．（i是虛數(shù)單位）
C． D．
【答案】ACD
【分析】對(duì)于A、B，將關(guān)于的泰勒展開式兩邊求導(dǎo)得的泰勒展開式，再驗(yàn)證結(jié)論是否正確；
對(duì)于C，由，再代入關(guān)于的泰勒展開式驗(yàn)證是否成立；
對(duì)于D，由，證明
即可.
【詳解】對(duì)于A、B，由，
兩邊求導(dǎo)得，
，
，
又，
，
，故A正確，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，已知，則.
因?yàn)椋瑒t，即成立，故C正確；
故C正確；
對(duì)于D，,，
，
當(dāng)，；；；
，,
所以，所以成立，故D正確.
故選：ACD.
【點(diǎn)睛】利用泰勒公式證明不等式方法點(diǎn)睛：
應(yīng)用泰勒公式時(shí)要選好，有時(shí)可能需要結(jié)合題目給出信息進(jìn)行相關(guān)變形，再代入驗(yàn)證，利用展開項(xiàng)的特征進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s，證明不等式成立.
例題4．（2023·遼寧丹東·一模）計(jì)算器計(jì)算，，，等函數(shù)的函數(shù)值，是通過寫入“泰勒展開式”程序的芯片完成的．“泰勒展開式”是：如果函數(shù)在含有的某個(gè)開區(qū)間內(nèi)可以多次進(jìn)行求導(dǎo)數(shù)運(yùn)算，則當(dāng)，且時(shí)，有．
其中是的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)……．
取，則的“泰勒展開式”中第三個(gè)非零項(xiàng)為 ，精確到0.01的近似值為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)泰勒展開式，化簡得到，求得的“泰勒展開式”中第三個(gè)非零項(xiàng)，令，代入上式，進(jìn)而求得的近似值.
【詳解】取時(shí)，可得
則
，
所以的“泰勒展開式”中第三個(gè)非零項(xiàng)為，
令，代入上式可得.
故答案為：；.
練透核心考點(diǎn)
1．（2023·寧夏銀川·模擬預(yù)測(cè)）蘇格蘭數(shù)學(xué)家科林麥克勞林（ColinMaclaurin）研究出了著名的Maclaurin級(jí)數(shù)展開式，受到了世界上頂尖數(shù)學(xué)家的廣泛認(rèn)可，下面是麥克勞林建立的其中一個(gè)公式：，試根據(jù)此公式估計(jì)下面代數(shù)式的近似值為（ ）（可能用到數(shù)值ln2.414＝0.881，ln3.414＝1.23）
A．3.23 B．2.881 C．1.881 D．1.23
【答案】B
【分析】利用賦值法求得所求表達(dá)式的值.
【詳解】依題意，
令，則，
，
.
故選：B
2．（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）科林·麥克勞林（Colin Maclaurin）是18世紀(jì)英國最具有影響的數(shù)學(xué)家之一．他研究出數(shù)學(xué)中著名的Maclaurin級(jí)數(shù)展開式，下面是麥克勞林建立的其中一個(gè)公式：，其中，，，例如：，，．則的近似值為（參考數(shù)據(jù)：，結(jié)果精確到0.01）（ ）
A．1.35 B．1.37 C．1.62 D．1.66
【答案】B
【解析】在Maclaurin級(jí)數(shù)展開式中令，進(jìn)行計(jì)算．取展開式的前幾項(xiàng)（4項(xiàng)）計(jì)算即可．
【詳解】由題意，知
故選：B．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查新定義，解題方法理解新定義，把所求式與新定義比較，確定在新定義中直接取計(jì)算即得．考查學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，
3．（23-24高二下·四川成都·階段練習(xí)）英國數(shù)學(xué)家布魯克 泰勒以發(fā)現(xiàn)泰勒公式、泰勒級(jí)數(shù)和泰勒展開式而聞名于世．計(jì)算器在計(jì)算，，，等函數(shù)的函數(shù)值時(shí)，是通過寫入“泰勒展開式”程序的芯片完成的．“泰勒展開式”是：如果函數(shù)在含有的某個(gè)開區(qū)間內(nèi)可以多次進(jìn)行求導(dǎo)數(shù)運(yùn)算，則當(dāng)，且時(shí)，有．其中是的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)，階乘，．取，則的“泰勒展開式”中第三個(gè)非零項(xiàng)為 ，精確到0.01的近似值為 ．
【答案】 0.84
【分析】根據(jù)泰勒展開式，化簡得到，求得的“泰勒展開式”中第三個(gè)非零項(xiàng)，令，代入上式，進(jìn)而求得的近似值．
【詳解】根據(jù)題意，
，
取時(shí)，可得，
則
，
所以的“泰勒展開式”中第三個(gè)非零項(xiàng)為，
令，代入上式可得．
故答案為：；0.84
4．（2023高三·全國·專題練習(xí)）計(jì)算器計(jì)算，，，等函數(shù)的函數(shù)值，是通過寫入“泰勒展開式”程序的芯片完成的．“泰勒展開式”是：如果函數(shù)在含有的某個(gè)開區(qū)間內(nèi)可以多次進(jìn)行求導(dǎo)數(shù)運(yùn)算，則當(dāng)，且時(shí)，有．
其中是的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)……．
取，則的“泰勒展開式”中第三個(gè)非零項(xiàng)為 ，精確到0．01的近似值為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)泰勒展開式，化簡得到，求得的“泰勒展開式”中第三個(gè)非零項(xiàng)，令，代入上式，進(jìn)而求得的近似值．
【詳解】取時(shí)，可得
則
，
∴的“泰勒展開式”中第三個(gè)非零項(xiàng)為，
令，代入上式可得．
故答案為：，.
類型二：利用超越不等式比較大小
典型例題
例題1．（23-24高二下·北京豐臺(tái)·階段練習(xí)）已知，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】分別構(gòu)造函數(shù)，，和，，求導(dǎo)得到函數(shù)，的單調(diào)性，由單調(diào)性即可比較出，，的大小．
【詳解】設(shè)，，
則，
所以在上單調(diào)遞減，
所以，
所以，即，則；
設(shè)，則，故在上單調(diào)遞增，
則，即，則，綜上.
故選：C.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)值大小比較，關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性解決問題.
例題2．（23-24高三下·海南省直轄縣級(jí)單位·開學(xué)考試）若，則的大小關(guān)系為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)得到函數(shù)單調(diào)性，得到，求出，構(gòu)造，求導(dǎo)得到函數(shù)單調(diào)性，得到，故，得到答案.
【詳解】設(shè)，
則，
∴時(shí)，，在上單調(diào)遞增．
∴，即，
∴，．
設(shè)，則，
∴當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增．
∴，，
∴，即．
綜上，.
故選：C．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：構(gòu)造函數(shù)比較大小是高考熱點(diǎn)和難點(diǎn)，結(jié)合代數(shù)式的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，通過導(dǎo)函數(shù)研究出函數(shù)的單調(diào)性，從而比較出代數(shù)式的大小.
例題3．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】構(gòu)造函數(shù)及函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可比較與，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可比較與，即可得解.
【詳解】令，，
則在上恒成立，故在上單調(diào)遞減，
故，故，
即，即，、
令，則，故在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，
故，即；
令，，
則
在上恒成立，
故在上單調(diào)遞增，
又，故，
故，即，
故有.
故選：D.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于構(gòu)造對(duì)應(yīng)的函數(shù)幫助比較大小，對(duì)與，可通過構(gòu)造，從而比較與的大小關(guān)系，構(gòu)造，從而比較與的大小關(guān)系，可得與的大小關(guān)系，通過構(gòu)造可比較與的大小關(guān)系.
練透核心考點(diǎn)
1．（23-24高三下·全國·階段練習(xí)）已知，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】構(gòu)造函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以得到，得到，作差比較的大小，利用基本不等式比較大小即可.
【詳解】設(shè)，則在上單調(diào)遞減，
所以，所以，，，
，
所以，
故選：A.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以得到，利用基本不等式比較大小即可.
2．（2024·甘肅隴南·一模）若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用，結(jié)合冪函數(shù)的單調(diào)性判斷得，再構(gòu)造函數(shù)，推得，從而推得，由此得解.
【詳解】因?yàn)椋裕?br/>令，則，
當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，
所以，故，
則，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
當(dāng)，即，有，
從而有；
綜上，.
故選：D.
【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：兩個(gè)常見的重要不等式：
（1）；（2）.
3．（23-24高二下·浙江·開學(xué)考試）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)，判斷出其單調(diào)性可得，利用函數(shù)的單調(diào)性可知，再由可求得，即可得出結(jié)論.
【詳解】由可知，
構(gòu)造函數(shù)
則，
由可得，
因此當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，
所以，即恒成立，
所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）恒成立，故
當(dāng)時(shí)，對(duì)兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)可得（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）恒成立，
故（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）
即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），故；
構(gòu)造函數(shù)
則，令，則，
令，則，
當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，可得，
即在上單調(diào)遞減，可得，
即可得在上單調(diào)遞減，
即對(duì)，
綜上，
故選：B
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于根據(jù)中的數(shù)字特征構(gòu)造函數(shù)，并利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)單調(diào)性即可比較得出它們的大小.
類型三：利用對(duì)數(shù)型超越放縮證明不等式
典型例題
例題1．（23-24高二下·河南·階段練習(xí)）已知函數(shù)的最小值為0.
(1)求．
(2)證明：（i）；
（ii）對(duì)于任意.
【答案】(1)
(2)（i）證明見解析；（ii）證明見解析
【分析】（1）求導(dǎo)，結(jié)合分類討論確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求解最值，
（2）根據(jù)和得，即可求證（i），根據(jù).
代入即可求證.
【詳解】（1）的定義域?yàn)椋?
若，恒有單調(diào)遞減，沒有最小值，不符合題意.
若，令，解得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，取最小值，即，
得，所以.
（2）（i）由（Ⅰ）可知時(shí)，，
即，所以①，
由，可得②，
因?yàn)棰佗诘忍?hào)成立的條件不同，所以由①②可得，所以，即.
（ii）當(dāng)時(shí)，，即.
令，得.
所以，
即，
所以，于是得證.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明或判定不等式問題：
1．通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值（最值），從而得出不等關(guān)系；
2．利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，從而判定不等關(guān)系；
3．適當(dāng)放縮構(gòu)造法：根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮或利用常見放縮結(jié)論，從而判定不等關(guān)系；
4．構(gòu)造“形似”函數(shù)，變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).
例題2．（2024·云南昆明·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).
(1)若，求的取值范圍；
(2)證明：若有兩個(gè)零點(diǎn)，則.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）對(duì)于求導(dǎo)，得到，構(gòu)造函數(shù)，判斷單調(diào)性，求解的單調(diào)性以及，從而解得的范圍；
（2）由（1）可知的兩個(gè)零點(diǎn)一個(gè)小于1，另一個(gè)大于1，不妨設(shè)，構(gòu)造函數(shù)，由，得到，構(gòu)造函數(shù)，，判斷單調(diào)性，即可證明.
【詳解】（1）的定義域?yàn)椋?br/>則，
構(gòu)造，則，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，
所以，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則，
故要使，即需，即，故；
（2）證明：由（1）可知的兩個(gè)零點(diǎn)一個(gè)小于1，另一個(gè)大于1，不妨設(shè)，
因?yàn)椋瑯?gòu)造函數(shù)，則，
故在單調(diào)遞增，則由，
則由可知，即，
即，即，
要證，即證，即證，
構(gòu)造函數(shù)，，
則，
故在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，則，即，
特別地，取，則有，即，故.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性，函數(shù)的同構(gòu)，結(jié)合不等式可證結(jié)論.
例題3．（2024·黑龍江齊齊哈爾·二模）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)當(dāng)時(shí)，證明：．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）求導(dǎo)可得斜率，結(jié)合點(diǎn)斜式方程求解即可.
（2）求，運(yùn)用放縮可得，設(shè)，求導(dǎo)可得，結(jié)合基本不等式可得，從而可得單調(diào)性，進(jìn)而可證得結(jié)果.
【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，則，
又，所以，即，
所以在點(diǎn)處的切線方程為，即；
（2）證明：設(shè)（），則，
，
設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
，
恒成立，
由可知，
所以（），
設(shè)（），則，
，
所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，，
所以單調(diào)遞增，，
所以．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：運(yùn)用導(dǎo)數(shù)證明不等式常見方法：
（1）將不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題：
待證不等式的兩邊含有同一個(gè)變量時(shí)，一般地，可以直接構(gòu)造“左減右”的函數(shù)，有時(shí)對(duì)復(fù)雜的式子要進(jìn)行變形，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性和最值，借助所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性和最值即可得證．
（2）將不等式轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的最值進(jìn)行比較：
若直接求導(dǎo)比較復(fù)雜或無從下手時(shí)，可將待證式進(jìn)行變形，構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，從而找到可以傳遞的中間量，達(dá)到證明的目標(biāo)．本例中同時(shí)含ln x與ex，不能直接構(gòu)造函數(shù)，把指數(shù)與對(duì)數(shù)分離兩邊，分別計(jì)算它們的最值，借助最值進(jìn)行證明．
（3）適當(dāng)放縮證明不等式：
導(dǎo)數(shù)方法證明不等式中，最常見的是和與其他代數(shù)式結(jié)合的問題，對(duì)于這類問題，可以考慮先對(duì)和進(jìn)行放縮，使問題簡化，簡化后再構(gòu)建函數(shù)進(jìn)行證明．常見的放縮公式如下：(1) ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．(2)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．
練透核心考點(diǎn)
1．（23-24高二下·浙江嘉興·階段練習(xí)）已知函數(shù) .
(1)求函數(shù) 的最小值；
(2)若直線 是曲線 的切線，求 的最小值；
(3)證明：.
【答案】(1)0
(2)
(3)證明見解析
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)討論單調(diào)性后求出最值即可；
（2）設(shè)出切點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)的意義求出斜率，再利用點(diǎn)斜式寫出直線方程之后用代定系數(shù)法找到，然后構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)分析單調(diào)性，找到最小值即可；
（3）利用（1）將函數(shù)變?yōu)椋瑯?gòu)造不等式，再裂項(xiàng)后變?yōu)椋詈笥美奂忧蠛图纯勺C明.
【詳解】（1），
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
所以.
（2）令，則，
設(shè)切點(diǎn)為，則，，
則切線方程為，即，
又是曲線得切線方程，則，
則，令，
則，令，
所以時(shí)，，為單調(diào)遞增函數(shù)；
時(shí)，，為單調(diào)遞減函數(shù)；
所以，即的最小值為.
（3）證明：由（1）可知，，即，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
令，則，所以，
又，所以，
所以，，
累加后可得，
即.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：
第二問關(guān)鍵在于設(shè)出切點(diǎn)，求出斜率，用待定系數(shù)法找到再構(gòu)造函數(shù)分析單調(diào)性，求最小值；
第三問關(guān)鍵在于從證明的不等式入手，利用（1）將不等式變形為，裂項(xiàng)和累加并用求和證明.
2．（23-24高三上·寧夏石嘴山·期末）設(shè)函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性；
(2)證明：，．
【答案】(1)答案見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）求導(dǎo)，考慮和兩種情況，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間；
（2）確定，得到，，，，累加得到答案.
【詳解】（1）的定義域?yàn)椋?br/>當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，由得，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
綜上所述：
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
（2）證明：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，即，
故，，， ，，
，
故.
3．（2022·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，.
(1)當(dāng)時(shí)，研究在上的單調(diào)性；
(2)①求證：；
②當(dāng)，時(shí)，求證：.
【答案】(1)在和上單調(diào)遞增；在和上單調(diào)遞減
(2)①證明見解析；②證明見解析
【分析】（1）求導(dǎo)函數(shù)，然后解不等式即可求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）①令，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求解最值即可證明；
②結(jié)合①的結(jié)論把所證不等式轉(zhuǎn)化為，結(jié)合轉(zhuǎn)化為證明，令，求導(dǎo)，研究函數(shù)單調(diào)性，求解最值即可證明.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，
令，解得或，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
所以在和上單調(diào)遞增；在和上單調(diào)遞減.
（2）①令，則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
所以，即.
②由①知，故要證，
只需證.先證當(dāng)時(shí)，，
令，則，
所以在上單調(diào)遞增，所以，即，
所以，以下只需證明.
令，
則，所以在上單調(diào)遞減，
所以，所以，
綜上，，即原不等式成立.
【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：恒成立問題：
（1）恒成立；恒成立．
（2）恒成立；恒成立．
（3）恒成立；恒成立；
（4），，．
類型四：利用指數(shù)型超越放縮證明不等式
典型例題
例題1．（23-24高三下·江西·開學(xué)考試）已知函數(shù)．
(1)若，求的極值；
(2)若，設(shè)．證明：
（ⅰ）；
（ⅱ）．
【答案】(1)極小值，極大值為
(2)證明見解析
【分析】
（1）先化簡函數(shù)的解析式，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值即可；
（2）（ⅰ）根據(jù)題意，將轉(zhuǎn)化為，再由與證明即可；
（ⅱ）根據(jù)題意，結(jié)合（ⅰ）中的結(jié)論，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)即可得到，即可證明.
【詳解】（1）由得
，
即，其定義域?yàn)?
所以，
令，則，明顯為單調(diào)遞減函數(shù)，
令，得，
即當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，
即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
又因?yàn)椋裕遥?br/>當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以函數(shù)在處取得極小值，即極小值為.
函數(shù)在處取得極大值，即極大值為，
綜上：函數(shù)極小值為，極大值為；
（2）（ⅰ）要證明，即
即證，
即證，因?yàn)椋ɡ茫竺孀C明），
即證，即，因?yàn)椋ɡ茫竺孀C明）
即證，即證，
因?yàn)椋猿闪ⅲ?br/>所以；
證明：，
設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
所以，即；
證明：，
設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
所以，即；
（ⅱ）由（ⅰ）得，故
設(shè)，
則，
所以，令，
則，所以在上單調(diào)遞增，
所以，所以在上單調(diào)遞增
所以
因?yàn)椋?br/>又，
所以，
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【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值問題與利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，難度較大，解答本題的關(guān)鍵在于合理構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)解決問題.
例題2．（2024·吉林·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最小值；
(2)若，證明：．
【答案】(1)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，
(2)證明見解析
【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，即可求得單調(diào)區(qū)間以及函數(shù)的最小值.
（2）利用基本不等式放縮，將化為，即可證明，由此構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可推出，故需證明，繼而構(gòu)造函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行不等式的證明，即可證明結(jié)論.
【詳解】（1）由于，則，
令，則；令，則；
故的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，
則；
（2）證明：由題意知，則，故，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，由于，而，
故等號(hào)取不到，，故，
要證明，只需證，
令，則，
當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，
故，即；
故只需證明，即證，
令，，
由（1）知，故，
即在上單調(diào)遞增，則，
故，即成立，故原命題得證.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及最小值和證明不等式；難點(diǎn)在于不等式的證明，解答時(shí)要首先利用基本不等式放縮，進(jìn)而要連續(xù)構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性，從而證明不等式.
例題3．（2024·福建福州·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)求證：；
(3)若且，求證：．
【答案】(1)在區(qū)間上單調(diào)遞減
(2)證明見解析
(3)證明見解析
【分析】（1）求，令，求，討論的大小可證得，即，即可得出的單調(diào)性；
（2）法一：要證，即證，記，討論的單調(diào)性和最值即可證明；法二：通過構(gòu)造函數(shù)結(jié)合已知條件放縮要證即證即可.
（3）法一：由（1）可知為減函數(shù)，所以，要證即證，構(gòu)造函數(shù)證明即可；法二：先證，即，則，再結(jié)合基本不等式即可證明.
【詳解】（1）的定義域?yàn)椋?br/>記，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
所以，即，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞減．
（2）法一：先證，記，
則，
記，則，所以時(shí)，遞增；
時(shí)，遞減．
所以，所以，又，所以，故．
再證，即證，記，
則，
記，則，所以在遞增，
所以，所以，即，
所以.
法二：構(gòu)造函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，，所以，
構(gòu)造函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減．
所以，即，即成立．
所以，
所以，
則只需證明，即，而顯然成立，
所以．
（3）法一：由（2）知的最大值為0．
因?yàn)榍遥瑒t之中至少有一個(gè)大于1，
不妨設(shè)，則，由（1）可知為減函數(shù)，所以，
所以，
因?yàn)?br/>，
記，則，
因?yàn)椋裕裕裕?br/>法二：先證，記，
則，
記，則，所以時(shí)，遞增；
時(shí)，遞減．
所以，所以，又，所以，故．
所以，
因?yàn)榍遥?br/>所以，
所以，所以，則．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，方法如下：
（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)；
（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；
（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).
練透核心考點(diǎn)
1．（23-24高三下·山東濰坊·階段練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)若在R上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
(2)當(dāng)時(shí)，證明：，．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】
（1）求得，轉(zhuǎn)化為在上恒成立，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為在上恒成立，令，得出函數(shù)的單調(diào)性和最大值，即可求解.
（2）當(dāng)時(shí)，得到且，當(dāng)時(shí)，只需使得，利用導(dǎo)數(shù)求得單調(diào)遞增，得到；當(dāng)時(shí)，顯然滿足；當(dāng)時(shí)，由和，得到，即可得證.
【詳解】（1）
由函數(shù)，可得，
因?yàn)樵赗上單調(diào)遞增，可得在R上恒成立，
即在上恒成立，即在上恒成立，
也可得證；
（2）①構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)得其單調(diào)性、最值即可得證；
②構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)得其單調(diào)性即可得證；
③當(dāng)時(shí)，，，設(shè)，則，由①、②得在單調(diào)遞增，然后分類討論得在單調(diào)遞減，從而，由此可得單調(diào)，由零點(diǎn)存在定理即可得解.
【詳解】（1）因?yàn)椋裕?br/>設(shè)，則，
所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以在上單調(diào)遞增，又，
所以當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，
因此，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
所以．
（2）①設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
所以，即時(shí)，．
②設(shè)，則，
所以在上單調(diào)遞增，且，
所以當(dāng)時(shí)，，即；
當(dāng)時(shí)，，即．
③當(dāng)時(shí)，，，
設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，由①、②，得
，
所以在單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，
（ⅰ）若，由①知，得，故，
又由②知當(dāng)時(shí)，成立，
則，此時(shí)單調(diào)遞減，
（ⅱ）若，則，
此時(shí)單調(diào)遞減，
由（ⅰ）（ⅱ）可知在單調(diào)遞減，即在單調(diào)遞減．
綜上，可知當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，
又，，
所以根據(jù)零點(diǎn)存在定理可知在上存在唯一零點(diǎn)．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問③的關(guān)鍵是結(jié)合①、②結(jié)論得在單調(diào)遞增，然后分類討論得在單調(diào)遞減，由此即可順利得解.
3．（23-24高二上·福建南平·期末）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，比較與的大小；
(2)若，比較與的大小.
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）令設(shè)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值，進(jìn)而可得出答案；
（2）先證明，則有，，再根據(jù)，可得，再利用導(dǎo)數(shù)分別求出函數(shù)在上的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出結(jié)論.
【詳解】（1）設(shè)函數(shù)，
則，
當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，
所以，從而，即；
（2）設(shè)函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，，則即恒成立，
所以，，
又，所以，
因?yàn)椋裕?br/>令，則恒成立，
所以在上單調(diào)遞增，則，
所以在上單調(diào)遞增，
又，，所以，即，
設(shè)函數(shù)，則，
所以在上單調(diào)遞增，
因?yàn)椋裕裕裕?br/>所以，從而.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，方法如下：
（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)；
（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；
（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).
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