資源簡介

高中數學常用公式及常用結論大全
一． 集合， （第 1 周）
1. 元素與集合的關系
x A x CUA , x CU A x A .
2.德摩根公式
CU (A B) CU A CUB;CU (A B) CU A CUB .
3.包含關系
A B A A B B A B CUB CUA
A CUB CU A B R
2．集合{a1,a2 , ,an}的子集個數共有 2
n 個；真子集有 2n –1 個；
非空子集有 2n –1 個；非空的真子集有 2n –2 個.
二． 二次函數，（第 1 周）
3.二次函數的解析式的三種形式
(1)一般式 f (x) ax2 bx c(a 0) ;
(2)頂點式 f (x) a(x h)2 k(a 0) ;
(3)零點式 f (x) a(x x1)(x x2)(a 0) .
4.充要條件
（1）充分條件：若 p q，則 p是 q充分條件.
（2）必要條件：若 q p，則 p是 q必要條件.
（3）充要條件：若 p q，且 q p，則 p 是 q充要條件.
注：如果甲是乙的充分條件，則乙是甲的必要條件；反之亦然.
5.若將函數 y f (x)的圖象右移 a、上移b個單位，得到函數 y f (x a) b的圖
象；若將曲線 f (x, y) 0 的圖象右移 a、上移b個單位，得到曲線 f (x a, y b) 0
的圖象.
三．指數函數（第 2 周）
6.分數指數冪
m
(1) a n 1 （ a 0,m,n N ，且 n 1）.
n am
m

(2) a n 1 m （ a 0,m,n N
，且 n 1）.
a n
7．根式的性質（1） ( n a )n a；（2）當 n為奇數時， n an a ；
a,a 0
當 n n an | a | 為偶數時， .
a,a 0
8．有理指數冪的運算性質
(1) ar as ar s (a 0,r ,s Q) .
(2) (ar )s ars (a 0, r, s Q) .
(3) (ab)r arbr (a 0,b 0, r Q) .
9.指數式與對數式的互化式 log ba N b a N (a 0,a 1,N 0) .
四．對數函數（第 3 周）
10.對數的換底公式
log N logm Na ( a 0 ,且 a 1 ,m 0 ,且m 1, N 0 ).logm a
推論 log bn nm log a b (a 0 ,且 a 1 ,m,n 0 ,且m 1, n 1 , N 0 ).a m
11．對數的四則運算法則
若 a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，則
(1) loga (MN) loga M loga N ;
(2) log Ma loga M loga N ;N
(3) log na M n loga M (n R) .
五．等差，等比數列，（第 3 周）
12.數列的同項公式與前 n 項的和的關系
s1, n 1an ( 數列{an}的前 n 項的和為 sn a1 a2 as s n
).
n n 1,n 2
13.等差數列的通項公式 an a1 (n 1)d dn a1 d (n N
*) ；
其前 n 項和公式為 s n(a1 an ) na n(n 1) d d n2 1n 1 (a d )n .2 2 2 1 2
14.等比數列的通項公式 a a qn 1 a 1n 1 q
n (n N * ) ；
q
a n1(1 q ) a a,q 1 1 n
q ,q 1
其前 n 項的和公式為 s 1 q 或 s n n 1 q .

na1,q 1 na1,q 1
六．三角函數同角，誘導公式，和角與差，倍角和半角公式公式（第 4 周）
15.同角三角函數的基本關系式，誘導公式
⑴ tan sin
cos
⑵ sin2 cos2 1
⑶ 1 tan 2 sec2
誘導公式
角 A
A 3A A A 2
函數 2 2
sin A cos sin cos sin
cos A sin cos sin cos
tan A cot tan cot tan
cot A tan cot tan cot
16.和角與差角公式
sin( ) sin cos cos sin ；
cos( ) cos cos sin sin ；
tan( ) tan tan 。
1 tan tan
a sin bcos = a2 b2 sin( ) (輔助角 所在象限由點 (a,b)的象限決
定, tan b ).
a
17. 倍角和半角公式
sin 2 sin cos ；
cos 2 cos2 sin 2 2cos2 1 1 2sin 2 ；
tan 2 2 tan .
1 tan 2
sin 1 cos
2 2
cos 1 cos
2 2
18.三角函數的周期公式
函數 y sin( x )，x∈R 及函數 y cos( x )，x∈R(A,ω, 為常數，且 A
≠0，ω＞0)的周期T 2 ；

函數 y tan( x ) ， x k ,k Z (A,ω, 為常數，且 A≠0，ω＞0)的周
2
期T .

七．正弦定理，余弦定理（第 5 周）
19.正弦定理 a b c 2R .
sin A sin B sinC
20.余弦定理
a2 b2 c2 2bc cosA；b2 c2 a2 2ca cosB； c2 a2 b2 2ab cosC .
21.三角形面積定理
（1） S 1 ah 1 bh 1 a b chc （ ha、hb、hc 分別表示 a、b、c 邊上的高）.2 2 2
（2） S 1 ab sinC 1 bc sin A 1 ca sinB .
2 2 2
22.三角形內角和定理
在△ABC 中，有 A B C C (A B )
C A B
2C 2 2(A B) 。
2 2 2
八．平面向量向量相關知識點（第 6 周）
23.實數與向量的積的運算律
設λ、μ為實數，那么
(1) 結合律：λ(μa)=(λμ)a;
(2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa;
(3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb.
24.向量的數量積的運算律：
(1) a·b= b·a （交換律）;
(2)（ a）·b= （a·b）= a·b= a·（ b）;
(3)（a+b）·c= a ·c +b·c.
25．向量平行的坐標表示
設 a= (x1, y1) ,b= (x2 , y2 )，且 b 0，則 a b(b 0) x1 y2 x2 y1 0 .
26. a 與 b 的數量積(或內積) a·b=|a||b|cosθ．
27.平面向量的坐標運算
(1)設 a= (x1, y1) ,b= (x2 , y2 )，則 a+b= (x1 x2 , y1 y2 ) .
(2)設 a= (x1, y1) ,b= (x2 , y2 )，則 a-b= (x1 x2 , y1 y2 ) .

(3)設 A (x1, y1) ，B (x2 , y2 ) ,則 AB OB OA (x2 x1, y2 y1) .
(4)設 a= (x, y), R ，則 a= ( x, y) .
(5)設 a= (x1, y1) ,b= (x2 , y2 )，則 a·b= (x1x2 y1y2 ) .
28.兩向量的夾角公式 cos x1x2 y1y 2 (a= (x1, y1) ,b= (x2 , y2 ) ).
x21 y
2
1 x
2 y22 2
29.平面兩點間的距離公式

dA,B = | AB | AB AB (x2 x1)
2 (y2 y1)
2 (A (x1, y1) ，B (x2 , y2 ) ).
30.向量的平行與垂直
設 a= (x1, y1) ,b= (x2 , y2 )，且 b 0，則
A||b b=λa x1 y2 x2 y1 0 .
a b(a 0) a·b=0 x1x2 y1y2 0 .
九．常用不等式相關知識點（第 7 周）
31.常用不等式：
（1） a,b R a2 b2 2ab (當且僅當 a＝b 時取“=”號)．
（2） a,b a b R ab (當且僅當 a＝b 時取“=”號)．
2
（3）柯西不等式 (a2 b2 )(c2 d 2 ) (ac bd )2 ,a,b,c,d R.
（4） a b a b .
32.最值定理
已知 x, y都是正數，則有
（1）若積 xy是定值 p，則當 x y 時和 x y有最小值 2 p ；
（2）若和 x y是定值 s，則當 x y 時積 xy有最大值 1 s 2 .
4
十．直線，圓相關知識（第 7 周）
33.斜率公式 k y2 y 1 （ P1(x1, y1)、 P2 (x2 , y2 )）.x2 x1
34.直線的五種方程
（1）點斜式 y y1 k (x x1) (直線 l過點 P1(x1, y1)，且斜率為 k )．
（2）斜截式 y kx b (b 為直線 l在 y 軸上的截距).
（3）兩點式 y y1 x x 1 ( y1 y2 )( P1(x1, y1)、P2 (x2 , y ) ( xy y x x 2 1
x2 )).
2 1 2 1
(4)截距式 x y 1( a、b分別為直線的橫、縱截距， a、b 0 )
a b
（5）一般式 Ax By C 0 (其中 A、B 不同時為 0).
35.兩條直線的平行和垂直
(1)若 l1 : y k1x b1 ， l2 : y k2x b2
① l1 || l2 k1 k2 ,b1 b2 ;
② l1 l2 k1k2 1 .
(2)若 l1 : A1x B1y C1 0 , l2 : A2x B 2 y C2 0 ,且 A1、A2、B1、B2 都不為零,
① l1 || l
A1 B1 C1
2 ；A2 B2 C2
② l1 l2 A1A2 B1B2 0；
36.點到直線的距離
d | Ax0 By0 C | (點 P(x0 , y0 ) ,直線 l： Ax By C 0 ).
A2 B2
37. 圓的四種方程
（1）圓的標準方程 (x a)2 (y b)2 r 2 .
（2）圓的一般方程 x2 y2 Dx Ey F 0 (D2 E 2 4F ＞0).
十一。圓錐曲線相關知識（第 8 周）
2 2 x a cos
38.橢圓 x y2 2 1(a b 0) 的參數方程是a b
.
y b sin
39．橢圓的的內外部
x2 2 2 2（1）點 P(x0 , y0 )在橢圓
y x y
2 2 1(a b 0) 的內部
0 02 2 1 .a b a b
2 2 2 2
（2）點 P(x0 , y0 )在橢圓
x y
2 2 1(a b 0) 的外部
x0 y 0 1 .
a b a2 b2
40.直線與圓錐曲線相交的弦長公式
AB (1 k 2)(x x )22 1 | x1 x2 | 1 tan
2 | y1 y2 | 1 co t
2 （弦端點
A (x1 , y1 ),B(x2 , y2 ) ，
43.雙曲線的方程與漸近線方程的關系
2 2 2 2
(1）若雙曲線方程為 x y2 2 1 漸近線方程：
x y
0 y b2 2 x .a b a b a
2
(2)若雙曲線與 x y
2 2 2
2 2 1有公共漸近線，可設為
x y
2 2 （ 0，焦點a b a b
在 x 軸上， 0，焦點在 y 軸上）.
十二?？臻g向量向量相關知識點（第 9 周）
44.空間向量的加法與數乘向量運算的運算律
(1)加法交換律：a＋b=b＋a．
(2)加法結合律：(a＋b)＋c=a＋(b＋c)．
(3)數乘分配律：λ(a＋b)=λa＋λb．
45.共線向量定理
對空間任意兩個向量 a、b(b≠0 )，a∥b 存在實數λ使 a=λb．
47.空間向量基本定理
如果三個向量 a、b、c 不共面，那么對空間任一向量 p，存在一個唯一的有
序實數組
x，y，z，使 p＝xa＋yb＋zc．
48.向量的直角坐標運算
設 a＝ (a1,a2 ,a3)，b＝ (b1,b2 ,b3)則
(1)a＋b＝ (a1 b1,a2 b2 ,a3 b3) ；
(2)a－b＝ (a1 b1,a2 b2 ,a3 b3) ；
(3)λa＝ ( a1, a2 , a3) (λ∈R)；
(4)a·b＝ a1b1 a2b2 a3b3 ；

49.設 A (x1, y1, z1) ，B (x2 , y2 , z2 ) ，則 AB OB OA= (x2 x1, y2 y1, z2 z1) 。
50．空間的線線平行或垂直
x1 xr r r r r r r r 2
設 a (x1, y1, z1)，b (x , y , z

2 2 2 ) ，則 aPb a b(b 0) y1 y2 ；

z1 z2
r r r r
a b a b 0 x1x2 y1y2 z1z2 0 .
51.空間兩點間的距離公式
若 A (x1, y1, z1) ，B (x , y , z ) ，則 d (x x )
2 (y y )2 (z 22 2 2 A,B 2 1 2 1 2 z1) .
52. 十三。初等幾何相關知識點（第 10 周）
在下列公式中，字母 R、r 表示半徑，h 表示高，l 表示斜高，s 表示弧長。
1）．圓；扇形
圓周長 2 r ；圓面積 r 2
扇形：
圓弧長 s r （圓心角 以弧度計）
r
（圓心角 以度計）
180
扇形面積 1 rs 1 r 2
2 2
2）．正圓錐；正棱錐
正圓錐：體積 1 r 2h
3
側面積 rl
全面積 r(r l)
正棱錐：體積 1 底面積 高
3
側面積 1 斜高 底周長
2
3）．圓臺：體積 h (R2 r 2 Rr)；側面積 l(R r)
3
4）．球：體積 4 r3 ；表面積 4 r 2
3
十四。排列，組合相關知識點（第 11 周）
53.分類計數原理（加法原理） N m1 m2 mn .
54.分步計數原理（乘法原理） N m1 m2 mn .
55.排列數公式
Amn = n(n 1) (n m
n！
1)= .( n，m∈N*，且m n )．
(n m)！
注:規定0! 1.
56.組合數公式
AmC m= n = n(n 1) (n m 1) = n！n m ( n∈N
*，m N ，且m n ).
Am 1 2 m m！ (n m)！
57.組合數的兩個性質
(1)C mn =C
n m ；(2) C m+C m 1n n n =C
m
n 1 。 注:規定C
0
n 1 .
58.二項式定理 (a b)n C 0a n C1a n 1b C 2a n 2b 2 r n r r n nn n n Cna b Cnb ；
二項展開式的通項公式 T r n r rr 1 Cna b (r 0，1，2 ，n) .
十五。概率相關知識點（第 12 周）
59.等可能性事件的概率 P(A) m .
n
60.互斥事件 A，B 分別發生的概率的和 P(A＋B)=P(A)＋P(B)．
n個互斥事件分別發生的概率的和
P(A1＋A2＋…＋An)=P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
61.獨立事件 A，B 同時發生的概率 P(A·B)= P(A)·P(B).
62.n 次獨立重復試驗中某事件恰好發生 k 次的概率 Pn (k) C
kP kn (1 P)
n k .
63.離散型隨機變量的分布列的兩個性質
（1） Pi 0(i 1,2, ) ；（2） P1 P2 1 .
64.數學期望 E x1P1 x2P2 xnPn
65.數學期望的性質 E(a b) aE( ) b .
66.方差 D x1 E
2 p 21 x2 E p2 x n E
2 p n
67.方差的性質 D a b a 2D ；
68.標準差 = D .
69. 函數 y f (x)在點 x0 處的導數的幾何意義
函數 y f (x)在點 x0 處的導數是曲線 y f (x)在 P(x0 , f (x0 ))處的切線的斜率
f (x0 ) ，相應的切線方程是 y y0 f (x0 )(x x0 ) .
十六。導數相關知識點（第 13 周）
70.幾種常見函數的導數
(1) C 0（C 為常數）。
(2) (xn )
' nxn 1(n Q) 。
(3) (sin x) cos x。
(4) (cos x) sin x。
(5) (ln x) 1 ； (loga x ) 1 log e
x x a
。
(6) (ex ) ex ; (a x ) a x lna .
71.導數的運算法則
（1） (u v) ' u ' v ' .
（2） (uv) ' u 'v uv ' .
u u 'v uv '（3） ( ) ' (v 0) .
v v2
72.判別 f (x0 )是極大（小）值的方法
當函數 f (x)在點 x0 處連續時，
（1）如果在 x0 附近的左側 f (x) 0，右側 f (x) 0，則 f (x0 )是極大值；
（2）如果在 x0 附近的左側 f (x) 0，右側 f (x) 0，則 f (x0 )是極小值.
十七。定積分相關知識點（第 13 周）
1．定積分性質和運算
b b b
⑴ [k1 f (x) k2g(x)]dx k1 f (x)dx k g(x)dxa a 2 a
其中 k1 ,k2 為任意常數。
b c b
⑵ f (x)dx f (x)dx f (x)dxa a c
2．牛頓-萊布尼茲公式
若函數 f(x)在區間[a，b]上連續，F(x)是 f(x)的一個原函數，即 F (x) f (x)，
則
b
f (x)dx F (x) |ba F (b) F (a)a
十八。復數相關知識點（第 14 周）
73.復數的相等 a bi c di a c ,b d .（ a,b,c,d R）
74.復數 z a bi的模（或絕對值） | z |= | a bi |= a2 b2 .
75.復數的四則運算法則
(1) (a bi) (c di) (a c) (b d )i ;
(2) (a bi) (c di) (a c) (b d )i ;
(3) (a bi)(c di) (ac bd ) (bc ad )i ;
(4) (a bi) (c di) ac bd bc ad
c2 d 2
2 2 i(c di 0) .c d
76．幾個統計常量
（1）樣本均值. ;
（2）樣本方差. ;

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