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專題1.3.1 解直角三角形（一）六大題型（一課一講）
【浙教版】
題型一：解直角三角形綜合之求線段長度
【經(jīng)典例題1】如圖，在 ABC中，， 點D是上一點，過點D作于點E，已知，，則的長為（ ）
A．4 B． C． D．3
【答案】B
【分析】該題主要考查了解直角三角形，解題的關(guān)鍵是理解正弦的定義．
根據(jù)算出，再算出，即可求解；
【詳解】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故選：B．
【變式訓(xùn)練1-1】如圖，在中，，，垂足為，若 ，，則的長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了解直角三角形，同角的余角相等，由同角的余角相等得，則，設(shè)，則，然后通過勾股定理求出的值即可，熟練掌握知識點的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
【詳解】∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
設(shè)，則，
∵，
∴由勾股定理得：，
∴，解得：，
∴，
故選：．
【變式訓(xùn)練1-2】如圖，在 ABC中，，，，則的長為（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，如圖，過C作于D，證明，可得，再求解，從而可得答案．
【詳解】解：如圖，過C作于D，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
∴．
故選D．
【變式訓(xùn)練1-3】如圖，在平行四邊形中，，，以點A為圓心，長為半徑畫弧，交直線于點E，再分別以B，E為圓心，大于長為半徑在直線下方作弧，兩弧交于點F，連接交于點G，連接，若，則（ ）

A．3 B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查作圖—垂直平分線，平行四邊形的性質(zhì)，解直角三角形．由作圖可得，解直角三角形求出，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合即可解決問題．
【詳解】解：由作圖可知，
在中，，
∴．
∵，
∴，
在中，，
∴，
故選：D．
【變式訓(xùn)練1-4】如圖， ABC中，D為上一點，，， ，則的長是（　　）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此題由已知的值，可以想到構(gòu)造直角三角形；由是等腰三角形，可以嘗試構(gòu)造三線合一，所以作兩條輔助線：過點D作于點E，過點B作于點F． 根據(jù)利用相似三角形及比例線段等建立方程組求解．
【詳解】解：如圖，過點D作于點E，過點B作于點F，

∵中，，
∴是等腰三角形，
又∵，
∴．
設(shè)，，則，
由作圖可知，，
∴ ， 即： ①，
在中
∵，
∴，
∴ ，
∵，
∴，
即： ，
∴ ，
在中，根據(jù)勾股定理得，
， 即：，
①②兩式聯(lián)立： ，
解得： （負值舍去），
∴．
故選D．
【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練1-5】如圖，在中，以為直徑的交于M，N，交于E，且平分，連接交于F，若，，則的長為（ ）
A．4 B．4.5 C．5 D．4.8
【答案】B
【分析】首先連接，根據(jù)和角平分線性質(zhì)得到，結(jié)合得到四邊形是平行四邊形，求得，由是直徑，得到，得到，由，得到，即得．
【詳解】連接，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵在中，，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
∵是直徑，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故選：B．

【點睛】本題主要考查了圓與三角形綜合．熟練掌握圓周角定理及推論，角平分線定義，平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理解直角三角形，銳角三角函數(shù)定義，是解決問題的關(guān)鍵．
題型二：解直角三角形綜合之求面積
【經(jīng)典例題2】如圖，在中，，以點A為圓心，以的長為半徑畫弧，交于點E，且E為的中點，若的長度為π，則圖中陰影部分的面積為（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了扇形的面積，弧長公式，平行四邊形的面積，三角函數(shù)，熟練掌握扇形的面積公式，弧長公式是解題的關(guān)鍵；過B作于F，根據(jù)弧長公式求出，根據(jù)扇形面積公式，求出，利用三角函數(shù)求出，進而求出，再求陰影部分的面積即可．
【詳解】解：過B作于F，
，以點A為圓心，以的長為半徑畫弧，交于點E，
，
E為的中點，
，
設(shè)所對的圓心角為，
的長度為π，
，，
，
，
在中，，
，
，
故選：．
【變式訓(xùn)練2-1】如圖，點是 ABC的內(nèi)心，的延長線和的外接圓相交于點D，，，，則 BDE的面積是（ ）
A．10 B． C． D．
【答案】D
【分析】設(shè)的外接圓圓心為點O，作圓的直徑，交圓于點G，連接，且與的交點為H，利用圓周角定理，勾股定理，三角函數(shù)，垂徑定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)解答即可．
【詳解】解：設(shè)的外接圓圓心為點O，作圓的直徑，交圓于點G，連接，且與的交點為H，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵點是的內(nèi)心，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵點是的內(nèi)心，
∴
，
∴，
∴是等邊三角形，
過點B作于點M,
則，
∴，
故選D．
【點睛】本題考查了圓周角定理，勾股定理，三角函數(shù)，垂徑定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)和定理，三角函數(shù)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練2-2】如圖，在平行四邊形中，，，，以為直徑的交于點，則圖中陰影部分的面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查的是扇形面積計算、平行四邊形的性質(zhì)．連接，作，先求出、，，，再根據(jù)陰影部分面積是扇形與三角形的面積和求解可得．
【詳解】解：如圖，連接，作于點，
四邊形是平行四邊形，且，
，
則，
，
，
，，
，
圖中陰影部分的面積為，
故選：A．
【變式訓(xùn)練2-3】如圖，為的直徑，將弧沿翻折，翻折后的弧交于點，若，，則圖中陰影部分的面積為（　　）
A． B． C．8 D．10
【答案】C
【分析】本題主要考查圓的綜合及三角函數(shù)，熟練掌握圓的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；連接，過點C作于H，然后根據(jù)圓的基本性質(zhì)可得，則有，進而根據(jù)三角函數(shù)及割補法可進行求解．
【詳解】解：如圖，連接，過點C作于H，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵為的直徑，
∴，
∵，
∴設(shè)，
根據(jù)勾股定理，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故選：C．
【變式訓(xùn)練2-4】如圖所示，點A，B，C對應(yīng)的刻度分別為1，3，5，將線段繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)，當點A首次落在矩形的邊上時，記為點，則此時線段掃過的圖形的面積是（　　）

A． B．6 C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了扇形面積的計算和解直角三角形，熟練掌握扇形面積公式是解本題的關(guān)鍵．求線段掃過的圖形的面積，即求扇形的面積．
【詳解】解：由題意，知．
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得．
在中，．
∴．
∴扇形的面積為．
即線段掃過的圖形的面積為．
故選：D．
【變式訓(xùn)練2-5】如圖，等邊 ABC內(nèi)接于，若，則圖中白色部分的面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】連接，過點O作，垂足為D，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，，從而利用圓周角定理可得，然后利用等腰三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)垂徑定理可得，從而在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，從而利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)求出的長，最后根據(jù)圖中白色部分的面積的面積的面積，進行計算即可解答．
【詳解】解：連接，過點O作，垂足為D，
∵是等邊三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴圖中白色部分的面積的面積的面積
的面積
．
故選：B．
【點睛】本題考查了圓周角定理，垂徑定理，解直角三角形，等邊三角形的性質(zhì)，扇形面積的計算，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
題型三：解直角三角形綜合之求折疊問題
【經(jīng)典例題3】如圖，在矩形中，點E在上，點F在上，把這個矩形沿折疊后，使點D恰好落在點B處，若，，則折痕的長為（　　）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【分析】根據(jù)折疊性質(zhì)可得，根據(jù)平角定義可得，可得，根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，即可證明是等邊三角形，利用的余弦求出的長即可得答案．根據(jù)折疊性質(zhì)得出是等邊三角形是解答本題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵把這個矩形沿折疊后，使點恰好落在點處，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四邊形是矩形，
∴，，
∴，
∴是等邊三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故選：C．
【點睛】本題考查了矩形的翻折變換、等邊三角形的判定及性質(zhì)、解直角三角形等知識，掌握以上基礎(chǔ)知識是解本題的關(guān)鍵.
【變式訓(xùn)練3-1】如圖，在扇形中，，半徑，將扇形沿過點P的直線折疊，點O恰好落在上的點Q處，折痕交于點P，則陰影部分的面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】連接，根據(jù)折疊可知，，，，進而可得是等邊三角形，則，進而求得的面積，根據(jù)陰影部分面積求解即可．
【詳解】解：連接，交于E，
∵沿對折O和Q重合，，
∴，，，，
∴，是等邊三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴陰影部分的面積
．
故選：D．
【點睛】此題主要考查三角形的折疊問題、等邊三角形的性質(zhì)、扇形面積以及特殊角三角函數(shù)值的運用，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練3-2】將矩形紙片按如圖所示的方式折疊，為折痕，，，折疊后，點落在邊上的處，并且點落在邊上的處，則的長為（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，解直角三角形，由矩形的性質(zhì)得，進而由三角形函數(shù)得，由折疊得，，，，，即可得，，解直角三角形可得，即得，得到，進而即可求解，掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵四邊形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
由折疊可得，，，，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故選：．
【變式訓(xùn)練3-3】如圖，在紙片中，，是邊上的中線，將沿折疊，當點落在點處時，恰好，若，則的長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，翻折的性質(zhì)，等邊對等角，三角形內(nèi)角和定理，解直角三角形，由直角三角形的性質(zhì)得，即得，由翻折的性質(zhì)可得，，進而得，設(shè)與的交點為，由三角形內(nèi)角和定理得，即可得，解直角三角形即可求解，掌握以上知識點是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵，，是邊上的中線，
∴，
∴，
由翻折的性質(zhì)可得，，，
∴，
如圖，設(shè)與的交點為，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故選：．
【變式訓(xùn)練3-4】如圖，在平行四邊形中，，且，將其沿著直線折疊使得點的對應(yīng)點恰好落在對角線上，且滿足．問：與平行四邊形的面積比為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，翻折變換（折疊問題），解直角三角形，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)的知識．過點作于點，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，，在中，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理求出，得到，，，推出，由折疊可得，和均為等腰直角三角形，根據(jù)三角函數(shù)并結(jié)合，需求出的長，最后根據(jù)，即可求解．
【詳解】解：如圖所示，過點作于點，
四邊形是平行四邊形，
，，
在中，設(shè)，
，
，
又，即，
解得：（負值舍去），
，，，
是等腰直角三角形，
，，
由折疊可知，，
和均為等腰直角三角形，
又，
，，
，
，
同理，
．
故選：B．
【變式訓(xùn)練3-5】如圖，三角形紙片中，，，．沿過點的直線將紙片折疊，使點落在邊上的點處：再折疊紙片，使點與點重合，若折痕與的交點為，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查直角三角形中的翻折變換，解直角三角形，解題的關(guān)鍵是掌握翻折的性質(zhì)，熟練利用勾股定理列方程．根據(jù)折疊的性質(zhì)得，，，，即可得，則，設(shè)，可得，即可解得．再求解即可．
【詳解】解：沿過點的直線將紙片折疊，使點落在邊上的點處，
，，
折疊紙片，使點與點重合，
，，
，
，
，
，
，
設(shè)，則，
，
解得，
，
故選：B.
題型四：解直角三角形綜合之求比值
【經(jīng)典例題4】將有一邊相等的兩個直角三角板按如圖的方式放置，已知，，，與交于點E，則等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，三角函數(shù)，熟練掌握三角函數(shù)，特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)，可得，進而可得，，根據(jù)，即可解答．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，
∴，
故選A．
【變式訓(xùn)練4-1】如圖，點是的半徑上一點，將扇形沿折疊，使弧恰好經(jīng)過圓心，其中點的對應(yīng)點是，若，則的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此題考查了折疊的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)．過點作并延長交于點，設(shè)扇形的半徑為，根據(jù)折疊的性質(zhì)得出，，，則是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出，，根據(jù)角的和差求出，根據(jù)等腰直角三角形的判定與性質(zhì)求出，根據(jù)線段的和差求出，據(jù)此求解即可．
【詳解】解：如圖，過點作并延長交于點，
設(shè)扇形的半徑為，
由折疊的性質(zhì)可得，，，，
是等邊三角形，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
故選：B．
【變式訓(xùn)練4-2】如圖，在正方形中，E為邊的中點，以為斜邊向外作等腰，連接，線段上有一點G，且∠GBF=45°，則的值為（ ）

A．2 B． C． D．
【答案】A
【分析】過點F作交于點P，交于點M，連接，過點G作于點H，設(shè)正方形邊長為，則，證明，四邊形為矩形，得出，，求出，設(shè)，則，得出，求出，，即可得出答案．
【詳解】解：過點F作交于點P，交于點M，連接，過點G作于點H，如圖所示：

則，設(shè)正方形邊長為，
則，
∵四邊形為正方形，
∴，，
，，
∵，，
∴為等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵E為的中點，
∴，
∵為等腰直角三角形，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四邊形為矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
設(shè)，則，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故選：A．
【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，平行線的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握正方形的性質(zhì)．
【變式訓(xùn)練4-2】如圖， ABC中，，，點D是的中點，P是以A為圓心，以為半徑的圓上的動點，連接，則 的最大值為（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此題考查了解直角三角形，根據(jù)阿氏圓的定義，分別固定，分別確定A點的運動軌跡為阿氏圓O，C點的運動軌跡為阿氏圓，，由此可知，當最最小時，的值最大，進行求解即可.
【詳解】解：固定，則，
∴A點的運動軌跡為阿氏圓O，
設(shè)，則，，則，
∵，，
∴C點的運動軌跡為阿氏圓，
∴，
∴，
∴當最小時，的值最大，
，
∴，
故選：D．
【變式訓(xùn)練4-3】如圖，在 ABC中，，，為邊上一點，連接，以為直徑的圓分別交，于，兩點，連接，設(shè)，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．推論：半圓或直徑所對的圓周角是直角，的圓周角所對的弦是直徑．也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)和解直角三角形．
連接，如圖，先根據(jù)圓周角定理得到，則利用等腰三角形的性質(zhì)得到，，再證明∽得到，接著利用等線段代換得到，然后根據(jù)正弦和余弦的定義得到，，從而得到．
【詳解】解：連接，如圖，
是直徑，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，，
．
故選：B．
【變式訓(xùn)練4-4】如圖，在矩形中，點為上一點，連結(jié)，作的平分線交于點，連結(jié)交BE于點．若，，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】延長，交的延長線于，延長，交的延長線于，由四邊形是矩形，得，，，則，又平分可證，設(shè)，則，由勾股定理得，則，，再證明，，最后由相似三角形的性質(zhì)即可求解．
【詳解】如圖，如圖所示，延長，交的延長線于，延長，交的延長線于，
∵四邊形是矩形，
∴，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
在中，，
設(shè)，則，
由勾股定理得：，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴，即，，
∴，
∴，
故選：．
【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，等角對等邊，解直角三角形，熟練掌握知識點的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
題型五：解非直角三角形
【經(jīng)典例題5】在邊長相等的小正方形組成的網(wǎng)格中，點，，都在格點上，那么的值為（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查解直角三角形，過點作的垂線構(gòu)造出直角三角形及熟知正弦的定義是解題的關(guān)鍵．也考查了等腰三角形的三線合一性質(zhì)．
【詳解】解：過點作的垂線，垂足為，設(shè)小正方形的邊長為，
∵在邊長相等的小正方形組成的網(wǎng)格中，點，，都在格點上，
∴，，，
∴，
∵，
∴點是的中點，
∴，
在中，，
∴，
∴的值為．
故選：C．
【變式訓(xùn)練5-1】如圖，在 ABC中，，，，則的長為（ ）

A． B． C．4 D．5
【答案】D
【分析】作于，根據(jù)，，算出和，再根據(jù)，算出，最后根據(jù)計算即可．
【詳解】如下圖，作于，

在中，，，
，，
在中，，
，
，
，
故選：D．
【點睛】本題考查了用銳角三角函數(shù)解非直角三角形，作垂直構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練5-2】如圖，在 ABC中，，，，平分交于點，則線段的長為（ ）
A． B．12 C． D．6
【答案】B
【分析】過點作的垂線，垂足分別為，在，中，求得的長，進而證明是等腰三角形，即可求解．
【詳解】解：如圖，過點作的垂線，垂足分別為，
在中，，
在中，，
∵中，，，
∴，
∵是的角平分線，
∴，
∴，
∴，
∴．
故選:B．
【點睛】本題考查了解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)與判定，解決問題的關(guān)鍵是將作輔助線，將斜三角形劃分為直角三角形．
【變式訓(xùn)練5-3】如圖，在中，，，，平分交于點，則線段的長為　　
A． +1 B．2 C． D．-
【答案】B
【分析】作于，作于，分別解直角三角形求得，和，從而求得，設(shè)，在直角三角形中表示出，進而根據(jù)列出方程求得，進而求得結(jié)果．
【詳解】如圖，
作于，作于，
在Rt中，，
在Rt中，，，
，
在Rt中，設(shè)，
在Rt中，，
，
由得，
，
，
，
故答案為：B．
【點睛】本題考查了解直角三角形，解決問題的關(guān)鍵是將作輔助線，將斜三角形劃分為直角三角形．
【變式訓(xùn)練5-4】如圖，△AOB中，OA＝4，OB＝6，AB＝2，將△AOB繞原點O旋轉(zhuǎn)90°，則旋轉(zhuǎn)后點A的對應(yīng)點A′的坐標是（ ）
A．（4，2）或（﹣4，2） B．（2，﹣4）或（﹣2，4）
C．（﹣2，2）或（2，﹣2） D．（2，﹣2）或（﹣2，2）
【答案】C
【分析】先求出點A的坐標，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換中，坐標的變換特征求解；或根據(jù)題意畫出圖形旋轉(zhuǎn)后的位置，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)確定對應(yīng)點A′的坐標．
【詳解】過點A作于點C．
在Rt△AOC中， ．
在Rt△ABC中， ．
∴　．
∵OA＝4，OB＝6，AB＝2，
∴．
∴．
∴點A的坐標是．
根據(jù)題意畫出圖形旋轉(zhuǎn)后的位置，如圖，
∴將△AOB繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)90°時，點A的對應(yīng)點A′的坐標為；
將△AOB繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°時，點A的對應(yīng)點A′′的坐標為．
故選：C．
【點睛】本題考查了解直角三角形、旋轉(zhuǎn)中點的坐標變換特征及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．（a，b）繞原點順時針旋轉(zhuǎn)90°得到的坐標為（b，-a），繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到的坐標為（－b，a）．
【變式訓(xùn)練5-5】如圖，在邊長相同的小正方形網(wǎng)格中，點A、B、C、D都在這些小正方形的頂點上，AB與CD相交于點P，則∠APD的余弦值為（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】取格點E，連接AE、BE，利用勾股定理的逆定理可證得△ABE是直角三角形，利用三角形外角的性質(zhì)可得∠APD＝∠ABE，在Rt△ABE中可求cos∠ABE，從而結(jié)論可得．
【詳解】解：取格點E，連接AE、BE，如圖：
設(shè)網(wǎng)格中的小正方形的邊長為1，
則BE＝，
AE＝，
AB=．
∵BE2+AE2＝2+8＝10，
AB2＝10，
∴BE2+AE2＝AB2．
∴∠AEB＝90°．
由題意：∠EBD＝∠CDB＝45°．
∵∠APD＝∠CDB+∠PBD＝45°+∠PBD，
∠ABE＝∠DBE+∠PBD＝45°+∠PBD，
∴∠APD＝∠ABE．
在Rt△ABE中，cos∠ABE＝．
∴cos∠APD＝．
故選：C．
【點睛】本題主要考查了解直角三角形，本題是網(wǎng)格問題，巧妙的構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練5-6】如圖，在四邊形中，，，，，則四邊形的面積為（ ）

A．48 B．50 C．52 D．54
【答案】A
【分析】連接AC，利用勾股定理求出AC，再根據(jù)進行計算即可求出結(jié)果．
【詳解】解：連接，如圖所示
，，
，
四邊形的面積為48
故選：A．
【點睛】本題主要考查了四邊形面積，解直角三角形的應(yīng)用，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會巧妙添加輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．
題型六：解直角三角形綜合
【經(jīng)典例題6】如圖，是的直徑，弦于點，點在上，．
(1)求證：；
(2)若，，求的直徑．
【答案】(1)見解析
(2)6
【分析】本題考查圓的基本性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握垂徑定理，圓周角定理，解直角三角形，熟練掌握知識點，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)，則，根據(jù)同弧或者等弧所對的圓周角相等，即可；
（2）根據(jù)，垂徑定理，得，連接，根據(jù)同弧或者等弧所對的圓周角相等，則，根據(jù)，則，即可．
【詳解】（1）證明：∵，
∴，
∴；
（2）解：連接，
則，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．即的直徑為6.
【變式訓(xùn)練6-1】如圖，在 ABC中，，點是邊上一動點（不與，重合），，交于點，且．
(1)求證：
(2)若，求的值
(3)若為直角三角形時，求的值
【答案】(1)證明見解析
(2)
(3)為直角三角形時，為8或．
【分析】（1）先證明，，從而可得結(jié)論；
（2）如圖，過作于， 可得，，，可得，再進一步可得答案；
（3）根據(jù)可得，又因為，可得，因此，由于為直角三角形，分類討論：當時，利用得到，即，易得，當，利用得到，然后在中，根據(jù)余弦的定義可計算出．
【詳解】（1）證明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：如圖，過作于，
∵，
∴，，
∵，即，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
當時，
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
∵，
結(jié)合（2）可得，
當時，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴為直角三角形時，為8或．
【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)．
【變式訓(xùn)練6-2】已知：如圖，是的直徑，弦于點E，G是弧上一動點，，的延長線交于點．連接．
(1)若，求的度數(shù)；
(2)若，，求的長．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查圓周角定理，垂徑定理，勾股定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識．
（1）利用圓周角定理即可解決問題；
（2）連接．證明是等邊三角形，解即可解決問題．
【詳解】（1）解：連接．
，是的直徑，
，
，
，
，，
，
，
；
（2）解：連接．
∵
∴
，，
是等邊三角形，
，
，
，
，
．
【變式訓(xùn)練6-3】如圖所示，點P是菱形對角線上的一點．
(1)求證：；
(2)連接并延長交邊于點E，連接并延長交邊于點F，交的延長線于點Q，：
①求的值；
②當 DPQ是等腰三角形時，請求出的值．
【答案】(1)見解析
(2)①；②或．
【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)得到，平分，則，即可證明；
（2）①證明，得到，,則，證明，得到，則,即，證明，則，得到,則，即可得到結(jié)論；②分三種情況分別進行討解答即可．
【詳解】（1）證明：∵四邊形是菱形，
∴，平分，
∴，
在和中，
∴；
（2）解：①∵四邊形是菱形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，,
∴，
∵
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴,即，
∵，
∴
∴，
∴，
∴,
∴，
∴；
②由（1）證得，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴．
若，
∵，
∴
∴，
∴
∴，
∵，設(shè)，，
，
∴，
∴，
由菱形性質(zhì)，是菱形的對稱軸，
∴△EBP和△FDP關(guān)于AC對稱
則，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
作于H，設(shè)，
則，
解得，即
∴
∴；
若，
∴
∵，設(shè)，，
，
同理可得：
∵，
∴，
∴，
∴
同理可得：
，
設(shè)，
∴，
解得，
∴
∴；
即的值為或．
【點睛】本題考查了菱形性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形等知識．作輔助線也是本題的關(guān)鍵，綜合性較強．
【變式訓(xùn)練6-4】如圖，已知在 ABC中，，，點D、E邊上（點E在點D右側(cè)，點D不與點B重合），，過點B作，交的延長線于點F．
(1)當時，求線段的長；
(2)設(shè)，，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域；
(3)連接，如果，求的長．
【答案】(1)線段的長為
(2)，
(3)的長為4或8
【分析】（1）根據(jù)，得出，在中，求得，在中， 求得，由即可得出答案；
（2）證明，得出，求出，再證明，得出，求得，根據(jù)點D、E邊上，點E在點D右側(cè)，點D不與點B重合，得出，求出即可；
（3）分兩種情況，當時或當時，分別畫出圖形，求出結(jié)果即可．
【詳解】（1）解：如圖所示：
，
，
在中，
，
在中，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，
即，
解得，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
解得，
根據(jù)點D、E邊上，點E在點D右側(cè)，點D不與點B重合，
，
，
，
；
（3）當時，如圖：
，
，
，
，
四邊形為平行四邊形，
；
當時，如圖：
，
，
由（2）可知，，
，
，
，
，
，
，
，
綜上所述，當與相似時，的長為4或8．
【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，作出相應(yīng)的圖形，并注意分類討論．
【變式訓(xùn)練6-5】如圖1， ABC和 ADE都是等腰三角形，，，與、分別交于點、，和交于點，連接，．

(1)若，求；
(2)如圖2，延長，交于點，求證：、、三點在同一條直線上．
【答案】(1)
(2)見解析
【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理求解即可；
（2）連接，根據(jù)等腰三角形的判定與性質(zhì)，結(jié)合全等三角形的判定與性質(zhì)分別證明、、、得到，，根據(jù)線段垂直平分線的判定即可證的結(jié)論．
【詳解】（1）解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：連接，

在和中，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，又，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
，
∴，又，，
∴，
∴，
∵，，
∴在線段的垂直平分線上，
∴在同一條直線上；
【點睛】本題考查了求角的正弦值、等腰三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、線段垂直平分線的判定等知識，涉及知識點較多，綜合性強，熟練掌握相關(guān)知識的聯(lián)系與運用，是解答的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練6-6】如圖，四邊形內(nèi)接于，，延長到點，使得，連接．
(1)求證：；
(2)若，求四邊形的面積．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）由四邊形內(nèi)接于，可得，由，可得，證明，進而結(jié)論得證；
（2）如圖，過點A作于N，過點D 作于，則，由，可得，再由，，可得，解直角三角形求出和，然后根據(jù)計算即可．
【詳解】（1）證明：∵四邊形內(nèi)接于，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：如圖，過點A作于N，過點D 作于，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴
．
【點睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，同弧所對的圓周角、弦長相等，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，含直角三角形的性質(zhì)等知識．熟練掌握相關(guān)判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
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專題1.3.1 解直角三角形（一）六大題型（一課一講）
【浙教版】
題型一：解直角三角形綜合之求線段長度
【經(jīng)典例題1】如圖，在 ABC中，， 點D是上一點，過點D作于點E，已知，，則的長為（ ）
A．4 B． C． D．3
【變式訓(xùn)練1-1】如圖，在中，，，垂足為，若 ，，則的長為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓(xùn)練1-2】如圖，在 ABC中，，，，則的長為（ ）
A．3 B． C． D．
【變式訓(xùn)練1-3】如圖，在平行四邊形中，，，以點A為圓心，長為半徑畫弧，交直線于點E，再分別以B，E為圓心，大于長為半徑在直線下方作弧，兩弧交于點F，連接交于點G，連接，若，則（ ）

A．3 B． C． D．
【變式訓(xùn)練1-4】如圖， ABC中，D為上一點，，， ，則的長是（　　）

A． B． C． D．
【變式訓(xùn)練1-5】如圖，在中，以為直徑的交于M，N，交于E，且平分，連接交于F，若，，則的長為（ ）
A．4 B．4.5 C．5 D．4.8
題型二：解直角三角形綜合之求面積
【經(jīng)典例題2】如圖，在中，，以點A為圓心，以的長為半徑畫弧，交于點E，且E為的中點，若的長度為π，則圖中陰影部分的面積為（ ）

A． B． C． D．
【變式訓(xùn)練2-1】如圖，點是 ABC的內(nèi)心，的延長線和的外接圓相交于點D，，，，則 BDE的面積是（ ）
A．10 B． C． D．
【變式訓(xùn)練2-2】如圖，在平行四邊形中，，，，以為直徑的交于點，則圖中陰影部分的面積為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓(xùn)練2-3】如圖，為的直徑，將弧沿翻折，翻折后的弧交于點，若，，則圖中陰影部分的面積為（　　）
A． B． C．8 D．10
【變式訓(xùn)練2-4】如圖所示，點A，B，C對應(yīng)的刻度分別為1，3，5，將線段繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)，當點A首次落在矩形的邊上時，記為點，則此時線段掃過的圖形的面積是（　　）

A． B．6 C． D．
【變式訓(xùn)練2-5】如圖，等邊 ABC內(nèi)接于，若，則圖中白色部分的面積為（ ）
A． B． C． D．
題型三：解直角三角形綜合之求折疊問題
【經(jīng)典例題3】如圖，在矩形中，點E在上，點F在上，把這個矩形沿折疊后，使點D恰好落在點B處，若，，則折痕的長為（　　）
A．1 B． C．2 D．
【變式訓(xùn)練3-1】如圖，在扇形中，，半徑，將扇形沿過點P的直線折疊，點O恰好落在上的點Q處，折痕交于點P，則陰影部分的面積為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓(xùn)練3-2】將矩形紙片按如圖所示的方式折疊，為折痕，，，折疊后，點落在邊上的處，并且點落在邊上的處，則的長為（　　）
A． B． C． D．
【變式訓(xùn)練3-3】如圖，在紙片中，，是邊上的中線，將沿折疊，當點落在點處時，恰好，若，則的長為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓(xùn)練3-4】如圖，在平行四邊形中，，且，將其沿著直線折疊使得點的對應(yīng)點恰好落在對角線上，且滿足．問：與平行四邊形的面積比為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓(xùn)練3-5】如圖，三角形紙片中，，，．沿過點的直線將紙片折疊，使點落在邊上的點處：再折疊紙片，使點與點重合，若折痕與的交點為，則（ ）
A． B． C． D．
題型四：解直角三角形綜合之求比值
【經(jīng)典例題4】將有一邊相等的兩個直角三角板按如圖的方式放置，已知，，，與交于點E，則等于（ ）
A． B． C． D．
【變式訓(xùn)練4-1】如圖，點是的半徑上一點，將扇形沿折疊，使弧恰好經(jīng)過圓心，其中點的對應(yīng)點是，若，則的值是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓(xùn)練4-2】如圖，在正方形中，E為邊的中點，以為斜邊向外作等腰，連接，線段上有一點G，且∠GBF=45°，則的值為（ ）

A．2 B． C． D．
【變式訓(xùn)練4-2】如圖， ABC中，，，點D是的中點，P是以A為圓心，以為半徑的圓上的動點，連接，則 的最大值為（　　）
A． B． C． D．
【變式訓(xùn)練4-3】如圖，在 ABC中，，，為邊上一點，連接，以為直徑的圓分別交，于，兩點，連接，設(shè)，則（ ）
A． B． C． D．
【變式訓(xùn)練4-4】如圖，在矩形中，點為上一點，連結(jié)，作的平分線交于點，連結(jié)交BE于點．若，，則的值為（ ）
A． B． C． D．
題型五：解非直角三角形
【經(jīng)典例題5】在邊長相等的小正方形組成的網(wǎng)格中，點，，都在格點上，那么的值為（　　）
A． B． C． D．
【變式訓(xùn)練5-1】如圖，在 ABC中，，，，則的長為（ ）

A． B． C．4 D．5
【變式訓(xùn)練5-2】如圖，在 ABC中，，，，平分交于點，則線段的長為（ ）
A． B．12 C． D．6
【變式訓(xùn)練5-3】如圖，在中，，，，平分交于點，則線段的長為　　
A． +1 B．2 C． D．-
【變式訓(xùn)練5-4】如圖，△AOB中，OA＝4，OB＝6，AB＝2，將△AOB繞原點O旋轉(zhuǎn)90°，則旋轉(zhuǎn)后點A的對應(yīng)點A′的坐標是（ ）
A．（4，2）或（﹣4，2） B．（2，﹣4）或（﹣2，4）
C．（﹣2，2）或（2，﹣2） D．（2，﹣2）或（﹣2，2）
【變式訓(xùn)練5-5】如圖，在邊長相同的小正方形網(wǎng)格中，點A、B、C、D都在這些小正方形的頂點上，AB與CD相交于點P，則∠APD的余弦值為（　　）
A． B． C． D．
【變式訓(xùn)練5-6】如圖，在四邊形中，，，，，則四邊形的面積為（ ）

A．48 B．50 C．52 D．54
題型六：解直角三角形綜合
【經(jīng)典例題6】如圖，是的直徑，弦于點，點在上，．
(1)求證：；
(2)若，，求的直徑．
【變式訓(xùn)練6-1】如圖，在 ABC中，，點是邊上一動點（不與，重合），，交于點，且．
(1)求證：
(2)若，求的值
(3)若為直角三角形時，求的值
【變式訓(xùn)練6-2】已知：如圖，是的直徑，弦于點E，G是弧上一動點，，的延長線交于點．連接．
(1)若，求的度數(shù)；
(2)若，，求的長．
【變式訓(xùn)練6-3】如圖所示，點P是菱形對角線上的一點．
(1)求證：；
(2)連接并延長交邊于點E，連接并延長交邊于點F，交的延長線于點Q，：
①求的值；
②當 DPQ是等腰三角形時，請求出的值．
【變式訓(xùn)練6-4】如圖，已知在 ABC中，，，點D、E邊上（點E在點D右側(cè)，點D不與點B重合），，過點B作，交的延長線于點F．
(1)當時，求線段的長；
(2)設(shè)，，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域；
(3)連接，如果，求的長．
【變式訓(xùn)練6-5】如圖1， ABC和 ADE都是等腰三角形，，，與、分別交于點、，和交于點，連接，．

(1)若，求；
(2)如圖2，延長，交于點，求證：、、三點在同一條直線上．
【變式訓(xùn)練6-6】如圖，四邊形內(nèi)接于，，延長到點，使得，連接．
(1)求證：；
(2)若，求四邊形的面積．
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