資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
專題1.2 銳角三角函數的計算六大題型（一課一講）
【浙教版】
題型一：由特殊角的三角函數值判斷三角形形狀
【經典例題1】在 ABC中， ，那么 ABC是（ ）
A．等腰三角形 B．等邊三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A
【分析】本題考查了特殊角的三角函數值，熟記特殊角的三角函數值是解答本題的關鍵，根據特殊角的三角函數值即可求出的大小，即可得出結論．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
是等腰三角形
故選：A．
【變式訓練1-1】在 ABC中，，都是銳角，且，則 ABC的形狀是（ ）
A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．等邊三角形 D．直角三角形
【答案】D
【分析】本題考查特殊角三角函數，三角形內角和，三角形分類．熟練掌握特殊角三角函數是解題的關鍵．
由特殊角三角函數值計算出和的角度來即可確定．
【詳解】解：，
，，
即，，
，
即為直角三角形，
故選：D．
【變式訓練1-2】在 ABC中，、都是銳角，且，，則 ABC是（ ）.
A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．鈍角三角形
【答案】B
【分析】根據特殊角的三角函數值求出，然后利用三角形內角和定理求出的度數，即可解答．
【詳解】解：∵，，
∴，
∴，
∴是等邊三角形，
故選：B．
【點睛】本題考查了特殊角的三角函數值，熟練掌握特殊角的三角函數值是解題的關鍵．
【變式訓練1-3】在 ABC中，，則 ABC的形狀是（ ）
A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不確定
【答案】B
【分析】計算出∠A和∠C的角度來即可確定．
【詳解】解：∵sinA=cos（90°-C）=，
∴∠A=45°，90°-∠C=45°，
即∠A=45°，∠C=45°，
∴∠B=90°，
即△ABC為直角三角形，
故選：B．
【點睛】本題考查特殊角三角函數，熟練掌握特殊角三角函數是解題的關鍵．
【變式訓練1-4】在 ABC中，若，，都是銳角，則 ABC是 三角形．
【答案】等腰直角
【分析】此題考查了已知三角函數值求角，涉及了絕對值和平方的非負性，解題的關鍵是熟記特殊角的三角函數值．
根據絕對值和平方的非負性可得，，求得，即可求解．
【詳解】解：由可得
，
即，
解得：，則，
∴為等腰直角三角形，
故答案為：等腰直角．
【變式訓練1-5】銳角中，，則的形狀是 .
【答案】等邊三角形
【分析】根據特殊角的三角函數判斷和的大小，再斷三角形的形狀即可．
【詳解】解：∵，
∴，，
又∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴的形狀是等邊三角形，
故答案為：等邊三角形．
【點睛】本題考查了特殊角的三角函數值和等邊三角形的判定，根據已知角的三角函數值判斷出角的大小是解答本題的關鍵．
題型二：根據特殊三角函數求角度
【經典例題2】在 ABC中，，若，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查已知特殊角的三角函數值，求角度，根據，即可得出結果．
【詳解】解：∵，
∴，
故選A．
【變式訓練2-1】在 ABC中，若，則的度數是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直接利用非負數的性質以及特殊角的三角函數值計算得出答案．此題主要考查了非負數的性質以及特殊角的三角函數值，正確記憶相關數據是解題關鍵．
【詳解】解：，
，，
，，
，，
的度數是：．
故選：C．
【變式訓練2-2】若，均為銳角，且，，則（ ）
A．， B．
C．， D．
【答案】A
【分析】本題考查根據特殊角的三角函數值求角的度數，根據特殊角的三角函數值進行判斷即可．
【詳解】解：∵，
∴，；
故選A．
【變式訓練2-3】已知α為銳角，且，則α等于 ．
【答案】/55度
【分析】本題考查特殊角度三角函數，根據求解即可．
【詳解】∵，，
∴，
解得，
故答案為：．
【變式訓練2-4】如圖，在矩形中，是上一點，，，則的度數是 ．
【答案】/15度
【分析】首先根據題意得到，求出，然后根據三角形內角和定理和等邊對等角求解即可．
【詳解】∵，
∴
∵四邊形是矩形
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴．
故答案為：．
【點睛】此題考查了解直角三角形，矩形的性質，三角形內角和定理和等邊對等角性質，解題的關鍵是掌握以上知識點．
【變式訓練2-5】將一把直尺與一把三角尺按如圖所示的方式放置，若，則的度數為
【答案】150
【分析】本題考查特殊角的三角函數值，平行線的性質，先根據特殊角的三角函數值求出的度數，互余求出的度數，平行線的性質求出的度數，再利用互補關系，進行求解即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
∵直尺的對邊平行，
∴，
∴；
故答案為：
題型三：已知角度比較兩個三角函數的值
【經典例題3】的大小關系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本題考查比較三角函數值的大小，根據三個三角函數的取值范圍和增減性，進行判斷即可．
【詳解】解：∵，
∴；
故選D．
【變式訓練3-1】比較，，的大小關系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了銳角三角函數的增減性，熟記銳角三角函數的增減性是解題的關鍵，
根據三角函數的增減性，以及互余的兩個角之間的關系即可作出判斷．
【詳解】，
，
，，
，，
，
故選：D．
【變式訓練3-2】給出下列式子：①，②，③，④．其中正確的是（　　）
A．①③ B．②④ C．①④ D．③④
【答案】B
【分析】本題考查銳角三角函數的增減性，互余兩角三角函數的關系以及特殊角的三角函數值，對于①③可用特殊角的三角函數值進行判斷，對于②④，根據互余兩角三角函數關系，將余弦化成余角的正弦進行比較即可作出判斷．解題的關鍵是掌握銳角三角函數的性質：當角度在（不包括，）之間變化時：①正弦值隨角度的增大（或減小）而增大（或減小）；②余弦值隨角度的增大（或減小）而減小（或增大）．
【詳解】解：∵，，，
∴，故式子①錯誤；
∵，
又∵正弦值隨銳角的角度的增大而增大，
∴，
即，故式子②正確；
∵，，，
∴，故式子③錯誤；
∵，故式子④正確，
綜上，正確的式子有②④．
故選：B．
【變式訓練3-3】若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查三角函數，先將余弦函數、正弦函數進行轉換，再根據正弦函數的增減性求解．
【詳解】解：，
當時，隨的增大而增大，
，
，
，
故選C．
【變式訓練3-4】三角函數、、之間的大小關系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本題考查三角函數值的大小比較，掌握正余弦的轉換方法：一個銳角的余弦值等于它的余角的正弦值，由，再根據正弦值是隨著角的增大而增大，進行分析，可以知道，即可得出正確選項．
【詳解】解：∵（），
∴，
當時，正弦值是隨著角的增大而增大，
∴
∴，
故選：C．
【變式訓練3-5】比較和的大小（ ）
A． B． C． D．不確定
【答案】A
【分析】本題考查了銳角三角函數的增減性，將余弦轉化為正弦是解題的關鍵．
將余弦轉化為正弦，根據正弦的銳角三角函數的增減性比較大小即可．
【詳解】解：∵，正弦的銳角三角函數值隨角度的增大而增大，
∴，
∴．
故選：A．
題型四：利用同角三角函數關系求值
【經典例題4】在等腰三角形中，，點是邊上一點，若，則的度數為 ．
【答案】/60度
【分析】本題主要考查了相似三角形的判定和性質，特殊角銳角三角函數．根據特殊角銳角三角函數可得，再由，可得，從而得到，即可求解．
【詳解】解：如圖，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案為：
【變式訓練4-1】如圖，已知：是斜邊上的高線，是斜邊上的高線，如果， ，那么等于（　　）
A．2 B．4.5 C．8 D．12.5
【答案】D
【分析】本題考查了解直角三角形的應用，相似三角形的判定與性質，設，先證明，根據等角的正切值相等可得，再證明，根據相似三角形面積比等于相似比的平方即可得出結論．
【詳解】解：∵，
∴
設，，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故選：D．
【變式訓練4-2】如圖，在矩形中，將邊 繞點B 逆時針旋轉至 ，連接，若，且，則的面積為 ．
【答案】
【分析】
由，利用等角的三角函數值相等，由的三角函數值，在中解三角形，求出，在中解三角形中解三角形求出，最后代入面積公式即可．
【詳解】解：如圖，過點 B作，垂足為G，過點E作，垂足為 F，
∵，
∴，
則 ，
∵，
∴，
∴，，
∴．
故答案為：3．
【點睛】
本題考查了旋轉的性質，等腰三角形的性質，還涉及矩形的性質，銳角三角函數以及三角形面積公式的運用，熟練掌握幾何概念、判定與性質是解決問題的關鍵．
【變式訓練4-3】如圖，點A，B，C，D在上，，，，則的長為 ．
【答案】
【分析】
本題考查了同弧所對的圓周角相等以及利用三角函數求值，連接，可得是直角三角形，利用圓周角定理可得，在中，，利用三角函數可求出的長
【詳解】連接，如圖所示，
，
∴
，
在中，
，且，
，
故答案為：．
【變式訓練4-4】如圖，在中，是上一點，，過點D作于點F，過點C作交的延長線于點E．
(1)求證：四邊形是平行四邊形．
(2)若，求的長．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】本題主要考查平行四邊形的判定和性質，三角函數的定義，勾股定理，熟練掌握平行四邊形的性質是關鍵．
（1）根據垂直的定義得到，根據平行線的判定定理得到即可證明結論．
（2）根據平行線的性質得到根據平行四邊形的性質得到，根據三角函數的定義得到，設，，根據勾股定理即可得到答案．
【詳解】（1）證明：，
，
，
，
，
，
四邊形是平行四邊形；
（2）解：，
，
四邊形是平行四邊形，
，
，
，
，
設，則，
，
，
解得．
．
【變式訓練4-5】如圖，在中，，D是邊上一點，，，設．
(1)求、、的值；
(2)若，求的長．
【答案】(1)，，
(2)3
【分析】（1）根據勾股定理和銳角三角函數的概念來求解；
（2）由和（1）求得的，根據直角三角形銳角三角函數求出，從而求出的長．
【詳解】（1）解：在中，
∵，，
∴，
，，；
（2）在中，
，
即，
∴，
∴．
【點睛】本題考查綜合應用解直角三角形和勾股定理，正確理解正切、正弦和余弦的定義是解題的關鍵．
題型五：互余兩角三角函數的關系
【經典例題5】如果α是銳角，且，那么的值等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查互余的兩角三角函數的關系，熟練掌握互余的兩角三角函數關系是解題的關鍵；
在直角三角形中，時，正余弦之間的關系為：一個角的正弦值等于這個角的余角的余弦值，即；一個角的余弦值等于這個角的余角的正弦值，即，即可解答；
【詳解】，，
；
故選：B．
【變式訓練5-1】在 ABC中，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】在中，，，設，則，根據余弦的定義即可得到答案．
【詳解】解：在中，，，
設，則，
∴．
故選：A．

【點睛】此題考查了銳角三角函數的定義等知識，熟練掌握銳角三角函數的定義是解題的關鍵．
【變式訓練5-2】化簡等于（ ）
A． B．0
C． D．以上都不對
【答案】C
【分析】根據二次根式的性質得出，然后化為同名三角函數，根據三角函數的增減性化簡即可求解．
【詳解】解：，
∵，
∴原式，
故選：C．
【點睛】本題考查了三角函數關系，掌握三角函數的增減性是解題的關鍵．
【變式訓練5-3】在中，，若，則的值為 ．
【答案】
【分析】設，根據勾股定理求出的長，再根據即可
【詳解】解：如圖所示，，
設，

則，
．
故答案為：．
【點睛】此題考查了同角的三角函數，勾股定理，關鍵是熟練運用數形結合的數學方法．
【變式訓練5-4】如圖，在 ABC中，，點在邊上，滿足，若，則圖中等于的角有 個．
【答案】2
【分析】本題考查的是相似三角形的判定與性質，銳角三角函數的應用，先證明，可得，，再證明即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴；
故答案為：2
【變式訓練5-5】已知，中，，，求、、、．
【答案】
【分析】根據題意，作出圖形，在中，，，得到，根據，聯立方程組，由，，求解即可得到；；再根據即可得到答案．
【詳解】解：如圖所示：
中，，，
，
①
又，，②
聯立①②，解得；；
又，
；．
【點睛】本題考查解直角三角形，涉及三角函數定義與性質，熟練掌握，是解決問題的關鍵．
題型六：三角函數綜合
【經典例題6】如圖，矩形的對角線與相交于點O，，直線是線段的垂直平分線，分別交，于點F，G，連接．當時，求的長．
【答案】
【分析】先證明是等邊三角形，再證明四邊形是菱形，計算即可．
【詳解】解：∵直線是線段的垂直平分線，
∴，
∵矩形的對角線與相交于點O，
∴，，
∴，
∴是等邊三角形，
∴，，
∴，，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四邊形是平行四邊形，
∵，
∴四邊形是菱形，
∴，
∴．
【點睛】本題考查了矩形的性質，菱形的判定和性質，等邊三角形的判定和性質，勾股定理，三角函數值的應用，熟練掌握性質和三角函數值是解題的關鍵．
【變式訓練6-1】在中，分別是的中點，于點，于點，連接.
(1)求證：四邊形是平行四邊形.
(2)當，時，求的長.
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）先證，再證和全等得，由此可得出結論；
（2）過點作于點，根據相似三角形的性質得，，再證為等腰直角三角形得，則，再由得，進而可得4，然后在中由勾股定理即可求出的長．
【詳解】（1）證明：∵于點，于點，
∴，，
∴，
∵四邊形為平行四邊形，
∴，
∴，
∵點分別是的中點，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴四邊形是平行四邊形；
（2）過點作于點，如下圖所示：
∵于點，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵點為的中點，
∴，
∴，
∴．
∴，
∴，
∵，
∴為等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
在中，，，
由勾股定理得：．
【點睛】本題考查平行四邊形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、等腰直角三角形的性質、相似三角形的判定和性質、三角函數的定義及勾股定理，熟練掌握相關性質及判定定理是解題關鍵．
【變式訓練6-2】在中，E，F是對角線上的兩點（點E在點F左側），．
(1)求證：四邊形是平行四邊形；
(2)當，，時，四邊形的面積為 ．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）證，再證，得，即可得出結論；
（2）由銳角三角函數定義和勾股定理求出，，再證，則，得，求出進而得出答案．
【詳解】（1）證明：，
，，
，
∵四邊形是平行四邊形，
，，
，
在和中，
，
，
，
四邊形是平行四邊形；
（2）解：在中，，
設，則，
由勾股定理得： ，
解得：或（舍去），
，，
由（1）得：四邊形是平行四邊形，
，，
，
，
，
，
，
設，則，
，
解得： 或（舍去），
即，
∴四邊形的面積，
故答案為：．
【點睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、勾股定理、銳角三角函數定義等知識；熟練掌握平行四邊形的判定與性質，證明三角形全等是解題的關鍵．
【變式訓練6-3】如圖，在中，是上一點，過點作，垂足為．連接并延長交于點．

(1)求證：；
(2)已知為的中點．
①求證：；
②若，求的值．
【答案】(1)證明見解析
(2)①證明見解析；②
【分析】（1）由題中條件，結合兩個三角形相似的判定與性質即可得到答案；
（2）①由（1）中，結合兩個三角形相似的判定與性質判斷即可得到答案；②由（1）中，得到，設設，由勾股定理計算，由即可得到答案．
【詳解】（1）證明：，
，
，
，
，
；
（2）解：①由（1），知，
為的中點，
，
，
，
，
；
②由（1），可得，
，
，
，設，
在中，根據勾股定理，得，
．
【點睛】本題考查相似綜合，涉及兩個三角形相似的判定與性質、中點定義、勾股定理及三角函數等知識，熟練掌握三角形相似的判定與性質是解決問題的關鍵．
【變式訓練6-4】在如圖所示的平行四邊形中，射線、分別平分、，且分別交邊、于點、，已知．
(1)求證：四邊形是菱形；
(2)若為的中點，且的面積等于，求平行線與間的距離．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）先證，再證，從而四邊形是平行四邊形，又，于是四邊形是菱形；
（2）連接，先證明是等邊三角形，得到，再證，，于是有，最后根據面積公式即可求得．
【詳解】（1）證明：四邊形是平行四邊形，
，，
，
、分別平分、，
，，
，
，
四邊形是平行四邊形，
，
四邊形是菱形；
（2）解：連接，
由（1）知，，
，
為的中點，
，
四邊形是菱形，
，
，，
是等邊三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
平行線與間的距離為．
【點睛】本題考查了平行四邊形的判定及性質，菱形的判定與性質，角平分線的定義，等腰三角形的判定，三角函數的應用以及平行線間的距離，熟練掌握相關知識是解題的關鍵．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
21世紀教育網(www.21cnjy.com)中小學教育資源及組卷應用平臺
專題1.2 銳角三角函數的計算六大題型（一課一講）
【浙教版】
題型一：由特殊角的三角函數值判斷三角形形狀
【經典例題1】在 ABC中， ，那么 ABC是（ ）
A．等腰三角形 B．等邊三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【變式訓練1-1】在 ABC中，，都是銳角，且，則 ABC的形狀是（ ）
A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．等邊三角形 D．直角三角形
【變式訓練1-2】在 ABC中，、都是銳角，且，，則 ABC是（ ）.
A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．鈍角三角形
【變式訓練1-3】在 ABC中，，則 ABC的形狀是（ ）
A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不確定
【變式訓練1-4】在 ABC中，若，，都是銳角，則 ABC是 三角形．
【變式訓練1-5】銳角中，，則的形狀是 .
題型二：根據特殊三角函數求角度
【經典例題2】在 ABC中，，若，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練2-1】在 ABC中，若，則的度數是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練2-2】若，均為銳角，且，，則（ ）
A．， B．
C．， D．
【變式訓練2-3】已知α為銳角，且，則α等于 ．
【變式訓練2-4】如圖，在矩形中，是上一點，，，則的度數是 ．
【變式訓練2-5】將一把直尺與一把三角尺按如圖所示的方式放置，若，則的度數為
題型三：已知角度比較兩個三角函數的值
【經典例題3】的大小關系是（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓練3-1】比較，，的大小關系是（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓練3-2】給出下列式子：①，②，③，④．其中正確的是（　　）
A．①③ B．②④ C．①④ D．③④
【變式訓練3-3】若，則（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練3-4】三角函數、、之間的大小關系是（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓練3-5】比較和的大小（ ）
B． C． D．不確定
題型四：利用同角三角函數關系求值
【經典例題4】在等腰三角形中，，點是邊上一點，若，則的度數為 ．
【變式訓練4-1】如圖，已知：是斜邊上的高線，是斜邊上的高線，如果， ，那么等于（　　）
A．2 B．4.5 C．8 D．12.5
【變式訓練4-2】如圖，在矩形中，將邊 繞點B 逆時針旋轉至 ，連接，若，且，則的面積為 ．
【變式訓練4-3】如圖，點A，B，C，D在上，，，，則的長為 ．
【變式訓練4-4】如圖，在中，是上一點，，過點D作于點F，過點C作交的延長線于點E．
(1)求證：四邊形是平行四邊形．
(2)若，求的長．
【變式訓練4-5】如圖，在中，，D是邊上一點，，，設．
(1)求、、的值；
(2)若，求的長．
題型五：互余兩角三角函數的關系
【經典例題5】如果α是銳角，且，那么的值等于（　　）
A． B． C． D．
【變式訓練5-1】在 ABC中，，，則（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練5-2】化簡等于（ ）
A． B．0
C． D．以上都不對
【變式訓練5-3】在中，，若，則的值為 ．
【變式訓練5-4】如圖，在 ABC中，，點在邊上，滿足，若，則圖中等于的角有 個．
【變式訓練5-5】已知，中，，，求、、、．
題型六：三角函數綜合
【經典例題6】如圖，矩形的對角線與相交于點O，，直線是線段的垂直平分線，分別交，于點F，G，連接．當時，求的長．
【變式訓練6-1】在中，分別是的中點，于點，于點，連接.
(1)求證：四邊形是平行四邊形.
(2)當，時，求的長.
【變式訓練6-2】在中，E，F是對角線上的兩點（點E在點F左側），．
(1)求證：四邊形是平行四邊形；
(2)當，，時，四邊形的面積為 ．
【變式訓練6-3】如圖，在中，是上一點，過點作，垂足為．連接并延長交于點．

(1)求證：；
(2)已知為的中點．
①求證：；
②若，求的值．
【變式訓練6-4】在如圖所示的平行四邊形中，射線、分別平分、，且分別交邊、于點、，已知．
(1)求證：四邊形是菱形；
(2)若為的中點，且的面積等于，求平行線與間的距離．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
21世紀教育網(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑