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專題1.1 銳角三角函數七大題型(一課一講)2024-2025九年級下冊數學同步講練【浙教版】(原卷+解析版)

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專題1.1 銳角三角函數七大題型(一課一講)2024-2025九年級下冊數學同步講練【浙教版】(原卷+解析版)

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專題1.1 銳角三角函數七大題型(一課一講)
【浙教版】
題型一:正弦、余弦、正切的概念辨析
【經典例題1】如圖,在 ABC中,,,,,則下列選項錯誤的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】本題主要考查了三角函數的相關定義,根據正弦,余弦,正切的定義一一判斷即可.
【詳解】解:.,正確,故該選項不符合題意;
. ,正確,故該選項不符合題意;
. ,正確,故該選項不符合題意;
.,原表示方法錯誤,故該選項符合題意;
故選:D.
【變式訓練1-1】在中,,若 ABC的三邊都縮小5倍,則的值( )
A.放大5倍 B.縮小5倍 C.不變 D.無法確定
【答案】C
【分析】本題考查了銳角三角函數的定義:在中,.銳角A的對邊a與斜邊c的比叫做的正弦,記作.直接利用銳角的正弦的定義求解.
【詳解】解:∵,
∴的對邊與斜邊的比,
∵的三邊都縮小5倍,
∴的對邊與斜邊的比不變,
∴的值不變.
故選:C.
【變式訓練1-2】如圖,小兵同學從處出發向正東方向走米到達處,再向正北方向走到處,已知,則,兩處相距( )
A.米 B.米 C.米 D.米
【答案】B
【分析】本題考查了銳角三角函數中的余弦值,解題的關鍵在于熟練掌握余弦值的定義,余弦值就是在直角三角形中,銳角的鄰邊與斜邊之比.
根據銳角三角函數中余弦值的定義即可求出答案.
【詳解】解:∵小兵同學從處出發向正東方向走米到達處,再向正北方向走到處,
∴且米


∴米
故選: B.
【變式訓練1-3】在 ABC中,,a,b,c分別為的對邊,下列各式成立的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】本題考查求角的三角函數值,根據銳角三角函數的定義,進行判斷即可.
【詳解】解:∵,a,b,c分別為的對邊,
∴;
故成立的是選項B;
故選B.
【變式訓練1-4】如圖,在中,,為邊上一點,過點作,垂足為,則下列結論中正確的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】本題考查解直角三角形,關鍵是掌握銳角三角函數定義.由銳角的三角函數定義,即可判斷.
【詳解】解:,

、,故不符合題意;
、結論正確,故符合題意;
、,故不符合題意;
、,故不符合題意.
故選:B.
【變式訓練1-5】如圖,梯子(長度不變)與地面所成的銳角為,關于的三角函數值與梯子的傾斜程度之間的關系,下列說法中,正確的是( )
A.的值越大,梯子越陡 B.的值越大,梯子越陡
C.的值越小,梯子越陡 D.陡緩程度與的函數值無關
【答案】A
【分析】本題主要考查了銳角三角形,根據三角函數定義與性質,值越大越大;值越小越大;值越大越大,從而判斷出答案.
【詳解】解:A、的值越大,則越大,則梯子越陡,原說法正確,符合題意;
B、的值越大越小,梯子越平緩,原說法錯誤,不符合題意;
C、的值越小越小,梯子越平緩,原說法錯誤,不符合題意;
D、陡緩程度與的函數值有關,原說法錯誤,不符合題意;
故選:A.
題型二:利用定義求正弦、余弦、正切的值
【經典例題2】如圖,在 ABC中,,,,則的值為( )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】本題主要考查了求角的正切值,勾股定理,先利用勾股定理求出,再根據正切的定義求解即可.
【詳解】解:∵在中,,,,
∴,
∴,
故選:D.
【變式訓練2-1】的值等于( )
A.1 B. C. D.
【答案】C
【分析】本題考查了特殊角的三角函數值,根據特殊角構造直角三角形計算即可.
【詳解】解:如圖,中,,,則,,
∴,
故選:C.
【變式訓練2-2】在 ABC中,,,那么等于( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】此題考查的知識點是特殊角的三角函數值,先根據正切值求出的度數,根據直角三角形的性質得到的度數,再根據余弦的定義即可求解.
【詳解】解:∵,
∴.
∵,
∴,
∴.
故選B.
【變式訓練2-3】如圖,將矩形直線折疊,使得點落在點處,交于點,若,,則的值為( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】首先根據題意證明出,得到,設,則,根據勾股定理求出,然后根據正切的概念求解即可.
【詳解】解:∵四邊形是矩形
∴,,
由折疊可得,,
∴,
又∵
∴,
∴,
設,則
在中,
解得:

故選C.
【點睛】此題考查了勾股定理、矩形的折疊問題、全等三角形的性質和判定、正切的定義等知識,熟練掌握折疊的性質和勾股定理是解題的關鍵.
【變式訓練2-4】如圖, ABC中,,將沿圖中的虛線翻折,使點落在邊上的點處,如果,那么 .
【答案】
【分析】本題考查圖形的翻折變換,設,,根據折疊的性質得,再利用勾股定理求出,最后根據余弦的定義即可得解.解題的關鍵是掌握折疊的性質:折疊前后圖形的形狀和大小不變,如本題中折疊前后對應邊、角相等.
【詳解】解:設,,
∴,
∵將沿圖中的虛線翻折,使點落在邊上的點處,
∴,
∵,
∴,
∴.
故答案為:.
【變式訓練2-5】在 ABC中,,,則的值是( )
A.1 B. C. D.
【答案】D
【分析】本題考查特殊角的三角函數值,三角形內角和定理,解題的關鍵是熟記特殊角的三角函數值.
根據特殊角的三角函數求出,然后利用三角形內角和定理求出,然后利用角的余弦值求解即可.
【詳解】解:在中,,,
∴,
∴,
∴.
故選:D.
題型三:已知正弦、余弦、正切求邊長
【經典例題3】如圖,在 ABC中,,點為的重心,若,,那么的長為( ).
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】本題考查了三角形的重心,三角函數,直角三角形的性質,勾股定理,由點為的重心可得為邊的中線,為邊的中線,,即得,進而由三角函數可得,再由勾股定理得,進而由直角三角形斜邊上的中線長等于斜邊的一半可得,據此即可求解,掌握三角形的重心的性質是解題的關鍵.
【詳解】解:如圖,∵點為的重心,
∴為邊的中線,為邊的中線,,
∴,
∵,,
∴,
即,
∴,
∴,
∵,為邊的中線,
∴,
∴,
故選:.
【變式訓練3-1】在中,,,,則 .
【答案】
【分析】本題考查的是勾股定理的應用,銳角三角函數的應用,根據,結合,設,則,求解,再進一步求解即可.
【詳解】解:∵,
∴ ,
∵,
設,則,
∴,
∴,解得:,
∴,
故答案為6.
【變式訓練3-2】如圖,在 ABC中,是邊上的高,,,,則線段長為
【答案】5
【分析】本題主要考查了余弦的定義,勾股定理,由余弦的定義可得出,根據勾股定理求出,再根據線段的和差即可得出答案.
【詳解】解:∵,,
∴,
∵是邊上的高,
∴,
∴,
∴,
∴,
故答案為:5.
【變式訓練3-3】如圖,在 ABC中,,,是中線,將沿直線翻折后,點落在點,那么的長為 .
【答案】
【分析】作于,交的延長線于,于,則四邊形是矩形,先證明,在中利用勾股定理求出,從而得出,再證明四邊形是平行四邊形,得到,從而解決問題.
本題考查翻折變換、全等三角形的判定和性質、平行四邊形的判定和性質、勾股定理等知識,解題的關鍵是添加輔助線構造全等三角形.
【詳解】解:如圖,過點作于,交的延長線于,過點作于點,
則四邊形是矩形.
,,

,,

在和中,


,,
在中,
,,




將沿直線翻折后,點落在點,
,,




四邊形是平行四邊形,

故答案為:.
【變式訓練3-4】如圖,在紙片中,,,.是邊上一點,連接,沿把紙片裁開,若是等腰三角形,則的長為 .

【答案】或或
【分析】本題考查了三角函數,勾股定理,等腰三角形的性質,先利用三角函數和勾股定理求出,再分,,三種情況畫出圖形解答即可求解,運用分類討論思想解答是解題的關鍵.
【詳解】解:∵,,
∴,
又∵,
∴,
∴,
如圖①,當時,為等腰三角形,
∴;

如圖②,當時,為等腰三角形,
過點作于,則,,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴;

如圖③,當時,為等腰三角形,
過點作于,則,,
∴,
∴,
∴,
即,
∴;

綜上,當是等腰三角形,的長為或或,
故答案為:或或.
【變式訓練3-5】如圖,在矩形中,,,點E在上,,點F在上,,則
【答案】
【分析】根據正切函數的定義得出,利用勾股定理求出的長,過點D作的平行線構造相似三角形,利用相似三角形的性質即可得答案.
本題考查了三角形相似的判定和性質,正切函數,熟練掌握判定,正切函數的應用是解題的關鍵.
【詳解】解:如圖,作交于點M,
則,
四邊形是矩形,
,,

由勾股定理得.
,,





故答案為:.
題型四:銳角三角函數值綜合計算
【經典例題4】計算:
(1);
(2).
【答案】(1)
(2)1
【分析】本題主要考查了特殊角三角函數值的混合計算:
(1)先計算特殊角三角函數值,再根據二次根式的混合計算法則求解即可;
(2)先計算特殊角三角函數值,再根據二次根式的混合計算法則求解即可.
【詳解】(1)解:原式

(2)解:原式

【變式訓練4-1】計算:
(1);
(2).
【答案】(1)
(2)1
【分析】本題考查了實數的混合運算,熟練掌握運算法則是解此題的關鍵.
(1)先根據二次根式的性質、特殊角的三角函數值、絕對值進行計算,再計算乘法,最后計算加減即可;
(2)先計算絕對值、特殊角的三角函數值、乘方、零指數冪,再計算乘法,最后計算加減即可.
【詳解】(1)解:

(2)解:

【變式訓練4-2】計算:
(1)
(2).
【答案】(1)
(2)6.5
【分析】本題考查特殊角三角函數值的混合計算:
(1)將特殊角三角函數值代入計算即可;
(2)將特殊角三角函數值代入計算即可.
【詳解】(1)解:原式

(2)解:,

【變式訓練4-3】計算:
(1);
(2).
【答案】(1)
(2)
【分析】此題考查了實數混合運算的能力,關鍵是代入并計算特殊角的三角函數值.
(1)先代入特殊角的三角函數值,再計算即可;
(2)先代入特殊角的三角函數值,再按運算順序進行計算即可.
【詳解】(1)解:原式;
(2)解:原式.
【變式訓練4-4】計算下列各題:
(1).
(2).
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查了實數的運算、零指數冪的意義、特殊角的三角函數值等知識,解題的關鍵是∶
(1)利用零指數冪、絕對值的意義,特殊角的三角函數值化簡計算即可;
(2)先代入特殊角的三角函數值,再按照先算乘除后算加減的運算法則計算即可.
【詳解】(1)解:原式

(2)解:原式

【變式訓練4-5】(1)計算:
(2)在中,,,,求和,.
【答案】();;(),,.
【分析】()先代入特殊角三角函數值,再根據實數混合運算法則計算即可;
先代入特殊角三角函數值,再根據實數混合運算法則計算即可;
()先根據勾股定理求出的長,然后由正切,正弦和余弦定義即可求解;
本題考查了勾股定理,含特殊角三角函數值的混合運算,解直角三角形,掌握知識點的應用是解題的關鍵.
【詳解】解:()原式

原式

()如圖,
∵,,,
∴,
∴,,.
題型五:構建直角三角形求正弦、余弦、正切值
【經典例題5】如圖,在的網格中,每個小正方形的邊長均為1,若點,,都在格點上,則的值為( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】本題考查了勾股定理,角的正弦值,能夠作出輔助線得到直角三角形是解題關鍵.
如圖,取格點,可通過勾股定理算出三者長度,再通過勾股定理逆定理得到為直角三角形,進而通過正弦的定義即可解題.
【詳解】解:取格點,通過勾股定理可算出
,,
得到
∴為直角三角形,且

故選:A.
【變式訓練5-1】正方形網格中,如圖所示放置(點A,O,C均在網格的格點上,且點C 在上),則的值為( )
A. B. C. D.1
【答案】B
【分析】本題考查了銳角三角函數的定義,勾股定理,勾股定理逆定理,找出邊上的格點,連接,利用勾股定理求出、、的長度,再利用勾股定理逆定理證明是直角三角形,然后根據正弦的定義計算即可得解.
【詳解】如圖,為邊上的格點,連接,
根據勾股定理,,


所以,,
所以,是直角三角形,

故選:B.
【變式訓練5-2】如圖, ABC的頂點是正方形網格的格點,則的值為( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】本題考查求角的正切值,勾股定理,正正方形的性質,掌握正切的定義并構造直角三角形是本題的關鍵.
首先構造以A為銳角的直角三角形,然后利用正切的定義即可求解.
【詳解】解:取格點,連接.根據正方形的性質可得,
由勾股定理得,,
∴.
故選:A.
【變式訓練5-3】如圖,在由邊長為1的小正方形組成的網格中,點 A、B、C都在小正方形的頂點上,則的值為( )
A.1 B. C. D.
【答案】C
【分析】本題考查了銳角三角函數的定義,利用正切函數等于對邊比鄰邊是解題關鍵.
根據正切是對邊比鄰邊,可得答案.
【詳解】解:如圖,過點作延長線的垂線,垂足為點,
∴,
故選:C.
【變式訓練5-4】在 的正方形網格中,點 都是格點(網格線的交點),則的值是 ( )

A. B. C. D.
【答案】D
【分析】本題主要考查了網格與勾股定理,求角的正弦值,過A點作垂線與點D,
根據網格信息可得出,利用網格與勾股定理可得出,最后根據正弦的定義求解即可.
【詳解】解:過A點作垂線與點D,
根據網格信息可得出,

∴,
故選:D.

【變式訓練5-5】如圖, ABC的三個頂點均在正方形網格的格點上,則的值為( )
A.1 B. C. D.
【答案】D
【分析】此題考查了銳角三角函數定義,根據正切函數的定義,可得答案.熟練掌握銳角三角函數定義是解本題的關鍵..
【詳解】解:在中,,,,
∴,
故選:D.
【變式訓練5-6】如圖,是由的小正方形組成的網格,小正方形的邊長均為1, ABC的三個頂點都在格點上,則的值是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】此題考查了求一個角的正弦,勾股定理,首先求出,然后利用正弦的概念求解即可.
【詳解】解:∵
∴.
故選:B.
題型六:利用三角函數值判斷取值范圍
【經典例題6】已知在△ABC中,∠C=90°,∠B<∠A,設sinB=n,那么n的取值范圍是(  )
A.0<n<1 B. C. D.
【答案】C
【分析】由題意易知0°<∠B<45°,然后根據三角函數值可進行求解.
【詳解】解:在△ABC中,∠C=90°,∠B<∠A,且,
∴0°<∠B<45°,
∴,即;
故選C.
【點睛】本題主要考查特殊三角函數值,熟練掌握三角函數是解題的關鍵.
【變式訓練6-1】如圖,在中,,AB=5,BC=4,點D為邊AC上的動點,作菱形DEFG,使點E、F在邊AB上,點G在邊BC上.若這樣的菱形能作出兩個,則AD的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【分析】因為在中只能作出一個正方形,所以要作兩個菱形則AD必須小于此時的AD,也即這是AD的最大臨界值;當AD等于菱形邊長時,這時恰好可以作兩個菱形,這是AD最小臨界值.然后分別在這2種情形下,利用相似三角形的性質求出AD即可.
【詳解】過C作交DG于M
由三角形的面積公式得
即,解得
①當菱形DEFG為正方形時,則只能作出一個菱形
設:,
為菱形,
,,即,得
()
若要作兩個菱形,則;
②當時,則恰好作出兩個菱形
設:,
過D作于H,
由①知,,,得
綜上,
故選:B.
【點睛】本題考查了相似三角形的性質、銳角三角函數,依據圖形的特點判斷出兩個臨界值是解題關鍵.
【變式訓練6-2】若有意義,則銳角α的取值范圍是( )
A.30°≤α<90° B.0°<α≤30° C.60°≤α<90° D.0°<α≤60°
【答案】D
【詳解】試題解析:根據二次根式有意義的條件可知:
解得:
余弦值隨銳角α的增大而減小,
銳角的取值范圍是
故選D.
點睛:二次根式有意義的條件是:被開方數大于或等于零.
【變式訓練6-3】已知β為銳角,cosβ≤,則β的取值范圍為( )
A.30°≤β<90° B.0°<β≤60°
C.60°≤β<90° D.30°≤β<60°
【答案】C
【詳解】試題分析:∵cos60°=,余弦函數隨角增大而減小,
又cosβ≤,
所以銳角β的取值范圍為60°≤β<90°.
故選C.
考點:銳角三角函數的增減性.
【變式訓練6-4】若sinα<cosα,則銳角α的取值范圍是( )
A.α<60° B.45°<α C.α<45° D.不能確定
【答案】C
【詳解】試題解析:當時,sinα=cosα,
正弦值隨銳角α的增大而增大,余弦值隨銳角α的增大而減小,
故C正確.
故選C.
點睛:正弦值隨銳角度數的增大而增大,余弦值隨銳角度數的增大而減小.
【變式訓練6-5】在平面直角坐標系中,定義直線為拋物線的特征直線,為其特征點.若拋物線的對稱軸與x軸交于點D,其特征直線交y軸于點E,點F的坐標為,,若,則b的取值范圍是( )
A. B.
C.或 D.或
【答案】D
【分析】由題意知,當x=0時,特征直線y=b,且其特征直線交y軸于點E,得點E坐標,然后根據平行線的性質得CE=DF,1+=a,分當-1<a< 時,當<a<1時,兩種情況可得答案.
【詳解】解:由題意知,當x=0時,特征直線y=b,且其特征直線交y軸于點E,則點E(0,b).
∵DE∥CF,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴或,
∵DE∥CF,CE∥DF,
∴CE=DF,
由題意,得,
∴,即,
當時,
當時,得,,
當時,得,,
綜上所述:或,
故選:D.
【點睛】本題考查的是二次函數的圖象和性質,掌握二次函數圖象點的坐標的特點是解決此題關鍵.
題型七:銳角三角函數綜合
【經典例題7】已知是的角平分線,,,,,
(1)求證:;
(2)求的面積.
【答案】(1)證明過程見詳解
(2)的面積為
【分析】本題主要考查全等三角形的判定和性質,含角的直角三角形的性質,角平分線的性質,
(1)在直角中,根據的余弦值的計算可得,是平分線,可得,則,可證,由此即可求證;
(3)在直角中,根據的正切值的計算可得,再根據三角形面積的計算公式即可求解.
【詳解】(1)證明:∵,,,
∴在中,,
∴,
∵平分,
∴,
∴,
在中,,
在中,

∴,
∴;
(2)解:∵,,
∴在中,,即,
∴,
∴,
∴的面積為.
【變式訓練7-1】如圖,中,對角線平分.

(1)求證:是菱形;
(2)若,,求菱形的邊長.(參考數據:,,)
【答案】(1)見解析
(2)5
【分析】此題考查平行四邊形性質和菱形的判定和性質,等腰三角形的判定,解直角三角形.
(1)根據平行四邊形性質得出,再結合角平分線的定義及等腰三角形的判定即可得出,,根據鄰邊相等的平行四邊形是菱形進而得出結論;
(2)連接,由菱形性質可知,,,在利用余弦求出長即可.
【詳解】(1)證明:∵四邊形是平行四邊形,
∴.
∴.
∵平分,
∴.
∴.
∴.
∴四邊形是菱形.
(2)連接,交于點O,

∵四邊形是菱形.,,
∴,,,
∴,
即菱形的邊長為5.
【變式訓練7-2】如圖,在中,,D是邊的中點,,垂足為E,,.
(1)求的長.
(2)求的正弦值.
【答案】(1)5
(2)
【分析】本題考查了正弦與余弦、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半,熟練掌握正弦與余弦的概念是解題關鍵.
(1)先根據余弦的定義可得,再根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可得;
(2)先求出,利用余弦可求出的長,從而可得的長,再在中,利用正弦的定義求解即可得.
【詳解】(1)解:∵在中,,,,
∴,
∴,
∵是邊的中點,
∴,
所以的長為5.
(2)解:∵是斜邊的中點,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,即,
解得,
∴,
∴,
所以的正弦值為.
【變式訓練7-3】如圖,中,是斜邊的中線.
(1)尺規作圖:作出以為直徑的,與交于點,與交于點;
(2)若,,求的長;
(3)連接,交于點,若,求的值.
【答案】(1)見詳解
(2)
(3)
【分析】(1)以為圓心定長為半徑畫弧,以為圓心定長為半徑畫弧,兩弧交于點、,連接交于點,以為圓心,為半徑畫圓;
(2)連接,由相似三角形的判定與性質可得,,的長,然后由三角形的面積公式可得問題的答案;
(3)根據直角三角形斜邊上中線的性質及平行線的判定得,再由平行線截線段成比例得,令,則,,根據勾股定理得長,即可得到答案.
【詳解】(1)解:以為圓心定長為半徑畫弧,以為圓心定長為半徑畫弧,兩弧交于點、,連接交于點,以為圓心,為半徑畫圓;
(2)連接,
,,

同理,,





(3)為中線,







令,則,,



【點睛】此題考查圓的綜合,作圖及直角三角形性質,勾股定理,相似三角形的判定與性質,中位線的性質,求角的正切值,掌握其性質定理是解決此題關鍵.
【變式訓練7-4】如圖,是的直徑,點在上,,點為上一點,且,連接.

(1)求的直徑;
(2)若點為的中點,求的長.
【答案】(1)的直徑為10
(2)
【分析】此題考查了圓周角定理、垂徑定理、解直角三角形等知識;
(1)根據圓周角定理求出,,根據銳角三角函數求解即可;
(2)根據勾股定理求出,根據垂徑定理求出垂直平分,,根據三角形中位線的判定與性質求出,則,再根據勾股定理求解即可.
【詳解】(1)解:為的直徑,

點、在圓上,





的直徑為10;
(2)解:連接交于點,如圖所示,

由(1)得,直徑,
在中,,
點為的中點,

垂直平分,
,,
是的中位線,



【變式訓練7-5】如圖,是直徑,弦于點,連接,過點作的切線,與的平分線交于點,與交于點,交于點,交與點,連接.
(1)求證:;
(2)若 ,,求線段的長.
【答案】(1)證明見解析;
(2).
【分析】()由垂徑定理可得,即得是的垂直平分線,即可得;
()由垂徑定理可得得,,即得,由圓周角定理得,即可得,得到,進而由勾股定理得,即得,再證明,得到,據此即可求解.
【詳解】(1)證明:∵為的直徑,弦于,
∴,
∴是的垂直平分線,
∴;
(2)解:∵,,
∴,,
∴,
∵,
∴,
∴,

在中,由勾股定理得,,
∴,
∵平分,

∵是的切線 ,
∴,
∴ ,
∴,
∴,
∴,
又∵,
∴,
∴,
∴,
∴.
【點睛】本題考查了垂徑定理,線段垂直平分的性質,圓周角定理,三角函數,勾股定理,相似三角形的判定和性質,掌握以上知識點是解題的關鍵.
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專題1.1 銳角三角函數七大題型(一課一講)
【浙教版】
題型一:正弦、余弦、正切的概念辨析
【經典例題1】如圖,在 ABC中,,,,,則下列選項錯誤的是( )
A. B. C. D.
【變式訓練1-1】在中,,若 ABC的三邊都縮小5倍,則的值( )
A.放大5倍 B.縮小5倍 C.不變 D.無法確定
【變式訓練1-2】如圖,小兵同學從處出發向正東方向走米到達處,再向正北方向走到處,已知,則,兩處相距( )
A.米 B.米 C.米 D.米
【變式訓練1-3】在 ABC中,,a,b,c分別為的對邊,下列各式成立的是( )
A. B. C. D.
【變式訓練1-4】如圖,在中,,為邊上一點,過點作,垂足為,則下列結論中正確的是( )
A. B. C. D.
【變式訓練1-5】如圖,梯子(長度不變)與地面所成的銳角為,關于的三角函數值與梯子的傾斜程度之間的關系,下列說法中,正確的是( )
A.的值越大,梯子越陡 B.的值越大,梯子越陡
C.的值越小,梯子越陡 D.陡緩程度與的函數值無關
題型二:利用定義求正弦、余弦、正切的值
【經典例題2】如圖,在 ABC中,,,,則的值為( )
A. B. C. D.
【變式訓練2-1】的值等于( )
A.1 B. C. D.
【變式訓練2-2】在 ABC中,,,那么等于( )
A. B. C. D.
【變式訓練2-3】如圖,將矩形直線折疊,使得點落在點處,交于點,若,,則的值為( )
A. B. C. D.
【變式訓練2-4】如圖, ABC中,,將沿圖中的虛線翻折,使點落在邊上的點處,如果,那么 .
【變式訓練2-5】在 ABC中,,,則的值是( )
A.1 B. C. D.
題型三:已知正弦、余弦、正切求邊長
【經典例題3】如圖,在 ABC中,,點為的重心,若,,那么的長為( ).
A. B. C. D.
【變式訓練3-1】在中,,,,則 .
【變式訓練3-2】如圖,在 ABC中,是邊上的高,,,,則線段長為
【變式訓練3-3】如圖,在 ABC中,,,是中線,將沿直線翻折后,點落在點,那么的長為 .
【變式訓練3-4】如圖,在紙片中,,,.是邊上一點,連接,沿把紙片裁開,若是等腰三角形,則的長為 .

【變式訓練3-5】如圖,在矩形中,,,點E在上,,點F在上,,則
題型四:銳角三角函數值綜合計算
【經典例題4】計算:
(1);
(2).
【變式訓練4-1】計算:
(1);
(2).
【變式訓練4-2】計算:
(1)
(2).
【變式訓練4-3】計算:
(1);
(2).
【變式訓練4-4】計算下列各題:
(1).
(2).
【變式訓練4-5】(1)計算:
(2)在中,,,,求和,.
題型五:構建直角三角形求正弦、余弦、正切值
【經典例題5】如圖,在的網格中,每個小正方形的邊長均為1,若點,,都在格點上,則的值為( )
A. B. C. D.
【變式訓練5-1】正方形網格中,如圖所示放置(點A,O,C均在網格的格點上,且點C 在上),則的值為( )
A. B. C. D.1
【變式訓練5-2】如圖, ABC的頂點是正方形網格的格點,則的值為( )
A. B. C. D.
【變式訓練5-3】如圖,在由邊長為1的小正方形組成的網格中,點 A、B、C都在小正方形的頂點上,則的值為( )
A.1 B. C. D.
【變式訓練5-4】在 的正方形網格中,點 都是格點(網格線的交點),則的值是 ( )

A. B. C. D.
【變式訓練5-5】如圖, ABC的三個頂點均在正方形網格的格點上,則的值為( )
A.1 B. C. D.
【變式訓練5-6】如圖,是由的小正方形組成的網格,小正方形的邊長均為1, ABC的三個頂點都在格點上,則的值是( )
A. B. C. D.
題型六:利用三角函數值判斷取值范圍
【經典例題6】已知在△ABC中,∠C=90°,∠B<∠A,設sinB=n,那么n的取值范圍是(  )
A.0<n<1 B. C. D.
【變式訓練6-1】如圖,在中,,AB=5,BC=4,點D為邊AC上的動點,作菱形DEFG,使點E、F在邊AB上,點G在邊BC上.若這樣的菱形能作出兩個,則AD的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
【變式訓練6-2】若有意義,則銳角α的取值范圍是( )
A.30°≤α<90° B.0°<α≤30° C.60°≤α<90° D.0°<α≤60°
【變式訓練6-3】已知β為銳角,cosβ≤,則β的取值范圍為( )
A.30°≤β<90° B.0°<β≤60°
C.60°≤β<90° D.30°≤β<60°
【變式訓練6-4】若sinα<cosα,則銳角α的取值范圍是( )
A.α<60° B.45°<α C.α<45° D.不能確定
【變式訓練6-5】在平面直角坐標系中,定義直線為拋物線的特征直線,為其特征點.若拋物線的對稱軸與x軸交于點D,其特征直線交y軸于點E,點F的坐標為,,若,則b的取值范圍是( )
A. B.
C.或 D.或
題型七:銳角三角函數綜合
【經典例題7】已知是的角平分線,,,,,
(1)求證:;
(2)求的面積.
【變式訓練7-1】如圖,中,對角線平分.

(1)求證:是菱形;
(2)若,,求菱形的邊長.(參考數據:,,)
【變式訓練7-2】如圖,在中,,D是邊的中點,,垂足為E,,.
(1)求的長.
(2)求的正弦值.
【變式訓練7-3】如圖,中,是斜邊的中線.
(1)尺規作圖:作出以為直徑的,與交于點,與交于點;
(2)若,,求的長;
(3)連接,交于點,若,求的值.
【變式訓練7-4】如圖,是的直徑,點在上,,點為上一點,且,連接.

(1)求的直徑;
(2)若點為的中點,求的長.
【變式訓練7-5】如圖,是直徑,弦于點,連接,過點作的切線,與的平分線交于點,與交于點,交于點,交與點,連接.
(1)求證:;
(2)若 ,,求線段的長.
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