資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
專題1.3.2 解直角三角形（二）六大題型（一課一講）
【浙教版】
題型一：實際應用之仰角俯角問題
【經典例題1】如圖，小明為了測量學校旗桿的高度，在地面離旗桿底部C處22米的A處放置高度為1.5米的測角儀，測得旗桿頂端D的仰角為，求旗桿的高度．（結果精確到0.1米）【參考數據：，，】
【答案】旗桿的高約為米
【分析】本題考查的是解直角三角形的應用仰角俯角問題，掌握仰角俯角的概念、熟記銳角三角函數的定義是解題的關鍵．
根據于E，利用正切的概念求出的長，結合圖形計算即可．
【詳解】解：由題意得，于E，
米，，
在中，（米），
（米），
答：旗桿的高約為米．
【變式訓練1-1】在數學綜合實踐活動中，次仁和格桑自主設計了“測量家附近的一座小山高度”的探究作業．如圖，次仁在A處測得山頂C的仰角為；格桑在B處測得山頂C的仰角為．已知兩人所處位置的水平距離米，A處距地面的垂直高度米，B處距地面的垂直高度米，點M，F，N在同一條直線上，求小山的高度．（結果保留根號）

【答案】米
【分析】本題主要考查了矩形的判定和性質，解直角三角形的應用，證明四邊形和四邊形為矩形，得出米，米，，，設，則米，解直角三角形得出，，根據米，得出，求出，最后得出答案即可．
【詳解】解：根據題意可得：，，
∴四邊形和四邊形為矩形，
∴米，米，，，
∴（米），
設，則米，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵米，
∴，
解得：，
∴米．
【變式訓練1-2】小智測量廣場上籃球筐距地面的高度．如圖，已知籃球筐的直徑約為，小智站在C處，先仰視籃球筐直徑的一端 A處，測得仰角為 ，再調整視線，測得籃球筐直徑的另一端B處的仰角為．若小智的目高為，求籃球筐距地面的高度．(結果精確到，參考數據：, , ,)
【答案】籃球筐距地面的高度約為
【分析】本題考查解直角三角形的實際應用——仰俯角問題，恰當構造直角三角形，正確應用銳角三角函數的定義式是解題的關鍵．
過點B作，交的延長線于點G，過點O作于點E，延長交 于點 F，，解可得，解，建立方程求解即可．
【詳解】解：如圖，過點B作，交的延長線于點G，過點O作于點E，延長交 于點 F．
由題意得，，．
設，則．
在中，，，
解得，
∴．
在中，，，
∴,
解得，
∴，
∴．
答：籃球筐距地面的高度約為．
【變式訓練1-3】小樂同學家住大樓甲中，某個周末，他站在陽臺眺望遠方，當看到正對面的大樓乙時，陷入了思考：對面的大樓乙有多高？于是小樂做了一個簡易的測角儀用來觀測大樓乙的頂端與底端．如圖，小樂家在點處，當他抬頭觀察大樓乙的頂端時，記其仰角為，觀測大樓乙的底端時，記其俯角為，整理所測數據：，．已知甲、乙兩棟大樓的間距為．請根據題目數據幫助小樂計算出大樓乙的高度．（圖中所有點在同一個平面內，，，結果保留根號）
【答案】大樓乙的高度為
【分析】本題考查了解直角三角形的應用，仰角與俯角的概念，熟練掌握以上知識點是解題的關鍵．過點作，垂足為，在中，通過算得，在中，通過算得，最后通過，算得答案．
【詳解】如圖，過點作，垂足為
根據題意可知，
在中，
在中，
故大樓乙的高度為．
【變式訓練1-4】如圖，甲乙兩幢樓之間的距離等于45米，現在要測乙樓的高，（），所選觀察點A在甲樓一窗口處，．從A處測得乙樓頂端B的仰角為45°，底部C的俯角為30°，求乙樓的高度 （取，結果精確到1米）．
【答案】約為71米
【分析】本題考查了解直角三角形的實際應用，首先分析圖形，根據題意構造直角三角形．本題涉及多個直角三角形，應利用其公共邊構造關系式求解．
【詳解】解：從觀察點A作，交于點E，依題意，可知（米），．
∵,
∴為等腰直角三角形．
∴（米）．
在中，，得
（米）
∴ （米）．
答：乙樓的高度約為71米．
【變式訓練1-5】研學實踐：為重溫解放軍東渡黃河“紅色記憶”，學校組織研學活動，同學們來到毛主席東渡黃河紀念碑所在地，在了解相關歷史背景后，利用航模搭載的掃描儀采集紀念碑的相關數據．
數據采集：如圖，點A是紀念碑頂部一點，的長表示點A到水平地面的距離．航模從紀念碑前水平地面的點M處豎直上升，飛行至距離地面20米的點處時，測得點A的仰角；然后沿方向繼續飛行，飛行方向與水平線的夾角，當到達點A正上方的點處時，測得米
數據應用：已知圖中各點均在同一豎直平面內，E，A，B三點在同一直線上．請根據上述數據，計算紀念碑頂部點A到地面的距離的長．（結果精確到1米．參考數據：，，，，，）
【答案】點A到地面的距離的長約為27米
【分析】本題主要考查了解直角三角形、矩形的性質等知識點，正確作出輔助線構造直角三角形成為解題的關鍵．
如圖：延長交于點，根據矩形的性質得到，再解直角三角形得到、；設，則，然后列關于x的方程求解即可．
【詳解】解：如圖：延長交于點，則四邊形為矩形，
，
在中，，，
，
，
在中，，，
，
，
設．
，
，
，解得，
（米）．
答：點A到地面的距離的長約為27米．
題型二：實際應用之方位角問題
【經典例題2】讓運動揮灑汗水，讓青春閃耀光芒．重慶某中學倡議全校師生“每天運動一小時，快樂學習每一天”，響應學校號召，小明決定早睡早起，每天步行上學．如圖，小明家在A處，學校在C處，從家到學校有兩條線路，他可以從點A經過點B到點C，也可以從點A經過點D到點C．經測量，點B在點A的正北方向，米．點C在點B的北偏東；點D在點A的正東方向，點C在點D的北偏東方向，米．
(1)求的長度（精確到個位）；
(2)小明每天步行上學都要從點A到點C，路線一；從點A經過點B到點C，路線二；從點A經過點D到點C，請計算說明他走哪一條路線較近？（參考數據：，，）
【答案】(1)3127米
(2)路線二較近，見解析
【分析】本題考查了解直角三角形的應用——方向角問題，正確作出輔助線構造直角三角形是解題的關鍵．
（1）過點C作交的延長線于點M，過點B作交于點N，過點D作交于點H，則四邊形、四邊形、四邊形都是矩形，是等腰直角三角形，在中求出的長，進而可求的長，在中，即可求出的長度；
（2）分別求出和的長度，然后進行比較即可．
【詳解】（1）解：過點C作交的延長線于點M，過點B作交于點N，過點D作交于點H．
由題可知：，，．
∴四邊形、四邊形、四邊形都是矩形，是等腰直角三角形．
在中，
∵，米，
∴米，米，
∵米，
∴米，
在中，，
∴米米，
答：BC的長度為3127米．
（2）解：路線一：米米
∵米，
∴米，
∴路線二：米米，
∵，
∴路線二較近．
【變式訓練2-1】如圖為某景區平面示意圖，為景區大門，，，分別為三個風景點．經測量，，，在同一直線上，且，在的正北方向，米，點在點的南偏東方向，在點的東南方向．（參考數據：，）
(1)求，兩地的距離；（結果精確到0.1米）
(2)大門在風景點的南偏西方向，景區管理部門決定重新翻修之間的步道，求間的距離．
【答案】(1)、兩地的距離約為339.4米
(2)米
【分析】本題考查了解直角三角形的應用，解題的關鍵是：
（1）過點作于點，可求出，利用含的直角三角形的性質得出，在中，利用正弦定義可求出，即可求解；
（2）過點作于點，在中，利用正弦定義可求出、，在中，利用含的直角三角形的性質可求出，即可求解．
【詳解】（1）解：過點作于點，
由題意知，，
，，
，，
在中，米，
（米），
（米）．
答：、兩地的距離約為339.4米；
（2）解：過點作于點，
由（1）得（米），
，，，
，
，
在中，，，
（米），
在中，，
（米），
（米）．
【變式訓練2-2】小明和小玲游覽一處景點，如圖，兩人同時從景區大門出發，小明沿正東方向步行60米到一處小山處，再沿著前往寺廟處，在處測得亭臺在北偏東方向上，而寺廟在的北偏東方向上，小玲沿著的東北方向上步行一段時間到達亭臺處，再步行至正東方向的寺廟處．
(1)求小山與亭臺之間的距離；（結果保留根號）
(2)若兩人步行速度一樣，則誰先到達寺廟處．（結果精確到個位，參考數據：，，）
【答案】(1)小山與亭臺之間的距離米
(2)小玲先到達寺廟處
【分析】本題考查了解直角三角形的應用，正確作出輔助線是解答本題的關鍵．
（1）作于點，在中求出，然后在中即可求解；
（2）延長，作于點，作于點，則，在中求出，米，在中求出，，進而求出兩人行走的路程可得答案．
【詳解】（1）作于點，
由題意知，，，，，
在中，
在中，，，
小山與亭臺之間的距離米
（2）延長，作于點，作于點，則，
由題意知，，
∴四邊形是矩形，
∴．
∵，，
∴，
在中，，米，
在中，，
米，
米，
且兩人速度一致，
小玲先到．
答：小玲先到達寺廟處．
【變式訓練2-3】某市要在東西方向M，N兩地之間修建一條道路．如圖，C點周圍范圍內為文物保護區，在上點A處測得C在A的北偏東方向上，從A向東走到達B處，測得C在B的北偏西方向上，則是否穿過文物保護區？為什么？
【答案】不能．理由見解析
【分析】本題考查了解直角三角形的應用，過點C作于點D，求出C到的距離為并與比較即可得出結論．
【詳解】解：不能．理由如下：
由題意可得，
設C到的距離為，如圖，過點C作于點D，
則，
則有，
∴，，
∵，
∴，
解得，
∵，
∴不穿過文物保護區．
【變式訓練2-4】今年暑假，媽媽帶著明明去草原騎馬，如圖，媽媽位于游客中心A的正北方向的B處，其中，明明位于游客中心A的西北方向的C處．烈日當空，媽媽準備把包里的太陽帽給明明送去，于是，媽媽向正西方向勻速步行，同時明明騎馬向南偏東方向緩慢前進．15分鐘后，他們再游客中心A的北偏西方向的點D處相遇．

(1)求媽媽步行的速度；
(2)求明明從C處到D處的距離．
【答案】(1)媽媽步行的速度為
(2)明明從C處到D處的距離約為
【分析】本題考查解直角三角形的應用-方向角問題，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造直角三角形，掌握方向角定義．
（1）根據正切函數求出的長，即路程，則速度=路程÷時間，代入計算即可；
（2）過點C作交延長線于點E，設，過點D作于點F，得矩形，可得，表示出，，進而得出結論．
【詳解】（1）解：根據題意可知：，
∴，
∴，
答：媽媽步行的速度為；
（2）解：如圖，過點C作交延長線于點E，

∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
設，
過點D作于點F，得矩形，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
答：明明從C處到D處的距離約為．
【變式訓練2-5】如圖，一艘船從處出發沿著正東方向航行，此時岸邊的瞭望塔在處的西北方向上；當天到達處，此時瞭望塔在處的北偏西方向上，已知該船的平均速度是30海里/小時，問： ABC的面積是多少平方海里？（結果精確到0.1，參考數據：，）
【答案】平方海里
【分析】本題考查的是解直角三角形的應用方向角問題，正確根據題意畫出圖形、準確標注方向角、熟練掌握銳角三角函數的概念是解題的關鍵．過點作于點，海里，根據銳角三角函數的概念求出的值，再求出的面積．
【詳解】解：如圖，過點作于點，
由題意得：（海里），
,
,
設海里，
中，，
，
，
，
（海里），
的面積（平方海里）
【變式訓練2-6】隨著南海局勢的升級，中國政府決定在黃巖島填海造陸，修建機場，設立雷達塔．某日， 在雷達塔 A 處偵測到東北方向上的點 B 處有一艘菲律賓漁船進入我方偵測區域，且以 30 海里/時的速度往正南方向航行，我方與其進行多次無線電溝通無果后，這艘漁船行駛了 1 小時 10 分到達點 A 南偏東方向的 C 處，與此同時我方立即通知（通知時間忽略不 計）與 A 、C 在一條直線上的中國海警船往正西方向對該漁船進行偵測攔截，其中海警船位于與 A 相距 100 海里的 D 處．
(1)求的距離和點 D 到直線的距離；
(2)若海警船航行速度為 40 海里/時，可偵測半徑為 25 海里，當海警船航行 1 小時時，是否可以偵測到菲律賓漁船，為什么？（參考數據： ， ， ）
【答案】(1)的距離為25海里，點D到直線的距離為60海里
(2)可以偵測到菲律賓漁船，理由見解析
【分析】本題考查解直角三角形的應用：
（1）作于E，于F，根據方向角和銳角三角函數的定義求出，求出，根據題意求出，根據正弦的定義求出；
（2）設1小時后，海警船到達點，菲律賓漁船到達點，分別求出的長，勾股定理求出的長，判斷即可．
【詳解】（1）解：作于E，于F，
由題意得，，設海里，
∵，
∴，
∴，
解得，，
∴，
∴，
∴，
∴，
答：的距離為25海里，點D到直線的距離為60海里；
（2）能，理由如下：
設1小時后，海警船到達點，菲律賓漁船到達點，則，，
由（1）知，
∴，，
由勾股定理，得：
故可以偵測到菲律賓漁船．
題型三：實際應用之坡度坡比問題
【經典例題3】某中學鳳棲堂前一尊孔子雕像矗立于萋萋芳草間，小剛站在雕像前，自C處測得雕像頂A的仰角為，小強站鳳棲堂門前的臺階上，自D處測得雕像頂A的仰角為，此時，兩人的水平距離為，已知鳳棲堂門前臺階斜坡的坡比為．（參考數據：，，）
(1)計算臺階的高度；
(2)求孔子雕像的高度．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查的是解直角三角形的應用﹣坡度坡角，解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題，掌握仰角俯角的概念、熟記銳角三角函數的定義是解題的關鍵．
（1）根據鳳棲堂門前臺階斜坡的坡比為計算即可；
（2）設的對邊為，作于F，根據矩形的性質得到，，根據等腰直角三角形的性質、正切的定義計算，得到答案．
【詳解】（1）解：∵鳳棲堂門前臺階斜坡的坡比為，為，
∴，
，
即臺階的高度為；
（2）解：如圖所示，設的對邊為，作于F，
∴由題意得，四邊形是矩形，
∴，，
設，則，
在中，，
∴，
∴，
∴，即，
解得，
經檢驗，是原方程的解，
答：孔子雕像的高度約．
【變式訓練3-1】如圖1，某超市從底樓到二樓有一自動扶梯，圖2是側面示意圖，已知自動扶梯的長度是米，是二樓樓頂，，點C是上處在自動扶梯頂端B 點正上方的一點，，在自動扶梯底端點A處測得C點的仰角為，坡角 為求二樓的層高（精確到0.1米）．（參考數據：）
【答案】二樓的層高約為米．
【分析】本題考查的是解直角三角形的應用，延長交于點D，根據坡度角的度數求得的長，然后在直角中利用三角函數即可求得的長，可得的值．
【詳解】解：延長交于點D，
∵，，
∴．
∵坡角為，
∴，
設米，米，則米．
∵米，
∴，
∴米，米．
在中，，，
∴米，
∴（米）．
答：二樓的層高約為米．
【變式訓練3-2】過街天橋的出現，解決了“過街”難題，也已成為一道獨特的風景線，下圖是某 過街天橋的截橫面，橋頂 平行于地面， 天橋斜面的坡度為， 長， 天橋另一斜面的坡角．
(1)求點 D到地面 的距離；
(2)為了更方便過路群眾，若對該過街天橋進行改建，使斜面的坡角變為30°，改建后斜面為，則斜面的坡角，試計算此改建需占路面的寬度的長(結果精確到)(參考數據)
【答案】(1)點D到地面BC的距離為 ；
(2)改建后需占路面寬度 的長為
【分析】本題考查了坡度坡角的知識，解答本題的關鍵是理解坡度坡角的定義，掌握坡度坡角的正切值．
（1）作于點，根據坡度的概念求出；
（2）過點A作，根據坡角的度數和鉛直高的長求出水平寬、的長，進而可由求得的長．
【詳解】（1）作于點，
，
∵斜面的坡度為
，
,
,
答：點到地面的距離為；
（2）作 于點，
∵天橋斜面的坡角，
，
∵斜面的坡角，
，
，
,
答：此改建需占路面的寬度的長約為．
【變式訓練3-3】如圖，某大樓的頂部豎有一塊廣告牌，小明在山坡的坡腳處測得廣告牌底部的仰角為60°．沿坡面向上走到處測得廣告牌頂部的仰角為45°，已知山坡的坡度，米，米．
(1)求點距水平面的高度；
(2)求廣告牌的高度．（測角器的高度忽略不計，結果精確到0.1米．參考數據：，）
【答案】(1)5米
(2)宣傳牌高約為2.7米
【分析】本題考查了仰角、坡度的定義，能夠正確地構建出直角三角形，將實際問題化歸為解直角三角形的問題是解答此類題的關鍵．
（1）在中，通過解直角三角形求出；
（2）過B作的垂線，設垂足為G，在中解直角三角形求出的長，進而可求出，即的長，在中，，則，由此可求出的長，然后根據即可求出宣傳牌的高度．
【詳解】（1）解：在中，，
∴，
∴米；
（2）解：過B作于G，
由（1）得，米，米，
∴米，
在中，，
∴米；
在中，，米，
∴米，
∴米，
所以，宣傳牌高約為2.7米
【變式訓練3-4】某商場為方便顧客使用購物車，將滾動電梯的原坡面改造為坡面．已知改動后電梯的坡面長，原坡面坡角，新坡面的坡度．
(1)求斜坡底部增加的長度；（結果保留根號）
(2)電梯頂部水平線，電梯上方點處有懸掛廣告牌，，．若高度的物品乘電梯上行，行進過程中是否會碰到廣告牌的下端？請通過計算說明理由．
【答案】(1)
(2)會碰到，見解析
【分析】本題考查解直角三角形的實際應用：
（1）先解直角三角形，求出的長，再解直角三角形，求出的長，進一步求出的長即可；
（2）延長交于點，過點作于點，求出的長，進而求出的長，再求出的長，進行判斷即可．
【詳解】（1）解：∵新坡面的坡度
∴，
設，則：，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴；
（2）會，理由如下：
延長交于點，過點作于點，由題意，得：，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴會碰到．
【變式訓練3-5】如圖，已知點C與某建筑物底端B相距306米（點C與點B在同一水平面上），某同學從點C出發，沿同一剖面的斜坡行走195米至坡頂D處，斜坡的坡度（或坡比），在D處測得該建筑物頂端A的俯角為，則建筑物的高度約為多少米？（精確到米，參考數據：，，）
【答案】建筑物的高度約為米．
【分析】本題考查了解直角三角形，利用坡度及勾股定理得出，的長是解題關鍵．根據坡度，勾股定理，可得的長，再根據平行線的性質，可得，根據同角三角函數關系，可得∠1的正切，根據正切的含義，可得的長，根據線段的和差，可得答案．
【詳解】解：作于E點，作于F點，如圖，設，，
則，，，
由勾股定理，得，
解得，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴建筑物的高度約為米．
【變式訓練3-6】某超市自動扶梯路線如圖所示，一樓扶梯段坡角為，中轉平臺，二樓扶梯段坡角為，已知，，，求水平距離的長．（結果精確到，參考數據：，，，）
【答案】．
【分析】此題考查了解直角三角形的應用、矩形的判定與性質等知識．分別過點，作，分別垂直于，垂足分別為，．過點E作于點H，證明四邊形是矩形，則，證明四邊形是矩形，則，再利用解直角三角形分別求出和，即可得到水平距離的長．
【詳解】解：如圖，分別過點，作，分別垂直于，垂足分別為，．過點E作于點H，
∵，
∴四邊形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四邊形是矩形，
∴，
在中，，，
．
在中，，，
，
∴，
．
答：水平距離的長為．
題型四：實際應用之方案設計問題
【經典例題4】
探究堤壩結構和計算堤壩維修的截面面積
素材1 如圖1是一個堤壩的截面圖，背水坡的坡比是，迎水坡的坡比是，堅硬夾層的最大厚度是6米．
素材2 圖1中的堤壩，由于受到夏季洪水的沖刷，坡面受損嚴重，工程師給出整修加固方案圖紙（圖2），在原坡底部處回推1.5米，做新的迎水坡，并在坡面上鋪上導滲材料，做高為1米的塊石固腳等腰梯形，鋪設離水平地面高度4米的土撐梯形（，坡面和的坡比都為），塊石固腳的點落在原坡面上．
問題解決
任務1 確定堤壩截面中相關坡面的長度． 求堤壩截面圖中和的長度．
任務2 探究整修圖紙中的一些相關數據． 求塊石固腳和土撐的面積．
【答案】任務一：米，米
任務二：1平方米，平方米
【分析】本題主要考查了解直角三角形的應用，涉及平行四邊形的性質、勾股定理、平行四邊形和三角形的面積計算公式，解題的關鍵是正確作出輔助線，理解坡比的概念．
任務一：①根據坡比的概念和勾股定理即可求解；②作于點，根據坡比的概念和勾股定理即可求解；
任務二：過作于點，于點，交延長線于點，交于點，求出等腰梯形的上底即可得出結論；將土撐梯形轉化為即可．
【詳解】[任務一]
①由題意得，，，
，
（米）；
②如圖，作于點，
由題意得，，
，
（米）．
[任務二]
如圖，過作于點，過E作于點M，于點，交延長線于點，交于點，
由題意得，，，，
點落在BC上，
，
，，
，
（），
在梯形中，，
，
四邊形是平行四邊形，
，
，
，
，
，
，
（）．
【變式訓練4-1】某數學小組在劉老師的指導下測量一建筑物高度，活動報告如下：
活動報告
活動目的 測量建筑物的高度
活 動 過 程 步驟一：設計測量方案（小組討論后，畫出如圖的測量示意圖）
步驟二：準備測量工具 皮尺、測傾器
步驟三：實地測量并記錄數據（A，B，C，D在同一平面上，于點D） ①建筑物前有一段斜坡，斜坡的坡度； ②在斜坡的底部A測得建筑物頂點C的仰角為； ③斜坡長52米； ④在點B測得建筑物頂點C的仰角為．
步驟四：計算建筑物的高度
請結合以上信息完成步驟四：計算建筑物的高度．（參考數據：，）
【答案】
【分析】此題考查了解直角三角形的應用，過點B作于點E，過點B作于點F，由斜坡AB的坡度得到設，則，求出，設，得到，，由列方程求出y的值，即可得到答案．
【詳解】解：過點B作于點E，過點B作于點F，
由題意可得，
∵斜坡AB的坡度；
∴
設，則
在中，
∵
∴
解得，
則，
設，
∴，
在中，，
∴
在中，，
∴
∵
∴
解得
∴
∴建筑物的高度約為
【變式訓練4-2】數學實踐活動：901班測量校園小山坡護坡石壩的有關數據
活動1 如圖1，測角小組用一根木條斜靠在護坡石壩上，使得與的長度相等，如果測量得到，那么石壩與地面的傾角的度數是______．
活動2 如圖2，測高小組把一根長為4米的竹竿斜靠在石壩旁（點在石壩頂部，點在地面），量出竿長米時離地面的高度為0.5米，請你求出護坡石壩的垂直高度．
實踐活動總結歸納
大家總結各組的方法后，設計了如圖3方案：在護坡石壩頂部的影子處立一根長為米的桿子，桿子與地面垂直，測得桿子的影子長為米，點到護坡石壩底部的距離為米．利用測角小組得到的傾角的度數，請你用表示出護坡石壩的垂直高度．
【答案】（1）的度數是；（2）護坡石壩的垂直高度為2米；（3）
【分析】（1）根據等邊對等角得到，然后利用三角形外角的性質求解即可；
（2）首先得到，然后利用相似三角形的性質得到，然后代數求解即可；
（3）首先根據角的正切值得到，然后得到，然后證明出，得到，然后代入求解即可．
【詳解】（1）∵，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∴，即，
解得；
（3）∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
解得．
【點睛】此題考查了相似三角形的性質和判定，解直角三角形，等邊對等角和三角形內角和定理，解題的關鍵是掌握以上知識點．
【變式訓練4-3】小明和他的學習小組開展“測量松樹的高度”的實踐活動，他們按擬定的測量方案進行實地測量，完成如下的測量報告：
課題 測量松樹的高度
測量工具 測角儀和皮尺
測量示意圖及說明 說明：為水平地面，松樹垂直于地面．斜坡的坡度，在斜坡上的點E處測松樹頂端A的仰角的度數．
測量數據 米，米，
參考數據
請你根據以上測量報告中的數據，求松樹的高度．（結果精確到0.1米）
【答案】松樹的高度約為米
【分析】過點E作于點G，則四邊形是矩形，得，由坡度的概念和勾股定理得米，米，則米，米，再由銳角三角函數定義求出的長，即可解決問題．
【詳解】：如圖，點E作于點G，
則四邊形是矩形，
∴，
在中，斜坡的坡度，米，
設米，則米，
∴（米），
∴，
∴米，米，
∴（米），米，
∴米，
在中，，
∴（米），
∴（米），
答：松樹的高度約為米．
【點睛】本題考查了解直角三角形的應用—坡度坡角問題，熟練掌握銳角三角函數定義，正確作出輔助線構造直角三角形是解題的關鍵．
【變式訓練4-4】“滑滑梯”是同學們小時候經常玩的游戲，滑梯的坡角越小，安全性越高．從安全性及適用性出發，小亮同學對所在小區的一處滑梯進行調研，制定了如下改造方案，請你幫小亮解決方案中的問題．
方案名稱 滑梯安全改造
測量工具 測角儀、皮尺等
方案設計 如圖，將滑梯頂端拓寬為，使，并將原來的滑梯改為，（圖中所有點均在同一平面內，點在同一直線上，點在同一直線上）
測量數據 【步驟一】利用皮尺測量滑梯的高度； 【步驟二】在點處用測角儀測得； 【步驟三】在點處用測角儀測得．
解決問題 調整后的滑梯會多占多長一段地面？（即求的長）
（參考數據：）
【答案】調整后的滑梯會多占的一段地面
【分析】本題主要考查了解直角三角形的實際應用，矩形的性質與判定，過點E作于H，則四邊形是矩形，可得，再解直角三角形求出的長即可得到答案．
【詳解】解：如圖所示，過點E作于H，則四邊形是矩形，
∴，
在中，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
答：調整后的滑梯會多占的一段地面．
【變式訓練4-5】小杰在學習了“仰角、俯角、坡比”后，他在自己居住的小區設計了如下測量方案：小杰利用小區中的一個斜坡，首先在斜坡的底端測得高樓頂端的仰角是，然后沿斜坡向上走到處，再測得高樓頂端的仰角是，已知斜坡的坡比是，斜坡的底端到高樓底端的距離是米，且三點在一直線上(如圖所示)．假設測角儀器的高度忽略不計，請根據小杰的方案，完成下列問題：
(1)求高樓的高度；
(2)求點離地面的距離（結果精確到0.1米）．（參考數據：，，，）
【答案】(1)高樓的高度為米
(2)點離地面的距離為米
【分析】本題考查了解直角三角形的應用、矩形的判定與性質，熟練掌握以上知識點并靈活運用，添加適當的輔助線構造直角三角形是解此題的關鍵．
（1）在中，解直角三角形即可得出答案；
（2）作于，于，則四邊形是矩形，得出，，設米，則米，米，在中，解直角三角形即可得出答案．
【詳解】（1）解：由題意得：在中，米，，
∴（米），
∴高樓的高度為米；
（2）解：如圖，作于，于，
，
則，
∴四邊形是矩形，
∴，，
設米，
∴米，
∵斜坡的坡比是，
∴米，
∴米，
在中，，
∴，
解得：，
經檢驗，是原方程的解，
∴點離地面的距離為米．
題型五：實際應用之物理問題
【經典例題5】我們在物理學科中學過：光線從空氣射入并水中會發生折射現象（如圖1）．為了觀察光線的折射現象，設計了如圖2所示的實驗，利用激光筆發射一束紅光，容器中不裝水時，光斑恰好落在處，加水至處，光斑左移至處．圖3是實驗的示意圖，四邊形為矩形，測得入射角，折射角，，則光斑移動的距離的長為 ．（用含，，的代數式表示）
【答案】
【分析】延長交于，利用三角函數解答即可．本題考查了列代數式的知識，掌握三角函數的性質是解題關鍵．
【詳解】解：延長交于．
，
，
，
，
．
故答案為：
【變式訓練5-1】周末淘氣一家開車外出旅游，車子突然向路邊側滑，幸虧淘氣爸爸反應及時，車子才慢慢停了下來．淘氣一家人趕緊下車查看，原來是前輪爆胎了．爸爸說，只要把備胎換上就行了．于是爸爸從后備廂取出備胎和工具，開始忙活，其中千斤頂引起了小光的注意．圖（1）是一種利用了四邊形不穩定性設計的千斤頂．如圖（2）所示，該千斤頂的基本形狀是一個菱形，中間通過螺桿連接，轉動手柄可改變的大小（菱形的邊長不變），從而改變千斤頂的高度（即，之間的距離）．已知，當千斤頂升高 時，四邊形為正方形．（參考數據：，，結果保留整數）
【答案】17
【分析】本題考查了解直角三角形的應用，菱形的性質，正方形的判定與性質，等邊三角形的判定與性質，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵．連接，交于點，根據菱形的性質可得，平分，，，然后分別求出當時，當時，的長度，即可解答．
【詳解】解：連接，交于點，
四邊形是菱形，
，平分，，，
當，
，
是等邊三角形，
；
當時，菱形是正方形，
平分，
，
在中，，
，
千斤頂升高的高度，
千斤頂升高了．
故答案為：17
【變式訓練5-2】一款閉門器按如圖1所示安裝，支點A，C分別固定在門框和門板上，門寬為，搖臂，連桿，閉門器工作時，搖臂、連桿和長度均固定不變，如圖2，當門閉合時，，則的長為 ．
【答案】18
【分析】本題考查的是解直角三角形的應用，根據題目已知特點選用適當銳角三角函數或邊角關系去解直角三角形是解題的關鍵．
根據題意，過點作于點，可求得，則，因此，得出結論垂直平分，因此．
【詳解】解：過點作于點，如圖：
則，
在中，
，
，
，即垂直平分，
，
故答案為：18．
【變式訓練5-3】如圖1，是一種購物小拉車，底部兩側裝有軸承三角輪，可以在平路及樓梯上推拉物品，拉桿固定在軸上，可以繞連接點旋轉，拉桿，置物板，腳架形狀保持不變．圖2，圖3為購物車側面示意圖，拉桿，，，，，的半徑均為，為三角輪的中心，，．如圖2，當輪子，及點G都放置在水平地面時，D恰好與的最高點重合．此時，D的高度為，如圖3，拉動，使輪子，在樓梯表面滾動，當，且，，三點共線時，點G與的垂直高度差為 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了切線的性質，含30度角的直角三角形的性質，勾股定理；熟練掌握數形結合的思想是解題的關鍵．
根據題意連接，延長交于，作于，則，，設，則，證明，，即可得到，即可求解的長度；過點作于，則，可得，，求得的長度，證明，進而求解．
【詳解】解：如圖所示，連接，延長交于，作于，
，，的半徑均為，
，
的高度為，
，
設，則，
，
，
為三角形的中心，，
，，
，
，
，
即，
如圖2所示，過點作于，則，
，
如圖所示，如圖所示，過點作，過點作，連接，
由圖得，，
，
，，
，
，
，
點與的垂直高度差為，
故答案為：．
【變式訓練5-4】【問題背景】由光的反射定律知：反射角等于入射角（如圖，即）．小軍測量某建筑物高度的方法如下：在地面點E處平放一面鏡子，經調整自己位置后，在點D處恰好通過鏡子看到建筑物AB的頂端A．經測得，小軍的眼睛離地面的距離，，，求建筑物AB的高度．

【活動探究】
觀察小軍的操作后，小明提出了一個測量廣告牌高度的做法（如圖）：他讓小軍站在點D處不動，將鏡子移動至處，小軍恰好通過鏡子看到廣告牌頂端G，測出；再將鏡子移動至處，恰好通過鏡子看到廣告牌的底端A，測出．經測得，小軍的眼睛離地面距離，，求這個廣告牌AG的高度．

【應用拓展】
小軍和小明討論后，發現用此方法也可測量出斜坡上信號塔AB的高度．他們給出了如下測量步驟（如圖）：①讓小軍站在斜坡的底端D處不動（小軍眼睛離地面距離），小明通過移動鏡子（鏡子平放在坡面上）位置至E處，讓小軍恰好能看到塔頂B；②測出；③測出坡長；④測出坡比為（即）．通過他們給出的方案，請你算出信號塔AB的高度（結果保留整數）．

【答案】[問題背景] ；[活動探究] ；[應用拓展]
【分析】[問題背景]根據反射定理，結合兩個三角形相似的判定與性質，列出相似比代值求解即可得到答案；
[活動探究] 根據反射定理，結合兩個三角形相似的判定與性質，運用兩次三角形相似，列出相似比代值，作差求解即可得到答案；
[應用拓展] 過點作于點，過點作于點，證，得，再由銳角三角函數定義得，設，，則，，進而由勾股定理求出，然后由相似三角形的性質得，即可解決問題．
【詳解】解：[問題背景]如圖所示：
，，
，
，
，
，，，
，解得；
[活動探究]如圖所示：
，
，
，
，
，，
，
，
，解得；
，
，
，
，
，，
，
，
，解得；
；
[應用拓展] 如圖，過點作于點，過點作于點，
由題意得：，，
，
，
，
即，
，，
，
，
即，
，
，
，
由題意得：，
，
，，
設，，則，，
，
，
解得：（負值已舍去），
，，
，
，
同【問題背景】得：，
，
，
解得：，
，
答：信號塔的高度約為．
【點睛】本題考查解直角三角形綜合，涉及相似三角形的判定與性質、三角函數求線段長、勾股定理等知識，讀懂題意，熟練掌握相似三角形測高、三角函數測高的方法步驟是解決問題的關鍵．
【變式訓練5-5】【綜合與實踐】
如圖1，光線從空氣射入水中會發生折射現象，其中代表入射角，代表折射角．學習小組查閱資料了解到，若，則把稱為折射率．（參考數據：，）
【實踐操作】如圖2，為了進一步研究光的折射現象，學習小組設計了如下實驗：將激光筆固定在處，光線可沿照射到空容器底部處，將水加至處，且時，光點移動到處，此時測得，四邊形是矩形，是法線．
【問題解決】
(1)求入射角的度數；
(2)請求出光線從空氣射入水中的折射率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據平行線的性質，利用正切函數解答即可；
（2）作于點，利用勾股定理，折射率的定義解答即可．
【詳解】（1）解：如圖1，，
，
入射角約為．
圖1
（2）解：如圖2，作于點，
在中，，
在中，，
光線從空氣射入水中的折射率，
光線從空氣射入水中的折射率．
【點睛】本題考查了跨學科綜合，平行線的性質，勾股定理，三角函數的應用，與物理的融合，熟練掌握相關知識是解題的關鍵．
題型六：實際應用綜合題型
【經典例題6】圖1是一段橫截面為四邊形CBNM（如圖2）的防洪堤，在四邊形中，已測得：，，；現有一位同學為了獲得防洪堤橫截面相關數據，采用如下方案測量：如圖2，把一根長為6的竹竿斜靠在防洪堤上面C處（E與C重合），在離A端1.5的D處，測得它離地面高度為0.6，又量得坡面的長為4．（，，）
(1)試求出防洪堤的高和坡面傾斜角度數；
(2)當防洪堤上面寬時，計算防洪堤橫截面的面積．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題主要考查了解直角三角形實際應用．
（1）如圖，過C作于F，于G，解直角三角形即可得到結論；
（2）過M作于，根據矩形的判定定理得到四邊形是矩形，根據矩形的性質得到，，根據梯形的面積公式即可得到結論．
【詳解】（1）如圖，過C作于F，于G，
在中，，
∴，
∴，
在中，，
∵，
∴．
（2）過M作于，
∵，，
∴四邊形是矩形，
∴，，
∴．
【變式訓練6-1】學校操場的主席臺安裝了如圖1所示的遮陽棚，其截面示意圖如圖2所示，其中四邊形是矩形，主席臺高米．上午某時刻經過點E的太陽光線恰好照射在上的點F處，測得，遮陽棚在主席臺陰影區域的寬度米；一段時間后，經過點E的太陽光線恰好照射在上的點G處，測得，遮陽棚在主席臺陰影區域的寬度米，點A，B，C，D，E，F，G均在同一豎直平面內，求點E距離地面的高度．（結果精確到米．參考數據：，，，，，）
【答案】點距離地面的高度約為米
【分析】本題考查了解直角三角形的應用，正確理解題意是解題的關鍵．過點作于點，交于點，設的長度為米，在中，利用三角函數求得，在中，利用三角函數求得，再根據列方程，求出a值，即可得到答案．
【詳解】過點作于點，交于點，
則四邊形為矩形，，米，
設的長度為米，
由題意得，在中，，，，
，
在中，，，，
，
米，米，
米，
米，
即，
解得，
米．
答：點距離地面的高度約為5.8米．
【變式訓練6-2】交通安全是社會關注的熱點問題，安全隱患主要是超速和超載，某中學八年級數學活動小組的同學進行了測試汽車的速度的實驗，如圖，先在筆直的公路旁選取一點，在公路上確定點、，使得，米，．這時，一輛轎車在公路上由向勻速駛來，測得此車從處行駛到處所用的時間為3秒，并測得，求的距離和此車的速度，并判斷此車是否超速，此路段限速不超過17米每秒．（結果保留整數，參考數據：，）
【答案】米，此車的速度為米秒，此車超速．
【分析】此題考查了解直角三角形的應用問題．解直角三角形得到米，求得此車的速度米秒米秒，于是得到結論．
【詳解】解：，，
是等腰直角三角形，
米，
，
（米），
米，
此車的速度為（米秒），
24米秒米秒，
此車超速．
【變式訓練6-3】2024年春節來臨之際，修文縣在縣城馬路兩旁人行道路燈桿上懸掛燈籠喜迎新春．圖①是一名工人在一臺直臂式高空作業車輔助下在路燈桿上掛燈籠，高空作業車第一次在A處以角方向完全伸出“手臂”后達到點B，此時工人不能到達懸掛燈籠的位置，高空作業車向前平移到達點E，在“手臂”長度保持不變的情況下增大與水平面的夾角，“手臂”頂端剛好與路燈懸掛燈籠位置C平齊，工人順利掛好燈籠．操作示意圖如圖②所示，已知，量得，．（參考數據，，）
(1)求“手臂”完全伸出時的長度；（結果保留根號）
(2)求路燈掛燈籠位置到地面的距離．（結果保留一位小數）
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查了解直角三角形的應用，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵．
（1）根據題意可得：，然后在中，利用銳角三角函數的定義進行計算，即可解答；
（2）根據題意可得：，，然后在中，利用銳角三角函數的定義求出的長，從而利用線段的和差關系進行計算即可解答．
【詳解】（1）解：由題意得：，
在中，，，
，
“手臂”完全伸出時的長度為；
（2）解：由題意得：，，
在中，，
，
，
路燈掛燈籠位置到地面的距離約為．
【變式訓練6-4】隨著春天的陽光越來燦爛，在青臺山中學小花園學習的同學被龐校抓拍到努力學習的場景，隨后龐校@霍校長可以購買太陽傘，為我們愛學習的青臺山學子，遮擋刺眼的陽光．如圖①是簡易太陽傘，為遮擋不同方向的陽光，太陽傘可以在撐桿上的點O處彎折并旋轉任意角，圖②是太陽傘直立時的示意圖，當傘完全撐開時，傘骨與水平方向的夾角，傘骨AB與AC水平方向的最大距離與交于點，撐桿．
(1)如圖②，當傘完全撐開并直立時，求點到地面的距離．
(2)某日某時，為了增加遮擋斜射陽光的面積，將太陽傘傾斜與鉛垂線成夾角，如圖③，若斜射陽光與所在直線垂直時，求在水平地面上投影的長度約是多少．（說明：，結果精確到）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用等腰三角形的性質，解直角三角形的應用，求得，結合，解答即可．
（2）證明，利用三角函數解答即可．
本題考查了解直角三角形的實際應用，掌握解直角三角形的方法是解題的關鍵．
【詳解】（1）解：∵，
∴，
∵傘骨AB與AC水平方向的最大距離與交于點，
∴，
∴，
∴，
∵撐桿．
∴，
故點到地面的距離為．
（2）解：根據題意，得，，，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
答：在水平地面上投影的長度約是．
【變式訓練6-5】某小區外面的一段長120米的街道上要開辟停車位，計劃每個停車位都是同樣的長方形且每個長方形的寬均為2.2米，如果長方形的較長的邊與路段的邊平行，如圖1所示，那么恰好能夠停放24輛車．（備注：，，）
(1)如果長方形的邊與街道的邊緣成角，那么按圖1，圖2中的方法停放，一個停車位占用街道的長度各是多少？
(2)如果按照圖2中的方法停放車輛，這段路上最多可以停放多少車輛？
【答案】(1)2.2米，5.09米；
(2)37輛
【分析】本題主要考查解直角三角形的實際應用，熟練掌握銳角三角函數的的定義，是解題的關鍵．
（1）按圖1方法停放，可直接得出占用街道的長度；按圖2的方法停放，需要算出點A到路邊的距離；
（2）在(1)的基礎上，只停1輛車時，需要的寬度，再求出每增加1輛車，增加的寬度，進而即可解答．
【詳解】（1）解：按圖1方法停放，可直接得出占用街道的長度即為長方形的寬，即2.2米；
按圖2方法停放，如圖
過點A作路沿于點B，過點D作于點C，
由題意可得，車長（米），，，米，，
∴，
∴，
∴（米），
∵（米），
∴（米），
∴（米）
答：按圖1停放，一個停車位占街道長2.2米，按圖2停放，一個停車位占街道長5.09米；
（2）解：如圖，
過點M作于點G，過點F作于點P，
∴（米），
（米），
∴只停1輛車時，需要寬度（米），
每增加1輛車，寬度增加（米），
車位數為（輛），
答：最多可停放37輛車．
【變式訓練6-6】拓展小組研制的智能操作機器人，如圖1，水平操作臺為l，底座固定，， 且，連桿長度為，機械臂長度為．點B，C是轉動點，且與始終在同一平面內．
(1)轉動連桿，機械臂，使，，如圖2，求機械臂端點D離操作臺l的高度的長（精確到，參考數據：）．
(2)物品在操作臺l上，距離底座A端的點M處，轉動連桿，機械臂， 機械臂端點D能否碰到點M？請說明理由．
【答案】(1)手臂端點離操作臺的高度的長約為
(2)手臂端點不能碰到點，理由見解析
【分析】本題考查了解直角三角形的應用、勾股定理、矩形的判定與性質，熟練掌握銳角三角函數及勾股定理是解題的關鍵．
（1）過點作于點，過點作于點，先根據矩形的判定與性質可得，，，再解直角三角形可得的長，由此即可得；
（2）當點共線時，利用勾股定理求出的長，由此即可得．
【詳解】（1）解：如圖，過點作于點，過點作于點，

則四邊形和四邊形都是矩形，
∴，，，
∵，
∴，
在中，，
則，
答：手臂端點離操作臺的高度的長約為．
（2）解：手臂端點不能碰到點，理由如下：
由題意可知，如圖，當點共線時，手臂端點能碰到的距離最遠，

∴此時，
∵，，
∴，
即手臂端點不能碰到點．
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專題1.3.2 解直角三角形（二）六大題型（一課一講）
【浙教版】
題型一：實際應用之仰角俯角問題
【經典例題1】如圖，小明為了測量學校旗桿的高度，在地面離旗桿底部C處22米的A處放置高度為1.5米的測角儀，測得旗桿頂端D的仰角為，求旗桿的高度．（結果精確到0.1米）【參考數據：，，】
【變式訓練1-1】在數學綜合實踐活動中，次仁和格桑自主設計了“測量家附近的一座小山高度”的探究作業．如圖，次仁在A處測得山頂C的仰角為；格桑在B處測得山頂C的仰角為．已知兩人所處位置的水平距離米，A處距地面的垂直高度米，B處距地面的垂直高度米，點M，F，N在同一條直線上，求小山的高度．（結果保留根號）

【變式訓練1-2】小智測量廣場上籃球筐距地面的高度．如圖，已知籃球筐的直徑約為，小智站在C處，先仰視籃球筐直徑的一端 A處，測得仰角為 ，再調整視線，測得籃球筐直徑的另一端B處的仰角為．若小智的目高為，求籃球筐距地面的高度．(結果精確到，參考數據：, , ,)
【變式訓練1-3】小樂同學家住大樓甲中，某個周末，他站在陽臺眺望遠方，當看到正對面的大樓乙時，陷入了思考：對面的大樓乙有多高？于是小樂做了一個簡易的測角儀用來觀測大樓乙的頂端與底端．如圖，小樂家在點處，當他抬頭觀察大樓乙的頂端時，記其仰角為，觀測大樓乙的底端時，記其俯角為，整理所測數據：，．已知甲、乙兩棟大樓的間距為．請根據題目數據幫助小樂計算出大樓乙的高度．（圖中所有點在同一個平面內，，，結果保留根號）
【變式訓練1-4】如圖，甲乙兩幢樓之間的距離等于45米，現在要測乙樓的高，（），所選觀察點A在甲樓一窗口處，．從A處測得乙樓頂端B的仰角為45°，底部C的俯角為30°，求乙樓的高度 （取，結果精確到1米）．
【變式訓練1-5】研學實踐：為重溫解放軍東渡黃河“紅色記憶”，學校組織研學活動，同學們來到毛主席東渡黃河紀念碑所在地，在了解相關歷史背景后，利用航模搭載的掃描儀采集紀念碑的相關數據．
數據采集：如圖，點A是紀念碑頂部一點，的長表示點A到水平地面的距離．航模從紀念碑前水平地面的點M處豎直上升，飛行至距離地面20米的點處時，測得點A的仰角；然后沿方向繼續飛行，飛行方向與水平線的夾角，當到達點A正上方的點處時，測得米
數據應用：已知圖中各點均在同一豎直平面內，E，A，B三點在同一直線上．請根據上述數據，計算紀念碑頂部點A到地面的距離的長．（結果精確到1米．參考數據：，，，，，）
題型二：實際應用之方位角問題
【經典例題2】讓運動揮灑汗水，讓青春閃耀光芒．重慶某中學倡議全校師生“每天運動一小時，快樂學習每一天”，響應學校號召，小明決定早睡早起，每天步行上學．如圖，小明家在A處，學校在C處，從家到學校有兩條線路，他可以從點A經過點B到點C，也可以從點A經過點D到點C．經測量，點B在點A的正北方向，米．點C在點B的北偏東；點D在點A的正東方向，點C在點D的北偏東方向，米．
(1)求的長度（精確到個位）；
(2)小明每天步行上學都要從點A到點C，路線一；從點A經過點B到點C，路線二；從點A經過點D到點C，請計算說明他走哪一條路線較近？（參考數據：，，）
【變式訓練2-1】如圖為某景區平面示意圖，為景區大門，，，分別為三個風景點．經測量，，，在同一直線上，且，在的正北方向，米，點在點的南偏東方向，在點的東南方向．（參考數據：，）
(1)求，兩地的距離；（結果精確到0.1米）
(2)大門在風景點的南偏西方向，景區管理部門決定重新翻修之間的步道，求間的距離．
【變式訓練2-2】小明和小玲游覽一處景點，如圖，兩人同時從景區大門出發，小明沿正東方向步行60米到一處小山處，再沿著前往寺廟處，在處測得亭臺在北偏東方向上，而寺廟在的北偏東方向上，小玲沿著的東北方向上步行一段時間到達亭臺處，再步行至正東方向的寺廟處．
(1)求小山與亭臺之間的距離；（結果保留根號）
(2)若兩人步行速度一樣，則誰先到達寺廟處．（結果精確到個位，參考數據：，，）
【變式訓練2-3】某市要在東西方向M，N兩地之間修建一條道路．如圖，C點周圍范圍內為文物保護區，在上點A處測得C在A的北偏東方向上，從A向東走到達B處，測得C在B的北偏西方向上，則是否穿過文物保護區？為什么？
【變式訓練2-4】今年暑假，媽媽帶著明明去草原騎馬，如圖，媽媽位于游客中心A的正北方向的B處，其中，明明位于游客中心A的西北方向的C處．烈日當空，媽媽準備把包里的太陽帽給明明送去，于是，媽媽向正西方向勻速步行，同時明明騎馬向南偏東方向緩慢前進．15分鐘后，他們再游客中心A的北偏西方向的點D處相遇．

(1)求媽媽步行的速度；
(2)求明明從C處到D處的距離．
【變式訓練2-5】如圖，一艘船從處出發沿著正東方向航行，此時岸邊的瞭望塔在處的西北方向上；當天到達處，此時瞭望塔在處的北偏西方向上，已知該船的平均速度是30海里/小時，問： ABC的面積是多少平方海里？（結果精確到0.1，參考數據：，）
【變式訓練2-6】隨著南海局勢的升級，中國政府決定在黃巖島填海造陸，修建機場，設立雷達塔．某日， 在雷達塔 A 處偵測到東北方向上的點 B 處有一艘菲律賓漁船進入我方偵測區域，且以 30 海里/時的速度往正南方向航行，我方與其進行多次無線電溝通無果后，這艘漁船行駛了 1 小時 10 分到達點 A 南偏東方向的 C 處，與此同時我方立即通知（通知時間忽略不 計）與 A 、C 在一條直線上的中國海警船往正西方向對該漁船進行偵測攔截，其中海警船位于與 A 相距 100 海里的 D 處．
(1)求的距離和點 D 到直線的距離；
(2)若海警船航行速度為 40 海里/時，可偵測半徑為 25 海里，當海警船航行 1 小時時，是否可以偵測到菲律賓漁船，為什么？（參考數據： ， ， ）
題型三：實際應用之坡度坡比問題
【經典例題3】某中學鳳棲堂前一尊孔子雕像矗立于萋萋芳草間，小剛站在雕像前，自C處測得雕像頂A的仰角為，小強站鳳棲堂門前的臺階上，自D處測得雕像頂A的仰角為，此時，兩人的水平距離為，已知鳳棲堂門前臺階斜坡的坡比為．（參考數據：，，）
(1)計算臺階的高度；
(2)求孔子雕像的高度．
【變式訓練3-1】如圖1，某超市從底樓到二樓有一自動扶梯，圖2是側面示意圖，已知自動扶梯的長度是米，是二樓樓頂，，點C是上處在自動扶梯頂端B 點正上方的一點，，在自動扶梯底端點A處測得C點的仰角為，坡角 為求二樓的層高（精確到0.1米）．（參考數據：）
【變式訓練3-2】過街天橋的出現，解決了“過街”難題，也已成為一道獨特的風景線，下圖是某 過街天橋的截橫面，橋頂 平行于地面， 天橋斜面的坡度為， 長， 天橋另一斜面的坡角．
(1)求點 D到地面 的距離；
(2)為了更方便過路群眾，若對該過街天橋進行改建，使斜面的坡角變為30°，改建后斜面為，則斜面的坡角，試計算此改建需占路面的寬度的長(結果精確到)(參考數據)
【變式訓練3-3】如圖，某大樓的頂部豎有一塊廣告牌，小明在山坡的坡腳處測得廣告牌底部的仰角為60°．沿坡面向上走到處測得廣告牌頂部的仰角為45°，已知山坡的坡度，米，米．
(1)求點距水平面的高度；
(2)求廣告牌的高度．（測角器的高度忽略不計，結果精確到0.1米．參考數據：，）
【變式訓練3-4】某商場為方便顧客使用購物車，將滾動電梯的原坡面改造為坡面．已知改動后電梯的坡面長，原坡面坡角，新坡面的坡度．
(1)求斜坡底部增加的長度；（結果保留根號）
(2)電梯頂部水平線，電梯上方點處有懸掛廣告牌，，．若高度的物品乘電梯上行，行進過程中是否會碰到廣告牌的下端？請通過計算說明理由．
【變式訓練3-5】如圖，已知點C與某建筑物底端B相距306米（點C與點B在同一水平面上），某同學從點C出發，沿同一剖面的斜坡行走195米至坡頂D處，斜坡的坡度（或坡比），在D處測得該建筑物頂端A的俯角為，則建筑物的高度約為多少米？（精確到米，參考數據：，，）
【變式訓練3-6】某超市自動扶梯路線如圖所示，一樓扶梯段坡角為，中轉平臺，二樓扶梯段坡角為，已知，，，求水平距離的長．（結果精確到，參考數據：，，，）
題型四：實際應用之方案設計問題
【經典例題4】
探究堤壩結構和計算堤壩維修的截面面積
素材1 如圖1是一個堤壩的截面圖，背水坡的坡比是，迎水坡的坡比是，堅硬夾層的最大厚度是6米．
素材2 圖1中的堤壩，由于受到夏季洪水的沖刷，坡面受損嚴重，工程師給出整修加固方案圖紙（圖2），在原坡底部處回推1.5米，做新的迎水坡，并在坡面上鋪上導滲材料，做高為1米的塊石固腳等腰梯形，鋪設離水平地面高度4米的土撐梯形（，坡面和的坡比都為），塊石固腳的點落在原坡面上．
問題解決
任務1 確定堤壩截面中相關坡面的長度． 求堤壩截面圖中和的長度．
任務2 探究整修圖紙中的一些相關數據． 求塊石固腳和土撐的面積．
【變式訓練4-1】某數學小組在劉老師的指導下測量一建筑物高度，活動報告如下：
活動報告
活動目的 測量建筑物的高度
活 動 過 程 步驟一：設計測量方案（小組討論后，畫出如圖的測量示意圖）
步驟二：準備測量工具 皮尺、測傾器
步驟三：實地測量并記錄數據（A，B，C，D在同一平面上，于點D） ①建筑物前有一段斜坡，斜坡的坡度； ②在斜坡的底部A測得建筑物頂點C的仰角為； ③斜坡長52米； ④在點B測得建筑物頂點C的仰角為．
步驟四：計算建筑物的高度
請結合以上信息完成步驟四：計算建筑物的高度．（參考數據：，）
【變式訓練4-2】數學實踐活動：901班測量校園小山坡護坡石壩的有關數據
活動1 如圖1，測角小組用一根木條斜靠在護坡石壩上，使得與的長度相等，如果測量得到，那么石壩與地面的傾角的度數是______．
活動2 如圖2，測高小組把一根長為4米的竹竿斜靠在石壩旁（點在石壩頂部，點在地面），量出竿長米時離地面的高度為0.5米，請你求出護坡石壩的垂直高度．
實踐活動總結歸納
大家總結各組的方法后，設計了如圖3方案：在護坡石壩頂部的影子處立一根長為米的桿子，桿子與地面垂直，測得桿子的影子長為米，點到護坡石壩底部的距離為米．利用測角小組得到的傾角的度數，請你用表示出護坡石壩的垂直高度．
【變式訓練4-3】小明和他的學習小組開展“測量松樹的高度”的實踐活動，他們按擬定的測量方案進行實地測量，完成如下的測量報告：
課題 測量松樹的高度
測量工具 測角儀和皮尺
測量示意圖及說明 說明：為水平地面，松樹垂直于地面．斜坡的坡度，在斜坡上的點E處測松樹頂端A的仰角的度數．
測量數據 米，米，
參考數據
請你根據以上測量報告中的數據，求松樹的高度．（結果精確到0.1米）
【變式訓練4-4】“滑滑梯”是同學們小時候經常玩的游戲，滑梯的坡角越小，安全性越高．從安全性及適用性出發，小亮同學對所在小區的一處滑梯進行調研，制定了如下改造方案，請你幫小亮解決方案中的問題．
方案名稱 滑梯安全改造
測量工具 測角儀、皮尺等
方案設計 如圖，將滑梯頂端拓寬為，使，并將原來的滑梯改為，（圖中所有點均在同一平面內，點在同一直線上，點在同一直線上）
測量數據 【步驟一】利用皮尺測量滑梯的高度； 【步驟二】在點處用測角儀測得； 【步驟三】在點處用測角儀測得．
解決問題 調整后的滑梯會多占多長一段地面？（即求的長）
（參考數據：）
【變式訓練4-5】小杰在學習了“仰角、俯角、坡比”后，他在自己居住的小區設計了如下測量方案：小杰利用小區中的一個斜坡，首先在斜坡的底端測得高樓頂端的仰角是，然后沿斜坡向上走到處，再測得高樓頂端的仰角是，已知斜坡的坡比是，斜坡的底端到高樓底端的距離是米，且三點在一直線上(如圖所示)．假設測角儀器的高度忽略不計，請根據小杰的方案，完成下列問題：
(1)求高樓的高度；
(2)求點離地面的距離（結果精確到0.1米）．（參考數據：，，，）
題型五：實際應用之物理問題
【經典例題5】我們在物理學科中學過：光線從空氣射入并水中會發生折射現象（如圖1）．為了觀察光線的折射現象，設計了如圖2所示的實驗，利用激光筆發射一束紅光，容器中不裝水時，光斑恰好落在處，加水至處，光斑左移至處．圖3是實驗的示意圖，四邊形為矩形，測得入射角，折射角，，則光斑移動的距離的長為 ．（用含，，的代數式表示）
【變式訓練5-1】周末淘氣一家開車外出旅游，車子突然向路邊側滑，幸虧淘氣爸爸反應及時，車子才慢慢停了下來．淘氣一家人趕緊下車查看，原來是前輪爆胎了．爸爸說，只要把備胎換上就行了．于是爸爸從后備廂取出備胎和工具，開始忙活，其中千斤頂引起了小光的注意．圖（1）是一種利用了四邊形不穩定性設計的千斤頂．如圖（2）所示，該千斤頂的基本形狀是一個菱形，中間通過螺桿連接，轉動手柄可改變的大小（菱形的邊長不變），從而改變千斤頂的高度（即，之間的距離）．已知，當千斤頂升高 時，四邊形為正方形．（參考數據：，，結果保留整數）
【變式訓練5-2】一款閉門器按如圖1所示安裝，支點A，C分別固定在門框和門板上，門寬為，搖臂，連桿，閉門器工作時，搖臂、連桿和長度均固定不變，如圖2，當門閉合時，，則的長為 ．
【變式訓練5-3】如圖1，是一種購物小拉車，底部兩側裝有軸承三角輪，可以在平路及樓梯上推拉物品，拉桿固定在軸上，可以繞連接點旋轉，拉桿，置物板，腳架形狀保持不變．圖2，圖3為購物車側面示意圖，拉桿，，，，，的半徑均為，為三角輪的中心，，．如圖2，當輪子，及點G都放置在水平地面時，D恰好與的最高點重合．此時，D的高度為，如圖3，拉動，使輪子，在樓梯表面滾動，當，且，，三點共線時，點G與的垂直高度差為 ．
【變式訓練5-4】【問題背景】由光的反射定律知：反射角等于入射角（如圖，即）．小軍測量某建筑物高度的方法如下：在地面點E處平放一面鏡子，經調整自己位置后，在點D處恰好通過鏡子看到建筑物AB的頂端A．經測得，小軍的眼睛離地面的距離，，，求建筑物AB的高度．

【活動探究】
觀察小軍的操作后，小明提出了一個測量廣告牌高度的做法（如圖）：他讓小軍站在點D處不動，將鏡子移動至處，小軍恰好通過鏡子看到廣告牌頂端G，測出；再將鏡子移動至處，恰好通過鏡子看到廣告牌的底端A，測出．經測得，小軍的眼睛離地面距離，，求這個廣告牌AG的高度．

【應用拓展】
小軍和小明討論后，發現用此方法也可測量出斜坡上信號塔AB的高度．他們給出了如下測量步驟（如圖）：①讓小軍站在斜坡的底端D處不動（小軍眼睛離地面距離），小明通過移動鏡子（鏡子平放在坡面上）位置至E處，讓小軍恰好能看到塔頂B；②測出；③測出坡長；④測出坡比為（即）．通過他們給出的方案，請你算出信號塔AB的高度（結果保留整數）．

【變式訓練5-5】【綜合與實踐】
如圖1，光線從空氣射入水中會發生折射現象，其中代表入射角，代表折射角．學習小組查閱資料了解到，若，則把稱為折射率．（參考數據：，）
【實踐操作】如圖2，為了進一步研究光的折射現象，學習小組設計了如下實驗：將激光筆固定在處，光線可沿照射到空容器底部處，將水加至處，且時，光點移動到處，此時測得，四邊形是矩形，是法線．
【問題解決】
(1)求入射角的度數；
(2)請求出光線從空氣射入水中的折射率．
題型六：實際應用綜合題型
【經典例題6】圖1是一段橫截面為四邊形CBNM（如圖2）的防洪堤，在四邊形中，已測得：，，；現有一位同學為了獲得防洪堤橫截面相關數據，采用如下方案測量：如圖2，把一根長為6的竹竿斜靠在防洪堤上面C處（E與C重合），在離A端1.5的D處，測得它離地面高度為0.6，又量得坡面的長為4．（，，）
(1)試求出防洪堤的高和坡面傾斜角度數；
(2)當防洪堤上面寬時，計算防洪堤橫截面的面積．
【變式訓練6-1】學校操場的主席臺安裝了如圖1所示的遮陽棚，其截面示意圖如圖2所示，其中四邊形是矩形，主席臺高米．上午某時刻經過點E的太陽光線恰好照射在上的點F處，測得，遮陽棚在主席臺陰影區域的寬度米；一段時間后，經過點E的太陽光線恰好照射在上的點G處，測得，遮陽棚在主席臺陰影區域的寬度米，點A，B，C，D，E，F，G均在同一豎直平面內，求點E距離地面的高度．（結果精確到米．參考數據：，，，，，）
【變式訓練6-2】交通安全是社會關注的熱點問題，安全隱患主要是超速和超載，某中學八年級數學活動小組的同學進行了測試汽車的速度的實驗，如圖，先在筆直的公路旁選取一點，在公路上確定點、，使得，米，．這時，一輛轎車在公路上由向勻速駛來，測得此車從處行駛到處所用的時間為3秒，并測得，求的距離和此車的速度，并判斷此車是否超速，此路段限速不超過17米每秒．（結果保留整數，參考數據：，）
【變式訓練6-3】2024年春節來臨之際，修文縣在縣城馬路兩旁人行道路燈桿上懸掛燈籠喜迎新春．圖①是一名工人在一臺直臂式高空作業車輔助下在路燈桿上掛燈籠，高空作業車第一次在A處以角方向完全伸出“手臂”后達到點B，此時工人不能到達懸掛燈籠的位置，高空作業車向前平移到達點E，在“手臂”長度保持不變的情況下增大與水平面的夾角，“手臂”頂端剛好與路燈懸掛燈籠位置C平齊，工人順利掛好燈籠．操作示意圖如圖②所示，已知，量得，．（參考數據，，）
(1)求“手臂”完全伸出時的長度；（結果保留根號）
(2)求路燈掛燈籠位置到地面的距離．（結果保留一位小數）
【變式訓練6-4】隨著春天的陽光越來燦爛，在青臺山中學小花園學習的同學被龐校抓拍到努力學習的場景，隨后龐校@霍校長可以購買太陽傘，為我們愛學習的青臺山學子，遮擋刺眼的陽光．如圖①是簡易太陽傘，為遮擋不同方向的陽光，太陽傘可以在撐桿上的點O處彎折并旋轉任意角，圖②是太陽傘直立時的示意圖，當傘完全撐開時，傘骨與水平方向的夾角，傘骨AB與AC水平方向的最大距離與交于點，撐桿．
(1)如圖②，當傘完全撐開并直立時，求點到地面的距離．
(2)某日某時，為了增加遮擋斜射陽光的面積，將太陽傘傾斜與鉛垂線成夾角，如圖③，若斜射陽光與所在直線垂直時，求在水平地面上投影的長度約是多少．（說明：，結果精確到）
【變式訓練6-5】某小區外面的一段長120米的街道上要開辟停車位，計劃每個停車位都是同樣的長方形且每個長方形的寬均為2.2米，如果長方形的較長的邊與路段的邊平行，如圖1所示，那么恰好能夠停放24輛車．（備注：，，）
(1)如果長方形的邊與街道的邊緣成角，那么按圖1，圖2中的方法停放，一個停車位占用街道的長度各是多少？
(2)如果按照圖2中的方法停放車輛，這段路上最多可以停放多少車輛？
【變式訓練6-6】拓展小組研制的智能操作機器人，如圖1，水平操作臺為l，底座固定，， 且，連桿長度為，機械臂長度為．點B，C是轉動點，且與始終在同一平面內．
(1)轉動連桿，機械臂，使，，如圖2，求機械臂端點D離操作臺l的高度的長（精確到，參考數據：）．
(2)物品在操作臺l上，距離底座A端的點M處，轉動連桿，機械臂， 機械臂端點D能否碰到點M？請說明理由．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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