資源簡介

(共16張PPT)
12.3 角平分線的性質2
文字語言：角平分線上的點到角的兩邊的距離相等.
角平分線的性質
幾何語言：
∵點P在∠AOB的平分線上，且PD⊥OA，PE⊥OB.
∴PD=PE
P到OA的距離
P到OB的距離
角平分線上的點
復習回顧
我們知道，角平分線上的點到角的兩邊的距離相等.那么到角的兩邊的距離相等的點是否在角的平分線上呢？
探究新知
猜想：角的內部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上.
一般情況下，我們要證明一個幾何命題時，可以按照類似的步驟進行，即
1.明確命題中的已知和求證；
2.根據題意，畫出圖形，并用數學符號表示已知和求證；
3.經過分析，找出由已知推出要證的結論的途徑，寫出證明過程.
探究新知
已知，如圖，P為∠AOB內部一點，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，且PD=PE. 求證：點P在∠AOB的平分線上.
猜想：角的內部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上.
證明：經過點P作射線OC.
∵PD⊥OA，PE⊥OB ,
∴∠PDO=∠PEO=90°,
在Rt△PDO和Rt△PEO中，
∴Rt△PDO≌Rt△PEO (HL) ,
∴∠POD=∠POE即點P在∠AOB的平分線上.
探究新知
文字語言：角的內部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上.
※角的平分線的判定
幾何語言：
∵ PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，PD=PE，
∴點P 在∠AOB的平分線上.(或∠1=∠2)
【點睛】應用所具備的條件:(1) 位置關系：點在角的內部;(1)數量關系：該點到角兩邊的距離相等.定理的作用：判斷點是否在角平分線上.
如圖，要在S區建一個集貿市場，使它到公路，鐵路距離相等，離公路與鐵路交叉處500米. 這個集貿市場應建于何處(在圖上標出它的位置，比例尺為1:20000)？
解：作夾角的角平分線OC，
截取OD=2.5cm ，D即為所求.
【點睛】根據角平分線的判定定理，要求作的點到兩邊的距離相等，一般需作這兩邊直線形成的角的平分線，再在這條角平分線上根據要求取點.
知識精講
例1.已知：如圖，△ABC的角平分線BM，CN相交于點P，求證：點P到三邊AB，BC，CA的距離相等.
證明：過點P作PD，PE，PF分別垂直于AB，BC，CA，垂足分別為D，E，F.
∵BM是△ABC的角平分線，
點P在BM上，
∴PD=PE.
同理PE=PF.
∴PD=PE=PF.即點P到三邊AB，BC，CA的距離相等.
想一想，點P在∠A的平分線上嗎？這說明三角形的三條角平分線有什么關系？
【歸納】三角形的三條角平分線相交于一點，并且這一點到三條邊的距離相等.
典例解析
例2.如圖，PA、PC分別是△ABC外角∠MAC與∠NCA的平分線,它們交于點P，PD⊥BM于D，PF⊥BN于F.求證:BP為∠MBN的平分線.
證明:過P作PE⊥AC于E.
∵PA平分∠MAC，且PD⊥BM，PE⊥AC,
∴PD=PE,
∵PC平分∠NCA，且PF⊥BN，PE⊥AC,
∴PF=PE,
∴PD=PF,
∵PD⊥BM,PF⊥BN,
∴P在∠MBN的平分線上,
即BP為∠MBN的平分線.
典例解析
1.如圖，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，PD=6cm，當PE=____cm時,點P在∠AOB的平分線上.
2.如圖,已知PA⊥ON于A,PB⊥OM于B,且PA=PB,∠MON=50°,∠OPC=30°,
則∠PCA=______.
針對練習
3.如圖，直線l1，l2，l3表示三條兩兩相互交叉的公路，現在擬建一個貨物中轉站，要求它到三條公路的距離都相等，則可供選擇的地址有____處.
4.如圖所示，已知△ABC的周長是10，OC、OB分別平分∠ABC和∠ACB，OD上BC于D，且OD=1，則△ABC的面積是_______.
針對練習
5.如圖，某市有一塊由三條馬路圍成的三角形綠地，現準備在綠地中建一小亭供人小憩，使小亭中心到三條馬路的距離相等，試確定小亭的中心位置.
解：點P為所求.
針對練習
6.如圖，BE=CF，DE⊥AB的延長線于點E，DF⊥AC于點F，且DB=DC．
求證:AD是∠BAC的平分線.
證明:∵DE⊥AB，DF⊥AC,
∴∠BED=∠CFD=90°,
在Rt△BDE和Rt△CDF中,
∴Rt△BDE≌Rt△CDF (HL),
∴DE=DF,
∴AD是∠BAC的平分線.
針對練習
角的平分線的性質
圖形
已知 條件
結論
OP平分∠AOB
PD⊥OA于D
PE⊥OB于E
PD=PE
OP平分∠AOB
PD=PE
PD⊥OA于D
PE⊥OB于E
角的平分線的判定
整理小結
作 業 布 置
見精準作業單.中小學教育資源及組卷應用平臺
12.3角的平分線的性質2 導學案
一、學習目標：
1.理解角平分線的判定定理.
2.掌握角平分線判定定理內容的證明方法并應用其解題.
3.學會判斷一個點是否在一個角的平分線上.
重點：角的平分線的判定定理的證明及應用.
難點：角的平分線的判定.　
二、學習過程：
復習回顧
角平分線的性質定理：
文字語言：__________________________________________________.
幾何符號：
____________________________________
____________________________________
合作探究
思考：我們知道，角平分線上的點到角的兩邊的距離相等.那么到角的兩邊的距離相等的點是否在角的平分線上呢？（先獨立思考，然后在組內交流分享，通過觀察動畫演示，確定猜想）
猜想：__________________________________________________.
把猜想轉化成具體數學問題，認真填寫一下已知和求證：
已知:__________________________________________________________.
求證:________________________________________________.
※角的平分線的判定：
文字語言：________________________________________________.
幾何語言：
________________________________
____________________________________
思考：如圖，要在S區建一個集貿市場，使它到公路，鐵路距離相等，離公路與鐵路交叉處500米. 這個集貿市場應建于何處(在圖上標出它的位置，比例尺為1:20000)？
典例解析
例1.如圖，△ABC的角平分線BM，CN相交于點P. 求證：點P到三邊AB，BC，CA的距離相等.
例2.如圖，PA、PC分別是△ABC外角∠MAC與∠NCA的平分線,它們交于點P，PD⊥BM于D，PF⊥BN于F.求證:BP為∠MBN的平分線.
針對練習
1.如圖，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，PD=6cm，當PE=____cm時，點P在∠AOB的平分線上.
2.如圖,已知PA⊥ON于A,PB⊥OM于B,且PA=PB,∠MON=50°,∠OPC=30°，則∠PCA=______.
3.如圖，直線l1，l2，l3表示三條兩兩相互交叉的公路，現在擬建一個貨物中轉站，要求它到三條公路的距離都相等，則可供選擇的地址有____處.
4.如圖所示，已知△ABC的周長是10，OC、OB分別平分∠ABC和∠ACB，OD上BC于D，且OD=1，則△ABC的面積是_______.
5.如圖，某市有一塊由三條馬路圍成的三角形綠地，現準備在綠地中建一小亭供人小憩，使小亭中心到三條馬路的距離相等，試確定小亭的中心位置.
6.如圖，BE=CF，DE⊥AB的延長線于點E，DF⊥AC于點F，且DB=DC．求證:AD是∠BAC的平分線.中小學教育資源及組卷應用平臺
12.3角的平分線的性質2 教學設計
一、教學目標：
1.理解角平分線的判定定理.
2.掌握角平分線判定定理內容的證明方法并應用其解題.
3.學會判斷一個點是否在一個角的平分線上.
二、教學重、難點：
重點：角的平分線的判定定理的證明及應用.
難點：角的平分線的判定.　
三、教學準備：
課件、三角尺、圓規等。
四、教學過程：
復習回顧
角平分線的性質定理：角平分線上的點到角的兩邊的距離相等.
幾何符號語言：
∵ 點P在∠AOB的平分線上，且PD⊥OA，PE⊥OB.
∴ PD=PE
知識精講
思考：我們知道，角平分線上的點到角的兩邊的距離相等.那么到角的兩邊的距離相等的點是否在角的平分線上呢？
動態演示：
猜想：角的內部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上.
一般情況下，我們要證明一個幾何命題時，可以按照類似的步驟進行，即
1.明確命題中的已知和求證；
2.根據題意，畫出圖形，并用數學符號表示已知和求證；
3.經過分析，找出由已知推出要證的結論的途徑，寫出證明過程.
已知，如圖，P為∠AOB內部一點，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，且PD=PE.
求證：點P在∠AOB的平分線上.
證明：經過點P作射線OC.
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，
∴ ∠PDO=∠PEO=90°，
在Rt△PDO和Rt△PEO中，
∴ Rt△PDO≌Rt△PEO (HL) ，
∴ ∠POD=∠POE，
即點P在∠AOB的平分線上.
知識要點：
性質定理：角的內部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上.
應用所具備的條件：(1)點在角的內部；(2)該點到角兩邊的距離相等.
定理的作用：判斷點是否在角平分線上.(證明兩角相等).
幾何符號語言：
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE
∴ 點P在∠AOB的平分線上(或∠1=∠2)
思考：如圖，要在S區建一個集貿市場，使它到公路，鐵路距離相等，離公路與鐵路交叉處500米. 這個集貿市場應建于何處(在圖上標出它的位置，比例尺為1:20000)？
則：這個集貿市場應建于點P處.
典例解析
例1.如圖，△ABC的角平分線BM，CN相交于點P. 求證：點P到三邊AB，BC，CA的距離相等.
證明：過點P作PD，PE，PF分別垂直于AB，BC，CA，垂足為D，E，F.
∵ BM是△ABC的角平分線，點P在BM上，
∴ PD=PE，
同理，PE=PF，
∴ PD=PE=PF，
即P到三邊AB，BC，CA的距離相等.
想一想，點P在∠A的平分線上嗎？這說明三角形的三條角平分線有什么關系？
三角形的三條角平分線相交于一點，并且這一點到三條邊的距離相等.
例2.如圖，PA、PC分別是△ABC外角∠MAC與∠NCA的平分線,它們交于點P，PD⊥BM于D，PF⊥BN于F.求證:BP為∠MBN的平分線.
證明:過P作PE⊥AC于E.
∵PA平分∠MAC，且PD⊥BM，PE⊥AC，
∴PD=PE，
∵PC平分∠NCA，且PF⊥BN，PE⊥AC，
∴PF=PE，
∴PD=PF，
∵PD⊥BM,PF⊥BN，
∴P在∠MBN的平分線上，
即BP為∠MBN的平分線.
針對練習
1.如圖，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，PD=6cm，當PE=____cm時,點P在∠AOB的平分線上.
2.如圖,已知PA⊥ON于A,PB⊥OM于B,且PA=PB,∠MON=50°,∠OPC=30°,則∠PCA=______.
3.如圖，直線l1，l2，l3表示三條兩兩相互交叉的公路，現在擬建一個貨物中轉站，要求它到三條公路的距離都相等，則可供選擇的地址有____處.
4.如圖所示，已知△ABC的周長是10，OC、OB分別平分∠ABC和∠ACB，OD上BC于D，且OD=1，則△ABC的面積是_______.
5.如圖，某市有一塊由三條馬路圍成的三角形綠地，現準備在綠地中建一小亭供人小憩，使小亭中心到三條馬路的距離相等，試確定小亭的中心位置.
6.如圖，BE=CF，DE⊥AB的延長線于點E，DF⊥AC于點F，且DB=DC．求證:AD是∠BAC的平分線.
課堂小結：本節課你有哪些收獲？2.還有沒解決的問題嗎？
作業布置：
見精準作業
板書設計：中小學教育資源及組卷應用平臺
12.3角平分線的性質2 精準作業
課前診斷
角平分線的性質定理：
文字語言：__________________________________________________.
幾何符號：
____________________________________
____________________________________
精準作業
2、到三角形各邊距離相等的點是三角形的（ ）
A．三條邊垂直平分線的交點 B．三條中線的交點
C．三個內角平分線的交點 D．三條高的交點
3、小剛找到不等邊三角形三邊距離相等的點，依據選項中的尺規作圖的痕跡，可用直尺成功找到此點的是（　　）
A． B． C． D．
4、如圖，平分，垂足分別為C，D，連接，則下列關系不一定成立的是（ ）

A． B． C．垂直平分 D．平分
5、如圖，已知在中，，點D，E分別在邊，上，，，若，則的度數為（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
6、如圖①是一個平分角的儀器，其中，．如圖②，將儀器放置在上，使點與頂點重合，，分別在邊，上，沿畫一條射線，交于點．是的平分線嗎？請給出判斷并說明理由．
探究題
7、如圖，在中，，的平分線與的外角平分線交于點，則的度數為 .（用含的式子表示）
參考答案
課前診斷：略
精準作業：2.C 3.C 4.C 5.C
6.解：是的平分線，
理由如下：
在和中，
，
，
，
平分．
探究題：
7、

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