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第三單元 《角的度量》 單元復(fù)習(xí)講義（講義）
四年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)專項(xiàng)精練（知識(shí)梳理+典例精講+專項(xiàng)精練）
線段、直線、射線的認(rèn)識(shí)和特征
圖形 端點(diǎn)的個(gè)數(shù) 延長(zhǎng)情況 是否可測(cè)量
直線 0個(gè) 兩端無(wú)限延長(zhǎng) 無(wú)法測(cè)量
射線 1個(gè) 一端可以延長(zhǎng) 無(wú)法測(cè)量
線段 2個(gè) 不可延長(zhǎng) 可以測(cè)量
2、數(shù)線段的方法
（1）定義法：從基本線段數(shù)起；以某一點(diǎn)為左端點(diǎn)數(shù)起。
（2）公式法：
①加法公式：首先數(shù)出線段由幾個(gè)端點(diǎn)，然后從1＋2＋3＋……＋（n-1），其中n代表端點(diǎn)數(shù)量。
②乘法公式：n×（n-1）÷2（其中n代表端點(diǎn)數(shù)量）。
1、角的定義：從一點(diǎn)引出兩條射線所組成的圖形叫做角。
2、角的各部分名稱：這個(gè)公共端點(diǎn)叫做角的頂點(diǎn)，這兩條射線叫做角的兩條邊。
3、角的表示方法：角通常用符號(hào)“∠”來(lái)表示，不同的角可以用數(shù)字區(qū)分，如∠1、∠2,但要在相應(yīng)的圖中表明。
1、角的計(jì)量單位：角的計(jì)量單位是“度”，用符號(hào)“°”表示。
將半圓（或圓）平均分成180（或360）等份，每一份所對(duì)的角的大小就是1度。
2、角的度量工具：量角器是度量角的工具。
3、角的度量方法
（1）把量角器的中心與角的頂點(diǎn)重合，0°刻度線與角的一條邊重合；
（2）角的另一邊所對(duì)的量角器上的刻度，就是這個(gè)角的度數(shù)。
（3）與量角器0°刻度線重合的邊向右，就看里圈的刻度數(shù)；相反就看外圈的刻度數(shù)。
角的名稱 圖形 意義 特征
銳角 小于的角叫作銳角。 < 銳角 <
直角 等于的角叫做直角。 直角 =
鈍角 大于而小于的角叫作鈍角。 < 鈍角 <
平角 角的兩邊成一條直線，這時(shí)所形成的角是平角。 平角 =
周角 一條射線繞它的頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周所形成的角是周角。 周角 =
1、銳角＜直角＜鈍角＜平角＜周角；
2、1平角＝2直角，1周角＝2平角＝4直角。
3、角的性質(zhì)
角的大小與邊的長(zhǎng)短無(wú)關(guān)：角的大小只與兩條邊叉開(kāi)的大小有關(guān)，叉開(kāi)得越大，角越大。
放大鏡不能放大角：放大鏡可以改變物體的大小，但不能改變角的大小。
【典例精講1】（四年級(jí)上·河南周口·期中）下圖是一張長(zhǎng)方形紙折起來(lái)以后的圖形，如果∠2＝70°
那么∠1＝？
【答案】∠1＝40°
【分析】如圖，∠1＋∠2＋∠3＝180°，由∠2＝70°，得出180°－（∠2＋∠3）＝∠1，由對(duì)折可知∠3＝∠2，進(jìn)一步求得∠1即可。
【詳解】∠1＝180°－70°×2
＝180°－140°
＝40°
答：∠1是40°。
【點(diǎn)睛】此題考查利用對(duì)折重疊的兩個(gè)角相等和平角等于180°來(lái)解決有關(guān)角度計(jì)算的問(wèn)題。
【典例精講2】（23-24四年級(jí)上·河北衡水·期末）如圖，兩張同樣的長(zhǎng)方形紙重疊了一部分，已知∠1＝55°，分別求出∠2、∠3的度數(shù)。
【答案】∠2＝35°，∠3＝55°
【分析】根據(jù)圖形，∠1＋∠2＝90°，因?yàn)椤?＝55°，所以可以求出∠2的度數(shù)；又根據(jù)∠3＋∠2＝90°，繼而可求出∠3度數(shù)，據(jù)此即可解答。
【詳解】∠1＋∠2＝90°，∠1＝55°，∠2＝90°－55°＝35°；
∠2＋∠3＝90°，所以∠3＝90°－35°＝55°
【典例精講3】（22-23四年級(jí)上·江西宜春·期末）求出下面各角的度數(shù)。
已知如圖中∠2＝65°，求∠1。
【答案】50°
【分析】由圖可知∠2＋∠2＋∠1＝平角，平角為180°，所以∠1＝180°－∠2－∠2；據(jù)此解答。
【詳解】∠1＝180°－65°－65°＝50°
所以∠1為50°。
學(xué)校:___________ 姓名：___________ 班級(jí)：___________
計(jì)算題
1．（22-23四年級(jí)上·河南三門峽·期末）兩個(gè)正方形疊放在一起，如圖，求的度數(shù)。
2．（22-23四年級(jí)上·湖北孝感·期中）已知∠1＝40°，∠5是直角，求∠2、∠3、∠4的度數(shù)。
3．（23-24四年級(jí)上·湖南郴州·期中）如圖，已知∠1＝30°，求∠2的度數(shù)。
4．（22-23四年級(jí)上·黑龍江雞西·期末）下圖中，已知，求、、的度數(shù)。
5．（23-24四年級(jí)上·湖南永州·期末）下圖是一張長(zhǎng)方形的紙，把它的一角折疊過(guò)來(lái)。已知∠1＝50°求∠2。
6．（23-24四年級(jí)上·湖南永州·期末）已知∠3＝35°，求∠4的度數(shù)。
7．（23-24四年級(jí)上·廣東汕頭·期末）如圖，∠1＝155°，求∠4的度數(shù)。
8．（23-24四年級(jí)上·河北保定·期末）下圖是兩個(gè)相同的長(zhǎng)方形組成的圖形，求∠1，∠2，∠3的度數(shù)。
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第三單元 《角的度量》 單元復(fù)習(xí)講義（講義）
四年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)專項(xiàng)精練（知識(shí)梳理+典例精講+專項(xiàng)精練）
線段、直線、射線的認(rèn)識(shí)和特征
圖形 端點(diǎn)的個(gè)數(shù) 延長(zhǎng)情況 是否可測(cè)量
直線 0個(gè) 兩端無(wú)限延長(zhǎng) 無(wú)法測(cè)量
射線 1個(gè) 一端可以延長(zhǎng) 無(wú)法測(cè)量
線段 2個(gè) 不可延長(zhǎng) 可以測(cè)量
2、數(shù)線段的方法
（1）定義法：從基本線段數(shù)起；以某一點(diǎn)為左端點(diǎn)數(shù)起。
（2）公式法：
①加法公式：首先數(shù)出線段由幾個(gè)端點(diǎn)，然后從1＋2＋3＋……＋（n-1），其中n代表端點(diǎn)數(shù)量。
②乘法公式：n×（n-1）÷2（其中n代表端點(diǎn)數(shù)量）。
1、角的定義：從一點(diǎn)引出兩條射線所組成的圖形叫做角。
2、角的各部分名稱：這個(gè)公共端點(diǎn)叫做角的頂點(diǎn)，這兩條射線叫做角的兩條邊。
3、角的表示方法：角通常用符號(hào)“∠”來(lái)表示，不同的角可以用數(shù)字區(qū)分，如∠1、∠2,但要在相應(yīng)的圖中表明。
1、角的計(jì)量單位：角的計(jì)量單位是“度”，用符號(hào)“°”表示。
將半圓（或圓）平均分成180（或360）等份，每一份所對(duì)的角的大小就是1度。
2、角的度量工具：量角器是度量角的工具。
3、角的度量方法
（1）把量角器的中心與角的頂點(diǎn)重合，0°刻度線與角的一條邊重合；
（2）角的另一邊所對(duì)的量角器上的刻度，就是這個(gè)角的度數(shù)。
（3）與量角器0°刻度線重合的邊向右，就看里圈的刻度數(shù)；相反就看外圈的刻度數(shù)。
角的名稱 圖形 意義 特征
銳角 小于的角叫作銳角。 < 銳角 <
直角 等于的角叫做直角。 直角 =
鈍角 大于而小于的角叫作鈍角。 < 鈍角 <
平角 角的兩邊成一條直線，這時(shí)所形成的角是平角。 平角 =
周角 一條射線繞它的頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周所形成的角是周角。 周角 =
1、銳角＜直角＜鈍角＜平角＜周角；
2、1平角＝2直角，1周角＝2平角＝4直角。
3、角的性質(zhì)
角的大小與邊的長(zhǎng)短無(wú)關(guān)：角的大小只與兩條邊叉開(kāi)的大小有關(guān)，叉開(kāi)得越大，角越大。
放大鏡不能放大角：放大鏡可以改變物體的大小，但不能改變角的大小。
【典例精講1】（四年級(jí)上·河南周口·期中）下圖是一張長(zhǎng)方形紙折起來(lái)以后的圖形，如果∠2＝70°
那么∠1＝？
【答案】∠1＝40°
【分析】如圖，∠1＋∠2＋∠3＝180°，由∠2＝70°，得出180°－（∠2＋∠3）＝∠1，由對(duì)折可知∠3＝∠2，進(jìn)一步求得∠1即可。
【詳解】∠1＝180°－70°×2
＝180°－140°
＝40°
答：∠1是40°。
【點(diǎn)睛】此題考查利用對(duì)折重疊的兩個(gè)角相等和平角等于180°來(lái)解決有關(guān)角度計(jì)算的問(wèn)題。
【典例精講2】（23-24四年級(jí)上·河北衡水·期末）如圖，兩張同樣的長(zhǎng)方形紙重疊了一部分，已知∠1＝55°，分別求出∠2、∠3的度數(shù)。
【答案】∠2＝35°，∠3＝55°
【分析】根據(jù)圖形，∠1＋∠2＝90°，因?yàn)椤?＝55°，所以可以求出∠2的度數(shù)；又根據(jù)∠3＋∠2＝90°，繼而可求出∠3度數(shù)，據(jù)此即可解答。
【詳解】∠1＋∠2＝90°，∠1＝55°，∠2＝90°－55°＝35°；
∠2＋∠3＝90°，所以∠3＝90°－35°＝55°
【典例精講3】（22-23四年級(jí)上·江西宜春·期末）求出下面各角的度數(shù)。
已知如圖中∠2＝65°，求∠1。
【答案】50°
【分析】由圖可知∠2＋∠2＋∠1＝平角，平角為180°，所以∠1＝180°－∠2－∠2；據(jù)此解答。
【詳解】∠1＝180°－65°－65°＝50°
所以∠1為50°。
學(xué)校:___________ 姓名：___________ 班級(jí)：___________
計(jì)算題
1．（22-23四年級(jí)上·河南三門峽·期末）兩個(gè)正方形疊放在一起，如圖，求的度數(shù)。
【答案】15°
【分析】1直角＝90°，1平角＝180°，根據(jù)題意可知，∠1＋∠3＝90°，∠1＋∠3＋45°＋∠2＋30°＝180°，由此可知，∠2＝180°－30°－45°－（∠1＋∠3），依此計(jì)算。
【詳解】∠2＝180°－30°－45°－90°
＝150°－45°－90°
＝105°－90°
＝15°
∠2是15°。
2．（22-23四年級(jí)上·湖北孝感·期中）已知∠1＝40°，∠5是直角，求∠2、∠3、∠4的度數(shù)。
【答案】∠2＝50°；∠3＝130°；∠4＝50°
【分析】根據(jù)平角的定義，如果一個(gè)角的兩條邊互為反向延長(zhǎng)線成為180°，這個(gè)角叫平角，平角的一半叫直角，利用圖中角與角的關(guān)系即可求得。
【詳解】因?yàn)椤?＝40°，∠5是直角，
所以∠2＝180°－90°－40°＝50°；
∠3＝180°－50°＝130°；
∠4＝180°－130°＝50°；
∠2等于50°，∠3等于130°，∠4等于50°。
3．（23-24四年級(jí)上·湖南郴州·期中）如圖，已知∠1＝30°，求∠2的度數(shù)。
【答案】30°
【分析】假設(shè)∠1和∠2中間的角為∠3，觀察發(fā)現(xiàn)∠1＋∠3＝90°，所以∠3＝90°－∠1；∠3＋∠2＝90°，所以∠2＝90°－∠3；據(jù)此解答。
【詳解】∠3：90°－30°＝60°
∠2：90°－60°＝30°
∠2的度數(shù)為30°。
4．（22-23四年級(jí)上·黑龍江雞西·期末）下圖中，已知，求、、的度數(shù)。
【答案】∠2的度數(shù)是155°，∠3的度數(shù)是25°，∠4的度數(shù)是65°
【分析】根據(jù)對(duì)平角的認(rèn)識(shí)，平角的度數(shù)為180度，要求∠2的度數(shù)，用180度減去∠1的度數(shù)，要求∠3的度數(shù)，用180度減去∠2即可，要求∠4的度數(shù)，用180度減去直角的度數(shù)，再減去∠3的度數(shù)，根據(jù)對(duì)直角的認(rèn)識(shí)，直角的度數(shù)是90度，代入數(shù)據(jù)計(jì)算。
【詳解】∠2＝180°－∠1＝180°－25°＝155°
∠3＝180°－∠2＝180°－155°＝25°
∠4＝180°－90°－25°＝90°－25°＝65°
∠2的度數(shù)是155°，∠3的度數(shù)是25°，∠4的度數(shù)是65°。
5．（23-24四年級(jí)上·湖南永州·期末）下圖是一張長(zhǎng)方形的紙，把它的一角折疊過(guò)來(lái)。已知∠1＝50°求∠2。
【答案】80°
【分析】由圖可以看出是一張長(zhǎng)方形紙折起來(lái)的圖形，把這張紙展開(kāi)后，以∠1、∠2的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的角是180°，由于∠1蓋住了一個(gè)和它相等的角，展開(kāi)后就是2∠1＋∠2＝180°，又知∠1＝50°，據(jù)此可求出∠2的度數(shù)。
【詳解】∠2＝180°－2×∠1
＝180°－2×50°
＝180°－100°
＝80°
即∠2＝80°
6．（23-24四年級(jí)上·湖南永州·期末）已知∠3＝35°，求∠4的度數(shù)。
【答案】∠4＝55°
【分析】根據(jù)題圖可知，∠3、∠4和一個(gè)直角組成一個(gè)平角，則∠3＋∠4＋90°＝180°，∠4＝180°－90°－∠3。
【詳解】∠4＝180°－90°－∠3＝180°－90°－35°＝55°。
即∠4＝55°。
7．（23-24四年級(jí)上·廣東汕頭·期末）如圖，∠1＝155°，求∠4的度數(shù)。
【答案】115°
【分析】根據(jù)圖形可知∠1＋∠2＝180°，∠1＝155°，∠2＝180°－155°；又因?yàn)椤?＋∠2＝90°，90°減去∠2即可得到∠3；最后因?yàn)椤?＋∠4＝180°，用180°減去∠3即可求出∠4。
【詳解】∠2＝180°－155°＝25°
∠3＝90°－25°＝65°
∠4＝180°－65°＝115°
8．（23-24四年級(jí)上·河北保定·期末）下圖是兩個(gè)相同的長(zhǎng)方形組成的圖形，求∠1，∠2，∠3的度數(shù)。
【答案】∠1＝64°
∠2＝26°
∠3＝110°
【分析】根據(jù)題圖可知，∠1和26°的角組成一個(gè)直角，則∠1＝90°－26°?！?和∠2組成一個(gè)直角，則∠2＝90°－∠1?！?和70°的角組成一個(gè)平角，則∠3＝180°－70°。
【詳解】∠1＝90°﹣26°＝64°
∠2＝90°﹣64°＝26°
∠3＝180°﹣70°＝110°
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