資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
人教版八年級數學上名師點撥精練
軸對稱
第13章 小結與復習
一、知識點梳理
知識點解析
知識點1 軸對稱圖形與軸對稱
（1）軸對稱圖形
如果一個圖形沿著某一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖
形，這條直線就是它的對稱軸.
軸對稱圖形的性質：軸對稱圖形的對稱軸，是任何一對對應點所連線段的垂直平分線.
（2）軸對稱
定義：把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這條直線對稱，這條直線叫做對稱軸.成軸對稱的兩個圖形的性質：
①關于某條直線對稱的兩個圖形形狀相同，大小相等，是全等形；
②如果兩個圖形關于某條直線對稱，則對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線；
③兩個圖形關于某條直線對稱，如果它們的對應線段或延長線相交，那么它們的交點在對稱軸上.
（3）軸對稱圖形與軸對稱的區別和聯系
區別：軸對稱是指兩個圖形的位置關系，軸對稱圖形是指具有特殊形狀的一個圖形；軸對稱涉
及兩個圖形，而軸對稱圖形是對一個圖形來說的.
聯系：如果把一個軸對稱圖形沿對稱軸分成兩個圖形，那么這兩個圖形關于這條軸對稱；如果
把成軸對稱的兩個圖形看成一個整體，那么它就是一個軸對稱圖形．
典例剖析1
例1．魚紋樣是我國的傳統吉祥圖案之一.因與“余”諧音，往往用來比喻人們生活的富足有余.下列魚紋剪紙圖案是軸對稱圖形的是( )
A. B. C. D.
針對訓練1
1．圖中有陰影的三角形與哪些三角形成軸對稱？整個圖形是軸對稱圖形嗎？它共有幾條對稱軸？
2．如圖,在的正方形格紙中,每個小方格的邊長為1,格線的交點稱為格點,以格點為頂點的三角形稱為格點三角形,圖中是一個格點三角形.
（1）________.
（2）請在每一個圖中,作出一個與成軸對稱的格點三角形.(兩個能重復)
3．如圖，在的正方形網格中，格線的交點稱為格點，以格點為頂點的三角形稱為格點三角形.圖中的為格點三角形，在圖中最多能畫出__________個格點三角形與成軸對稱.
知識點2 平面直角坐標系中的軸對稱
1.作軸對稱圖形
（1）幾何圖形都可以看作由點組成，我們只要分別作出這些點關于對稱軸的對應點，再連接這些點，就可以得到原圖形的軸對稱圖形；
（2）對于一些由直線、線段或射線組成的圖形，只要作出圖形中的一些特殊點（如線段端點）的對稱點，連接這些對稱點，就可以得到原圖形的軸對稱圖形.
2.用坐標表示軸對稱
點（x,y）關于x軸對稱的點的坐標為（x,－y）；點（x,y）關于y軸對稱的點的坐標為（－x,y）；點（x,y）關于原點對稱的點的坐標為（－x,－y）.
典例剖析2
例2．如圖，在平面直角坐標系中，，，.
(1)請畫出關于y軸對稱的；
(2)直接寫出的面積為_____；
(3)請僅用無刻度的直尺畫出的平分線BD，保留作圖痕跡.
針對訓練2
1．如圖，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，已知三個定點坐標分別為，，.
(1)畫出關于x軸對稱后的圖形，并寫出各點的坐標.
______，______，______.
(2)畫出點C關于直線對稱的點以及求出的坐標，連接，，，并求出的面積.
2．在平面直角坐標系中，若點P關于x軸的對稱點在第二象限，且到x軸的距離為3，到y軸的距離為2，則點P的坐標為________.
3．在平面直角坐標系中,點關于y軸對稱的點的坐標為______.
4．在平面直角坐標系中，點，，現將線段平移后得到線段，若點與點A重合，則點的坐標是_______.
知識點3 線段垂直平分線的性質與判定
1.線段的垂直平分線性質
線段的垂直平分線的性質：線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等.
2.線段的垂直平分線判定
與一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上.
典例剖析3
例3 .如圖,在中,分別以點A和點C為圓心,大于長為半徑畫弧,兩弧相交于點M,N,作直線MN分別交BC,AC于點D,E,若,的周長為13cm,則的周長為( )
A.16cm B.19cm C.22cm D.25cm
針對訓練3
1．如圖，AD是的角平分線，DE，DF分別是和的高.求證：AD垂直平分EF.
2．如圖，中，，D是AC上一點，，過點D作AC的垂線交AB于點E，連接CE交BD于F.求證：CE垂直平分BD.
3．如圖，在中，BC的垂直平分線分別交AC、BC于點D、E.若的周長為30，，則的周長為______.
4．如圖，中，，以點B為圓心，的長為半徑畫弧交于點C，E，再分別以點C與點E為圓心，大于長的一半為半徑畫弧，兩弧交于點F，連接交AC于點D，若，則是___________°.
知識點4 等腰三角形的性質與判定
1.等腰三角形
定義：有兩邊相等的三角形，叫做等腰三角形.
2.等腰三角形性質
①等腰三角形的兩個底角相等，即“等邊對等角”；
②等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線與底邊上的高線互相重合（簡稱“三線合一”）.特別地，等腰直角三角形的每個底角都等于45°.
3.等腰三角形的判定
如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（即“等角對等邊”）.
典例剖析4
例4．如圖，在中，，，DE是AB的垂直平分線.
（1）求證：是等腰三角形；
（2）若的周長是a，，求的周長.（用含a，b的代數式表示）
針對訓練4
1．如圖，在中，，點D是上一點，點E是上一點，且.若，，求的度數.
2．如圖，在中，，D為CA延長線上一點，于點E，交AB于點F，若.
求證：
（1）是等腰三角形.
（2）.
3. 如圖，在中，，，點D在線段BC上運動(點D不與點B、C重合)，連接AD，作，DE交線段AC于點E.
(1)當時，__________°，_________°；點D從點B向點C運動時，逐漸變_________(填“大”或“小”)
(2)當DC等于多少時，？請說明理由.
(3)在點D的運動過程中，的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，請直接寫出的度數；若不可以，請說明理由.
4．如圖，在中，，，BD是的平分線，交AC于點D，E是AB的中點，連接ED并延長，交BC的延長線于點F，連接AF，求證：
（1）；
（2）為等腰三角形.
5．下面是“已知底邊及底邊上的高線作等腰三角形”的尺規作圖過程.
已知：線段a.求作：等腰，使邊上的高為.作法：如圖，①作線段；②作線段的垂直平分線交于點F；③在射線上順次截取線段，連接.即為所求作的等腰三角形.
請回答：得到是等腰三角形的依據：
（1）________________；
（2）___________________.
知識點5 等邊三角形的性質與判定
等邊三角形定義：
三條邊都相等的三角形，叫做等邊三角形.
2.等邊三角形性質：等邊三角形的三個角相等，并且每個角都等于60°.
3.等邊三角形的判定：
①三條邊都相等的三角形是等邊三角形； ②三個角都相等的三角形是等邊三角形；
③有一個角為 60°的等腰三角形是等邊三角形.
4.直角三角形的性質定理：
在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.
典例剖析5
例5．如圖，是等邊三角形，BD是中線，延長BC至E，使.求證.
針對訓練5
1．如圖,點P,M,N分別在等邊的各邊上,且于點P,于點M,于點N.
（1）求證:是等邊三角形;
（2）若cm,求CM的長.
2．已知M是等邊的邊BC上的點.
（1）如圖①，過點M作，交AB于點N，求證：；
（2）如圖②，連接AM，過點M作，MH與的鄰補角的平分線交于點H，過點H作，交BC延長線于點D.
①求證：；
②直接寫出CB，CM，CD之間的數量關系式.
3．數學課上，劉老師出示了如下框中的題目：
如圖，在等邊中，E為線段AB上一點，D為線段CB延長線上一點，且，試確定AE與DB的大小關系，并說明理由.
小聰與同桌小明討論后，仍不得其解.劉老師提示道：“數學中常通過把一個問題特殊化來找到解題思路”.兩人茅塞頓開，于是進行了如下解答，請你根據他們提供的思路完成下面相應內容：
（1）特殊情況，探索結論
當點E為線段AB的中點時，如圖1，確定線段AE與DB的大小關系.請你直接寫出結論：AE________DB.（選填“>”，“<”或“=”）
（2）特例啟發，解答題目
當E為線段AB上除中點外的任意一點時，其余條件不變，如圖2，（1）中線段AE與DB的大小關系會發生改變嗎？若不會，請證明；若改變，請說明理由.
（3）拓展結論，設計新題
經過以上的解答，小聰和小明發現如果把劉老師的題目稍加改變，就會得到這樣一道題目：在等邊中，點E在直線AB上，點D在直線BC上，且.若的邊長為1，，求CD的長.
請你根據（1）（2）的探究過程，嘗試解決兩人改編的此問題，直接寫出CD的長.
4．已知是等邊三角形，點D在射線BC上（與點B，C不重合），點D關于直線的對稱點為點E.
（1）如圖1，連接，，，當時，根據邊的關系，可判定的形狀是___________三角形；
（2）如圖2，當點D在延長線上時，連接，，，，延長到點G，使，連接，交于點F，F為的中點.若，則的長為___________.
知識點6 最短路徑
（1）依據1垂線段最短;一動點與一定點連成的線段中，若動點在定直線上，則垂線段最短。一定兩動，動點在直線上，兩線段之和最短，則垂線段最短
（2）依據2兩點之間線段最短:
方法技巧：定點關于定直線對稱轉化為兩點之間線段最短求最值．
典例剖析6
例6．圖①、圖②、圖③均是的正方形網格，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點稱為格點，點A、B、C、D均為格點，只用無刻度的直尺，分別在給定的三幅圖中畫出點P，使點P在線段上，且滿足以下要求，保留適當的作圖痕跡.
(1)在圖①中，連結，使最小.
(2)在圖②中，連結、，使.
(3)在圖③中，連結、，使最小.
針對訓練6
1．觀察圖形,完成下面兩個問題.
(1)畫出格點(頂點均在格點上)關于直線對稱的.
(2)在上畫出點Q,使最小.
2．如圖，在四邊形中，，，在，上分別找一個點M，N，使的周長最小，則___________°.
3．如圖，，M，N分別是OA，OB上的定點，P，Q分別是邊OB，OA上的動點，如果記，，當最小時，則與的數量關系是______.
4．如圖，在中，，，的面積是16，的垂直平分線分別交，邊于E，F點，若點D為邊的中點，點M為線段上一動點，則周長的最小值為( )
A.6 B.8 C.10 D.12
人教版八年級數學上名師點撥精練
軸對稱
第13章 小結與復習
一、知識點梳理
知識點解析
知識點1 軸對稱圖形與軸對稱
（1）軸對稱圖形
如果一個圖形沿著某一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖
形，這條直線就是它的對稱軸.
軸對稱圖形的性質：軸對稱圖形的對稱軸，是任何一對對應點所連線段的垂直平分線.
（2）軸對稱
定義：把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這條直線對稱，這條直線叫做對稱軸.成軸對稱的兩個圖形的性質：
①關于某條直線對稱的兩個圖形形狀相同，大小相等，是全等形；
②如果兩個圖形關于某條直線對稱，則對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線；
③兩個圖形關于某條直線對稱，如果它們的對應線段或延長線相交，那么它們的交點在對稱軸上.
（3）軸對稱圖形與軸對稱的區別和聯系
區別：軸對稱是指兩個圖形的位置關系，軸對稱圖形是指具有特殊形狀的一個圖形；軸對稱涉
及兩個圖形，而軸對稱圖形是對一個圖形來說的.
聯系：如果把一個軸對稱圖形沿對稱軸分成兩個圖形，那么這兩個圖形關于這條軸對稱；如果
把成軸對稱的兩個圖形看成一個整體，那么它就是一個軸對稱圖形．
典例剖析1
例1．魚紋樣是我國的傳統吉祥圖案之一.因與“余”諧音，往往用來比喻人們生活的富足有余.下列魚紋剪紙圖案是軸對稱圖形的是( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：A.不是軸對稱圖形，本選項不符合題意；
B.不是軸對稱圖形，本選項不符合題意；
C.不是軸對稱圖形，本選項不符合題意；
D.是軸對稱圖形，本選項符合題意.
故選：D.
針對訓練1
1．圖中有陰影的三角形與哪些三角形成軸對稱？整個圖形是軸對稱圖形嗎？它共有幾條對稱軸？
答案：見解析
解析：圖中有陰影的三角形與三角形1，3成軸對稱；整個圖形是軸對稱圖形，它共有2條對稱軸.
2．如圖,在的正方形格紙中,每個小方格的邊長為1,格線的交點稱為格點,以格點為頂點的三角形稱為格點三角形,圖中是一個格點三角形.
（1）________.
（2）請在每一個圖中,作出一個與成軸對稱的格點三角形.(兩個能重復)
答案：（1）
（2）見解析
解析:（1）,
故答案為:.
（2）如圖所示,和即為所求(答案不唯一).
3．如圖，在的正方形網格中，格線的交點稱為格點，以格點為頂點的三角形稱為格點三角形.圖中的為格點三角形，在圖中最多能畫出__________個格點三角形與成軸對稱.
答案：6
解析：如圖，最多能畫出6個格點三角形與成軸對稱.
知識點2 平面直角坐標系中的軸對稱
1.作軸對稱圖形
（1）幾何圖形都可以看作由點組成，我們只要分別作出這些點關于對稱軸的對應點，再連接這些點，就可以得到原圖形的軸對稱圖形；
（2）對于一些由直線、線段或射線組成的圖形，只要作出圖形中的一些特殊點（如線段端點）的對稱點，連接這些對稱點，就可以得到原圖形的軸對稱圖形.
2.用坐標表示軸對稱
點（x,y）關于x軸對稱的點的坐標為（x,－y）；點（x,y）關于y軸對稱的點的坐標為（－x,y）；點（x,y）關于原點對稱的點的坐標為（－x,－y）.
典例剖析2
例2．如圖，在平面直角坐標系中，，，.
(1)請畫出關于y軸對稱的；
(2)直接寫出的面積為_____；
(3)請僅用無刻度的直尺畫出的平分線BD，保留作圖痕跡.
答案：(1)見解析
(2)
(3)見解析
解析：(1)如圖所示，即為所求；
(2)由題可得，，，
∴的面積為；
故答案為：；
(3)如圖所示，BD即為所求.
針對訓練2
1．如圖，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，已知三個定點坐標分別為，，.
(1)畫出關于x軸對稱后的圖形，并寫出各點的坐標.
______，______，______.
(2)畫出點C關于直線對稱的點以及求出的坐標，連接，，，并求出的面積.
答案：(1)圖形見解析，，，
(2)圖形見解析，；面積為8
解析：(1)如圖所示，即為所求，
∴，，；
(2)如圖所示，即為所求：
∵點C關于直線對稱的點為點，
∴點的坐標為，
∵，，
∴，，，
∴.
2．在平面直角坐標系中，若點P關于x軸的對稱點在第二象限，且到x軸的距離為3，到y軸的距離為2，則點P的坐標為________.
答案：
解析：點P關于x軸的對稱點在第二象限，得P在第三象限，
由到x軸的距離為3，到y軸的距離為2，得，
故選：.
3．在平面直角坐標系中,點關于y軸對稱的點的坐標為______.
答案：
解析：由題意得：點關于y軸對稱的點為,
故答案為：.
4．在平面直角坐標系中，點，，現將線段平移后得到線段，若點與點A重合，則點的坐標是_______.
答案：
解析：線段平移后，點與點A重合，，
將線段向左平移2個單位，向下平移2個單位得到線段，
點的對應點的坐標為，即，
故答案為：.
知識點3 線段垂直平分線的性質與判定
1.線段的垂直平分線性質
線段的垂直平分線的性質：線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等.
2.線段的垂直平分線判定
與一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上.
典例剖析3
例3 .如圖,在中,分別以點A和點C為圓心,大于長為半徑畫弧,兩弧相交于點M,N,作直線MN分別交BC,AC于點D,E,若,的周長為13cm,則的周長為( )
A.16cm B.19cm C.22cm D.25cm
答案：B
解析：根據作法可知MN是AC的垂直平分線,
∴DE垂直平分線段AC,
∴,,
∵,
∴,
∴的周長,
故選B.
針對訓練3
1．如圖，AD是的角平分線，DE，DF分別是和的高.求證：AD垂直平分EF.
答案：證明見解析
解析：證明：是的角平分線，，，
.點D在EF的垂直平分線上.
在和中，
.
.
點A在EF的垂直平分線上.
又點D也在EF的垂直平分線上，
垂直平分EF.
2．如圖，中，，D是AC上一點，，過點D作AC的垂線交AB于點E，連接CE交BD于F.求證：CE垂直平分BD.
答案：證明見解析
解析：證明：，
.
在和中，
，.
，
，，
垂直平分.
3．如圖，在中，BC的垂直平分線分別交AC、BC于點D、E.若的周長為30，，則的周長為______.
答案：20
解析：是BC的垂直平分線，
，，
的周長
故答案為20.
4．如圖，中，，以點B為圓心，的長為半徑畫弧交于點C，E，再分別以點C與點E為圓心，大于長的一半為半徑畫弧，兩弧交于點F，連接交AC于點D，若，則是___________°.
答案：20
解析：由作圖可知，F點到點E和點C的距離相等，
F點在的垂直平分線上，
又，
垂直平分，，
，
，，
，
，
，
，
故答案為：20.
知識點4 等腰三角形的性質與判定
1.等腰三角形
定義：有兩邊相等的三角形，叫做等腰三角形.
2.等腰三角形性質
①等腰三角形的兩個底角相等，即“等邊對等角”；
②等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線與底邊上的高線互相重合（簡稱“三線合一”）.特別地，等腰直角三角形的每個底角都等于45°.
3.等腰三角形的判定
如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（即“等角對等邊”）.
典例剖析4
例4．如圖，在中，，，DE是AB的垂直平分線.
（1）求證：是等腰三角形；
（2）若的周長是a，，求的周長.（用含a，b的代數式表示）
答案：（1）見解析
（2）
解析：（1），，
，
是AC的垂直平分線，
，
，
是的外角，
，
，
，
是等腰三角形；
（2）由（1）可知，
的周長是a，
，
，
，
的周長.
針對訓練4
1．如圖，在中，，點D是上一點，點E是上一點，且.若，，求的度數.
答案：
解析：，
，
，
，
，
，
，
，
，
.
2．如圖，在中，，D為CA延長線上一點，于點E，交AB于點F，若.
求證：
（1）是等腰三角形.
（2）.
答案：（1）證明見解析
（2）證明見解析
解析：（1），.
，
，，
.
，
，，
是等腰三角形.
（2）如圖，過點A作于點H，
，
.
由（1）知，
.
在和中，
.
，，.
3. 如圖，在中，，，點D在線段BC上運動(點D不與點B、C重合)，連接AD，作，DE交線段AC于點E.
(1)當時，__________°，_________°；點D從點B向點C運動時，逐漸變_________(填“大”或“小”)
(2)當DC等于多少時，？請說明理由.
(3)在點D的運動過程中，的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，請直接寫出的度數；若不可以，請說明理由.
答案：(1)35；105；小
(2)見解析
(3)當或110°時，的形狀可以是等腰三角形
解析：(1)，且，，
，
，
，
，
，
點D從B向C的運動過程中，逐漸變大，
逐漸變小，
故答案為：35；105；小；
(2)當時，，理由如下：
，，，
，
在和中，
，
；
(3)若時，
，，
，
，
，
，
若時，
，，
，
，
，
，
，
綜上所述：當或110°時，的形狀可以是等腰三角形.
4．如圖，在中，，，BD是的平分線，交AC于點D，E是AB的中點，連接ED并延長，交BC的延長線于點F，連接AF，求證：
（1）；
（2）為等腰三角形.
答案：證明：（1），，
.
又BD是的平分線，，
，
，又E是AB的中點，
，即.
（2），，
FE垂直平分AB，
，.
又，
.
又，
，
，
，即為等腰三角形.
5．下面是“已知底邊及底邊上的高線作等腰三角形”的尺規作圖過程.
已知：線段a.求作：等腰，使邊上的高為.作法：如圖，①作線段；②作線段的垂直平分線交于點F；③在射線上順次截取線段，連接.即為所求作的等腰三角形.
請回答：得到是等腰三角形的依據：
（1）________________；
（2）___________________.
答案：（1）線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等
（2）有兩條邊相等的三角形是等腰三角形
解析：由作圖得，垂直平分.故是等腰三角形.
知識點5 等邊三角形的性質與判定
等邊三角形定義：
三條邊都相等的三角形，叫做等邊三角形.
2.等邊三角形性質：等邊三角形的三個角相等，并且每個角都等于60°.
3.等邊三角形的判定：
①三條邊都相等的三角形是等邊三角形； ②三個角都相等的三角形是等邊三角形；
③有一個角為 60°的等腰三角形是等邊三角形.
4.直角三角形的性質定理：
在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.
典例剖析5
例5．如圖，是等邊三角形，BD是中線，延長BC至E，使.求證.
答案：證明見解析
解析：證明：是等邊三角形，D是AC的中點，
，
.
，
.
，
.
.
.
針對訓練5
1．如圖,點P,M,N分別在等邊的各邊上,且于點P,于點M,于點N.
（1）求證:是等邊三角形;
（2）若cm,求CM的長.
答案：（1）見解析
（2）4cm
解析:（1）是正三角形,
,
,,,
,
,
,
是等邊三角形;
（2）根據題意,
,,
cm,
是正三角形,
,
,
,
,
.
2．已知M是等邊的邊BC上的點.
（1）如圖①，過點M作，交AB于點N，求證：；
（2）如圖②，連接AM，過點M作，MH與的鄰補角的平分線交于點H，過點H作，交BC延長線于點D.
①求證：；
②直接寫出CB，CM，CD之間的數量關系式.
答案：（1）見解析
（2）①見解析
②
解析：（1），
，，
，
；
（2）①如圖過M點作交AB于N，
則，，
，
，
是外角平分線，所以，
，
又，，
，
又，
，
在和中
，
；
②；理由如下：
如上圖，過M點作于G，
，
，
為等邊三角形，，
，，
，
在和中
，
，
，
，
所以.
3．數學課上，劉老師出示了如下框中的題目：
如圖，在等邊中，E為線段AB上一點，D為線段CB延長線上一點，且，試確定AE與DB的大小關系，并說明理由.
小聰與同桌小明討論后，仍不得其解.劉老師提示道：“數學中常通過把一個問題特殊化來找到解題思路”.兩人茅塞頓開，于是進行了如下解答，請你根據他們提供的思路完成下面相應內容：
（1）特殊情況，探索結論
當點E為線段AB的中點時，如圖1，確定線段AE與DB的大小關系.請你直接寫出結論：AE________DB.（選填“>”，“<”或“=”）
（2）特例啟發，解答題目
當E為線段AB上除中點外的任意一點時，其余條件不變，如圖2，（1）中線段AE與DB的大小關系會發生改變嗎？若不會，請證明；若改變，請說明理由.
（3）拓展結論，設計新題
經過以上的解答，小聰和小明發現如果把劉老師的題目稍加改變，就會得到這樣一道題目：在等邊中，點E在直線AB上，點D在直線BC上，且.若的邊長為1，，求CD的長.
請你根據（1）（2）的探究過程，嘗試解決兩人改編的此問題，直接寫出CD的長.
答案：（1）=
（2）不會改變，仍有，見解析
（3）3或1
解析：（1）為等邊三角形，E為AB的中點，
，，，
，
，
，
，
，
；
故答案為：=
（2）不會改變，仍有.證明如下：
如圖，過點E作，交AC于點F，
是等邊三角形，
，，
，
，，
，
是等邊三角形，
，
，即，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
,
，
.
（3）如圖，若點E在AB的延長線上，點D在CB的延長線上，
是等邊三角形，
，，
，
，
，
，
，
是直角三角形，
，
，
，
，即是直角三角形，
，
，
如圖，若點E在BA的延長線上，點D在BC的延長線上，過點E作于點M，
是等邊三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
如圖，若點E在AB的延長線上，點D在BC的延長線上，
是等邊三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，不符合三角形內角和定理，舍去，
如圖，若點E在BA的延長線上，點D在CB的延長線上，則，，
，，且，
，
，不合題意，舍去，
綜上所述，CD的長為3或1.
4．已知是等邊三角形，點D在射線BC上（與點B，C不重合），點D關于直線的對稱點為點E.
（1）如圖1，連接，，，當時，根據邊的關系，可判定的形狀是___________三角形；
（2）如圖2，當點D在延長線上時，連接，，，，延長到點G，使，連接，交于點F，F為的中點.若，則的長為___________.
答案：（1）等邊
（2）6
解析：（1）是等邊三角形，理由如下：
點D，E關于直線AC對稱，
，，
是等邊三角形，
，，
點D為線段BC的中點，
，
，
，
，
是等邊三角形；
（2）如圖2所示，
證明：F為線段BE的中點，
，
是等邊三角形，
，，
，
點D，E關于直線AC對稱，
，，
，，
，，
，，
，
在和中，
，
，
CG=2CF，
在和中，
，
，
，
，
，
；
故答案為：等邊；6.
知識點6 最短路徑
（1）依據1垂線段最短;一動點與一定點連成的線段中，若動點在定直線上，則垂線段最短。一定兩動，動點在直線上，兩線段之和最短，則垂線段最短
（2）依據2兩點之間線段最短:
方法技巧：定點關于定直線對稱轉化為兩點之間線段最短求最值．
典例剖析6
例6．圖①、圖②、圖③均是的正方形網格，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點稱為格點，點A、B、C、D均為格點，只用無刻度的直尺，分別在給定的三幅圖中畫出點P，使點P在線段上，且滿足以下要求，保留適當的作圖痕跡.
(1)在圖①中，連結，使最小.
(2)在圖②中，連結、，使.
(3)在圖③中，連結、，使最小.
答案：(1)見解析
(2)見解析
(3)見解析
解析：(1)如圖①中，點P即為所求；
∵于點P，
∴點P滿足要求；
(2)如圖②中，點P即為所求；
∵，
∴點P滿足要求；
(3)如圖③中，點P即為所求.
∵點A和關于軸對稱，
∴，，
當、B、P三點共線時，有最小值，
即點P滿足要求.
針對訓練6
1．觀察圖形,完成下面兩個問題.
(1)畫出格點(頂點均在格點上)關于直線對稱的.
(2)在上畫出點Q,使最小.
答案：(1)圖見解析
(2)圖見解析
解析：(1)如圖所示：即為所求；
(2)由軸對稱的性質及兩點之間線段最短可知連接,與直線交于點Q,此時最小,Q點如圖所示.
2．如圖，在四邊形中，，，在，上分別找一個點M，N，使的周長最小，則___________°.
答案：150
解析：作A關于和的對稱點，，連接，交于M，交于N，則即為的周長最小值.
，
，
，，且，，
故答案為：150.
3．如圖，，M，N分別是OA，OB上的定點，P，Q分別是邊OB，OA上的動點，如果記，，當最小時，則與的數量關系是______.
答案：
解析：如圖，作M關于OB的對稱點，N關于OA的對稱點，連接交OA于Q，交OB于P，則最小，
易知，，
，，
，
.
，
故答案為：.
4．如圖，在中，，，的面積是16，的垂直平分線分別交，邊于E，F點，若點D為邊的中點，點M為線段上一動點，則周長的最小值為( )
A.6 B.8 C.10 D.12
答案：C
解析：連接，，
是等腰三角形，點D是邊的中點，
，
，解得，
是線段的垂直平分線，
點C關于直線的對稱點為點A，
，
，
的長為的最小值，
的周長最短.
故選：C.
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
HYPERLINK "http://21世紀教育網(www.21cnjy.com)
" 21世紀教育網(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑