資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
人教版八年級數學上名師點撥精練
軸對稱
13.4 最短路徑問題
學習目標
1.能利用軸對稱解決簡單的最短路徑問題。體會圖形的變化在解訣最值問題中的作用。
2.感悟轉化思想。
重點：利用軸對稱將最短路徑問題轉化為“兩點之間，線段最短”問題。
難點：路徑最短的證明。
老師告訴你
1.最短路徑問題的類型
（1）兩點一線型的線段和的最小值問題；（2）兩線一點型的線段和的最小值問題；（3）兩點兩線型的線段和的最小值問題。
2.解決最短路徑問題的方法
借助軸對稱或平移的知識，化折為直，利用兩點之間線段最短或垂線段最短來求線段和的最小值。
知識點撥
知識點1 兩點一線型
1.類型一 兩定點在直線兩側，動點在直線上，求線段和最小值
求直線異側的兩點與直線上一點所連線段的和最小的問題，只要連接這兩點，與直線的交點即為所求．
如圖所示，點A，B分別是直線l異側的兩個點，在l上找一個點C，使CA＋CB最短，這時點C是直線l與AB的交點．
2.類型二 兩定點在直線同側，動點在直線上，求線段和最小值
求直線同側的兩點與直線上一點所連線段的和最小的問題，只要找到其中一個點關于這條直線的對稱點，連接對稱點與另一個點，則與該直線的交點即為所求．
如圖所示，點A，B分別是直線l同側的兩個點，在l上找一個點C，使CA＋CB最短，這時先作點B關于直線l的對稱點B′，則點C是直線l與AB′的交點．
典例剖析1
例1-1 .如圖，一輛汽車在筆直的公路AB上由A向B行駛， M,N分別是位于公路AB兩側的村莊，當汽車行駛到哪個位置時，與村莊M,N的距離相等？（用圓規和直尺作圖，寫出作法并保留作圖痕跡）
例1-2 .如圖，在中，，，面積是10；的垂直平分線分別交，邊于E、D兩點，若點F為邊的中點，點P為線段上一動點，則周長的最小值為（ ）

A．7 B．9 C．10 D．14
針對練習1
1．某市計劃在公路l旁修建一個飛機場M，現有如下四種方案，則機場M到A、B兩個城市之間的距離之和最短的方案是( )
A. B.
C. D.
2．如圖，在正方形網格中有M，N兩點，在直線l上求一點P，使最短，則點P應選在( )
A.A點 B.B點 C.C點 D.D點
3．如圖，點A，B在直線l同側，在直線l上取一點P，使得最小，對點P的位置敘述正確的是( )
A.作線段的垂直平分線與直線l的交點，即為點P
B.過點A作直線l的垂線，垂足即為點P
C.作點B關于直線l的對稱點，連接，與直線的交點，即為點P
D.延長與直線l的交點，即為點P
4．在一條沿直線鋪設的電纜一側有P，Q兩個小區，要求在直線l上的某處選取一點M，向P，Q兩個小區鋪設電纜，現有如下四種鋪設方案，圖中實線表示鋪設的電纜，則所需電纜材料最短的是( )
A. B.
C. D.
知識點2 兩線一點型
1.類型三 一定點在角內部，兩動點在角的兩邊上，求線段和最小值
求角內部一點與角兩邊所在直線上的兩點所構成的三角形周長最小的問題，只要分別找到角內部這個點關于角兩邊所在直線的對稱點，連接對稱點與角兩邊所在直線的交點，即為所求．
如圖所示，點在的內，動點、動點分別在的兩邊上，在角兩邊所在直線上分別找兩個點、，使三角形PMN的周長最小，這時分別作與關于直線對稱，作與關于直線對稱，連接、的直線與角兩邊所在直線的交點為所求。
典例剖析2-1
例2-1．如圖，在四邊形中，，，在，上分別找一個點M，N，使的周長最小，則___________°.
針對練習2-1
1．.如圖，分別是線段的垂直平分線，，一只小螞蟻從點M出發爬到邊上任意一點E，再爬到邊上任意一點F，然后爬回M點，則小螞蟻爬行的最短路徑為（ ）
A． B． C． D．
2．如圖，是內部的一條線段，在的兩邊，上各取一點C，D組成四邊形，如何取點才能使該四邊形周長最小？
3 .如圖，點P是內任意一點，，點M和點N分別是射線和射線上的動點，，則周長的最小值是 ．
2.類型四 定點在角內部，一動點在角的某邊上，動點向另一邊作垂線，求線段和最小值
求角內部一點與角一邊所在直線上的一動點所連線段，加上這一點向角另一邊所作垂線段之和最小的問題，只要找到角內部這個點關于動點所在直線的對稱點，然后過對稱點作角另一邊的垂線與動點所在直線的交點，即為所求．
如圖所示，點在的內，動點分別在的邊上且交與點，這時作與關于直線對稱，過點作交于點，則Q與的交點為所求。
典例剖析2-2
例2-2，在銳角三角形中，，， 的平分線交于點D，點M、N分別是和上的動點，則的最小值為（ ）
A． B． C．6 D．5
針對練習2-2
1．如圖，在中，，，，是邊上的中線，M是上的一個動點，N是上的一個動點，連接，，則的最小值是_________.
2．如圖,在中,是的平分線.若分別是和上的動點,則的最小值是______________.
3．如圖，已知鈍角三角形的面積為20，最長邊，平分，點分別是上的動點，則的最小值為 。
知識點3 兩點兩線型
1.類型五 兩定點在角內部，兩動點在角的兩邊上，求線段和最小值
求角內部兩點與角兩邊所在直線上的兩點所構成的四邊形周長最小的問題，只要分別找到角內部這兩個點關于角兩邊所在直線的對稱點，連接對稱點與角兩邊所在直線的交點，即為所求．
如圖所示，點、點在的內，動點、動點分別在的兩邊上，在角兩邊所在直線上分別找兩個點、，使四邊形PQMN的周長最小，這時分別作與關于直線對稱，作與關于直線對稱，連接、的直線與角兩邊所在直線的交點為所求。
典例剖析3-1
例3-1．將軍要檢閱一隊士兵，要求（如圖所示）；隊伍長為a，沿河排開（從點P到點Q）；將軍從馬棚M出發到達隊頭P，從P至Q檢閱隊伍后再趕到校場N.問：在什么位置列隊（即選擇點P和Q），可以使得將軍走的總路程最短？
.
針對練習3-1
1．如圖，是內部的一條線段，在的兩邊，上各取一點C，D組成四邊形，如何取點才能使該四邊形周長最小？
2．如圖，已知兩點P，Q在銳角內，分別在OA，OB上作點M，N，使最短.
3．如圖，，M，N分別是OA，OB上的定點，P，Q分別是邊OB，OA上的動點，如果記，，當最小時，則與的數量關系是______.
2.類型六 兩定點在同一直線上同一側或在兩平行直線兩側，求線段和最小值
如圖，直線和的同側兩點、，線段在直線上移動,使最小．
作法：將AC平移，使得點C和點D重合得到A'D，然后參照類型二作法即可。
（2）直線a與直線b平行， 、分別為直線a、直線b外側的兩點，在直線a、直線b上分別找M、N兩點，且，使AM+MN+BN最小．
作法：將平移，使得點和點重合得到，連接交直線于點，作交直線于點，此時。
典例剖析3-2
例3-2 .如圖，平行河岸兩側各有一城鎮，，根據發展規劃，要修建一條橋梁連接，兩鎮，已知相同長度造橋總價遠大于陸上公路造價，為了盡量減少總造價，應該選擇方案（ ）
A． B．
C． D．
針對練習3-2
1．如圖所示，某條護城河在處直角轉彎，河寬均為5 m，從A處到達B處，須經過兩座橋（橋寬不計，橋與河垂直），設護城河以及兩座橋都是東西、南北方向的，如何選址造橋可使從A處到B處的路程最短？請確定兩座橋的位置.
2．如圖所示，在一條河的兩岸有兩個村莊，現要在河上建一座小橋，橋的方向與河垂直，設河的寬度不變，試問：橋架在何處，才能使從A到B的距離最短？
3 .如圖，是兩個蓄水池，都在河流的同側，為了方便灌溉作物，要在河邊建一個抽水站，將河水送到兩地，問該站建在河邊什么地方，可使所修的渠道最短，試在圖中確定該點（保留作圖痕跡）
4．某大學建立分校,校本部與分校隔著兩條平行的小河,如圖所示,為校本部大門,為分校大門.為了方便人員來往,要在兩條小河上各建一座橋,橋面垂直于河岸.為使兩點間來往路段最短,試在圖中畫出符合條件的路徑,并標明橋的位置.
知識點4.兩點一線求線段差的最大值
類型七 兩定點在同一直線上同一側或在異側，求線段差最大值
如圖，直線同側有兩點、，在直線上求作一點，使最大．
作法：連接AB并延長交直線于點P,此時的最大值為線段AB的長
如圖，直線異側有兩點、，在直線上求作一點，使最大．
作法：作點B關于直線的對稱點B',連接AB'并延長交直線于點P，,此時的最大值為線段AB'的長。
典例剖析4
例4-1. 如圖1、圖2和圖3，A、B兩點在直線l同側，且點A、B所在直線與l不平行，在直線l上畫出符合要求的點P（不寫做法與理由，保留作圖痕跡）．
（1）為最大值，在圖1中的直線l上畫出點的位置；
（2），在圖2中的直線l上畫出點的位置；
（3）為最小值，在圖3中的直線l畫出點的位置．
針對練習4
1．如圖，已知兩點在直線l的同一側，根據題意，尺規作圖.
(1)在圖(1)直線l上找出一點P,使.
(2)在圖(2)直線l上找出一點P，使的值最小.
(3)在圖(3)直線l上找出一點P，使的值最大.
2．如圖，點A,B在直線的同側.
（1）試在直線上取一點M，使最小；
（2）試在直線上取一點N，使最大.
人教版八年級數學上名師點撥精練
軸對稱
13.4 最短路徑問題
學習目標
1.能利用軸對稱解決簡單的最短路徑問題。體會圖形的變化在解訣最值問題中的作用。
2.感悟轉化思想。
重點：利用軸對稱將最短路徑問題轉化為“兩點之間，線段最短”問題。
難點：路徑最短的證明。
老師告訴你
1.最短路徑問題的類型
（1）兩點一線型的線段和的最小值問題；（2）兩線一點型的線段和的最小值問題；（3）兩點兩線型的線段和的最小值問題。
2.解決最短路徑問題的方法
借助軸對稱或平移的知識，化折為直，利用兩點之間線段最短或垂線段最短來求線段和的最小值。
知識點撥
知識點1 兩點一線型
1.類型一 兩定點在直線兩側，動點在直線上，求線段和最小值
求直線異側的兩點與直線上一點所連線段的和最小的問題，只要連接這兩點，與直線的交點即為所求．
如圖所示，點A，B分別是直線l異側的兩個點，在l上找一個點C，使CA＋CB最短，這時點C是直線l與AB的交點．
2.類型二 兩定點在直線同側，動點在直線上，求線段和最小值
求直線同側的兩點與直線上一點所連線段的和最小的問題，只要找到其中一個點關于這條直線的對稱點，連接對稱點與另一個點，則與該直線的交點即為所求．
如圖所示，點A，B分別是直線l同側的兩個點，在l上找一個點C，使CA＋CB最短，這時先作點B關于直線l的對稱點B′，則點C是直線l與AB′的交點．
典例剖析1
例1-1 .如圖，一輛汽車在筆直的公路AB上由A向B行駛， M,N分別是位于公路AB兩側的村莊，當汽車行駛到哪個位置時，與村莊M,N的距離相等？（用圓規和直尺作圖，寫出作法并保留作圖痕跡）
答案：如圖，①連接MN；
②作線段MN的垂直平分線l，交直線AB于點C，則點C即所求位置.
例1-2 .如圖，在中，，，面積是10；的垂直平分線分別交，邊于E、D兩點，若點F為邊的中點，點P為線段上一動點，則周長的最小值為（ ）

A．7 B．9 C．10 D．14
【答案】A
【分析】連接，根據線段垂直平分線性質得，周長，再根據等腰三角形的性質和三角形的面積求出，，即可得出答案．
【詳解】解：如圖所示．連接，

∵是的垂直平分線，
∴，
∴周長．
連接，
∵，點F是的中點，
∴，
∴．
∵，
∴，，
∴周長的最小值是．
故選：A．
【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質，線段垂直平分線的性質，根據軸對稱求線段和最小值等，判斷周長的最小值是解題的關鍵．
針對練習1
1．某市計劃在公路l旁修建一個飛機場M，現有如下四種方案，則機場M到A、B兩個城市之間的距離之和最短的方案是( )
A. B.
C. D.
答案：B
解析：作點A關于直線l的對稱點，連接交直線l于M，
根據兩點之間線段最短，可知機場M到A、B兩個城市之間的距離之和最短.
故選：B.
2．如圖，在正方形網格中有M，N兩點，在直線l上求一點P，使最短，則點P應選在( )
A.A點 B.B點 C.C點 D.D點
答案：C
解析：如圖，點是點M關于直線l的對稱點，連接，則與直線l的交點，即為點P，此時最短，
與直線l交于點C，
點P應選C點.
故選C.
3．如圖，點A，B在直線l同側，在直線l上取一點P，使得最小，對點P的位置敘述正確的是( )
A.作線段的垂直平分線與直線l的交點，即為點P
B.過點A作直線l的垂線，垂足即為點P
C.作點B關于直線l的對稱點，連接，與直線的交點，即為點P
D.延長與直線l的交點，即為點P
答案：C
解析：正確作法如下：如圖，作點B關于直線l的對稱點，連接，與直線l的交點，即為點P，
，
理由如下：在l上異于點P的位置任取一點H，連接，，，
，
B、關于直線l對稱，
，
，
最短，
故選：C.
4．在一條沿直線鋪設的電纜一側有P，Q兩個小區，要求在直線l上的某處選取一點M，向P，Q兩個小區鋪設電纜，現有如下四種鋪設方案，圖中實線表示鋪設的電纜，則所需電纜材料最短的是( )
A. B.
C. D.
答案：D
解析：所需電纜材料最短，
作點P關于直線l的對稱點，連接對稱點與點Q，與直線l交于點M，連接，QM所得電纜材料最短，
故選：D.
知識點2 兩線一點型
1.類型三 一定點在角內部，兩動點在角的兩邊上，求線段和最小值
求角內部一點與角兩邊所在直線上的兩點所構成的三角形周長最小的問題，只要分別找到角內部這個點關于角兩邊所在直線的對稱點，連接對稱點與角兩邊所在直線的交點，即為所求．
如圖所示，點在的內，動點、動點分別在的兩邊上，在角兩邊所在直線上分別找兩個點、，使三角形PMN的周長最小，這時分別作與關于直線對稱，作與關于直線對稱，連接、的直線與角兩邊所在直線的交點為所求。
典例剖析2-1
例2-1．如圖，在四邊形中，，，在，上分別找一個點M，N，使的周長最小，則___________°.
答案：150
解析：作A關于和的對稱點，，連接，交于M，交于N，則即為的周長最小值.
，
，
，，且，，
故答案為：150.
針對練習2-1
1．如圖，分別是線段的垂直平分線，，一只小螞蟻從點M出發爬到邊上任意一點E，再爬到邊上任意一點F，然后爬回M點，則小螞蟻爬行的最短路徑為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由題意可知與的交點為E，與的交點為F，根據垂直平分線的性質計算即可；
【詳解】由題意可知與的交點為E，與的交點為F．
∵分別是線段的垂直平分線，
∴，
∴小螞蟻爬行的最短路徑為．
【點睛】本題主要考查了最短路線問題和垂直平分線的性質，準確計算是解題的關鍵．
2．如圖，是內部的一條線段，在的兩邊，上各取一點C，D組成四邊形，如何取點才能使該四邊形周長最小？
答案：見解析
解析：（1）作出點A關于直線的對稱點C；
（2）作出點B關于直線的對稱點D；
（3）連接，交于點E，交于點F，
（4）連接，，
則四邊形即為所求.
3 .如圖，點P是內任意一點，，點M和點N分別是射線和射線上的動點，，則周長的最小值是 ．
【答案】
【分析】分別作點P關于的對稱點C、D，連接，分別交于點M、N，連接，當點M、N在上時，的周長最小．
解：分別作點P關于的對稱點C、D，連接，分別交于點M、N，連接．
∵點P關于的對稱點為C，關于的對稱點為D，
∴；
∵點P關于的對稱點為D，
∴，
∴，，
∴是等邊三角形，
∴．
∴的周長的最小值．
故答案為：．
【點撥】本題主要考查最短路徑問題和等邊三角形的判定． 作點P關于OA、OB的對稱點C、D是解題的關鍵所在．
2.類型四 定點在角內部，一動點在角的某邊上，動點向另一邊作垂線，求線段和最小值
求角內部一點與角一邊所在直線上的一動點所連線段，加上這一點向角另一邊所作垂線段之和最小的問題，只要找到角內部這個點關于動點所在直線的對稱點，然后過對稱點作角另一邊的垂線與動點所在直線的交點，即為所求．
如圖所示，點在的內，動點分別在的邊上且交與點，這時作與關于直線對稱，過點作交于點，則Q與的交點為所求。
典例剖析2-2
例2-2，在銳角三角形中，，， 的平分線交于點D，點M、N分別是和上的動點，則的最小值為（ ）
A． B． C．6 D．5
【答案】D
【分析】如下圖，先根據三角形全等的判定定理與性質可得，再根據兩點之間線段最短可得的最小值為，然后根據垂線段最短可得當時，取得最小值，最后利用三角形的面積公式即可得．
解：如圖，在上取一點E，使，連接，
是的平分線，
，
在和中，
，
，
，
，
由兩點之間線段最短得：當點共線時，取最小值，最小值為，
又由垂線段最短得：當時，取得最小值，
，
，
解得，
即的最小值為5，
故選D．
【點撥】本題考查了角平分線的定義、三角形全等的判定定理與性質、兩點之間線段最短、垂線段最短等知識點，正確找出取得最小值時的位置是解題關鍵．
針對練習2-2
1．如圖，在中，，，，是邊上的中線，M是上的一個動點，N是上的一個動點，連接，，則的最小值是_________.
答案：或
解析：連接，，
，是中線，
，，，
是的垂直平分線，
，
，
即當點C、M、N三點共線時，最小值為的長，
時，最短，
，
，
最小值為：，
故答案為：.
.
2．如圖,在中,是的平分線.若分別是和上的動點,則的最小值是______________.
答案：
解析：如圖,過點作于點,交于點,則此時的值最小.是的平分線,垂直平分的最小值為的長.,,故的最小值是.
3．如圖，已知鈍角三角形的面積為20，最長邊，平分，點分別是上的動點，則的最小值為 。
答案：4
解析：過點C作于點E，交于點M，過點M作于點N.
平分，于點E，于點N，，
，即就是的最小值.
三角形的面積為20，，，解得.
的最小值為4.
知識點3 兩點兩線型
1.類型五 兩定點在角內部，兩動點在角的兩邊上，求線段和最小值
求角內部兩點與角兩邊所在直線上的兩點所構成的四邊形周長最小的問題，只要分別找到角內部這兩個點關于角兩邊所在直線的對稱點，連接對稱點與角兩邊所在直線的交點，即為所求．
如圖所示，點、點在的內，動點、動點分別在的兩邊上，在角兩邊所在直線上分別找兩個點、，使四邊形PQMN的周長最小，這時分別作與關于直線對稱，作與關于直線對稱，連接、的直線與角兩邊所在直線的交點為所求。
典例剖析3-1
例3-1．將軍要檢閱一隊士兵，要求（如圖所示）；隊伍長為a，沿河排開（從點P到點Q）；將軍從馬棚M出發到達隊頭P，從P至Q檢閱隊伍后再趕到校場N.問：在什么位置列隊（即選擇點P和Q），可以使得將軍走的總路程最短？
答案：見解析
解析：如圖，作，使得，作點E關于的對稱點F，連接交于點Q，在上截取，連接，線路時，的值最小.
.
針對練習3-1
1．如圖，是內部的一條線段，在的兩邊，上各取一點C，D組成四邊形，如何取點才能使該四邊形周長最小？
答案：見解析
解析：（1）作出點A關于直線的對稱點C；
（2）作出點B關于直線的對稱點D；
（3）連接，交于點E，交于點F，
（4）連接，，
則四邊形即為所求.
2．如圖，已知兩點P，Q在銳角內，分別在OA，OB上作點M，N，使最短.
答案：如圖所示.
作點P關于OA的對稱點，作點Q關于OB的對稱點，連接，分別交OA，OB于點M，N，
則
3．如圖，，M，N分別是OA，OB上的定點，P，Q分別是邊OB，OA上的動點，如果記，，當最小時，則與的數量關系是______.
答案：
解析：如圖，作M關于OB的對稱點，N關于OA的對稱點，連接交OA于Q，交OB于P，則最小，
易知，，
，，
，
.
，
故答案為：.
2.類型六 兩定點在同一直線上同一側或在兩平行直線兩側，求線段和最小值
如圖，直線和的同側兩點、，線段在直線上移動,使最小．
作法：將AC平移，使得點C和點D重合得到A'D，然后參照類型二作法即可。
（2）直線a與直線b平行， 、分別為直線a、直線b外側的兩點，在直線a、直線b上分別找M、N兩點，且，使AM+MN+BN最小．
作法：將平移，使得點和點重合得到，連接交直線于點，作交直線于點，此時。
典例剖析3-2
例3-2 .如圖，平行河岸兩側各有一城鎮，，根據發展規劃，要修建一條橋梁連接，兩鎮，已知相同長度造橋總價遠大于陸上公路造價，為了盡量減少總造價，應該選擇方案（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】作PP'垂直于河岸L，使PP′等于河寬，連接QP′，與河岸L相交于N，作NM⊥L，根據平行線的判定與性質，易證得此時PM+NQ最短.
【詳解】解：如圖，作PP'垂直于河岸L，使PP′等于河寬，連接QP′，與河岸L相交于N，作NM⊥L，則MN∥PP′且MN＝PP′，于是四邊形PMNP′為平行四邊形，故PM＝NP′．根據“兩點之間線段最短”，QP′最短，即PM+NQ最短．觀察選項，選項C符合題意．
故選C．
【點睛】本題主要考查最短路徑問題，解此題的關鍵在于熟練掌握其知識點.
針對練習3-2
1．如圖所示，某條護城河在處直角轉彎，河寬均為5 m，從A處到達B處，須經過兩座橋（橋寬不計，橋與河垂直），設護城河以及兩座橋都是東西、南北方向的，如何選址造橋可使從A處到B處的路程最短？請確定兩座橋的位置.
答案：見解析
解析：如圖所示，作法如下：
（1）過點A作，使等于河寬；過點B作，使等于河寬（相當于將橋平移到，的位置）.
（2）連接，分別與河岸，相交于點，.
（3）過點作于點D，過點作于點E，
由作圖可知，
最短路徑為，
，即為兩座橋的位置.
2．如圖所示，在一條河的兩岸有兩個村莊，現要在河上建一座小橋，橋的方向與河垂直，設河的寬度不變，試問：橋架在何處，才能使從A到B的距離最短？
答案：如圖，作垂直于河岸GH，且等于河寬，
連接，與河岸EF相交于P，作，交GH于點D，
則且.
連接BD，利用平移可知.
根據“兩點之間，線段最短”，知最短，可知滿足題意的從A到B的路徑中，路徑最短.
故橋架在PD處符合題意.
：
3 .如圖，是兩個蓄水池，都在河流的同側，為了方便灌溉作物，要在河邊建一個抽水站，將河水送到兩地，問該站建在河邊什么地方，可使所修的渠道最短，試在圖中確定該點（保留作圖痕跡）
答案：
4．某大學建立分校,校本部與分校隔著兩條平行的小河,如圖所示,為校本部大門,為分校大門.為了方便人員來往,要在兩條小河上各建一座橋,橋面垂直于河岸.為使兩點間來往路段最短,試在圖中畫出符合條件的路徑,并標明橋的位置.
答案：設在小河甲上建橋,小河乙上建橋,則兩點間來往路徑是折線.過點作河岸,過點作河岸,方向是對著小河,使小河甲的寬度,小河乙的寬度,連接,則折線的長度=折線的長度=折線的長度+兩河的寬度和,為使來往路段最短,需使折線的長度最小,因此連接交于點,交于點,搭橋,則線段的長度即折線的長度的最小值.因此,符合條件的路徑為折線,小河甲和小河乙上橋的位置分別是.
知識點4.兩點一線求線段差的最大值
類型七 兩定點在同一直線上同一側或在異側，求線段差最大值
如圖，直線同側有兩點、，在直線上求作一點，使最大．
作法：連接AB并延長交直線于點P,此時的最大值為線段AB的長
如圖，直線異側有兩點、，在直線上求作一點，使最大．
作法：作點B關于直線的對稱點B',連接AB'并延長交直線于點P，,此時的最大值為線段AB'的長。
典例剖析4
例4-1. 如圖1、圖2和圖3，A、B兩點在直線l同側，且點A、B所在直線與l不平行，在直線l上畫出符合要求的點P（不寫做法與理由，保留作圖痕跡）．
（1）為最大值，在圖1中的直線l上畫出點的位置；
（2），在圖2中的直線l上畫出點的位置；
（3）為最小值，在圖3中的直線l畫出點的位置．
（1）的位置見解析；（2）的位置見解析；（3）的位置見解析．
【分析】（1）根據三角形兩邊之差小于第三邊可得，且當P在AB的延長線上時等號成立，由此可得點的位置；
（2）根據垂直平分線上的點到線段兩端距離相等，作AB的垂直平分線與l的交點即為點的位置；
（3）作B點關于直線l的對稱點，連接與l的交點即為點的位置，原理是兩點之間線段最短和軸對稱的性質．
【詳解】解：（1）如圖，點的位置如下；
（2）如圖，點的位置如下；
（3）如圖，點的位置如下．
【點撥】本題考查作線段的垂直平分線，涉及的知識點有三角形三邊關系、垂直平分線的性質和軸對稱——最短路徑問題．掌握相關定理，能正確分析是解題關鍵．
針對練習4
1．如圖，已知兩點在直線l的同一側，根據題意，尺規作圖.
(1)在圖(1)直線l上找出一點P,使.
(2)在圖(2)直線l上找出一點P，使的值最小.
(3)在圖(3)直線l上找出一點P，使的值最大.
答案：
（1）如圖所示：
此時
（2）.如圖所示：
此時最小
（3）.如圖所示：
此時最大.
2．如圖，點A,B在直線的同側.
（1）試在直線上取一點M，使最小；
（2）試在直線上取一點N，使最大.
答案：(1)如圖,作點A關于直線的對稱點C,連接BC交直線于點M連接MA,此時,由兩點之間線段最短知,此時最小,故點M即所求.
（2）如圖，連接BA并延長，交直線于點N，此時，由三角形的三邊關系知，此時最大，故點N即所求.
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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