資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
人教版八年級數學上名師點撥精練
軸對稱
專題 等腰三角形中的常見證明思路
類型一、利用等腰三角形的性質證明角相等
例1． 如圖，在△ABC中，是的中點，，，垂足分別是、，且．
（1）求證：．
（2）連接AD，求證：AD⊥BC．
針對練習1
1．如圖，在△ABC與△DCB中，AC與BD交于點E，且∠A＝∠D，AB＝DC．
（1）求證：△ABE≌△DCE；
（2）求證：∠EBC＝∠ECB．
2． 在△ABC中，AB＜AC，AD為△ABC的角平分線，點E是BC邊的中點．過點E作AD延長線的垂線，垂足為點G，交AC于點F，交AB的延長線于點H．
（1）求證：∠AHF＝∠AFH；
（2）探究：在線段EH上是否能找到一點P，使得△BEP≌△CEF．如果能夠，請找出并證明之；
（3）證明：BH＝CF．
3．如圖，BC⊥CA，BC＝CA，DC⊥CE，DC＝CE，直線BD與AE交于點F，交AC于點G，連接CF．
（1）求證：△ACE≌△BCD；
（2）求證：BF⊥AE；
（3）請判斷∠CFE與∠CAB的大小關系并說明理由．
類型二、利用“三線合一”證明兩線垂直
例2．如圖，在中，，，試說明的理由．
解：已知，
▲
已知，
等式性質，
在與中，
，
≌ ，
，
又，
針對練習2
1． 如圖，在△ABC中，是的中點，，，垂足分別是、，且．
（1）求證：．
（2）連接AD，求證：AD⊥BC．
2．如圖，在四邊形中，，對角線與相交于點O，M、N分別是邊、的中點．
（1）求證：；
（2）當，，時，求的長．
3．如圖，在中，，過點作線段，連接，且滿足.取的中點，連接.
（1）若，直接寫出的取值范圍　 　；
（2）求證：.
類型三、利用平行線證明等腰三角形
例3．如圖，在平行四邊形ABCD中，BCD的平分線與BA的延長線相交于點E，求證：BE=BC．
針對練習3
1．如圖，在△ABC中，點D為邊AC上的一點，BD＝BC，過點D作DE∥AB交BC于點E，且 DE平分∠BDC．
求證：AD＝BC．
2．如圖，AD∥BC，BD平分∠ABC．求證：AB=AD．
3．如圖所示，在四邊形ABCD中，的平分線與的平分線相交于點F，與的延長線交于點E，連接．
求證：
（1）是等腰三角形．
（2）若．則________．
5．
（1）如圖，中，，，的平分線交于點，過點作交，于點，圖中有　 　個等腰三角形猜想：與，之間有怎樣的關系，并說明理由；
（2）如圖，若，其他條件不變，圖中有　 　個等腰三角形；與，間的關系是　 　；
（3）如圖，，若的角平分線與外角的角平分線交于點，過點作交于，交于圖中有　 　個等腰三角形與，間的數量關系是　 　．
類型四、利用全等三角形證明等腰三角形
例4．如圖所示，AE=AD，∠B=∠C，BE=4，AD=5，則AC=_____．

針對練習4
1．已知：如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠BDC=∠BCD，點E是線段BD上一點，且BE=AD．
（1）證明：△ADB≌△EBC；
（2）直接寫出圖中所有的等腰三角形．
2．從①∠B=∠C；②∠BAD=∠CDA；③AB=DC；④BE=CE四個等式中選出兩個作為條件，證明△AED是等腰三角形（寫出一種即可）．已知：_____（只填序號）
求證：△AED是等腰三角形．
證明：
_____．
3．如圖，在△ABC中，已知點D在線段AB的反向延長線上，過AC的中點F作線段GE交∠DAC的平分線于E，交BC于G，且AE∥BC．
（1）求證：△ABC是等腰三角形．
（2）若AE=8，AB=10，GC=2BG，求△ABC的周長．
4．已知：如圖，AB=DC，BD=CA，求證：△AED是等腰三角形．
類型五、等腰三角形中的探究問題
例5．如圖，．
（1）寫出與的數量關系
（2）延長到，使，延長到，使，連接．求證：．
（3）在（2）的條件下，作的平分線，交于點，求證：．
針對練習5
1．如圖，在△ABC中，點D、E分別在BC、AC上，連接AD、DE，∠ADB＋∠EDC＝∠CED．
（1）求證：AD＝AE
（2）∠ABC＝2∠EDC，求證：∠BAD＝∠C
（3）在（2）的條件下，∠ABC＝∠EAD＝60°，直接寫出BD與AD之間的關系．
2．已知：如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB．過點C作直線CP，點A關于直線CP的對稱點為E，連接AE、BE，直線BE交直線CP于點F
（1）若∠PCA＝18°，則∠CBF＝_______°
（2）若90°＜∠PCA＜180°，在備選圖中補全圖形，用等式表示等式AC、BF、EF之間的數量關系，并證明
3．如圖，在△ABC中，點O是邊AC上一個動點，過O作直線MN∥BC，設MN交∠ACB的平分線于點E，交△ABC的外角∠ACD的平分線于點F．
（1）探究線段OE與OF的數量關系并說明理由．
（2）當點O運動到何處，且△ABC滿足什么條件時，四邊形AECF是正方形？請說明理由．
（3）當點O在邊AC上運動時，四邊形BCFE _____是菱形（填“可能”或“不可能”）．請說明理由．
4．如圖，在△ABC中，點D在AB上，且CD=CB，點E為BD的中點，點F為AC的中點，連接EF交CD于點M，連接AM．
（1）求證：EF=AC．
（2）若∠BAC=45°，求線段AM、DM、BC之間的數量關系．
類型六、等腰三角形實踐與探究
例6．綜合與實踐：
初步認識箏形后，實踐小組動手制作了一個“箏形功能器”，如圖，在箏形ABCD中，AB=AD，CB=CD.
（1）【操作應用】如圖1，將“箏形功能器”上的點與的頂點重合，分別放置在角的兩邊上，并過點畫射線，求證：是的平分線；
（2）【實踐拓展】實踐小組嘗試使用“箏形功能器”檢測教室門框是否水平．如圖2，在儀器上的點處栓一條線繩，線繩另一端掛一個鉛錘，儀器上的點緊貼門框上方，觀察發現線繩恰好經過點，即判斷門框是水平的．實踐小組的判斷對嗎？請說明理由．
針對練習6
1．
（1）問題發現：如圖①，把一塊三角板（AB=BC，∠ABC=90°）放入一個“U”形槽中，使三角形的三個頂點A、B、C分別在槽的兩壁及底邊上滑動，已知∠D=∠E=90°，在滑動過程中，發現與∠DAB始終相等的角是　 　，與線段AD相等的線段是　 　．
（2）拓展探究：如圖②，在△ABC中，點D在邊BC上，并且DA=DE，∠B=∠ADE=∠C．求證：△ADB≌△DEC．
（3）能力提升：如圖③，在等邊△DEF中，A，C分別為DE、DF邊上的點，AE=4，連接AC，以AC為邊在△DEF內作等邊△ABC，連接BF，當∠CFB=30°時，請求出CD的長度．
2．
（1）【問題情境】課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：
如圖1，是的中點，，，A，三點共線．
求證：．
小明在組內經過合作交流，得到解決方法：延長至點，使得，連結．
請根據小明的方法思考：由已知和作圖能得到，依據是（　　）
A． B． C． D．
（2）由全等三角形、等腰三角形的性質可得．
【初步運用】如圖2，在中，平分，為的中點，過點作，分別交的延長線和于點、點A．求證：．
（3）【拓展運用】如圖3，在（1）的基礎上（即是的中點，，，A，三點共線），連結，若，當，時，求的長．
人教版八年級數學上名師點撥精練
軸對稱
專題 等腰三角形中的常見證明思路
類型一、利用等腰三角形的性質證明角相等
例1． 如圖，在△ABC中，是的中點，，，垂足分別是、，且．
（1）求證：．
（2）連接AD，求證：AD⊥BC．
【答案】（1）證明：是的中點，
，
，，
，
在Rt和中，
，
≌
；
（2）解：，
，
△ABC是等腰三角形，
是的中點，
是△ABC底邊上的中線，
也是△ABC底邊上的高， 即AD⊥BC
針對練習1
1．如圖，在△ABC與△DCB中，AC與BD交于點E，且∠A＝∠D，AB＝DC．
（1）求證：△ABE≌△DCE；
（2）求證：∠EBC＝∠ECB．
【答案】（1）證明：在△ABE和△DCE中，
，
∴△ABE≌△DCE（AAS）
（2）證明：∵△ABE≌△DCE，
∴EB＝EC，
∴△EBC是等腰三角形，
∴∠EBC＝∠ECB．
2． 在△ABC中，AB＜AC，AD為△ABC的角平分線，點E是BC邊的中點．過點E作AD延長線的垂線，垂足為點G，交AC于點F，交AB的延長線于點H．
（1）求證：∠AHF＝∠AFH；
（2）探究：在線段EH上是否能找到一點P，使得△BEP≌△CEF．如果能夠，請找出并證明之；
（3）證明：BH＝CF．
【答案】（1）證明：∵AD為△ABC的角平分線，
∴∠HAG＝∠FAG，
∵FH⊥AD，
∴∠AGH＝∠AGF＝90°，
在△AHG和△AFG中，
，
∴△AHG≌△AFG（ASA），
∴∠AHF＝∠AFH．
（2）解：在線段EH上能找到一點P，使得△BEP≌△CEF，理由如下：
作BP∥AC，交EH于點P，則△BEP≌△CEF，
證明：∵點E是BC邊的中點，
∴BE＝CE，
∵BP∥AC，
∴∠EBP＝∠C，
在△BEP和△CEF中，
，
∴△BEP≌△CEF（ASA）；
（3）證明：∵△BEP≌△CEF，
∴BP＝CF，
∵BP∥AC，
∴∠BPH＝∠AFH，
∵∠AHF＝∠AFH，
∴∠BPH＝∠AHF，
∴BH＝BP，
∴BH＝CF．
3．如圖，BC⊥CA，BC＝CA，DC⊥CE，DC＝CE，直線BD與AE交于點F，交AC于點G，連接CF．
（1）求證：△ACE≌△BCD；
（2）求證：BF⊥AE；
（3）請判斷∠CFE與∠CAB的大小關系并說明理由．
【答案】（1）證明：∵ BC⊥CA，DC⊥CE，
∴∠BCA=∠DCE=90°，
∴∠BCA－∠DCA=∠DCE－∠DCA
∴∠BCD=∠ACE.
在△BCD和△ACE中，
∴△BCD≌△ACE(SAS).
（2）證明：∵△BCD≌△ACE，
∴∠CBD=∠CAE.
∵∠BCA=90°，
∴∠CBA+∠CAB=90°.
∵∠CBA=∠CBD+∠DBA=∠CAE+∠DBA
∴∠CAE+∠DBA+∠CAB=∠DBA+∠BAE=90°.
∴ BF⊥AE .
（3）解：∠CFE＝∠CAB，理由如下：
過C作CH⊥AE交延長線于點H，CI⊥BF于點I，
∵△BCD≌△ACE，
∴BD=AE，S△BCD=S△ACE，
∴CH=CI，
∴CF平分∠BFH，
BF⊥AE，
∴∠BFH=90°，∠CFE=45°.
∵BC⊥CA，BC=CA，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠CAB=45°，
∴∠CFE=∠CAB.
類型二、利用“三線合一”證明兩線垂直
例2．如圖，在中，，，試說明的理由．
解：已知，
▲
已知，
等式性質，
在與中，
，
≌ ，
，
又，
【答案】解：(已知)，
(等邊對等角)，
(已知)，
(等式性質)，
(等角對等邊)，
在ABD與ACD中，
，(全等三角形的對應角相等)，
又，
(等腰三角形的三線合一).
針對練習2
1． 如圖，在△ABC中，是的中點，，，垂足分別是、，且．
（1）求證：．
（2）連接AD，求證：AD⊥BC．
【答案】（1）證明：是的中點，
，
，，
，
在Rt和中，
，
≌
；
（2）解：，
，
△ABC是等腰三角形，
是的中點，
是△ABC底邊上的中線，
也是△ABC底邊上的高， 即AD⊥BC
2．如圖，在四邊形中，，對角線與相交于點O，M、N分別是邊、的中點．
（1）求證：；
（2）當，，時，求的長．
【答案】（1）解：證明：如圖，連接．
，點M、點N分別是邊、的中點，
∴，，
∴，
∵N是的中點，
∴是的垂直平分線，
．
（2）解：，，
，
，
，
，
，，
，
在中，，
∴cm，
答：的長是．
3．如圖，在中，，過點作線段，連接，且滿足.取的中點，連接.
（1）若，直接寫出的取值范圍　 　；
（2）求證：.
【答案】（1）
（2）證明：，
，
.
為等腰三角形，
，
，
.
類型三、利用平行線證明等腰三角形
例3．如圖，在平行四邊形ABCD中，BCD的平分線與BA的延長線相交于點E，求證：BE=BC．
【答案】證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形
∴BE//CD，
∴，
∵的平分線與BA的延長線相交于點E，
∴，
∴
∴BE=BC.
針對練習3
1．如圖，在△ABC中，點D為邊AC上的一點，BD＝BC，過點D作DE∥AB交BC于點E，且 DE平分∠BDC．
求證：AD＝BC．
【答案】證明：∵DE平分∠BDC，
∴∠BDE＝∠CDE，
又∵DE∥AB，
∴∠BDE＝∠ABD，∠CDE＝∠A，
∴∠ABD＝∠A，
∴AD＝BD ，
∵BD＝BC，
∴AD＝BC．
2．如圖，AD∥BC，BD平分∠ABC．求證：AB=AD．
【答案】證明：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC．
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC．
∴∠ABD=∠ADB．∴AB=AD．
3．如圖所示，在四邊形ABCD中，的平分線與的平分線相交于點F，與的延長線交于點E，連接．
求證：
（1）是等腰三角形．
（2）若．則________．
【答案】（1）證明：∵平分
∴
∵
∴
∴
∴
∴ 是等腰三角形．
（2）7
5．
（1）如圖，中，，，的平分線交于點，過點作交，于點，圖中有　 　個等腰三角形猜想：與，之間有怎樣的關系，并說明理由；
（2）如圖，若，其他條件不變，圖中有　 　個等腰三角形；與，間的關系是　 　；
（3）如圖，，若的角平分線與外角的角平分線交于點，過點作交于，交于圖中有　 　個等腰三角形與，間的數量關系是　 　．
【答案】（1）
（2）；
（3）；
類型四、利用全等三角形證明等腰三角形
例4．如圖所示，AE=AD，∠B=∠C，BE=4，AD=5，則AC=_____．

【答案】9
【解析】根據AAS證明△ABD與△ACE全等，再利用全等三角形的性質解答即可．
解：在△ABD與△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（AAS），
∴AD=AE=5，AC=AB，
∴AC=AE+BE=4+5=9．
故答案為：9．
針對練習4
1．已知：如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠BDC=∠BCD，點E是線段BD上一點，且BE=AD．
（1）證明：△ADB≌△EBC；
（2）直接寫出圖中所有的等腰三角形．
【解析】（1）根據平行線的性質判定∠ADB=∠EBC，然后由∠BDC=∠BCD，得出BD=BC，結合BE=AD，利用SAS可證明結論；
（2）根據（1）的結論，可得CE=AB，結合等腰梯形的性質，可寫出等腰三角形．
解（1）∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠EBC，
∵∠BDC=∠BCD，
∴BD=BC，
在△ADB和△EBC中，
∴△ADB≌△EBC（SAS）．
（2）由（1）可得△BCD是等腰三角形；
∵△ADB≌△EBC，
∴CE=AB，
又∵AB=CD，
∴CE=CD，
∴△CDE是等腰三角形．
2．從①∠B=∠C；②∠BAD=∠CDA；③AB=DC；④BE=CE四個等式中選出兩個作為條件，證明△AED是等腰三角形（寫出一種即可）．已知：_____（只填序號）
求證：△AED是等腰三角形．
證明：
_____．
【答案】(1)①②（或①③，①④，②③）;(2)在△BAD和△CDA中，
∵，
∴△BAD≌△CDA（AAS），
∴∠ADB=∠DAC，
即在△AED中∠ADE=∠DAE，
∴AE=DE，△AED為等腰三角形．;
【解析】首先選擇條件證得△BAD≌△CDA，再利用全等三角形的性質得出∠ADB=∠DAC，即得出∠ADE=∠DAE，利用等腰三角形的判定定理可得結論．
解：選擇的條件是：①∠B=∠C ②∠BAD=∠CDA（或①③，①④，②③）；
證明：在△BAD和△CDA中，
∵，
∴△BAD≌△CDA（AAS），
∴∠ADB=∠DAC，
即 在△AED中∠ADE=∠DAE，
∴AE=DE，△AED為等腰三角形．
故答案為：在△BAD和△CDA中，
∵，
∴△BAD≌△CDA（AAS），
∴∠ADB=∠DAC，
即 在△AED中∠ADE=∠DAE，
∴AE=DE，△AED為等腰三角形．
3．如圖，在△ABC中，已知點D在線段AB的反向延長線上，過AC的中點F作線段GE交∠DAC的平分線于E，交BC于G，且AE∥BC．
（1）求證：△ABC是等腰三角形．
（2）若AE=8，AB=10，GC=2BG，求△ABC的周長．
【解析】（1）首先依據平行線的性質證明∠B=∠DAE，∠C=∠CAE，然后結合角平分線的定義可證明∠B=∠C，故此可證明△ABC為等腰三角形；
（2）首先證明△AEF≌△CFG，從而得到CG的長，然后可求得BC的長，于是可求得△ABC的周長．
證明：（1）∵AE∥BC，
∴∠B=∠DAE，∠C=∠CAE．
∵AE平分∠DAC，
∴∠DAE=∠CAE．
∴∠B=∠C．
∴AB=AC．
∴△ABC是等腰三角形．
（2）∵F是AC的中點，
∴AF=CF．
∵AE∥BC，
∴∠C=∠CAE．
由對頂角相等可知：∠AFE=∠GFC．
在△AFE和△CFG中，
∴△AFE≌△CFG．
∴AE=GC=8．
∵GC=2BG，
∴BG=4．
∴BC=12．
∴△ABC的周長=AB+AC+BC=10+10+12=32．
4．已知：如圖，AB=DC，BD=CA，求證：△AED是等腰三角形．
【解析】根據全等三角形的“SSS”判定定理證得△ABD≌△DCA，根據全等三角形的性質、等腰三角形的判定即可證得結論．
證明：在△ABD和△DCA中，
，
∴△ABD≌△DCA（SSS），
∴∠ADB=∠DAC，
∴EA=ED，
即△AED是等腰三角形．
類型五、等腰三角形中的探究問題
例5．如圖，．
（1）寫出與的數量關系
（2）延長到，使，延長到，使，連接．求證：．
（3）在（2）的條件下，作的平分線，交于點，求證：．
【答案】（1），
（2）見解析 （3）見解析
【解析】（1）勾股定理求得，結合已知條件即可求解；
（2）根據題意畫出圖形，證明，得出，則，即可得證；
（3）延長交于點，延長交于點，根據角平分線以及平行線的性質證明，進而證明，即可得證．
【小問1詳解】
解：∵
∴，
∵
∴
即；
【小問2詳解】
證明：如圖所示，
∴
∴，
∵，
∴
∵，,
∴
∴
∴
∴
【小問3詳解】
證明：如圖所示，延長交于點，延長交于點，
∵，，
∴，
∴
∵是的角平分線，
∴，
∴
∴
∵，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
即，
∴，
又，則，
在中，
，
∴，
∴
【點睛】本題考查了全等三角形的性質與判定，等腰三角形的性質與判定，勾股定理，平行線的性質與判定，熟練掌握全等三角形的性質與判定是解題的關鍵．
針對練習5
1．如圖，在△ABC中，點D、E分別在BC、AC上，連接AD、DE，∠ADB＋∠EDC＝∠CED．
（1）求證：AD＝AE
（2）∠ABC＝2∠EDC，求證：∠BAD＝∠C
（3）在（2）的條件下，∠ABC＝∠EAD＝60°，直接寫出BD與AD之間的關系．
【答案】（1）見解析 （2）見解析
（3）結論：AD=BD，證明見解析
【解析】（1）證明∠ADE=∠AED即可得到AD=AE；
（2）設∠CDE=x，則∠ABC=2∠EDC=2x，利用三角形的外角的性質解決問題；
（3）證明△ADE是等邊三角形，得到∠ADE=60°，再證明∠ADB=90°，推出AB=2BD，再根據勾股定理得到4BD2=AD2+BD2，從而證明結論．
【小問1詳解】
解：證明：∵∠ADB+∠EDC+∠ADE=180°，∠DEC+∠AED=180°，
又∵∠ADB+∠EDC=∠CED，
∴∠ADE=∠AED，
∴AD=AE；
【小問2詳解】
證明：設∠CDE=x，則∠ABC=2∠EDC=2x，
∵∠ADE=∠AEC=∠EDC+∠C=x+∠C，
∴∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD，
∴∠C+∠EDC+∠EDC=∠B+∠BAD，
∴∠C+2x=2x+∠BAD，
∴∠BAD=∠C；
【小問3詳解】
AD=BD，
理由：如圖，
∵AD=AE，∠EAD=60°，
∴△ADE是等邊三角形，
∴∠ADE=60°，
∵∠B=2∠EDC=60°，
∴∠EDC=30°，
∴∠ADC=∠ADB=90°，
∴∠BAD=30°，
∴AB=2BD，
∵AB2=AD2+BD2，
∴4BD2=AD2+BD2，
∴AD=BD．
【點睛】本題屬于三角形綜合題，考查了等腰三角形的判定和性質，三角形內角和定理，直角三角形30°的性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型．
2．已知：如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB．過點C作直線CP，點A關于直線CP的對稱點為E，連接AE、BE，直線BE交直線CP于點F
（1）若∠PCA＝18°，則∠CBF＝_______°
（2）若90°＜∠PCA＜180°，在備選圖中補全圖形，用等式表示等式AC、BF、EF之間的數量關系，并證明
【答案】（1）27 （2）EF2+BF2=2AC2，理由見解析．
【解析】（1）如圖：連接CE，先證得AC=CE=BC、∠ECB=126°，然后根據等腰三角形的性質即可解答；
（2）先按要求補全圖形，再證明∠AFB=90°，最后利用勾股定理即可證明結論．
【小問1詳解】
解：如圖：連接CE
∵A，E關于PC對稱，
∴∠ACP=∠ECP=18°，CE=AC
∴∠ECA=36°
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB．
∴∠ECB=∠ECA +∠ACB＝90°+36°=126°，CE=BC
∴∠CEB=（180°-126°）÷2=27°．
故答案為：27．
【小問2詳解】
解： EF2+BF2=2AC2，理由如下：
設∠ACP=∠PCE=
∵∠ACE=360°-2，∠ECB=360°-2=90°=270°-2，
∵CA=CE=CB，
∴∠AEC=∠CAE=（180°-360° + 2）= -90°，∠CEB=∠CBE=（180°-270°+ 2）=-45°，
∴∠AEB=∠CEB-∠CEA=45°，
∵A，E關于CF對稱，
∴FA=EF，
∴∠FAE=∠FEA=45°，
∴∠AFB=90°，
∴AF2+BF2=AB2=2AC2．
【點睛】本題考查軸對稱變換、等腰三角形的判定和性質、三角形內角和定理等知識點，解題的關鍵是掌握軸對稱變換的性質，學會利用參數構建方程解決問題．
3．如圖，在△ABC中，點O是邊AC上一個動點，過O作直線MN∥BC，設MN交∠ACB的平分線于點E，交△ABC的外角∠ACD的平分線于點F．
（1）探究線段OE與OF的數量關系并說明理由．
（2）當點O運動到何處，且△ABC滿足什么條件時，四邊形AECF是正方形？請說明理由．
（3）當點O在邊AC上運動時，四邊形BCFE _____是菱形（填“可能”或“不可能”）．請說明理由．
【答案】不可能
【解析】（1）由直線MN∥BC，MN交∠BCA的平分線于點E，交∠BCA的外角平分線于點F，易證得△OEC與△OFC是等腰三角形，則可證得OE=OF=OC；
（2）正方形的判定問題，AECF若是正方形，則必有對角線OA=OC，所以O為AC的中點，同樣在△ABC中，當∠ACB=90°時，可滿足其為正方形；
（3）菱形的判定問題，若使菱形，則必有四條邊相等，對角線互相垂直．
解：（1）OE=OF．理由如下：
∵CE是∠ACB的角平分線，
∴∠ACE=∠BCE，
又∵MN∥BC，
∴∠NEC=∠ECB，
∴∠NEC=∠ACE，
∴OE=OC，
∵CF是∠BCA的外角平分線，
∴∠OCF=∠FCD，
又∵MN∥BC，
∴∠OFC=∠FCD，
∴∠OFC=∠OCF，
∴OF=OC，
∴OE=OF；
（2）當點O運動到AC的中點，且△ABC滿足∠ACB為直角的直角三角形時，四邊形AECF是正方形．理由如下：
∵當點O運動到AC的中點時，AO=CO，
又∵EO=FO，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∵FO=CO，
∴AO=CO=EO=FO，
∴AO+CO=EO+FO，即AC=EF，
∴四邊形AECF是矩形．
已知MN∥BC，當∠ACB=90°，則
∠AOF=∠COE=∠COF=∠AOE=90°，
∴AC⊥EF，
∴四邊形AECF是正方形；
（3）不可能．理由如下：
如圖，∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ECF=∠ACB+∠ACD=（∠ACB+∠ACD）=90°，
若四邊形BCFE是菱形，則BF⊥EC，
但在△GFC中，不可能存在兩個角為90°，所以不存在其為菱形．
故答案為不可能．
4．如圖，在△ABC中，點D在AB上，且CD=CB，點E為BD的中點，點F為AC的中點，連接EF交CD于點M，連接AM．
（1）求證：EF=AC．
（2）若∠BAC=45°，求線段AM、DM、BC之間的數量關系．
【解析】（1）根據等腰三角形三線合一的性質可得CE⊥BD，再根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得EF=AC；
（2）判斷出△AEC是等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質可得EF垂直平分AC，再根據線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等可得AM=CM，然后求出CD=AM+DM，再等量代換即可得解．
（1）證明：∵CD=CB，點E為BD的中點，
∴CE⊥BD，
∵點F為AC的中點，
∴EF=AC；
（2）解：∵∠BAC=45°，CE⊥BD，
∴△AEC是等腰直角三角形，
∵點F為AC的中點，
∴EF垂直平分AC，
∴AM=CM，
∵CD=CM+DM=AM+DM，CD=CB，
∴BC=AM+DM．
類型六、等腰三角形實踐與探究
例6．綜合與實踐：
初步認識箏形后，實踐小組動手制作了一個“箏形功能器”，如圖，在箏形ABCD中，AB=AD，CB=CD.
（1）【操作應用】如圖1，將“箏形功能器”上的點與的頂點重合，分別放置在角的兩邊上，并過點畫射線，求證：是的平分線；
（2）【實踐拓展】實踐小組嘗試使用“箏形功能器”檢測教室門框是否水平．如圖2，在儀器上的點處栓一條線繩，線繩另一端掛一個鉛錘，儀器上的點緊貼門框上方，觀察發現線繩恰好經過點，即判斷門框是水平的．實踐小組的判斷對嗎？請說明理由．
【答案】（1）證明：在和中，
，
，
，
是的平分線；
（2）解：實踐小組的判斷對，理由如下：
是等腰三角形，，
由（1）知：平分，
，
是鉛錘線，
是水平的．
門框是水平的．
實踐小組的判斷對．
針對練習6
1．
（1）問題發現：如圖①，把一塊三角板（AB=BC，∠ABC=90°）放入一個“U”形槽中，使三角形的三個頂點A、B、C分別在槽的兩壁及底邊上滑動，已知∠D=∠E=90°，在滑動過程中，發現與∠DAB始終相等的角是　 　，與線段AD相等的線段是　 　．
（2）拓展探究：如圖②，在△ABC中，點D在邊BC上，并且DA=DE，∠B=∠ADE=∠C．求證：△ADB≌△DEC．
（3）能力提升：如圖③，在等邊△DEF中，A，C分別為DE、DF邊上的點，AE=4，連接AC，以AC為邊在△DEF內作等邊△ABC，連接BF，當∠CFB=30°時，請求出CD的長度．
【答案】（1）；
（2）證明：，，
，
在和中，
（3）解：如圖，過B作BMI EF交DF于點M，
是等邊三角形，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
．
2．
（1）【問題情境】課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：
如圖1，是的中點，，，A，三點共線．
求證：．
小明在組內經過合作交流，得到解決方法：延長至點，使得，連結．
請根據小明的方法思考：由已知和作圖能得到，依據是（　　）
A． B． C． D．
（2）由全等三角形、等腰三角形的性質可得．
【初步運用】如圖2，在中，平分，為的中點，過點作，分別交的延長線和于點、點A．求證：．
（3）【拓展運用】如圖3，在（1）的基礎上（即是的中點，，，A，三點共線），連結，若，當，時，求的長．
【答案】（1）B
（2）證明：延長至點，使得，連結，
，，
，
，，
，
，，
平分，
，
，
，
；
（3）解：延長至點，使得，連結，過點C作于點H，
設，則，
由（1）知，
，，
，
，
，
，
，
，
，
在中，
，
，
又，，
，
，
，
在中，
，
，
解得，
．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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