資源簡介

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人教版八年級數學上名師點撥精練
軸對稱
專題 證明線段相等的思路歸納
思路一 利用全等三角形性質證明線段相等
例1．如圖，點D在AB上，點E在AC上，，，求證：
針對練習1
1．如圖，點C、D在線段AB上，且，，，連接CE、DE、CF、DF，求證：.
2．如圖，，.
（1）求證：；
（2）若，.求的度數.
3．如圖，四邊中，對角線、交于點O，，點E是上一點，且，.
（1）求證：；
（2）若，，求的長.
4．如圖所示，，，.求證：.
5 .如圖，點E在上，，且，連接并延長，交的延長線于點F．
(1)求證：；
(2)若，，求的度數．
思路二 利用等腰三角形的性質與判定證明線段相等
例2-1 .如圖，點，在的邊上，，．
(1)如圖1，求證：；
(2)如圖2，當時，過點作于點，如果，求的值．
針對練習2
1．如圖，在四邊形中，，，平分交于點E．求證：．
2．如圖，為中線，點E在上，交于點F，，求證：．
3．已知：如圖，， 求證：．
4．如圖，中，，點D在的延長線上，連接平分交于點E，過點E作，垂足為點F，與相交于點G．．
(1)求證：；
(2)若，，求和的度數；
(3)求證：．
5 .如圖，在中，，，D為BC的中點，過D作直線DE交直線AB與E，過D作直線，并交直線AC與F．
(1)若E點在線段AB上（非端點），則線段DE與DF的數量關系是______________；
(2)若E點在線段AB的延長線上，請你作圖（用黑色水筆），此時線段DE與DF的數量關系是_____________，請說明理由．
思路三 利用線段垂直平分線的性質和判定證明線段相等
例3-1 .如圖8，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AB的垂直平分線交BC于點M，交AB于點E，AC的垂直平分線交BC于點N，交AC于點F.
求證：BM＝MN＝CN.
圖8
針對練習3
1．如圖，在中，，，AC的垂直平分線DE分別交AB，AC于點D，E.
（1）求證：是等腰三角形；
（2）若的周長是13，，求AC的長.
2．如圖,△ABC中,∠ABC=45 ,CD⊥AB于D,BE平分∠ABC,且BE⊥AC于E,與CD相交于點F,H是BC邊的中點,連結DH,與BE相交于點G.
（1）求證:BF=AC;
（2）求證:CE= BF
3．已知：如圖，在△ABC中，120°＜∠BAC＜180°，AD為邊BC的垂直平分線，以AC為邊作等邊三角形ACE，△ACE與△ABC在直線AC的異側，直線BE交DA的延長線于點F，連接FC交AE于點M．
（1）求證：∠FEA＝∠FBA．
（2）求∠EFC的度數．
（3）猜想線段FE，FA，FD之間的數量關系，并證明你的結論．
4．如圖，在中，的垂直平分線分別交于點D，E．求證：．
思路四 利用角平分線的性質與判定證明線段相等
例4 .如圖，△ABC中，AD是∠BAC的平分線，E、F分別為AB、AC上的點，連接DE、DF，∠EDF＋∠BAC＝180°．求證：DE＝DF．
針對練習4
1．如圖，在中，AD是它的角平分線，且，，，垂足分別為E，F.求證.
2．如圖,中,AD是的平分線,,,E,F為垂足,連接EF交AD于G.
（1）求證:.
（2）試判斷AD與EF的位置關系,并說明理由.
3．如圖所示，的外角的平分線CF與的平分線BG相交于點O.求證：點O到三邊AB，BC，AC的距離相等.
4．如圖，D為BC的中點，于點D，交的平分線AE于點E, 于點F, 交AC的延長線于點G.求證：.
5．如圖1，在中，，，AD,CE分別是，的平分線，AD,CE相交于點F.
（1）判斷FE與FD之間的數量關系，并說明理由；
（2）如圖2，如果不是直角，其他條件不變，（1）中所得結論是否仍然成立？請說明理由.
人教版八年級數學上名師點撥精練
軸對稱
專題 證明線段相等的思路歸納
思路一 利用全等三角形性質證明線段相等
例1．如圖，點D在AB上，點E在AC上，，，求證：
答案：證明見解析
解析：證明：在和中，
∵，
，
，
.
針對練習1
1．如圖，點C、D在線段AB上，且，，，連接CE、DE、CF、DF，求證：.
答案：見解析
解析：，
，
即：，
，
，
，
，
.
2．如圖，，.
（1）求證：；
（2）若，.求的度數.
答案：（1）見詳解
（2）
解析：（1）證明：在與中，
，
，
；
（2），
，
，.
，
.
3．如圖，四邊中，對角線、交于點O，，點E是上一點，且，.
（1）求證：；
（2）若，，求的長.
答案：（1）見解析
（2）3
解析：（1），
，
即：，
在和中，
，
，
；
（2），
，
，，
.
4．如圖所示，，，.求證：.
答案：見解析
解析：證明：，
，
即，
在和中，
，
，
.
5 .如圖，點E在上，，且，連接并延長，交的延長線于點F．
(1)求證：；
(2)若，，求的度數．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）由得到，證明即可；
（2）推導，即解題即可．
【詳解】（1）證明：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
∵，
∴，
∴．
【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質，靈活運用全等三角形的判定方法是解題的關鍵．
思路二 利用等腰三角形的性質與判定證明線段相等
例2-1 .如圖，點，在的邊上，，．
(1)如圖1，求證：；
(2)如圖2，當時，過點作于點，如果，求的值．
【答案】(1)見解析
(2)4
【分析】（1）過作于點，根據三線合一可得：，，即可證明；
（2）過作于點，易證，可得，即可求解．
【詳解】（1）證明：如圖過作于點，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：過作于點，
在和中，
∴，
∴，
∴．
【點睛】本題考查了全等三角形的性質與判定，等腰三角形的性質“三線合一”，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關鍵．
針對練習2
1．如圖，在四邊形中，，，平分交于點E．求證：．
【答案】證明見解析．
【分析】根據平行線的性質，等角對等邊證明即可．
本題考查了平行線的性質，等角對等邊，熟練掌握平行線的性質，等腰三角形的判定定理是解題的關鍵．
【詳解】證明：平分，
，
，
，
．
2．如圖，為中線，點E在上，交于點F，，求證：．
【答案】見解析
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質．延長至點，使，連接．結合題意可證明，得到，．由，可得，結合，得到，即可求解．
【詳解】解：如圖，延長至點，使，連接．
為的中線，
．
在和中，
，
，
，．
，
．
，
，
，
．
3．已知：如圖，， 求證：．
【答案】證明見解析
【分析】本題主要考查了全等三角形的性質與判定，等角對等邊等等，證明得到，即可證明．
【詳解】證明：在和中，
，
∴，
∴，
∴．
4．如圖，中，，點D在的延長線上，連接平分交于點E，過點E作，垂足為點F，與相交于點G．．
(1)求證：；
(2)若，，求和的度數；
(3)求證：．
【答案】(1)見解析
(2)
(3)見解析
【分析】題目主要考查角平分線的計算及三角形內角和定理，等角對等邊，理解題意，找準各角之間的關系是解題關鍵．
（1）根據等邊對等角得出，再由等角的余角相等得出，利用等角對等邊即可證明；
（2）根據角平分析及等邊對等角得出，再由三角形內角和定理即可求解；
（3）根據三角形內角和定理得出，，即可證明．
【詳解】（1）證明：∵，
∴．
∵，
∴．
∴，
∴．
∵，
∴．
∴．
（2）解：∵平分，
∴．
∵，
∴．
在中，．
在中，．
（3）證明：在中，
．
在中，
．
∴．
5 .如圖，在中，，，D為BC的中點，過D作直線DE交直線AB與E，過D作直線，并交直線AC與F．
(1)若E點在線段AB上（非端點），則線段DE與DF的數量關系是______________；
(2)若E點在線段AB的延長線上，請你作圖（用黑色水筆），此時線段DE與DF的數量關系是_____________，請說明理由．
【答案】(1)
(2)圖見解析，，理由見解析
【分析】（1）連接，先根據等腰直角三角形的性質可得，，再根據垂直的定義、等量代換可得，然后根據三角形全等的判定證出，根據全等三角形的性質即可得出結論；
（2）分①當點在線段的延長線上，且在的下方時，②當點在線段的延長線上，且在的上方時兩種情況，參考（1）的思路，根據三角形全等的判定與性質即可得出結論．
【詳解】（1）解：如圖，連接，
在中，，，為的中點，
，
，
，
，
，
在和中，，
，
，
故答案為：．
（2）解：，理由如下：
①如圖，當點在線段的延長線上，且在的下方時，
如圖，連接，
在中，，，為的中點，
，
，
，
，
，
在和中，，
，
；
②如圖，當點在線段的延長線上，且在的上方時，
如圖，連接，
在中，，，為的中點，
，
，
，
，
，
在和中，，
，
；
綜上，線段與的數量關系是，
故答案為：．
【點睛】本題考查了等腰直角三角形的性質、三角形全等的判定與性質等知識點，通過作輔助線，構造全等三角形是解題關鍵．
思路三 利用線段垂直平分線的性質和判定證明線段相等
例3-1 .如圖8，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AB的垂直平分線交BC于點M，交AB于點E，AC的垂直平分線交BC于點N，交AC于點F.
求證：BM＝MN＝CN.
圖8
證明：如圖，連接AN，AM.
∵ME垂直平分AB，NF垂直平分AC，
∴BM＝AM，CN＝AN.
∴∠MAB＝∠B，∠CAN＝∠C.
∵∠BAC＝120°，AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝30°.
∴∠AMN＝∠ANM＝60°，
則△AMN是等邊三角形．
∴AM＝AN＝MN.
∴BM＝MN＝CN.
針對練習3
1．如圖，在中，，，AC的垂直平分線DE分別交AB，AC于點D，E.
（1）求證：是等腰三角形；
（2）若的周長是13，，求AC的長.
答案：（1）證明見解析
（2）8
解析：（1）證明：，，
.
DE是AC的垂直平分線，
，
，
，
，
，
是等腰三角形；
（2）解：的周長是13，
，
，
，即，
，
，
.
2．如圖,△ABC中,∠ABC=45 ,CD⊥AB于D,BE平分∠ABC,且BE⊥AC于E,與CD相交于點F,H是BC邊的中點,連結DH,與BE相交于點G.
（1）求證:BF=AC;
（2）求證:CE= BF
答案：(1.證明:∵DH垂直平分BC,且∠ABC=45°,∴BD=DC,且∠BDC=90°,
∵∠A+∠ABF=90°,∠A+∠ACD=90°,
∴∠ABF=∠ACD,
∴△BDF≌△CDA,
∴BF=AC.
(2.由第1題得BF=AC,∵BE平分∠ABC,且BE⊥AC,
∴在△ABE和△CBE中,
∠ABE=∠CBE BE=BE
∠AEB=∠CEB=90° ,
∴△ABE≌△CBE(ASA),
∴CE=AE=AC=BF.
3．已知：如圖，在△ABC中，120°＜∠BAC＜180°，AD為邊BC的垂直平分線，以AC為邊作等邊三角形ACE，△ACE與△ABC在直線AC的異側，直線BE交DA的延長線于點F，連接FC交AE于點M．
（1）求證：∠FEA＝∠FBA．
（2）求∠EFC的度數．
（3）猜想線段FE，FA，FD之間的數量關系，并證明你的結論．
【答案】（1）證明見解析
（2）60° （3）FE+FA=2FD，證明見解析
【解析】（1）由等邊三角形的性質及線段的垂直平分線的性質證明；
（2）利用角之間的相等關系進行等量代換，再根據等邊三角形的性質可得出答案；
（3）在CF上取 N使得FN=FE，利用（2）的結論，證明△EFN是等邊三角形，得到∠FEN=∠FNE=60°，EN=EF，再證明△EFA≌△ENC（SAS），得到FA=NC，FE+FA=FN+NC=FC，再利用直角三角形中30°角所對直角邊等于斜邊的一半得到FC=2FD，結論得證．
【小問1詳解】
解：∵AD為邊BC的垂直平分線，
∴AB=AC，
∵△ACE為等邊三角形，
∴AC=AE，
∴AB=AE，
∴∠FEA=∠FBA；
【小問2詳解】
解：∵AD為邊BC的垂直平分線
∴AB=AC，FB=FC，
∴∠ABC=∠ACB，∠FBC=∠FCB，
∴∠FBC－∠ABC=∠FCB－∠ACB，即∠ABE=∠ACF，
∵∠ABE=∠AEF，
∴∠AEF=∠ACF，
∵∠FME=∠CMA，
∴∠EFC=∠CAE，
∵等邊三角形ACE中，∠CAE=60°，
∴∠EFC=60°．
【小問3詳解】
解：FE+FA＝2FD，
證明：CF上取 N使得FN=FE，
由（2）得∠EFM=∠CAM=60°，
∵FN=FE，
∴△EFN是等邊三角形，
∴∠FEN=∠FNE=60°，EN=EF，
∵△ACE為等邊三角形，
∴∠AEC=60°，EA=EC，
∴∠FEN=∠AEC，
∴∠FEN－∠MEN=∠AEC－∠MEN，即∠AEF=∠CEN，
在△EFA和∠ENC中，
EF＝EN，∠AEF＝∠CEN，EA＝EC，
∴△EFA≌△ENC（SAS），
∴FA=NC，
∴FE+FA=FN+NC=FC，
∵∠EFC=∠FBC+∠FCB=60°，∠FBC=∠FCB，
∴∠FCB=×60°=30°，
∵AD⊥BC，
∴∠FDC=90°，
∴FC=2FD，
∴FE+FA=2FD．
【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，等邊三角形的性質和判定，含30°角的直角三角形的性質，全等三角形的性質和判定的應用及線段的垂直平分線的性質，熟練掌握相關判定和性質是解題的關鍵．
4．如圖，在中，的垂直平分線分別交于點D，E．求證：．
【答案】證明見解析
【解析】如圖，連接證明 再求解 可得 從而可得答案.
證明：如圖，連接
的垂直平分線分別交于點D，E，
【點睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質，等腰三角形的性質，含的直角三角形的性質，掌握“直角三角形中，所對的直角邊是斜邊的一半”是解本題的關鍵.
思路四 利用角平分線的性質與判定證明線段相等
例4 .如圖，△ABC中，AD是∠BAC的平分線，E、F分別為AB、AC上的點，連接DE、DF，∠EDF＋∠BAC＝180°．求證：DE＝DF．
【分析】在AB上截取AG＝AF，先證明△AGD≌△AFD，得出∠AGD＝∠AFD，DG＝DF；再根據角的關系求出∠4＝∠3，證出DE＝DG，即可得出結論DE＝DF．
【解析】證明：在AB上截取AG＝AF，連接DG，如圖所示：
∵AD是∠BAC的平分線，
∴∠1＝∠2，
在△ADG與△ADF中，
AG＝AF，∠1＝∠2，AD＝AD，
∴△AGD≌△AFD（SAS）
∴∠AGD＝∠AFD，DG＝DF
又∵∠AED＋∠EDF＋∠DFA＋∠FAE＝360°，∠EDF＋∠BAC＝180°．
∴∠AED＋∠AFD＝180°，
又∠4＋∠AGD＝180°，
∴∠4＝∠3，
∴DE＝DG，
∴DE＝DF．
點評：本題考查了全等三角形的判定與性質、角的平分線的定義、等腰三角形的判定與性質；證明三角形全等和等腰三角形是解決問題的關鍵．
針對練習4
1．如圖，在中，AD是它的角平分線，且，，，垂足分別為E，F.求證.
答案：證明見解析
解析：證明：是的角平分線，，，
.
在和中，
，
.
2．如圖,中,AD是的平分線,,,E,F為垂足,連接EF交AD于G.
（1）求證:.
（2）試判斷AD與EF的位置關系,并說明理由.
答案：（1）見解析
（2）AD垂直平分EF,理由見解析
解析:（1）證明:中,的平分線交BC于點D,,,
,
在和中,
,
,
;
（2）AD垂直平分EF;
理由如下:
,,
點D在EF的垂直平分線上,點A在EF的垂直平分線上,
AD垂直平分EF.
3．如圖所示，的外角的平分線CF與的平分線BG相交于點O.求證：點O到三邊AB，BC，AC的距離相等.
答案：證明：如圖，過點O作交BA的延長線于點M，過點O作于點N，過點O作于點H，
的平分線CF與的平分線BG相交于點O，
，，，
即點O到三邊AB，BC，AC的距離相等.
4．如圖，D為BC的中點，于點D，交的平分線AE于點E, 于點F, 交AC的延長線于點G.求證：.
答案：如圖，連接BE,CE.
,D為BC的中點，
.
，且AE平分,.
在和中，
5．如圖1，在中，，，AD,CE分別是，的平分線，AD,CE相交于點F.
（1）判斷FE與FD之間的數量關系，并說明理由；
（2）如圖2，如果不是直角，其他條件不變，（1）中所得結論是否仍然成立？請說明理由.
答案：（1）.理由如下：
過點F作于點M, 于點N，則，
，，
，的平分線AD,CE交于點F，
點F在的平分線上，
又，
（2）成立.理由如下：
過點F作于點M, 于點N，
則，，
，,
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