資源簡介

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人教版八年級數(shù)學上名師點撥精練
第13章 軸對稱
專題 等腰三角形中的分類討論問題
老師告訴你
分類思想是根據(jù)數(shù)學本質屬性的相同點和不同點，將數(shù)學研究對象分為不同種類的一種數(shù)學思想。分類以比較為基礎，比較是分類的前提，分類是比較的結果。分類討論思想，貫穿于整個中學數(shù)學的全部內(nèi)容中。需要運用分類討論的思想解決的數(shù)學問題，就其引起分類的原因，可歸結為。
1.涉及的數(shù)學概念是分類定義的。
2.運用的數(shù)學定理、公式或運算性質、法則是分類給出的。
3.求解的數(shù)學問題的結論有多種情況或多種可能。
等腰三角形中的分類討論
一、腰和底不明時需討論
在等腰三角形中，沒有明確指明邊是腰還是底時，要進行分類討論，且求出未知邊的長后，一定要看這三邊能否組成三角形；
典例剖析
例1 .一個等腰三角形的周長為20，一邊為5，則另兩邊的長為（ ）
A．7.5，7.5 B．5，10或7.5，7.5 C．10，5 D．10，15
針對訓練1
1．若等腰三角形的周長為10cm，其中一邊長為2cm，則該等腰三角形的底邊長為( )
A.2cm B.4cm C.6cm D.8cm
2．已知等腰三角形的兩邊長分別為a，b，且a，b滿足+|b﹣4|＝0，則此等腰三角形的周長為（　　）
A．7 B．10 C．11 D．10或11
3 .若等腰三角形的一邊長等于2，另一邊長等于3，則它的周長等于（ ）．
A．7 B．8 C．9 D．7或8
4.已知△ABC是等腰三角形，它的周長為20cm，一條邊長6cm，那么腰長是　 　cm．
頂角和底角不明時需討論
在等腰三角形中，沒有明確指明頂角還是底角時，要進行分類討論。
典例剖析
例2 .等腰三角形的一個角是，則它的底角是（　　）
A． B． C．或 D．或
針對訓練2
1．等腰三角形的一個角是80°，則它的頂角的度數(shù)是( )
A.80° B.80°或20° C.80°或50° D.20°
2．如果等腰三角形有一內(nèi)角為，那么它的頂角的度數(shù)為( )
A.
B.或
C.
D.或
4.一個等腰三角形，一個角的度數(shù)是另一個角度數(shù)的，這個等腰三角形頂角的度數(shù)是（ ）
A． B． C．或 D．或
5.等腰三角形的一個角比另一個角的倍少度，則等腰三角形頂角的度數(shù)是（ ）
A． B．或 C．或 D．或或
三、涉及高位置需討論
在三角形中，高的位置與三角形的形狀有關，在等腰三角形中，涉及三角形高時，高的位置沒有確定時，要進行分類討論。
典例剖析
例3 ..已知等腰中，于點，且AD=BC，則底角的度數(shù)為( )
45° B.75° C.75°或45°或15° D. 60°或30°
針對訓練3
1．若等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為36°，則它的頂角為( )
A.
B.
C.或
D.或
2．等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為,則它的頂角度數(shù)是 .
3 .等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為25°，則頂角的度數(shù)為（　　）
A．65° B．105° C．55°或105° D．65°或115°
位置不確定需分類討論
在等腰三角形中，直線與腰相交，與底相交所得的三角形形狀不同，要進行分類討論。
典例剖析
例4 .如圖，在△ABC中，∠ACB＝2∠A，過點C的直線能將△ABC分成兩個等腰三角形，則∠A的度數(shù)為　 　．
針對訓練4
1.在中，的垂直平分線分別交、于點、，的垂直平分線分別交、于點、，若，則_________．
2 .已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，過點C作直線l，BE⊥l于E，AD⊥l于D．若BE＝2，AD＝6，求DE的長．
數(shù)量關系不確定需分類討論
在等腰三角形中，直線分成的兩個三角形的周長的數(shù)量關系不確定時，要進行分類討論。
典例剖析
例5 .已知等腰三角形中，，一腰上的中線把這個三角形的周長分成和兩部分，求這個等腰三角形的底邊的長．
1．等腰三角形底邊長為5 cm，一腰上的中線把其分為周長之差為3 cm的兩部分.則腰長為( )
A.2 cm B.8 cm C.2 cm或8 cm D.不確定
2．等腰三角形一腰的中線把該三角形的周長分成18cm和12cm兩部分，則等腰三角形的底邊長為 cm.
3 .已知等腰三角形的底邊長為6，一條腰上的中線把三角形的周長分為兩部分，其中一部分比另外一部分長2，則三角形的腰長是　 　．
等腰三角形個數(shù)的討論
在等腰三角形中，腰與底不確定時，所畫的等腰三角形不同，要進行分類討論。
典例剖析
例6 .如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為，點B的坐標為，在x軸上取一點C使為等腰三角形，符合條件的C點有 個．
針對訓練6
1．在平面直角坐標系中，已知點，點，有一動點P在直線上，是等腰三角形，則滿足條件的點P共有( )
A.2個B.3個C.4個D.5個
2．在平面直角坐標系中,點A的坐標為(2,2),點P在x軸上運動,當以點為頂點
的三角形為等腰三角形時,點P的個數(shù)為( )
A.2 B.3 C.3 D.5
3 .在中，，，以為邊畫等腰，使P點在的邊上，則符合條件的點P共有 個．
動點引起的分類
在三角形中，由動點位置不同，三角形形狀不同，涉及三角形動點問題，時，要進行分類討論。
典例剖析
例7 .如圖，在中，，，，，P、Q是邊上的兩個動點，其中點P從點A開始沿方向運動，且速度為每秒1cm，點Q從點B開始沿方向運動，且速度為每秒2cm，P、Q兩點同時出發(fā)，當點P運動到點B時兩點停止運動，設運動時間為t秒．
(1)______（用含的式子表示）；
(2)當點Q在邊上運動時．
①出發(fā)幾秒后，是等腰三角形？
②通過計算說明能否把的周長平分？
(3)當點Q在邊上運動時，若是以或為底邊的等腰三角形，直接寫出此時t的值．
針對訓練7
1.如圖，的點在直線上，，若點P在直線上運動，當成為等腰三角形時，則度數(shù)是 ．

2 .如圖所示，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，點D在線段BC上運動（D不與B、C重合），連結AD，作∠ADE＝40°，DE交線段AC于點E．
（1）當∠BDA＝115°時，∠BAD＝　 　；點D從B向C運動時，∠BDA逐漸變　　（填“大”或“小”）．
（2）當DC的長為多少時，△ABD與△DCE全等？請說明理由．
（3）在點D的運動過程中，△ADE的形狀也在改變，請判斷當∠BDA等于多少度時，△ADE是等腰三角形．（直接寫出結論，不說明理由．）
分割三角形得等腰三角形
在三角形中，不同的位置所分割的三角形形狀不同，分割三角形時，分割點不確定時，要進行分類討論。
典例剖析
例8 .如圖，在△ABC中，∠BAC＝120°，∠B＝40°，若將△ABC分割成兩個等腰三角形，則這兩個等腰三角形的頂角的度數(shù)分別是（　　）
A．100°、140°或100°、20° B．100°、140°
C．100°、20° D．140°、20°
針對訓練8
1．一個大的等腰三角形能被分割為兩個小等腰三角形,則該大等腰三角形頂角的度數(shù)是__________________
答案：或或或
2．如圖，是四張形狀不同的紙片，用剪刀沿一條直線將它們分別剪開(只允許剪一次)，不能得到兩個等腰三角形紙片的是( )
A. B.
C. D.
等腰三角形腰的垂直平分線位置不確定分類討論
由于等腰三角形形狀不同時，腰的垂直平分線經(jīng)過的位置不同，在等腰三角形中，涉及三角形腰的垂直平分線時，要進行分類討論。
典例剖析
例9 .已知等腰三角形一腰的垂直平分線與另一腰所在直線的夾角為，求此等腰三形的頂角的度數(shù)．
針對訓練9
1．已知等腰中，，兩腰的垂直平分線交于點，已知，則等腰三角形的頂角為（　　）
A． B． C．或 D．或
2．等腰三角形一腰的垂直平分線與另一腰所在直線的夾角為，則這個等腰三角形的一個底角度數(shù)為 ．
3．等腰三角形有一內(nèi)角的度數(shù)為50°，一腰的垂直平分線與另一腰所在直線相交所成的銳角的度數(shù)為 ．
人教版八年級數(shù)學上名師點撥精練
第13章 軸對稱
專題 等腰三角形中的分類討論問題
老師告訴你
分類思想是根據(jù)數(shù)學本質屬性的相同點和不同點，將數(shù)學研究對象分為不同種類的一種數(shù)學思想。分類以比較為基礎，比較是分類的前提，分類是比較的結果。分類討論思想，貫穿于整個中學數(shù)學的全部內(nèi)容中。需要運用分類討論的思想解決的數(shù)學問題，就其引起分類的原因，可歸結為。
1.涉及的數(shù)學概念是分類定義的。
2.運用的數(shù)學定理、公式或運算性質、法則是分類給出的。
3.求解的數(shù)學問題的結論有多種情況或多種可能。
等腰三角形中的分類討論
一、腰和底不明時需討論
在等腰三角形中，沒有明確指明邊是腰還是底時，要進行分類討論，且求出未知邊的長后，一定要看這三邊能否組成三角形；
典例剖析
例1 .一個等腰三角形的周長為20，一邊為5，則另兩邊的長為（ ）
A．7.5，7.5 B．5，10或7.5，7.5 C．10，5 D．10，15
【答案】A
【分析】本題考查等腰三角形的定義，三角形三邊關系，分底邊為和腰長為兩種情況討論然后再驗證即可得出答案．
【詳解】解：當?shù)走厼闀r，設腰長為x，則，
解得：，
當腰長為，設底邊為，則，
解得：，
此時，與三角形任意兩邊之和大于第三邊矛盾，故舍去．
綜上，另兩邊長為7.5，7.5．
故選A．
針對訓練1
1．若等腰三角形的周長為10cm，其中一邊長為2cm，則該等腰三角形的底邊長為( )
A.2cm B.4cm C.6cm D.8cm
答案：A
解析：若2cm為等腰三角形的腰長，則底邊長為，，不符合三角形的三邊關系；
若2cm為等腰三角形的底邊，則腰長為，此時三角形的三邊長分別為2cm，4cm，4cm，符合三角形的三邊關系；
故選A.
2．已知等腰三角形的兩邊長分別為a，b，且a，b滿足+|b﹣4|＝0，則此等腰三角形的周長為（　　）
A．7 B．10 C．11 D．10或11
【答案】D
【解析】
【分析】
先根據(jù)非負數(shù)的性質列式求出a、b的值，再分4是腰長與底邊兩種情況討論求解．
【詳解】
解：根據(jù)題意得，a-3=0，b-4=0，
解得a=3，b=4，
①4是腰長時，三角形的三邊分別為4、4、3，
∵4+4＞3，
∴能組成三角形，4+4+3=11，
②4是底邊時，三角形的三邊分別為3、3、4，
能組成三角形，周長=3+3+4=10，
所以，三角形的周長為11或10．
故選：D．
【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，絕對值非負數(shù)，偶次方非負數(shù)的性質，根據(jù)幾個非負數(shù)的和等于0，則每一個算式都等于0求出a、b的值是解題的關鍵，難點在于要分情況討論并且利用三角形的三邊關系進行判斷．
3 .若等腰三角形的一邊長等于2，另一邊長等于3，則它的周長等于（ ）．
A．7 B．8 C．9 D．7或8
【答案】D
【分析】分邊長2為腰和邊長3為腰兩種情況解答，并運用三角形的三邊關系驗證解答即可．
【詳解】解：①當邊長2為腰時，三邊為2、2、3，由2+2＞3，則可組成三角形，即周長為2+2+3=7；
②當邊長3為腰時，三邊為3、3、2，由2+3＞3，則可組成三角形，即周長為2+3+3=8；
所以該等腰三角形的周長為7或8．
故答案為D．
【點睛】本題主要考查了等腰三角形的定義以及三角形的三邊關系，正確應用三角形的三邊關系是解答本題的關鍵、也是解答本題的易錯點．
4.已知△ABC是等腰三角形，它的周長為20cm，一條邊長6cm，那么腰長是　 　cm．
【分析】當腰長＝6cm時，底邊＝20﹣6﹣6＝8cm，當?shù)走叄?cm時，腰長＝＝7cm，根據(jù)三角形的三邊關系，即可推出腰長．
【解答】解：∵等腰三角形的周長為20cm，
∴當腰長＝6cm時，底邊＝20﹣6﹣6＝8cm，即6+6＞8，能構成三角形，
∴當?shù)走叄?cm時，腰長＝＝7cm，即7+6＞7，能構成三角形，
∴腰長是6cm或7cm，
故答案為：6或7．
頂角和底角不明時需討論
在等腰三角形中，沒有明確指明頂角還是底角時，要進行分類討論。
典例剖析
例2 .等腰三角形的一個角是，則它的底角是（　　）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】本題主要考查等腰三角形的性質及三角形內(nèi)角和定理的綜合運用．題中未指明已知的角是頂角還是底角，故應該分情況進行分析，從而求解．
【詳解】解：當是頂角時，底角：
當是底角時，它的另一個底角等于，
所以它的一個底角是或，
故選：D．
針對訓練2
1．等腰三角形的一個角是80°，則它的頂角的度數(shù)是( )
A.80° B.80°或20° C.80°或50° D.20°
答案：B
解析：①80°角是頂角時，三角形的頂角為80°，
②80°角是底角時，頂角為，
綜上所述，該等腰三角形頂角的度數(shù)為80°或20°.
故選：B.
2．如果等腰三角形有一內(nèi)角為，那么它的頂角的度數(shù)為( )
A.
B.或
C.
D.或
答案：B
解析：當角為頂角，頂角度數(shù)即為；當為底角時，頂角度數(shù)為故選B
3．已知等腰三角形的一個外角為130°，則它的頂角的度數(shù)為___________.
答案：50°或80°
解析：由等腰三角形的一個外角為130°知一個內(nèi)角為50°.當50°為頂角時，其他兩個角都為65°；當50°為底角時，其他兩個角為50°、80°，所以等腰三角形的頂角為50°或80°.
4.一個等腰三角形，一個角的度數(shù)是另一個角度數(shù)的，這個等腰三角形頂角的度數(shù)是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】本題考查了一元一次方程的應用，三角形內(nèi)角和定理，利用分類討論的思想解決問題是關鍵．設頂角度數(shù)為，分兩種情況討論：①若底角度數(shù)是頂角度數(shù)的；②若頂角度數(shù)是底角度數(shù)的，分別列方程求解即可．
【詳解】解：設頂角度數(shù)為，
①若底角度數(shù)是頂角度數(shù)的，則底角度數(shù)為，
則，
解得：；
②若頂角度數(shù)是底角度數(shù)的，則底角度數(shù)為，
則，
解得：；
即這個等腰三角形頂角的度數(shù)是或，
故選：D．
5.等腰三角形的一個角比另一個角的倍少度，則等腰三角形頂角的度數(shù)是（ ）
A． B．或 C．或 D．或或
【答案】D
【解析】
【分析】
設另一個角是x，表示出一個角是2x-20°，然后分①x是頂角，2x-20°是底角，②x是底角，2x-20°是頂角，③x與2x-20°都是底角根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°與等腰三角形兩底角相等列出方程求解即可．
【詳解】
設另一個角是x，表示出一個角是2x-20°，
①x是頂角，2x-20°是底角時，x+2（2x-20°）=180°，
解得x=44°，
∴頂角是44°；
②x是底角，2x-20°是頂角時，2x+（2x-20°）=180°，
解得x=50°，
∴頂角是2×50°-20°=80°；
③x與2x-20°都是底角時，x=2x-20°，
解得x=20°，
∴頂角是180°-20°×2=140°；
綜上所述，這個等腰三角形的頂角度數(shù)是44°或80°或140°．
故答案為：D．
【點睛】
本題考查了等腰三角形兩底角相等的性質，三角形的內(nèi)角和定理，難點在于分情況討論，特別是這兩個角都是底角的情況容易漏掉而導致出錯．
三、涉及高位置需討論
在三角形中，高的位置與三角形的形狀有關，在等腰三角形中，涉及三角形高時，高的位置沒有確定時，要進行分類討論。
典例剖析
例3 ..已知等腰中，于點，且AD=BC，則底角的度數(shù)為( )
45° B.75° C.75°或45°或15° D. 60°或30°
【參考答案】
【試題解析】 【分析】
分三種情況討論，先根據(jù)題意分別畫出圖形，當時，根據(jù)已知條件得出，從而得出底角的度數(shù)；當時，先求出的度數(shù)，再根據(jù)，求出底角的度數(shù)；當時，根據(jù)，，得出，從而得出底角的度數(shù)．此題考查了含度角的直角三角形和等腰三角形的性質，關鍵是根據(jù)題意畫出圖形，注意不要漏解．
【解答】
解：分三種情況進行討論：
如圖，當時，易知底角的度數(shù)為
如圖，當且為銳角時，易知底角的度數(shù)為
如圖，當且為鈍角時，易知底角的度數(shù)為．
綜上，底角的度數(shù)為或或．
故選C．
針對訓練3
1．若等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為36°，則它的頂角為( )
A.
B.
C.或
D.或
答案：D
解析：①如圖1，當?shù)妊切螢殇J角三角形時，
，
，即頂角的度數(shù)為；
②如圖2，當?shù)妊切螢殁g角三角形時，
，
，，即頂角的度數(shù)為；
③等腰三角形為直角三角形時，一腰上的高與另一腰重合，此情況不成立.故選D
2．等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為,則它的頂角度數(shù)是 .
答案：或
解析：分兩種情況:①當高在三角形內(nèi)部時，如圖(1),,頂角；②當高在三角形外部時，如圖(2),,頂角.
3 .等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為25°，則頂角的度數(shù)為（　　）
A．65° B．105° C．55°或105° D．65°或115°
【答案】D
【解答】解：①如圖1，當?shù)妊切蔚捻斀鞘氢g角時，腰上的高在外部．
根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，即可求得頂角是90°+25°＝115°；
②如圖2，當?shù)妊切蔚捻斀鞘卿J角時，腰上的高在其內(nèi)部，
故頂角是90°﹣25°＝65°．
故選：D．
位置不確定需分類討論
典例剖析
例4 .如圖，在△ABC中，∠ACB＝2∠A，過點C的直線能將△ABC分成兩個等腰三角形，則∠A的度數(shù)為　 　．
【分析】根據(jù)等腰三角形的性質和三角形的內(nèi)角和即可得到結論．
【解答】解：∵過點C的直線能將△ABC分成兩個等腰三角形，
①如圖1，∵∠ACB＝2∠A，
∴AD＝DC＝BD，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A＝45°；
②如圖2，AD＝DC＝BC，
∴∠A＝∠ACD，∠BDC＝∠B，
∴∠BDC＝2∠A，
∴∠A＝36°，
③AD＝DC，BD＝BC，
∴∠BDC＝∠BCD，∠A＝∠ACD，
∴∠BCD＝∠BDC＝2∠A，
∴∠BCD＝2∠A，
∵∠ACB＝2∠A，故這種情況不存在．
④如圖3，AD＝AC，BD＝CD，
∴∠ADC＝∠ACD，∠B＝∠BCD，
設∠B＝∠BCD＝α，
∴∠ADC＝∠ACD＝2α，
∴∠ACB＝3α，
∴∠A＝α，
∵∠A+∠B+∠ACB＝180°，
∴α+α+3α＝180°，
∴α＝，
∴∠A＝，
⑤如圖4，AC＝CD＝DB，
∴∠A＝∠CDA，∠B＝∠DCB，
∵∠CDB＝180°﹣∠CDA＝180°﹣∠A，
∴∠B＝∠DCB＝＝，
∴∠ACB＝∠A＝180°﹣，
∵∠ACB＝2∠A，
∴180°﹣＝2∠A，
∴
綜上所述，∠A的度數(shù)為45°或36°或或．
故答案為：45°或36°或或．
針對訓練4
1.在中，的垂直平分線分別交、于點、，的垂直平分線分別交、于點、，若，則_________．
【參考答案】 或
【試題解析】 解：當為銳角時，如圖，設，，
，
，，，
、分別垂直平分、，
，，
，
，
，
；
當為鈍角時，如圖，
、分別垂直平分、，
，，
，
，
，
，
；
綜上所述，或．
故答案為：或．
分兩種情況討論：當為銳角時，如圖，設，，根據(jù)線段垂直平分線性質可得：，，再運用三角形內(nèi)角和定理即可求得答案．當為鈍角時，如圖，根據(jù)線段垂直平分線性質可得：，，，再結合三角形內(nèi)角和定理即可求得答案．
本題考查的是線段的垂直平分線的性質，等腰三角形的性質，三角形內(nèi)角和定理以及分類討論的思想，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關鍵．
2 .已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，過點C作直線l，BE⊥l于E，AD⊥l于D．若BE＝2，AD＝6，求DE的長．
【分析】分為兩種情況，畫出圖形求出△ADC≌△CEB，推出CD＝BE，AD＝CE，即可得出答案．
【解答】解：分為兩種情況：
①如圖1，
∵AD⊥l，BE⊥l，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°，
∴∠ACD+∠DAC＝90°，∠ACD+∠BCE＝90°，
∴∠DAC＝∠BCE（同角的余角相等），
在△ADC和△CEB中
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴CD＝BE，AD＝CE．
∵DE＝DC+CE，
∴DE＝AD+BE＝6+2＝8；
②如圖2，
∵AD⊥l，BE⊥l，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠ACD+∠CAD＝90°，
∴∠BCD＝∠CAD（同角的余角相等）．
在△ADC和△CEB中
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴AD＝CE，BE＝CD，
∵DE＝CE﹣CD，
∴DE＝AD﹣BE＝6﹣2＝4，
即DE的長是8或4．
數(shù)量關系不確定需分類討論
典例剖析
例5 .已知等腰三角形中，，一腰上的中線把這個三角形的周長分成和兩部分，求這個等腰三角形的底邊的長．
【答案】底邊長是
【分析】設，，則，則有兩種情況，根據(jù)等腰三角形的性質以及三角形的三邊關系解答即可．
【詳解】解：設，，則，
∵上的中線將這個三角形的周長分成和兩部分，如圖，

∴有兩種情況：
①當，且，
解得，，
∴三邊長分別為，，；
②當，且時，
解得，，此時腰為，
根據(jù)三角形三邊關系，任意兩邊之和大于第三邊，而，故這種情況不存在，
∴綜上所述：腰長是，底邊長是．
【點睛】本題考查了等腰三角形的性質以及三角形的三邊關系，注意要分兩種情況討論是正確解答本題的關鍵．
針對訓練5
1．等腰三角形底邊長為5 cm，一腰上的中線把其分為周長之差為3 cm的兩部分.則腰長為( )
A.2 cm B.8 cm C.2 cm或8 cm D.不確定
答案：B
解析：如圖,在中,為邊的中點設腰長為,一腰的中線為,
則或,解得或1，或2.
①三角形三邊長為8 cm,8 cm,5cm,符合三角形三邊關系;②三角形三邊長為2 cm,2 cm,5 cm,,不符合三角形三邊關系.
2．等腰三角形一腰的中線把該三角形的周長分成18cm和12cm兩部分，則等腰三角形的底邊長為 cm.
答案：6或14
解析：設等腰三角形的腰長是，底邊長是，
根據(jù)題意得或.
解得或.
經(jīng)檢驗，均符合三角形的三邊關系因此三角形的底邊長是6cm或14cm
3 .已知等腰三角形的底邊長為6，一條腰上的中線把三角形的周長分為兩部分，其中一部分比另外一部分長2，則三角形的腰長是　 　．
【答案】8或4
【解答】解：等腰三角形一條腰上的中線把三角形的周長分為兩部分，這兩部分的差即是腰與底的差的絕對值，
∵其中一部分比另外一部分長2，
∴腰比底大2或底比腰大2，
∴腰為8或4．
故答案為：8或4．
等腰三角形個數(shù)的討論
典例剖析
例6 .如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為，點B的坐標為，在x軸上取一點C使為等腰三角形，符合條件的C點有 個．
【答案】4
【分析】本題考查了等腰三角形的判定，根據(jù)等腰三角形的定義，以點A為圓心，以為半徑畫弧，以點B為圓心，以為半徑畫弧，畫線段的垂直平分線，按照等腰三角形成立的條件分析可得答案．
【詳解】解：觀察圖形可知，若以點A為圓心，以為半徑畫弧，與x軸有2個交點，這兩個交點中有一個是與B重合的，應舍掉，故只有1個；
若以點B為圓心，以為半徑畫弧，與x軸有2個交點，故有2個；
線段的垂直平分線與x軸有1個交點；
∴符合條件的C點有：（個），
故答案為：4．
針對訓練6
1．在平面直角坐標系中，已知點，點，有一動點P在直線上，是等腰三角形，則滿足條件的點P共有( )
A.2個B.3個C.4個D.5個
答案：C
解析：如圖，當時，圖中滿足條件；當時，圖中滿足條件；當時，圖中滿足條件.故選C.
2．在平面直角坐標系中,點A的坐標為(2,2),點P在x軸上運動,當以點為頂點
的三角形為等腰三角形時,點P的個數(shù)為( )
A.2 B.3 C.3 D.5
答案：C
解析：如圖,當時,可得滿足條件;當時,可得滿足條件;當時,可得滿足條件故選C.
3 .在中，，，以為邊畫等腰，使P點在的邊上，則符合條件的點P共有 個．
【答案】4
【分析】本題考查了等腰三角形的判定和性質，分三種情況：當時，當時，當時，掌握等腰三角形的判定和性質是解決問題的關鍵．
【詳解】解：分三種情況：
當時，如圖，以點為圓心，長為半徑作弧，交，分別于點，；

當時，以點為圓心，長為半徑作弧，交于點；
當時，作的垂直平分線交于點．
綜上，符合條件的點共有4個，
故答案為：4
動點引起的分類
典例剖析
例7 .如圖，在中，，，，，P、Q是邊上的兩個動點，其中點P從點A開始沿方向運動，且速度為每秒1cm，點Q從點B開始沿方向運動，且速度為每秒2cm，P、Q兩點同時出發(fā)，當點P運動到點B時兩點停止運動，設運動時間為t秒．
(1)______（用含的式子表示）；
(2)當點Q在邊上運動時．
①出發(fā)幾秒后，是等腰三角形？
②通過計算說明能否把的周長平分？
(3)當點Q在邊上運動時，若是以或為底邊的等腰三角形，直接寫出此時t的值．
【答案】(1)
(2)①秒；②不能
(3)11或12
【分析】本題考查了等腰三角形的性質、方程思想及分類討論思想等知識．用時間t表示出相應線段的長，化“動”為“靜”是解決這類問題的一般思路，解題時注意方程思想的應用．
（1）根據(jù)題意即可用t可表示出即可求得；
（2）①結合（1），根據(jù)題意再表示出，然后根據(jù)等腰三角形的性質可得到，可得到關于t的方程，可求得t；②當在上，，如圖，，，則，，利用把的周長平分，再建立方程求解即可；
（3）用t分別表示出和，利用等腰三角形的性質可分和三種情況，分別得到關于t的方程，可求得t的值．
【詳解】（1）解：由題意可知，，
∵，
∴，
（2）①當點Q在邊上運動，為等腰三角形時，
即，解得，
∴出發(fā)秒后；
②當在上，，如圖，
而，，
∴，，
∵把的周長平分，
∴，
解得：，不符合題意舍去，
∴點Q在邊上運動時．不能把的周長平分．
（3）①當是以為底邊的等腰三角形時：，如圖1所示，

則，
∵，
∴．
，
∴，
∴，
∴（cm），
∴（cm），
∴；
②當是以為底邊的等腰三角形時：，如圖2所示，

則（cm），
∴，
綜上所述：當t為11秒或12秒時，是以或為底邊的等腰三角形．
故答案為：11或12．
針對訓練7
1.如圖，的點在直線上，，若點P在直線上運動，當成為等腰三角形時，則度數(shù)是 ．

【答案】10°或80°或20°或140°
【分析】分三種情形：，，分別求解即可解決問題．
【詳解】解：如圖，

在中，，
①當時，，，
②當時，，
③當時，，
綜上所述，滿足條件的的值為或或或．
【點睛】本題考查等腰三角形的判定和性質，三角形內(nèi)角和定理等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于常考題型．
2 .如圖所示，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，點D在線段BC上運動（D不與B、C重合），連結AD，作∠ADE＝40°，DE交線段AC于點E．
（1）當∠BDA＝115°時，∠BAD＝　 　；點D從B向C運動時，∠BDA逐漸變　　（填“大”或“小”）．
（2）當DC的長為多少時，△ABD與△DCE全等？請說明理由．
（3）在點D的運動過程中，△ADE的形狀也在改變，請判斷當∠BDA等于多少度時，△ADE是等腰三角形．（直接寫出結論，不說明理由．）
【解答】解：（1）∵∠B＝40°，∠BDA＝115°，
∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠BDA＝180°﹣115°﹣40°＝25°，
由圖形可知，∠BDA逐漸變小，
故答案為：25°；小；
（2）當DC＝2時，△ABD≌△DCE，
理由如下：∵AB＝2，
∴AB＝DC，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B＝40°，
∴∠DEC+∠EDC＝140°，
∵∠ADE＝40°，
∴∠ADB+∠EDC＝140°，
∴∠ADB＝∠DEC，
在△ABD和△DCE中，
，
∴△ABD≌△DCE（AAS）；
（3）當∠BDA的度數(shù)為110°或80°時，△ADE是等腰三角形，
當DA＝DE時，∠DAE＝∠DEA＝70°，
∴∠BDA＝∠DAE+∠C＝70°+40°＝110°；
當AD＝AE時，∠AED＝∠ADE＝40°，
∴∠DAE＝100°，
此時，點D與點B重合，不合題意；
當EA＝ED時，∠EAD＝∠ADE＝40°，
∴∠BDA＝∠DAE+∠C＝40°+40°＝80°，
綜上所述，當∠BDA的度數(shù)為110°或80°時，△ADE是等腰三角形．
分割三角形得等腰三角形
典例剖析
例8 .如圖，在△ABC中，∠BAC＝120°，∠B＝40°，若將△ABC分割成兩個等腰三角形，則這兩個等腰三角形的頂角的度數(shù)分別是（　　）
A．100°、140°或100°、20° B．100°、140°
C．100°、20° D．140°、20°
【分析】：有兩種情況：把120°的角分為100°和20°或40°和80°，分別畫出圖形，即可求解．
【解析】：分兩種情況：
①如圖1，把120°的角分為100°和20°，
則△ABD與△ACD都是等腰三角形，其頂角的度數(shù)分別是100°，140°；
②把120°的角分為40°和80°，
則△ABD與△ACD都是等腰三角形，其頂角的度數(shù)分別是100°，20°
故選：A．
【點評】此題主要考查等腰三角形的性質以及三角形各角之間的關系，難度適中，畫出圖形是關鍵
針對訓練8
1．一個大的等腰三角形能被分割為兩個小等腰三角形,則該大等腰三角形頂角的度數(shù)是__________________
答案：或或或
【分析】
分別以點A、點B、點C為頂點做直線將△ABC分成兩個等腰三角形，由于AB=AC，故以點B和以點C為頂點作的等腰三角形結果是一樣的，所以討論點A、點B為頂點的情況，根據(jù)等腰三角形的性質找出角的關系，由三角形外角以及三角形內(nèi)角和定理即可求解．
【詳解】
如圖1，當過點A的直線交BC于點D，將△ABC分成兩個等腰三角形，使，
設，
，
，
，
，，
，
在中，，
，
解得：，
；
如圖2，當過點A的直線交BC于點D，將△ABC分成兩個等腰三角形，使，，
設，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
解得：，
；
如圖3，當過點B的直線交AC于點D，將△ABC分成兩個等腰三角形，使，
設，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
解得：，
；
如圖4，當過點B的直線交AC于點D，將△ABC分成兩個等腰三角形，使，，
設，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
解得：，
，
綜上，可為90°或108°或36°或．
【點睛】
本題考查等腰三角形的判定、三角形內(nèi)角和定理，畫出符合條件的圖形，根據(jù)等腰三角形的判定以及三角形內(nèi)角和定理找出角的關系是解題的關鍵．
2．如圖，是四張形狀不同的紙片，用剪刀沿一條直線將它們分別剪開(只允許剪一次)，不能得到兩個等腰三角形紙片的是( )
A. B.
C. D.
答案：B
解析：A選項，如圖所示，和都是等腰三角形；
B選項，如圖所示，不能分成兩個等腰三角形；
C選項，如圖所示，和都是等腰三角形；
D選項，如圖所示，和都是等腰三角形.
故選B.
等腰三角形腰的垂直平分線位置不確定分類討論
典例剖析
例9 .已知等腰三角形一腰的垂直平分線與另一腰所在直線的夾角為，求此等腰三形的頂角的度數(shù)．
【答案】或
【分析】分情況進行討論：①等腰三角形為銳角三角形；②等腰三角形為鈍角三角形，即可得出答案．
【詳解】解：①當?shù)妊切螢殇J角三角形時，如圖所示：

∵垂直平分，，
∴，
∴；
②當?shù)妊切螢殁g角三角形時，如圖所示：

∵垂直平分，，
∴，
∴，
∴；
綜上分析可知：等腰三形的頂角的度數(shù)為或．
【點睛】本題考查的是等腰三角形，解題的關鍵是畫出圖形，注意數(shù)形結合，容易忽略的是考慮該等腰三角形為鈍角三角形．
針對訓練9
1．已知等腰中，，兩腰的垂直平分線交于點，已知，則等腰三角形的頂角為（　　）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】分兩種情況：（1）當在的內(nèi)部時，連接，根據(jù)垂直平分線性質可得，根據(jù)等邊對等角可以求出相應角度，結合三角形內(nèi)角和可以求出結果；（2）當在的外部，連接，根據(jù)垂直平分線性質，利用等邊對等角，問題隨之得解．
【詳解】解：分兩種情況：
當在的內(nèi)部，如圖1，連接，

兩腰的垂直平分線交于點P，
，
，，
，
∴，
，
，
，
；
當在的外部，如圖2，連接，

由題意得：，
，，
，
，
，
，
，
則等腰三角形的頂角為或，
故選：C．
【點睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質，垂直平分線性質，三角形內(nèi)角和定理，分兩種情況求解是解題的關鍵．
2．等腰三角形一腰的垂直平分線與另一腰所在直線的夾角為，則這個等腰三角形的一個底角度數(shù)為 ．
【答案】或
【分析】由于的形狀不能確定，故應分是銳角三角形與鈍角三角形兩種情況進行討論.
【詳解】如圖①,當?shù)闹写咕€與線段相交時，則可得，

∵,
∴,
∵,
；
如圖②，當?shù)闹写咕€與線段的延長線相交時, 則可得,
∵,
∴,
∴,
∵,
，
∴底角為或.
故答案為: 或.
【點睛】本題考查的是線段垂直平分線的性質，熟知線段垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等是解答此題的關鍵.
3．等腰三角形有一內(nèi)角的度數(shù)為50°，一腰的垂直平分線與另一腰所在直線相交所成的銳角的度數(shù)為 ．
【答案】或/10°或40°
【分析】設此三角形為，一腰的垂直平分線與該腰的交點為D，與另一腰所在直線的交點為E．分類討論①當角為頂角時；②當角為底角時，作出圖形結合三角形內(nèi)角和定理、線段垂直平分線的性質和等腰三角形的性質即可求解．
【詳解】設此三角形為，一腰的垂直平分線與該腰的交點為D，與另一腰所在直線的交點為E．
分類討論：①如圖，當角為頂角時，即，
∵ED為AC的垂直平分線，
∴，即，
∴．
②如圖，當角為底角時，即，
∴．
∵ED為AC的垂直平分線，
∴，即，
∴．
綜上可知，一腰的垂直平分線與另一腰所在直線相交所成的銳角的度數(shù)為或．
故答案為：或．
【點睛】本題考查線段垂直平分線的性質、等腰三角形的性質、三角形內(nèi)角和定理．利用分類討論的思想，并作出圖形是解答本題的關鍵．
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