資源簡介

中小學教育資源及組卷應(yīng)用平臺
人教版八年級數(shù)學上名師點撥精練
第13章 軸對稱
13.3.2 含30°角的直角三角形的性質(zhì)
學習目標
1.知道等邊三角形的定義，等邊三角形與等腰三角形的關(guān)系.
2.掌握等邊三角形的性質(zhì)和判定方法.
3.熟練地運用等邊三角形的性質(zhì)和判定方法解決問題.
重點：探索等邊三角形的性質(zhì)與判定.
難點：等邊三角形性質(zhì)和判定的應(yīng)用.
老師告訴你
利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)求有關(guān)線段的長
依據(jù)：直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半。
用途：求線段長度和證明線段倍分關(guān)系。
作法：當圖形中含有30°角時，通過作垂線構(gòu)造30°角的直角三角形。
知識點撥
知識點1 的性質(zhì)
含30°的直角三角形的性質(zhì)定理：
在直角三角形中，如果有一個銳角是30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.　
此結(jié)論是由等邊三角形的性質(zhì)推出，體現(xiàn)了直角三角形的性質(zhì)，它在解直角三角形的相關(guān)問題中常用來求邊的長度和角的度數(shù)．
細節(jié)剖析:
這個定理的前提條件是“在直角三角形中”，是證明直角三角形中一邊等于另一邊（斜邊）的一半的重要方法之一，通常用于證明邊的倍數(shù)關(guān)系.
應(yīng)用時，要注意找準30°的角所對的直角邊，點明斜邊．
【新知導學】
例1-1．如圖，在△ABC中，AB=8，將△ABC繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)30°后得到△A1BC1，則陰影部分面積為 _____．
【對應(yīng)導練】
1．如圖，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=30°，D是BC的中點，DE⊥AB于E，DF∥AB交AC于F．求證：．

2．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分線交AC于點D，垂足為E，若∠A=30°，CD=2．
（1）求∠BDC的度數(shù)；
（2）求BD的長．
3．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=2∠A，AB=8，CD⊥AB于點D．求BC、AD的長．
4．如圖，樹AB垂直于地面，為測樹高，小明在C處，測得∠ACB=15°，他沿CB方向走了20米，到達D處，測得∠ADB=30°，你能幫助小明計算出樹的高度嗎？
知識點2 含30°角的直角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用
1.若求某直角三角形的邊長時，考慮構(gòu)造30°角的直角三角形。
2.若給出的是15°角，則構(gòu)造以15°角為底角的等腰三角形，其頂角的外角為30°的角。
3.在同一個三角形中證明一條線段等于另一條線段的二倍，一是證明是直角三角形，二是證明較短的直角邊所對的銳角等于30°
【新知導學】
例2-1．如圖，在△ABC中，BA=BC，∠B=120°，AB的垂直平分線MN交AC于點D，AD=3cm,則CD的長是 _____cm.
例2-2．如圖，在△ABC中，AB=AC=4，且∠BAC=120°，點D是線段BC上的一動點（不與點B，C重合），連接AD，作∠ADE=30°，DE交AC于點E．當點D運動到使得∠DEA=90°時，則AD的長為 _____．
【對應(yīng)導練】
1．已知，如圖，為等邊三角形，，AD，BE相交于點P，于Q.
（1）求證：；
（2）求的度數(shù)；
（3）若，，求AD的長.
2．如圖，，均是等邊三角形，點B，D，E三點共線，連按CD，CE；.
（1）求證：；
（2）若線段，求線段BD的長.
3．如圖，在中，，D、E是內(nèi)的兩點，AD平分，.若，，求BC的長.
4．如圖，點P、M、N分別在等邊的各邊上，且于點P，于點M，于點N，若cm，則CM的長為______________.
二、題型訓練
1.含30°角的直角三角形的性質(zhì)在等邊三角形中的應(yīng)用
1．如圖，已知等邊 的邊長為，現(xiàn)有兩點 M、N 分別從點 A、點 B 同時出發(fā)，沿三角形的邊運動，運動時間為，已知點 M的速度，點 N的速度為．當點 N 第一次到達 B 點時，M、N 同時停止運動．
（1）當點 N 第一次到達 B 點時，點M的位置在 ；當 M、N運動 秒時，點N追上點M；
（2）當點 M、N 在 邊上運動時，能否得到以為底邊的等腰三角形？如存在，請求出此時 M、N 運動的時間．
（3）當為直角三角形時，運動時間t的值是
2．如圖，點，分別是邊長為的等邊的邊，上的動點，點從點向點運動，點從點向點運動，它們同時出發(fā)，且速度都為，運動的時間為秒，連接，交于點，則在，運動的過程中，
（1）求證：；
（2）的大小變化嗎？若變化，則說明理由，若不變，則求出它的度數(shù)；
（3）當為何值時，是直角三角形？
2.含30°角的直角三角形的性質(zhì)在證明線段倍數(shù)問題的應(yīng)用
3．已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，DE⊥AB，且BE=AE．求證：DC=2BD．
4．如圖，△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，求證：BD=AB．
3.含30°角的直角三角形的性質(zhì)在探究條件中的應(yīng)用
5．如圖，在等邊三角形中，，P是邊上的任意一點，（點P可以與點A重合，不與點B重合）過點P作，垂足為E，過點E作，垂足為F，過點F作，垂足為Q，設(shè)．
(1)請將用含的式子表示出來；
(2)當?shù)拈L等于多少時，點P與點Q重合？
(3)當時，求的長．
6．如圖：是邊長為6的等邊三角形，P是邊上一動點．由點A向點C運動（P與點不重合），點Q同時以點P相同的速度，由點B向延長線方向運動（點Q不與點B重合），過點P作于點E，連接交于點D．
(1)若設(shè)的長為x，則_________，____________．
(2)當時，求的長；
(3)點在運動過程中，線段的長是否發(fā)生變化？如果不變，直接寫出線段的長；如果變化，請說明理由．
7．【問題呈現(xiàn)】
如圖，在平面直角坐標系中，點的坐標為，以線段為邊在第四象限內(nèi)作等邊三角形，點為軸正半軸上一動點，連接，以線段為邊在第四象限內(nèi)作等邊三角形，連接并延長，交軸于點．
【問題提出】
（1）在此過程中，線段與有何數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論；
【嘗試探究】
（2）在點的運動過程中，的度數(shù)是否會發(fā)生變化？如果不變，請求出的度數(shù)；如果改變，請說明理由；
【拓展延伸】
（3）當點運動到什么位置時，以為頂點的三角形是等腰三角形？
三、課堂達標
一、選擇題(共8題，每小題4分，共32分)
1．在△ABC中，AB=AC=4，∠B=30°，點P是線段BC上一動點，則線段AP的長可能是（　　）
A. 1 B.
C. D.
2．如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠A=15°，∠DBC=60°，BC=1，則AD的長為（　　）
A. 1.5 B. 2 C. 3 D. 4
3．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=1，∠B=30°，D是BC上一點，連接AD，設(shè)△ADB和△ADC的面積分別是S1，S2，且S1：S2=2：1，則∠DAC的度數(shù)是（　　）
A. 15° B. 25° C. 30° D. 45°
4．已知等腰三角形一腰上的高等于腰長的一半，則該等腰三角形的底角為（　　）
A. 75°或15° B. 30°或60° C. 75° D. 30°
5 .如圖，已知∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∥OB，EC⊥OB于點C，EG⊥OA于點G，若EC＝3，則OF長度是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
6 .如圖，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝10，點D在BA的延長線上，CA＝CD，BD＝6，則AD＝（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
7 .如圖所示，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，DE為AB的中垂線，AD＝12，則CD的長是（　　）
A．3 B．4 C．6 D．8
8 .如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，D為BC上任意一點，過點D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)，且DE+DF＝，連接AD，則AB＝　 　．
二、填空題(共5題，每小題4分，共20分)
9．如圖，在△ABC中，AB=AC=4，且∠BAC=120°，點D是線段BC上的一動點（不與點B，C重合），連接AD，作∠ADE=30°，DE交AC于點E．當點D運動到使得∠DEA=90°時，則AD的長為 _____．
10．在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD是△ABC的高，若AD+BC=10，則線段BD的長是 _____．
11．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，AB的垂直平分線交BC于點D．若BD=6，則AC的長為 _____．
12．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AC且AB⊥AC，BC=BD，則∠DBC=_____．
13．如圖，已知∠AOB=60°，點P在OA上，OP=8，點M、N在邊OB上，PM=PN，若MN=2，則OM=_____．
三、解答題(共6題，共48分)
14．（9分）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，邊AB的垂直平分線交BC于點D，垂足為E，AD平分∠BAC．
（1）求∠B的度數(shù)；
（2）求證：CD=BC；
（3）若AC=2，點P是直線AD上的動點，求|PB-PC|的最大值．
15．（8分）如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于點D，過點D作DE⊥AB于點E．
（1）求證：△ACD≌△AED；
（2）若∠B=30°，CD=5，求BD的長．
16．（8分）為了進一步改善人居環(huán)境，提高居民生活的幸福指數(shù)．某小區(qū)物業(yè)公司決定對小區(qū)環(huán)境進行優(yōu)化改造．如圖，AB表示該小區(qū)一段長為的斜坡，坡角于點D．為方便通行，在不改變斜坡高度的情況下，把坡角降為．
（1）求該斜坡的高度BD；
（2）求斜坡新起點C與原起點A之間的距離．（假設(shè)圖中C，A，D三點共線）
17．（8分）如圖（1）是某施工現(xiàn)場圖，據(jù)此構(gòu)造出了如圖（2）所示的數(shù)學模型，已知B，C，D三點在同一水平線上，AD⊥CD，∠B＝30°，∠ACD＝60°，BC＝30米．
（1）求點C到AB的距離；
（2）求線段AD的長度．
18．（7分）如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于點D，過點D作DE⊥AB，于點E
（1）求證：△ACD≌△AED；
（2）若∠B=30°，CD=1，求BD的長．
19 .（8分）已知：如圖，△ABC中，∠BAC與∠ACB的平分線交于點D，過點D的AC的平行線分別交AB于E，交BC于F．
（1）求證：EF＝AE+CF；
（2）若∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝3，求△BEF的周長．
人教版八年級數(shù)學上名師點撥精練
第13章 軸對稱
13.3.2 含30°角的直角三角形的性質(zhì)
學習目標
1.知道等邊三角形的定義，等邊三角形與等腰三角形的關(guān)系.
2.掌握等邊三角形的性質(zhì)和判定方法.
3.熟練地運用等邊三角形的性質(zhì)和判定方法解決問題.
重點：探索等邊三角形的性質(zhì)與判定.
難點：等邊三角形性質(zhì)和判定的應(yīng)用.
老師告訴你
利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)求有關(guān)線段的長
依據(jù)：直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半。
用途：求線段長度和證明線段倍分關(guān)系。
作法：當圖形中含有30°角時，通過作垂線構(gòu)造30°角的直角三角形。
知識點撥
知識點1 的性質(zhì)
含30°的直角三角形的性質(zhì)定理：
在直角三角形中，如果有一個銳角是30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.　
此結(jié)論是由等邊三角形的性質(zhì)推出，體現(xiàn)了直角三角形的性質(zhì)，它在解直角三角形的相關(guān)問題中常用來求邊的長度和角的度數(shù)．
細節(jié)剖析:
這個定理的前提條件是“在直角三角形中”，是證明直角三角形中一邊等于另一邊（斜邊）的一半的重要方法之一，通常用于證明邊的倍數(shù)關(guān)系.
應(yīng)用時，要注意找準30°的角所對的直角邊，點明斜邊．
【新知導學】
例1-1．如圖，在△ABC中，AB=8，將△ABC繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)30°后得到△A1BC1，則陰影部分面積為 _____．
【答案】16
【解析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到△ABC≌△A1BC1，A1B=AB=8，所以△A1BA是等腰三角形，依據(jù)∠A1BA=30°得到等腰三角形的面積，由圖形可以知道S陰影=S△A1BA+S△A1BC1-S△ABC=S△A1BA，最終得到陰影部分的面積．
解：過A作AD⊥A1B于D，如圖：
在△ABC中，AB=8，將△ABC繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)30°后得到△A1BC1，
∴△ABC≌△A1BC1，
∴A1B=AB=8，
∴△A1BA是等腰三角形，∠A1BA=30°，
∵AD⊥A1B，
∴AD=AB=4，
∴S△A1BA=×8×4=16，
又∵S陰影=S△A1BA+S△A1BC1-S△ABC，且S△A1BC1=S△ABC，
∴S陰影=S△A1BA=16，
故答案為：16．
【對應(yīng)導練】
1．如圖，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=30°，D是BC的中點，DE⊥AB于E，DF∥AB交AC于F．求證：．

【解析】過點D作DH⊥AC于點H，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AD平分∠BAC，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DE=DH，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)得到DH=DF，等量代換證明結(jié)論．
證明：如圖，過點D作DH⊥AC于點H，
∵AB=AC，D是BC的中點，
∴AD平分∠BAC，
∵DE⊥AB，DH⊥AC，
∴DE=DH，
∵DF∥AB，∠BAC=30°，
∴∠DFH=∠BAC=30°，
∴DH=DF，
∴DE=DF．
2．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分線交AC于點D，垂足為E，若∠A=30°，CD=2．
（1）求∠BDC的度數(shù)；
（2）求BD的長．
【解析】（1）由于AB的垂直平分線交AC于點D，根據(jù)線段的垂直平分的性質(zhì)得到DA=DB，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)推出∠DBE=∠A，然后利用已知條件即可求出∠BDC的度數(shù)；
（2）利用已知條件和30°的角所對的直角邊等于斜邊的一半即可求出BD的長．
解：（1）∵DE垂直平分AB，
∴DA=DB，
∴∠DBE=∠A=30°，
∴∠BDC=60°；
（2）在Rt△BDC中，∵∠BDC=60°，
∴∠DBC=30°，
∴BD=2CD=4．
3．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=2∠A，AB=8，CD⊥AB于點D．求BC、AD的長．
【解析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠B=60°，∠A=30°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)解答．
解：∵∠ACB=90°，∠B=2∠A，
∴∠B=60°，∠A=30°，
∴BC=AB=4，
∵∠A=30°，∠B=60°
∠BCD=30°
∴BD=BC=2，
∴AD=AB-BD=6．
4．如圖，樹AB垂直于地面，為測樹高，小明在C處，測得∠ACB=15°，他沿CB方向走了20米，到達D處，測得∠ADB=30°，你能幫助小明計算出樹的高度嗎？
【解析】根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得到∠CAD=∠ADB-∠ACB=15°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AD=CD=20，由直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
解：∵∠ADB=30°，∠ACB=15°，
∴∠CAD=∠ADB-∠ACB=15°，
∴∠ACB=∠CAD，
∴AD=CD=20，
又∵∠ABD=90°，
∴AB=AD=10，
∴樹的高度為10米．
知識點2 含30°角的直角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用
1.若求某直角三角形的邊長時，考慮構(gòu)造30°角的直角三角形。
2.若給出的是15°角，則構(gòu)造以15°角為底角的等腰三角形，其頂角的外角為30°的角。
3.在同一個三角形中證明一條線段等于另一條線段的二倍，一是證明是直角三角形，二是證明較短的直角邊所對的銳角等于30°
【新知導學】
例2-1．如圖，在△ABC中，BA=BC，∠B=120°，AB的垂直平分線MN交AC于點D，AD=3cm,則CD的長是 _____cm.
【答案】6
【解析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理求出∠A=30°，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出AD=BD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠A=∠ABD=30°，根據(jù)角的和差求出∠CBD=90°，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)求解即可．
解：連接BD．
∵BA=BC，∠ABC=120°，
∴∠A=∠C=×（180°-120°）=30°，
∵AB的垂直平分線MN交AC于點D，
∴AD=BD=3cm,
∴∠A=∠ABD=30°，
∴∠CBD=∠ABC-∠ABD=90°，
∴CD=2AD=6（cm），
故答案為：6．
例2-2．如圖，在△ABC中，AB=AC=4，且∠BAC=120°，點D是線段BC上的一動點（不與點B，C重合），連接AD，作∠ADE=30°，DE交AC于點E．當點D運動到使得∠DEA=90°時，則AD的長為 _____．
【答案】2
【解析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠DAE=60°，則∠BAD=60°=∠DAE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出AD⊥BC，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．
解：∵AB=AC，∠BAC=120°
∴B=∠C=30°，
∵∠ADE=30°，∠DEA=90°，
∴∠DAE=180°-90°-∠30°=60°，
∵∠BAC=120°，
∴∠BAD=60°=∠DAE，
∵AB=AC，
∴AD⊥BC，
在Rt△ABD中，∠B=30°，
∴AD=AB=2，
故答案為：2．
【對應(yīng)導練】
1．已知，如圖，為等邊三角形，，AD，BE相交于點P，于Q.
（1）求證：；
（2）求的度數(shù)；
（3）若，，求AD的長.
答案：（1）見解析
（2）60°
（3）7
解析：（1）證明：為等邊三角形，
，，
在與中，
，
，
；
（2），
，
，
；
（3），，
，
，
，
，
.
2．如圖，，均是等邊三角形，點B，D，E三點共線，連按CD，CE；.
（1）求證：；
（2）若線段，求線段BD的長.
答案：（1）見解析
（2）6
解析：（1）、是等邊三角形，
，，，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）是等邊三角形，
，
點B，D，E三點共線
，
，
，
，
，
，
，
.
3．如圖，在中，，D、E是內(nèi)的兩點，AD平分，.若，，求BC的長.
答案：
解析：延長ED交BC于點M，延長AD交BC于點N，
，AD平分，
，，
，
為等邊三角形，，
則，
而，
，
，
.
4．如圖，點P、M、N分別在等邊的各邊上，且于點P，于點M，于點N，若cm，則CM的長為______________.
答案：4cm
解析：是正三角形，，
，，，
，
，
，
是等邊三角形，
，
，
，，
cm，是正三角形，
，，
cm，cm，
cm.
二、題型訓練
1.含30°角的直角三角形的性質(zhì)在等邊三角形中的應(yīng)用
1．如圖，已知等邊 的邊長為，現(xiàn)有兩點 M、N 分別從點 A、點 B 同時出發(fā)，沿三角形的邊運動，運動時間為，已知點 M的速度，點 N的速度為．當點 N 第一次到達 B 點時，M、N 同時停止運動．
（1）當點 N 第一次到達 B 點時，點M的位置在 ；當 M、N運動 秒時，點N追上點M；
（2）當點 M、N 在 邊上運動時，能否得到以為底邊的等腰三角形？如存在，請求出此時 M、N 運動的時間．
（3）當為直角三角形時，運動時間t的值是
【答案】（1）線段的中點，6
（2）存在，當M、N運動8秒時，能得到以為底的等腰三角形
（3），，，9
【解析】（1）先求解N第一次到達B的時間，可得M的位置，再點M、N運動x秒后，M、N兩點重合，可得，再解方程即可；
（2）先證明，可得，再建立方程，即可得到答案；
（3）當點N在上運動時，如圖3，若，如圖4，當，再利用含的直角三角形的性質(zhì)列方程即可，當點N在上運動時，點M也在AC上，此時A，M，N不能構(gòu)成三角形：當點N在上運動時，如圖5，當點N位于中點處時，由為等邊三角形知，如圖6，當點M位于中點處時，由時等邊三角形知，即是直角三角形，再列方程求解即可．
【小問1詳解】
解：當點 N 第一次到達 B 點時，，
此時運動了，
∴點M的位置在線段BC的中點，
設(shè)點M、N運動x秒后，M、N兩點重合，，
解得：，
即當M、N運動6秒時，點N追上點M．
【小問2詳解】
當點M、N在邊上運動時，可以得到以為底邊的等腰三角形，
由（1）知6秒時M、N兩點重合，恰好在C處，
如圖2，假設(shè)是等腰三角形，
∴，
∴．
∴，
∵是等邊三角形，
∴，AB=AC，
在和中，
∵，，
∴
∴，
∴，
解得，符合題意．
所以假設(shè)成立，當M、N運動8秒時，能得到以為底的等腰三角形．
【小問3詳解】
當點N在上運動時，如圖3，
若，
∵，，
∴，
∵，
∴，即，解得．
如圖4，當，
同理可得：由得，解得；
當點N在上運動時，點M也在AC上，此時A，M，N不能構(gòu)成三角形：
當點N在上運動時，
如圖5，當點N位于中點處時，由為等邊三角形知，
即是直角三角形，
則，解得．
如圖6，當點M位于中點處時，由時等邊三角形知，即是直角三角形，
則；
綜上，當，，，9時，可得到直角三角形．
【點睛】本題考查的是動態(tài)幾何問題，等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的定義，含的直角三角形的性質(zhì)，一元一次方程的應(yīng)用，清晰的分類討論是解本題的關(guān)鍵．
2．如圖，點，分別是邊長為的等邊的邊，上的動點，點從點向點運動，點從點向點運動，它們同時出發(fā)，且速度都為，運動的時間為秒，連接，交于點，則在，運動的過程中，
（1）求證：；
（2）的大小變化嗎？若變化，則說明理由，若不變，則求出它的度數(shù)；
（3）當為何值時，是直角三角形？
【答案】（1）見解析 （2）不變，
（3）或
【解析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出，，根據(jù)點，的運動速度相等，得出，即可證明；
（2）由（1）得，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)，即可求解．
（3）分，兩種情況討論，根據(jù)含度角的直角三角形的性質(zhì)，即可求解．
【小問1詳解】
證明：∵是等邊三角形，
∴，，
∵點、的速度相同，
∴，
在和中
∴；
【小問2詳解】
解：的大小不發(fā)生變化，
∵，
∴，
∴
；
【小問3詳解】
∵運動時間為秒，則，
∴，
當時，
∵，則
∴，
∴，解得，
當時，
∵，
∴，則
∴，解得，
∴當為或時，為直角三角形．
【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，含度角的直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
2.含30°角的直角三角形的性質(zhì)在證明線段倍數(shù)問題的應(yīng)用
3．已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，DE⊥AB，且BE=AE．求證：DC=2BD．
【解析】連接AD．在△ABC中，根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理求出∠B=∠C=（180°-∠BAC）=30°．由DE是AB的垂直平分線得出AD=BD，那么∠BAD=∠B=30°，那么∠DAC=∠BAC-∠BAD=90°．然后在Rt△ADC中，根據(jù)30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，得出DC=2AD，等量代換即可得到DC=2BD．
證明：連接AD．
∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=（180°-∠BAC）=30°．
∵DE⊥AB，BE=AE，
∴AD=BD，
∴∠BAD=∠B=30°，
∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=120°-30°=90°．
∵在Rt△ADC中，∠DAC=90°，∠C=30°，
∴DC=2AD，
∴DC=2BD．
4．如圖，△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，求證：BD=AB．
【解析】根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)求出BC=AB，再求出∠BCD=30°，再次利用性質(zhì)解答即可得證．
證明：∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴BC=AB，（直角三角形中，30°所對直角邊等于斜邊的一半），
∵CD是高，
∴∠ADC=90°，
∴∠ACD=60°，
∴∠BCD=30°，
∴BD=BC，
∴BD=AB．
3.含30°角的直角三角形的性質(zhì)在探究條件中的應(yīng)用
5．如圖，在等邊三角形中，，P是邊上的任意一點，（點P可以與點A重合，不與點B重合）過點P作，垂足為E，過點E作，垂足為F，過點F作，垂足為Q，設(shè)．
(1)請將用含的式子表示出來；
(2)當?shù)拈L等于多少時，點P與點Q重合？
(3)當時，求的長．
【答案】(1)
(2)
(3)或．
【分析】本題主要考查了等邊三角形和含直角三角形．熟練掌握等邊三角形性質(zhì)，含直角三角形的性質(zhì)，一元一次方程應(yīng)用，是解決問題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)．，得到，根據(jù)，得到，得到，得到，得到，得到，即得；
（2）當點P與點Q重合時，，得，解得，即得；
（3）當點P在點Q右側(cè)時，，得，解得，即得；當點P在點Q左側(cè)時，，得， 解得 ，即得．
【詳解】（1）解：∵是等邊三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在中，
∵，
∴；
在中，
∵，
∴；
在中，
∵，
∴，
故；
（2）解：當點P與點Q重合時，，
∴，
解得：
故；
（3）解：當點P在點Q右側(cè)時，，，
有，
解得：，
∴；
當點P在點Q左側(cè)時，，
有，
解得： ，
∴，
綜上所述，當時，的長為：或．
6．如圖：是邊長為6的等邊三角形，P是邊上一動點．由點A向點C運動（P與點不重合），點Q同時以點P相同的速度，由點B向延長線方向運動（點Q不與點B重合），過點P作于點E，連接交于點D．
(1)若設(shè)的長為x，則_________，____________．
(2)當時，求的長；
(3)點在運動過程中，線段的長是否發(fā)生變化？如果不變，直接寫出線段的長；如果變化，請說明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)點在運動過程中，線段的長不發(fā)生變化，，理由見解析
【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)并結(jié)合題意即可得出答案；
（2）求出是直角三角形，再由含角的直角三角形的性質(zhì)得出，建立方程計算即可得出答案；
（3）過點作的平行線交于，證明是等邊三角形，得出，再證明，得出，即可得解．
【詳解】（1）解：∵是邊長為6的等邊三角形，
∴，
設(shè)的長為x，則，，
∴；
（2）解：∵是邊長為6的等邊三角形，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴，
解得：，
∴；
（3）解：點在運動過程中，線段的長不發(fā)生變化，，理由如下：
如圖，過點作的平行線交于，
∵是邊長為6的等邊三角形，
∴，
∵，
∴，，
∴是等邊三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴點在運動過程中，線段的長不發(fā)生變化，．
【點睛】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、含角的直角三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、一元一次方程的應(yīng)用等知識點，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關(guān)鍵．
7．【問題呈現(xiàn)】
如圖，在平面直角坐標系中，點的坐標為，以線段為邊在第四象限內(nèi)作等邊三角形，點為軸正半軸上一動點，連接，以線段為邊在第四象限內(nèi)作等邊三角形，連接并延長，交軸于點．
【問題提出】
（1）在此過程中，線段與有何數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論；
【嘗試探究】
（2）在點的運動過程中，的度數(shù)是否會發(fā)生變化？如果不變，請求出的度數(shù)；如果改變，請說明理由；
【拓展延伸】
（3）當點運動到什么位置時，以為頂點的三角形是等腰三角形？
【答案】（1），見解析；（2）點在運動過程中，的度數(shù)是個定值，不會發(fā)生變化；（3）當點的坐標為時，以為頂點的三角形是等腰三角形
【分析】對于（1），根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，再說明，可證，進而得出答案；
對于（2），根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得，最后根據(jù)得出結(jié)論；
對于（3），，先根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)得，即可得出以為頂點的三角形是等腰三角形時，和是腰，然后根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得，進而得出答案．
【詳解】（1）答：．
證明：都是等邊三角形，
，
，
即，
，
；
（2）點在運動過程中，的度數(shù)不會發(fā)生變化，理由如下：
是等邊三角形，
．
，
，
．
故：點在運動過程中，不變，；
（3），
．
又，
，
，
以為頂點的三角形是等腰三角形時，和是腰.
在中，，
，
，
．
當點的坐標為時，以為頂點的三角形是等腰三角形．
【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定，解決本題時要結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)注意多種討論．
三、課堂達標
一、選擇題(共8題，每小題4分，共32分)
1．在△ABC中，AB=AC=4，∠B=30°，點P是線段BC上一動點，則線段AP的長可能是（　　）
A. 1 B.
C. D.
【答案】D
【解析】過A作AD⊥BC于D，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即刻得到結(jié)論．
解：過A作AD⊥BC于D，
∵∠B=30°，
∴AD=AB=2，
∵點P是線段BC上一動點，
∴AP≥2，
故選：D．
2．如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠A=15°，∠DBC=60°，BC=1，則AD的長為（　　）
A. 1.5 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠BDC=30°，然后根據(jù)30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出BD，再求出∠ABC，然后求出∠ABD=15°，從而得到∠ABD=∠A，根據(jù)等角對等邊可得AD=BD，從而得解．
解：∵∠DBC=60°，∠C=90°，
∴∠BDC=90°-60°=30°，
∴BD=2BC=2×1=2，
∵∠C=90°，∠A=15°，
∴∠ABC=90°-15°=75°，
∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=75°-60°=15°，
∴∠ABD=∠A，
∴AD=BD=2．
故選：B．
3．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=1，∠B=30°，D是BC上一點，連接AD，設(shè)△ADB和△ADC的面積分別是S1，S2，且S1：S2=2：1，則∠DAC的度數(shù)是（　　）
A. 15° B. 25° C. 30° D. 45°
【答案】C
【解析】根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系可求出AB，BC，由三角形面積比得出BD：CD=2：1，進而求出CD，再根據(jù)特殊銳角三角函數(shù)值得出答案．
解：在△ABC中，∠C=90°，AC=1，∠B=30°，
∴AB=2AC=2，
過D作DE⊥AB與E，
∵S1：S2=2：1，
∴DE=DC，
∴AD是∠BAC的平分線
∴∠CAD=30°，
故選：C．
4．已知等腰三角形一腰上的高等于腰長的一半，則該等腰三角形的底角為（　　）
A. 75°或15° B. 30°或60° C. 75° D. 30°
【答案】A
【解析】根據(jù)題意作圖，然后分別從等腰三角形一腰上的高在內(nèi)部與在外部去分析，根據(jù)直角三角形中，如果直角邊是斜邊的一半，則此直角邊所對的角是30°角，再由等邊對等角的知識，即可求得這個三角形的底角．
解：如圖①：∵CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，
∵CD=AC
∴∠A=30°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB==75°；
如圖②：∵CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，
∵CD=AC，
∴∠CAD=30°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB
∴∠DAC=∠B+∠ACB=2∠B=30°，
∴∠B=∠ACB=15°．
這個三角形的底角為：75°或15°．
故選：A．
5 .如圖，已知∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∥OB，EC⊥OB于點C，EG⊥OA于點G，若EC＝3，則OF長度是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到EG的長度，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠OEF＝∠COE＝15°，然后利用三角形的外角和內(nèi)角的關(guān)系求出∠EFG＝30°，利用30°角所對的直角邊是斜邊的一半，即可得到EF的長，進而得出OF的長．
【解答】解：∵∠AOE＝∠BOE＝15°，EC⊥OB于點C，EG⊥OA于點G，
∴CE＝EG＝3，
∵EF∥OB，
∴∠COE＝∠OEF＝15°
∴∠EFG＝15°+15°＝30°，∠EOF＝∠OEF，
∴OF＝EF＝2EG＝2×3＝6．
故選：D．
【點評】本題考查了角平分線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)；熟練掌握角平分線的性質(zhì)，證出∠EFG＝30°是解決問題的關(guān)鍵．
6 .如圖，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝10，點D在BA的延長線上，CA＝CD，BD＝6，則AD＝（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】過C點作CE⊥AD于E，由等腰三角形的性質(zhì)可得AD＝2DE，利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)可求解BE的長，即可求得DE的長，進而可求解．
【解析】解：過C點作CE⊥AD于E，
∵CA＝CD，
∴AD＝2DE，
∵∠ABC＝60°，∠CEB＝90°，
∴∠BCE＝30°，
∴BE＝BC＝5，
∵BD＝6，
∴DE＝BD﹣BE＝6﹣5＝1，
∴AD＝2．
故選：B．
【點撥】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．
7 .如圖所示，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，DE為AB的中垂線，AD＝12，則CD的長是（　　）
A．3 B．4 C．6 D．8
【解答】解：∵∠A＝30°，AD＝12，DE垂直平分AB，
∴DE＝6，DA＝DB，
∴∠DBE＝∠A＝30°，
∵Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴∠CBA＝60°，
∴∠DBE＝∠DBC＝30°，
∴BD平分∠CBE，
∵∠C＝90°，DE⊥AB，
∴CD＝DE＝6，
故答案為：6，
故選：C．
8 .如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，D為BC上任意一點，過點D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)，且DE+DF＝，連接AD，則AB＝　 　．
【解答】解：過B作BH⊥AC于H，
∵∠BAC＝30°，
∴BH＝AB，
∵AB＝AC，
∴S△ABC＝S△ABD+S△ACD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴＝，
AB＝AB（DE+DF），
AB＝DF+DF＝，
∴AB＝，
故答案為：
二、填空題(共5題，每小題4分，共20分)
9．如圖，在△ABC中，AB=AC=4，且∠BAC=120°，點D是線段BC上的一動點（不與點B，C重合），連接AD，作∠ADE=30°，DE交AC于點E．當點D運動到使得∠DEA=90°時，則AD的長為 _____．
【答案】2
【解析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠DAE=60°，則∠BAD=60°=∠DAE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出AD⊥BC，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．
解：∵AB=AC，∠BAC=120°
∴B=∠C=30°，
∵∠ADE=30°，∠DEA=90°，
∴∠DAE=180°-90°-∠30°=60°，
∵∠BAC=120°，
∴∠BAD=60°=∠DAE，
∵AB=AC，
∴AD⊥BC，
在Rt△ABD中，∠B=30°，
∴AD=AB=2，
故答案為：2．
10．在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD是△ABC的高，若AD+BC=10，則線段BD的長是 _____．
【答案】2
【解析】根據(jù)“直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半”求解即可．
解：∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴AB=2BC，∠B=60°，
∵CD⊥AB，
∴∠BCD=30°，
∴BC=2BD，
∴AB=4BD，
∵AB=AD+BD，
∴AD=3BD，
∵AD+BC=10，
∴3BD+2BD=10，
∴BD=2 ，
故答案為：2．
11．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，AB的垂直平分線交BC于點D．若BD=6，則AC的長為 _____．
【答案】3
【解析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得DA=DB=6，從而可得∠B=∠DAB=15°，然后利用三角形額外角性質(zhì)可得∠ADC=30°，從而在Rt△ACD中，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)即可解答．
解：∵AB的垂直平分線交BC于點D，BD=6，
∴AD=BD=6，
∴∠B=∠DAB=15°，
∴∠ADC=∠B+∠DAB=30°，
∵∠C=90°，
∴AC=AD=3，
故答案為：3．
12．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AC且AB⊥AC，BC=BD，則∠DBC=_____．
【答案】30°
【解析】過點A作AE⊥BC于E，過點D作DF⊥BC于F，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠ABC=∠ACB=45°，AE=BC，得到DF=BD，求出∠DBC．
解：過點A作AE⊥BC于E，過點D作DF⊥BC于F，
∵AD∥BC，
∴四邊形AEFD為矩形，
∴AE=DF，
∵AB⊥AC，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，AE=BC，
∵BD=BC，
∴DF=AE=BC=BD，
∴∠DBC=30°，
故答案為：30°．
13．如圖，已知∠AOB=60°，點P在OA上，OP=8，點M、N在邊OB上，PM=PN，若MN=2，則OM=_____．
【答案】3
【解析】過P作PC垂直于MN，由等腰三角形三線合一性質(zhì)得到MC=CN，求出MC的長，在直角三角形OPC中，利用30度角所對的直角邊等于斜邊的一半求出OC的長，由OC-MC求出OM的長即可．
解：過P作PC⊥MN，
∵PM=PN，
∴C為MN中點，即MC=NC=MN=1，
在Rt△OPC中，∠AOB=60°，
∴∠OPC=30°，
∴OC=OP=4，
則OM=OC-MC=4-1=3，
故答案為：3
三、解答題(共6題，共48分)
14．（9分）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，邊AB的垂直平分線交BC于點D，垂足為E，AD平分∠BAC．
（1）求∠B的度數(shù)；
（2）求證：CD=BC；
（3）若AC=2，點P是直線AD上的動點，求|PB-PC|的最大值．
【解析】（1）根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得AD=BD，根據(jù)等邊對等角可得∠BAD=∠B，然后利用直角三角形兩銳角互余列式求出∠CAD=∠BAD=∠B=30°；
（2）根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半可得AD=2CD，根據(jù)AD=BD，從而得出BD=2CD，得出BC=BD+CD=3CD，即可證得CD=BC；
（3）作C點關(guān)于直線AD的對稱點C′，作直線BC′交AD于P，此時|PB-PC|的值最大，最大值為AC的長．
解：（1）∵DE是AB的垂直平分線，
∴AD=BD，
∴∠BAD=∠B，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD，
∵∠C=90°，
∴∠B+2∠B=90°，
∴∠B=30°．
（2）∵∠CAD=∠BAD=∠B=30°，
∴AD=2CD，
∵AD=BD，
∴BD=2CD，
∴BC=BD+CD=3CD，
∴CD=BC；
（3）作C點關(guān)于直線AD的對稱點C′，
∵AD平分∠BAC．
∴C′在直線AB上，連接BC′的直線就是AB，
∴P點就是A點，
此時|PB-PC|的最大值為BC′，
∵AC=AC′=BC′，
∴|PB-PC|的最大值=2．
15．（8分）如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于點D，過點D作DE⊥AB于點E．
（1）求證：△ACD≌△AED；
（2）若∠B=30°，CD=5，求BD的長．
【解析】（1）根據(jù)全等三角形的判定方法可證明△ACD≌△AED；
（2）求出AD=BD，推出∠B=∠DAB=∠CAD，求出∠B=30°，即可求出BD=2CD=10即可．
（1）證明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，
∴CD=ED，∠DEA=∠C=90°，
∵在Rt△ACD和Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）；
（2）解：∵Rt△ACD≌Rt△AED，
∴DC=DE=5，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∵∠B=30°，
∴BD=2DE=10．
16．（8分）為了進一步改善人居環(huán)境，提高居民生活的幸福指數(shù)．某小區(qū)物業(yè)公司決定對小區(qū)環(huán)境進行優(yōu)化改造．如圖，AB表示該小區(qū)一段長為的斜坡，坡角于點D．為方便通行，在不改變斜坡高度的情況下，把坡角降為．
（1）求該斜坡的高度BD；
（2）求斜坡新起點C與原起點A之間的距離．（假設(shè)圖中C，A，D三點共線）
【答案】（1）10m （2）20m
【解析】（1）根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)即可求解．
（2）根據(jù)，可得，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可求解．
【小問1詳解】
，
【小問2詳解】
C，A，D三點共線，
【點睛】本題考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，等角對等邊，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
17．（8分）如圖（1）是某施工現(xiàn)場圖，據(jù)此構(gòu)造出了如圖（2）所示的數(shù)學模型，已知B，C，D三點在同一水平線上，AD⊥CD，∠B＝30°，∠ACD＝60°，BC＝30米．
（1）求點C到AB的距離；
（2）求線段AD的長度．
【答案】（1）15米 （2）米
【解析】（1）過點C作CE⊥AB于點E，在Rt△BCE中，根據(jù)含30度的直角三角形的性質(zhì)即可求出CE的長度；
（2）由角平分線的性質(zhì)可求出CD，在Rt△ACD中，由含30度的直角三角形的性質(zhì)可求出AC，再根據(jù)勾股定理即可求出AD.
【小問1詳解】
解:（1）過點C作CE⊥AB于點E，
∴∠CEB＝90°，
∵∠B＝30°，BC＝30米，
∴CE＝BC＝15（米）
∴點C到AB的距離是15米；
【小問2詳解】
解：∵AD⊥CD，
∴∠ADC＝90°，
∵∠ACD＝60°，∠B＝30°，
∴∠CAD＝90°－∠ACD＝30°，∠BAC＝∠ACD－∠B＝30°，
∴∠CAD＝∠BAC，
∵CE⊥AB，
∴CD＝CE＝15米，
在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，CD＝15米，
∴CD＝AC，
∴AC＝2CD＝2×15＝30（米），
由勾股定理得：（米），
答：線段AD的長度是米．
【點睛】本題主要考查了含30度直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，正確作出輔助線，并求出CD的長度是解決問題的關(guān)鍵.
18．（7分）如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于點D，過點D作DE⊥AB，于點E
（1）求證：△ACD≌△AED；
（2）若∠B=30°，CD=1，求BD的長．
【答案】（1）見解析（2）BD=2
【解析】（1）根據(jù)角平分線性質(zhì)求出CD=DE，根據(jù)HL定理求出兩個三角形全等即可．
（2）求出∠DEB=90°，DE=1，根據(jù)含30度角的直角三角形性質(zhì)求出即可．
解：（1）證明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，
∴CD=ED，∠DEA=∠C=90°．
∵在Rt△ACD和Rt△AED中，，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）．
（2）∵Rt△ACD≌Rt△AED ，CD=1，
∴DC=DE=1．
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°．
∵∠B=30°，
∴BD=2DE=2．
19 .（8分）已知：如圖，△ABC中，∠BAC與∠ACB的平分線交于點D，過點D的AC的平行線分別交AB于E，交BC于F．
（1）求證：EF＝AE+CF；
（2）若∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝3，求△BEF的周長．
【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到∠EAD＝∠DAC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠DAC＝∠EDA，等量代換得到∠EAD＝∠EDA，求得EA＝ED，同理，F(xiàn)D＝FC，于是得到結(jié)論；
（2）根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)得到BA＝2BC＝6，根據(jù)三角形的周長公司即可得到結(jié)論．
【解答】解：（1）∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠DAC，
∵ED∥AC，
∴∠DAC＝∠EDA，
∴∠EAD＝∠EDA，
∴EA＝ED，
同理，F(xiàn)D＝FC，
∴ED+DF＝EA+FC，
即EF＝AE+CF；
（2）∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，
∴BA＝2BC＝6，
∴△BEF的周長＝BE+ED+DF+BF＝BE+EA+BF+FC＝BA+BC＝9．
【點評】本題考查了含30°角的直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)；題目利用了兩直線平行，內(nèi)錯角相等，及等角對等邊來判定等腰三角形的；等量代換的利用是解答本題的關(guān)鍵.
21世紀教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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