資源簡介

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人教版八年級數學上名師點撥精練
第13章 軸對稱
13.3.2 等邊三角形的性質和判定
學習目標
1.知道等邊三角形的定義，等邊三角形與等腰三角形的關系.
2.掌握等邊三角形的性質和判定方法.
3.熟練地運用等邊三角形的性質和判定方法解決問題.
重點：探索等邊三角形的性質與判定.
難點：等邊三角形性質和判定的應用.
老師告訴你
根據條件判定等邊三角形的解題技巧：
若已知三邊關系，則考慮用“三邊相等的三角形是等邊三角形”判定；
若已知三角關系，則根據“三個角都相等的三角形是等邊三角形”判定；
若已知三角形是等腰三角形，則根據“有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形”，判定。
知識點撥
知識點3 等邊三角形的性質
（1）等邊三角形的定義：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，等邊三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作為判定一個三角形是否為等邊三角形的方法；
②可以得到它與等腰三角形的關系：等邊三角形是等腰三角形的特殊情況．在等邊三角形中，腰和底、頂角和底角是相對而言的．
（2）等邊三角形的性質：等邊三角形的三個內角都相等，且都等于60°．
等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸；它的任意一角的平分線都垂直平分對邊，三邊的垂直平分線是對稱軸．
【新知導學】
例1-1．如圖，點P、Q分別是等邊△ABC邊AB、BC延長線上的動點且BP=CQ，連接AQ、CP，線段PC的延長線交AQ于點M．
（1）求證：△ABQ≌△CAP；
（2）在點P、Q運動過程中，∠QMC大小是否變化？若變化，請說明理由；若不變，求出它的度數．
【對應導練】
1．如圖，△ABC和△ADE都是等邊三角形，點D在AC邊上．
（1）在圖中找一對全等三角形，并說明理由；
（2）在（1）中全等三角形中，其中一個是另一個經過怎樣的圖形變換得到的？
2．如圖，BD是等邊△ABC的中線，以D為圓心，DB的長為半徑畫弧，交BC的延長線于E，連接DE．求證：CD=CE．
3．如圖，△ABC和△BDE是等邊三角形，連接AD、CE．求證：△ABD≌△CBE．
4．如圖，△ABC是等邊三角形，D、E分別是BC、AC邊上的點，連接AD、BE，且AD、BE相交于點P，∠AEB=∠CDA．
（1）求∠BPD的度數．
（2）過點B作BQ⊥AD于Q，若PQ=3，PE=1，求BE的長．
知識點2 等邊三角形的判定
（1）由定義判定：三條邊都相等的三角形是等邊三角形．
（2）判定定理1：三個角都相等的三角形是等邊三角形．
（3）判定定理2：有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形．
【新知導學】
例2-1．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90，D是AB上的一點，BD=BC，過點D作AB的垂線交AC于點E，CD交BE于點F．
（1）求證：BE垂直平分CD；
（2）若點D是AB的中點，求證：△CBD是等邊三角形．
【對應導練】
1．如圖，在△ABC中，∠B=60°，過點C作CD∥AB，若∠ACD=60°，求證：△ABC是等邊三角形．
2．如圖，在△ABC中，AB=AC，D為AB邊的中點，DE⊥AC于點E，DF⊥BC于點F，DE=DF．求證：△ABC是等邊三角形．
3．已知，如圖，∠B=60°，AB∥DE，EC=ED，求證：△DEC為等邊三角形．
知識點3 等邊三角形的性質與判定綜合
等邊三角形是一個非常特殊的幾何圖形，它的角的特殊性給有關角的計算奠定了基礎，它的邊角性質為證明線段、角相等提供了便利條件．同是等邊三角形又是特殊的等腰三角形，同樣具備三線合一的性質，解題時要善于挖掘圖形中的隱含條件廣泛應用．
【新知導學】
例3-1．如圖所示，設點P為△ABC內一點，∠PBA=10°，∠PCB=30°，∠BAP=20°，∠CBP=40°，求證：△ABC是等腰三角形．
【對應導練】
1．如圖，在等邊△ABC中，點D，E分別在邊BC，AC上，DE∥AB，過點E作EF⊥DE，交BC的延長線于點F．
（1）求∠F的度數．
（2）求證：DC=CF．
2．如圖，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC內兩點，AD平分∠BAC，∠EBC=∠E=60°，且BE=8cm.
（1）求∠D的度數；
（2）若BC=10cm,求ED的長．
二、題型訓練
1.利用等邊三角形性質解決邊角問題
1．如圖，在等邊△ABC的頂點B、C處各有一只蝸牛，它們同時出發，分別都以每分鐘1個單位的速度由C向A和由B向C爬行，其中一只蝸牛爬到終點時，另一只也停止運動，經過t分鐘后，它們分別爬行到D、P處，請問：
（1）在爬行過程中，BD和AP始終相等嗎？
（2）在爬行過程中BD與AP所成的∠DQA有變化嗎？若無變化是多少度？
2．如圖，數學老師布置了這樣一道作業題：
在△ABC中，AB=AC≠BC，點D和點A在直線BC的同側．BD=BC，∠BAC=α，∠DBC=β，α+β=120°，連接AD，求∠ADB的度數．
小聰提供了研究：先從特殊問題開始研究：當α=90°，β=30°時，利用軸對稱知識，以AB為對稱軸構造△ABD的軸對稱圖形△ABD′，連接CD′，然后利用α=90°，β=30°以及等邊三角形的相關知識可解決這個問題．
（1）請結合小聰研究，畫出當α=90°，β=30°時相應的圖形；
（2）請結合小聰研究，求出當α=90°，β=30°時∠ADB的度數；
（3）請結合小聰研究，請解決數學老師布置的這道作業題
2.利用等邊三角形的性質探究線段大小關系
3．如圖，△ABC是等邊三角形，D是△ABC內一點，∠BDC=120°．
（1）求作點D關于直線BC的對稱點E；（要求：尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）
（2）在（1）的條件下連接AE，BE，CE，延長BE至F，使得EF=EC，求證：AE=BF．
4．如圖，在等邊△ABC中，點D、E分別在邊AB、BC上，AD=CE，線段BE、CD交于點F，連接AF．
（1）求∠CFE的度數；
（2）當∠AFE=30°時，用等式表示線段CF與BF的數量關系，并證明．
5．如圖，△ABC是等邊三角形，延長BC到E，使CE=BC．點D是邊AC的中點，連接ED并延長交AB于F．
（1）求∠EFB的度數；
（2）求證：DE=2DF．
3.利用等邊三角形的性質證明線段位置關系
6．已知△ABC和△DEF為等邊三角形．點D在△ABC邊AB上，點F在直線AC上．
（1）若點C和點F重合（如圖①），求證：AE∥BC；
（2）若F在AC的延長線上（如圖②），（1）中的結論是否成立．給出你的結論并證明．
7 .如圖，△ABC是邊長為10cm的等邊三角形，動點P從點B出發以3cm/s速度沿著B→A→C→B向終點B運動，同時動點Q從點C出發以2cm/s速度沿著C→B→A→C向終點C運動，運動時間為t秒．
（1）當P在AB邊上運動時，BP＝　 　，BQ＝　 　．
（2）當PQ∥AC時，求t的值．
三、課堂達標
一、選擇題(共8題，每小題4分，共32分)
1．如圖，已知△ABC是等邊三角形，中線BE，CD交于點F，則∠BFD的度數為 （　　）
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
2．如圖，等邊△ABC的兩條高AD和BE相交于點O，則∠DOE度數為（　　）
A. 60° B. 90° C. 120° D. 150°
3．如圖，P是正△ABC內的一點，若將△PBC繞點B旋轉到△P′BA，則∠PBP′的度數是（　　）
A. 45° B. 60° C. 90° D. 120°
4．如圖，△ABC是等邊三角形，點D在AC邊上，∠DBC=40°，則∠ADB的度數為（　　）
A. 25° B. 60° C. 90° D. 100°
5．下列說法中不正確的是（　　）
A. 有一腰長相等的兩個等腰三角形全等
B. 有一邊對應相等的兩個等邊三角形全等
C. 斜邊相等、一條直角邊也相等的兩個直角三角形全等
D. 斜邊相等的兩個等腰直角三角形全等
6．如圖，已知△ABC和△DCE均是等邊三角形，點B、C、E在同一直線上，AE與BD交于點O，AE與CD交于點G，AC與BD交于點F，連接FG；下列結論：①AE=BD；②AG=BF；③△BCF≌△DCF；④∠BOE=120°．其中正確的是（　　）
A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④
7．已知∠AOB=30°，點P在∠AOB內部，P1與P關于OA對稱，P2與P于OB對稱，則△P1OP2的形狀一定是（　　）
A. 直角三角形
B. 等邊三角形
C. 底邊和腰不相等的等腰三角形
D. 鈍角三角形
8．下列三角形：①有兩個角等于60°的三角形；②有一個角等于60°的等腰三角形；③三個角都相等的三角形；④三邊都相等的三角形．其中是等邊三角形的有（　　）
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③ D. ①②③④
二、填空題(共5題，每小題4分，共20分)
9．等腰三角形的一個外角是120°，那么這個等腰三角形是 _____三角形．
10．如圖，已知是等邊△內一點，是線段延長線上一點，且，=120°，那么_____．
11．在等邊△ABC中，BM是AC邊上的中線，N為BC的延長線上的一點，且CN=CM，則∠BMN的度數是 _____．
12．如圖，在△ABC中，AB=AC，D，E是△ABC內兩點，AD平分∠BAC，∠EBC=∠E=60°，若BE=9cm,DE=3cm,則BC=_____cm.
13．如圖，AB＝AC，點D是BC的中點，AB平分∠DAE，AE⊥BE，垂足為E．若BE∥AC，則∠C＝　 　．
三、解答題(共6題，共48分)
14．（8分）如圖，在四邊形ABCD中，∠ADC=90°，∠ABC=90°，點E是AC的中點．
（1）求證：△BED是等腰三角形；
（2）當∠DAB=_____°時，△BED是等邊三角形．
15．（6分）已知，在△ABC中，AB=AC，M是邊AC上的點，N是△ABC內一點，MN∥AB，且AM=MN=NB=BC，求證：△NBC是等邊三角形．
16．（9分）如圖，在△ABC中，AB=AC，點D，E，F分別在AB，BC，AC邊上，且BE=CF，BD=CE．
（1）求證：DE=EF；
（2）當∠A=44°時，求∠DEF的度數；
（3）當∠A等于多少度時，△DEF成為等邊三角形？試證明你的結論．
17．（8分）我們已經認識了圖形的軸對稱、平移和旋轉．這是圖形的三種基本變換，圖形經過這樣的變換，雖然位置發生了改變，但圖形的形狀與大小都不發生變化，反映了圖形之間的全等關系．這種運用動態變換研究圖形之間的關系的方法，是一種重要而且有效的方法，同學們學完了這些知識后，王老師在黑板上給大家出示了這樣一道題目：如圖，△ABC與△ACD為正三角形，點O為射線CA上的動點，作射線OM與射線BC相交于點E，將射線OM繞點O逆時針旋轉60°，得到射線ON，射線ON與射線CD相交于點F．
（1）如圖1，點，O與點A重合時，點E，F分別在線段BC，CD上，求證：△AEC≌△AFD；
（2）當同學們把這道題領會感悟后，王老師又在上題基礎上追加了一問：如圖2，當點，O在CA的延長線上時，E，F分別在線段BC的延長線和線段CD的延長線上，請寫出CE，CF，CO三條線段之間的數量關系，并說明理由．
18．（8分）如圖，點E是∠AOB的平分線上一點，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分別為C、D．
（1）求證：∠ECD=∠EDC；
（2）若∠AOB=60°，OE=8，試求EF的長．
19．（9分）在等邊△ABC中，
（1）如圖1，P，Q是BC邊上兩點，AP=AQ，∠BAP=20°，求∠AQB的度數；
（2）點P，Q是BC邊上的兩個動點（不與B，C重合），點P在點Q的左側，且AP=AQ，點Q關于直線AC的對稱點為M，連接AM，PM．
①依題意將圖2補全；
②求證：PA=PM．
人教版八年級數學上名師點撥精練
第13章 軸對稱
13.3.2 等邊三角形的性質和判定
學習目標
1.知道等邊三角形的定義，等邊三角形與等腰三角形的關系.
2.掌握等邊三角形的性質和判定方法.
3.熟練地運用等邊三角形的性質和判定方法解決問題.
重點：探索等邊三角形的性質與判定.
難點：等邊三角形性質和判定的應用.
老師告訴你
根據條件判定等邊三角形的解題技巧：
若已知三邊關系，則考慮用“三邊相等的三角形是等邊三角形”判定；
若已知三角關系，則根據“三個角都相等的三角形是等邊三角形”判定；
若已知三角形是等腰三角形，則根據“有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形”，判定。
知識點撥
知識點3 等邊三角形的性質
（1）等邊三角形的定義：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，等邊三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作為判定一個三角形是否為等邊三角形的方法；
②可以得到它與等腰三角形的關系：等邊三角形是等腰三角形的特殊情況．在等邊三角形中，腰和底、頂角和底角是相對而言的．
（2）等邊三角形的性質：等邊三角形的三個內角都相等，且都等于60°．
等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸；它的任意一角的平分線都垂直平分對邊，三邊的垂直平分線是對稱軸．
【新知導學】
例1-1．如圖，點P、Q分別是等邊△ABC邊AB、BC延長線上的動點且BP=CQ，連接AQ、CP，線段PC的延長線交AQ于點M．
（1）求證：△ABQ≌△CAP；
（2）在點P、Q運動過程中，∠QMC大小是否變化？若變化，請說明理由；若不變，求出它的度數．
【解析】（1）由題意可得AB=AC，∠BAC=∠ABC，AP=BQ，即可證△ABQ≌△CAP；
（2）由△ABQ≌△CAP可得∠APM=∠AQB，即根據三角形內角和定理可求∠QMC=120°
證明：（1）∵△ABC是等邊三角形
∴AB=AC=BC，∠ABC=∠ACB=60°=∠BAC
∵BP=CQ
∴AB+BP=BC+CQ
∴AP=BQ且AB=AC，∠ABC=∠BAC=60°
∴△ABQ≌△CAP（SAS）
（2）不變
∵△ABQ≌△CAP
∴∠APM=∠AQB
∵∠QMC+∠MCQ+∠MQC=180°
∴∠QMC+∠APM+∠BCP=180°
∵∠ABC=∠APM+∠BCP=60°
∴∠QMC=120°
【對應導練】
1．如圖，△ABC和△ADE都是等邊三角形，點D在AC邊上．
（1）在圖中找一對全等三角形，并說明理由；
（2）在（1）中全等三角形中，其中一個是另一個經過怎樣的圖形變換得到的？
【解析】（1）根據等邊三角形的性質得出AB=AC，AD=AE，∠BAD=∠DAE=60°，根據SAS證明△ABD≌△ACE即可；
（2）根據旋轉的定義進行判斷即可；
解：（1）△ABD≌△ACE；理由如下：
∵△ABC和△ADE都是等邊三角形，
在△ABD與△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）根據解析（1）可知，△ACE可以看作是由△ABD繞著點A逆時針旋轉60°得到的（或△ABD可以看作是由△ACE繞著點A順時針旋轉60°得到的）．
2．如圖，BD是等邊△ABC的中線，以D為圓心，DB的長為半徑畫弧，交BC的延長線于E，連接DE．求證：CD=CE．
【解析】根據等邊三角形的性質得到BD⊥AC，∠ACB=60°，求得∠DBC=30°，根據等腰三角形的性質得到∠E=∠DBC=30°，求得∠E=∠2=30°，根據等腰三角形的判定定理即可得到結論．
證明：∵BD是等邊△ABC的中線，
∴BD⊥AC，∠ACB=60°，
∴∠DBC=30°，
∵BD=DE，
∴∠E=∠DBC=30°，
∵∠CDE+∠E=∠ACB=60°，
∴∠E=∠2=30°，
∴CD=CE．
3．如圖，△ABC和△BDE是等邊三角形，連接AD、CE．求證：△ABD≌△CBE．
【解析】根據等邊三角形的性質得出AB=BC，BD=BE，進而利用SAS證明△ABD≌△CBE即可．
證明：∵△ABC，△BDE是等邊三角形，
∴∠ABC=∠DBE=60°，AB=BC，BD=BE，
∴∠ABC-∠DBC=∠DBE-∠DBC，
∴∠ABD=∠CBE，
在△ABD和△CBE中，
，
∴△ABD≌△CBE（SAS）．
4．如圖，△ABC是等邊三角形，D、E分別是BC、AC邊上的點，連接AD、BE，且AD、BE相交于點P，∠AEB=∠CDA．
（1）求∠BPD的度數．
（2）過點B作BQ⊥AD于Q，若PQ=3，PE=1，求BE的長．
【解析】（1）根據等邊三角形的性質可得，∠ABC=∠C=60°，又根據∠AEB=∠CDA，進而求得∠EBC=∠BAD，即可得出答案；
（2）根據題意求得∠PBQ=30°，再根據直角三角形中30°的角的性質求出BP的長度，即可得出答案．
解：（1）由△ABC是等邊三角形可得，
∠ABC=∠C=60°，
∵∠ADC=∠ABC+∠BAD，∠AEB=∠C+∠EBC，∠AEB=∠CDA，
∴∠BAD=∠EBC，
∵∠BPD=∠ABE+∠BAD，
∴∠BPD=∠ABE+∠EBC=∠ABC=60°；
（2）∵BQ⊥AD于Q，
∴∠BQP=90°，
∵∠BPD=60°，
∴∠PBQ=90°-∠BPD=30°，
在Rt△BPQ中，
∵PQ=3，∠PBQ=30°，
∴BP=2PQ=6，
又∵PE=1，
∴BE=BP+PE=6+1=7．
知識點2 等邊三角形的判定
（1）由定義判定：三條邊都相等的三角形是等邊三角形．
（2）判定定理1：三個角都相等的三角形是等邊三角形．
（3）判定定理2：有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形．
【新知導學】
例2-1．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90，D是AB上的一點，BD=BC，過點D作AB的垂線交AC于點E，CD交BE于點F．
（1）求證：BE垂直平分CD；
（2）若點D是AB的中點，求證：△CBD是等邊三角形．
【解析】（1）先證Rt△EBC≌Rt△EBD（HL），即可得出BE是∠DBC的角平分線，再根據等腰三角形三線合一即可得證；
（2）根據直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半可知CD=DB，又根據DB=BC，即可證明結論．
證明：（1）∵∠ACB=90，且DE⊥AB，
∴∠EDB=∠ACB=90°，
在Rt△EBC和Rt△EBD中，
，
∴Rt△EBC≌Rt△EBD（HL），
∴∠CBE=∠DBE，
∵BD=BC，
∴△BDC是等腰三角形，
∴BF⊥CD，CF=DF，
∴BE垂直平分CD．
（2）∵D是AB的中點，∠ACB=90°，
∴DC=DB，
又∵BD=BC，
∴DC=DB=BC，
∴△CBD是等邊三角形．
【對應導練】
1．如圖，在△ABC中，∠B=60°，過點C作CD∥AB，若∠ACD=60°，求證：△ABC是等邊三角形．
【解析】根據兩種方法進行證明三角形ABC是等邊三角形即可．
證明：證法一：∵CD∥AB，
∴∠A=∠ACD=60°，
∵∠B=60°，
在△ABC中，
∠ACB=180°-∠A-∠B=60°，
∴∠A=∠B=∠ACB．
∴△ABC是等邊三角形；
證法二：∵CD∥AB，
∴∠B+∠BCD=180°．
∵∠B=60°，
∴∠BCD=120°．
∴∠ACB=∠BCD-∠ACD=60°
在△ABC中，
∠A=180°-∠B-∠ACB=60°
∴∠A=∠B=∠ACB．
∴△ABC是等邊三角形．
2．如圖，在△ABC中，AB=AC，D為AB邊的中點，DE⊥AC于點E，DF⊥BC于點F，DE=DF．求證：△ABC是等邊三角形．
【解析】證明Rt△ADE≌Rt△BDF得到∠A=∠B，則CA=CB，然后根據等邊三角形的判定方法得到結論．
證明：∵D為AB的中點，
∴AD=BD．
∵DE⊥AC，DF⊥BC，
∴∠AED=∠BFD=90°．
在Rt△ADE和Rt△BDF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△BDF（HL），
∴∠A=∠B，
∴CA=CB，
∵AB=AC，
∴AB=BC=AC
∴△ABC是等邊三角形．
3．已知，如圖，∠B=60°，AB∥DE，EC=ED，求證：△DEC為等邊三角形．
【解析】先由平行線的性質得∠DEC=∠B=60°，再由等邊三角形的判定即可得出結論．
證明：∵AB∥DE，
∴∠DEC=∠B=60°，
∵EC=ED，
∴△DEC為等邊三角形．
知識點3 等邊三角形的性質與判定綜合
等邊三角形是一個非常特殊的幾何圖形，它的角的特殊性給有關角的計算奠定了基礎，它的邊角性質為證明線段、角相等提供了便利條件．同是等邊三角形又是特殊的等腰三角形，同樣具備三線合一的性質，解題時要善于挖掘圖形中的隱含條件廣泛應用．
【新知導學】
例3-1．如圖所示，設點P為△ABC內一點，∠PBA=10°，∠PCB=30°，∠BAP=20°，∠CBP=40°，求證：△ABC是等腰三角形．
【解析】由∠PCB=30°聯想到等邊三角形，將△BPC沿著PC翻折到△DPC的位置，連接DB、DP、DA，易證△DCB是等邊三角形，由此可得到∠PDB=∠PBD=20°=∠BAP，從而可得A、P、B、D四點共圓，根據圓周角定理可得∠ADP=∠ABP=10°，由此可得到∠ADB=30°=∠ADC，從而可證到△ADB≌△ADC，則有AB=AC．
證明：將△BPC沿著PC翻折到△DPC的位置，連接DB、DP、DA，如圖，
根據軸對稱的性質可得：PD=PB，CD=CB，∠DCP=∠BCP=30°，
∴∠DCB=60°，
∴△DCB是等邊三角形，
∴∠DBC=∠BDC=60°，DB=DC，
∴∠PDB=∠PBD=∠DBC-∠PBC=60°-40°=20°，
∵∠BAP=20°，∴∠PDB=∠BAP，
∴A、P、B、D四點共圓，
∴∠ADP=∠ABP=10°，
∴∠ADB=∠PDB+∠ADP=20°+10°=30°，
∴∠ADC=∠BDC-∠ADB=60°-30°=30°，
∴∠ADB=∠ADC．
在△ADB和△ADC中，
，
∴△ADB≌△ADC（SAS），
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形．
【對應導練】
1．如圖，在等邊△ABC中，點D，E分別在邊BC，AC上，DE∥AB，過點E作EF⊥DE，交BC的延長線于點F．
（1）求∠F的度數．
（2）求證：DC=CF．
【解析】（1）利用平行線的性質求出∠EDC，再利用三角形的內角和定理解決問題即可．
（2）想辦法證明EC=CD，EC=CF即可解決問題．
（1）解：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B=60°，
∵DE∥AB，
∴∠B=∠EDC=60°，
∵DE⊥EF，
∴∠DEF=90°，
∴∠F=90°-60°=30°．
（2）證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∵DE∥AB，
∴∠B=∠EDC=60°，
∴∠EDC=∠ECD=∠DEC=60°，
∴△DEC是等邊三角形，
∴CE=CD，
∵∠ECD=∠F+∠CEF，∠F=30°，
∴∠CEF=∠F=30°，
∴EC=CF，
∴CD=CF．
2．如圖，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC內兩點，AD平分∠BAC，∠EBC=∠E=60°，且BE=8cm.
（1）求∠D的度數；
（2）若BC=10cm,求ED的長．
【解析】（1）延長ED交BC于點F，延長AD交BC于H，由∠EBC=∠E=60°可得△BEF是等邊三角形，從而得到EF=BF=BE=8，∠EFB=60°．由AB=AC，AD平分∠BAC可得∠AHC=90°，從而可得∠HDF=30°，根據對頂角相等即可得到∠ADE=∠HDF=30°；
（2）由BC=10可得FC=2，根據等腰三角形的性質（三線合一）可得HC=5，從而可得HF=3．在Rt△DHF中，由∠HDF=30°可得DF=2HF=6，由此即可求出ED的長．
解：（1）延長ED交BC于點F，延長AD交BC于H，如圖．
∵∠EBC=∠E=60°，
∴△BEF是等邊三角形，
∴EF=BF=BE=8，∠EFB=60°．
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AH⊥BC，即∠AHC=90°，
∴∠HDF=30°，
∴∠ADE=∠HDF=30°；
（2）∵BC=10，
∴FC=2．
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴BH=CH=BC=5，
∴HF=5-2=3．
在Rt△DHF中，
∵∠HDF=30°，
∴DF=2HF=6，
∴DE=8-6=2．
∴ED的長為2cm.
二、題型訓練
1.利用等邊三角形性質解決邊角問題
1．如圖，在等邊△ABC的頂點B、C處各有一只蝸牛，它們同時出發，分別都以每分鐘1個單位的速度由C向A和由B向C爬行，其中一只蝸牛爬到終點時，另一只也停止運動，經過t分鐘后，它們分別爬行到D、P處，請問：
（1）在爬行過程中，BD和AP始終相等嗎？
（2）在爬行過程中BD與AP所成的∠DQA有變化嗎？若無變化是多少度？
【解析】（1）根據等邊三角形性質得出∠CAB=∠C=∠ABP=60°，AB=BC，根據SAS推出△BDC≌△APB即可．
（2）根據△BDC≌△APB得出∠CBD=∠BAP，根據三角形外角性質求出∠DQA=∠ABC，即可求出答案．
解：（1）在爬行過程中，BD和AP始終相等，
理由是：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠CAB=∠C=∠ABP=60°，AB=BC，
在△BDC和△APB中，
，
∴△BDC≌△APB（SAS），
∴BD=AP．
（2）蝸牛在爬行過程中BD與AP所成的∠DQA大小無變化，
理由：∵△BDC≌△APB，
∴∠CBD=∠BAP，
∴∠DQA=∠DBA+∠BAP=∠DBA+∠CBD=∠ABC=60°，
即蝸牛在爬行過程中BD與AP所成的∠DQA大小無變化，始終是60°．
2．如圖，數學老師布置了這樣一道作業題：
在△ABC中，AB=AC≠BC，點D和點A在直線BC的同側．BD=BC，∠BAC=α，∠DBC=β，α+β=120°，連接AD，求∠ADB的度數．
小聰提供了研究：先從特殊問題開始研究：當α=90°，β=30°時，利用軸對稱知識，以AB為對稱軸構造△ABD的軸對稱圖形△ABD′，連接CD′，然后利用α=90°，β=30°以及等邊三角形的相關知識可解決這個問題．
（1）請結合小聰研究，畫出當α=90°，β=30°時相應的圖形；
（2）請結合小聰研究，求出當α=90°，β=30°時∠ADB的度數；
（3）請結合小聰研究，請解決數學老師布置的這道作業題
【解析】（1）根據題意作出圖形即可；
（2）作輔助線構建全等三角形，證明△ABD≌△ABD′得△BD′C是等邊三角形，再證明△AD′B≌△AD′C得∠AD′B=∠BD′C=30°，則∠ADB=∠AD′B=30°；
（3）分兩種情況進行討論：第一種情況：當60°＜α≤120°時，利用全等先求∠ABC和∠ABD的度數，從而得∠ABD′和∠D′BC的度數，得到△BD′C是等邊三角形，根據（1）同理得出∠ADB=∠AD′B=30°；第二種情況：當0°＜α＜60°時，仍然按此過程求出∠ADB=∠AD′B=150°．
解：（1）如圖1，
（2）如圖2，作∠AB D′=∠ABD，B D′=BD，連接CD′，AD′，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=45°，
∵∠DBC=30°，
∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=15°，
∵AB=AB，∠AB D′=∠ABD，B D′=BD，
∴△ABD≌△ABD′（SAS），
∴∠ABD=∠ABD′=15°，∠ADB=∠AD′B，
∴∠D′BC=∠ABD′+∠ABC=60°，
∵BD=BD′，BD=BC，
∴BD′=BC，
∴△D′BC是等邊三角形，
∴D′B=D′C，∠BD′C=60°，
∵AB=AC，AD'=AD'，
∴△AD′B≌△AD′C，
∴∠AD′B=∠AD′C，
∴∠AD′B=∠BD′C=30°，
∴∠ADB=30°，
（3）解：第一種情況：當60°＜α≤120°時，
如圖3，作∠AB D′=∠ABD，B D′=BD，連接CD′，AD′，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠BAC=α，
∴∠ABC==90°-，
∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=90°--β，
同（1）可證△ABD≌△ABD′，
∴∠ABD=∠ABD′=90°--β，BD=BD′，∠ADB=∠AD′B
∴∠D′BC=∠ABD′+∠ABC=90°-=180°-（α+β），
∵α+β=120°，
∴∠D′BC=60°，
以下同（1）可求得∠ADB=30°，
第二種情況：當0°＜α＜60°時，
如圖4，
作∠AB D′=∠ABD，B D′=BD，連接CD′，AD′．同理可得：∠ABC=，
∴∠ABD=∠DBC-∠ABC=，
同（1）可證△ABD≌△ABD′，
∴∠ABD=∠ABD′=，
，BD=BD′，∠ADB=∠AD′B，
∴∠D′BC=∠ABC-∠ABD′=90°-，
∴D′B=D′C，∠BD′C=60°．
同（1）可證△AD′B≌△AD′C，
∴∠AD′B=∠AD′C，
∵∠AD′B+∠AD′C+∠BD′C=360°，
∴∠ADB=∠AD′B=150°．
2.利用等邊三角形的性質探究線段大小關系
3．如圖，△ABC是等邊三角形，D是△ABC內一點，∠BDC=120°．
（1）求作點D關于直線BC的對稱點E；（要求：尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）
（2）在（1）的條件下連接AE，BE，CE，延長BE至F，使得EF=EC，求證：AE=BF．
【解析】（1）根據要求作出圖形即可；
（2）根據線段垂直平分線的性質得到CD=CE，BD=BE，根據全等三角形的性質得到∠BCE=∠BCD，∠BEC=∠BDC=120°，根據等邊三角形的判定和性質以及全等三角形的判定和性質定理即可得到結論．
（1）解：如圖所示；
（2）證明：由作圖知，BC垂直平分DE，
∴CD=CE，BD=BE，
∵BC=BC，
∴△BDC≌△BEC（SSS），
∴∠BCE=∠BCD，∠BEC=∠BDC=120°，
∴∠CEF=60°，
∵CE=EF，
∴△CEF是等邊三角形，
∴∠F=∠ECF=60°，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AC=BC，∠ACB=60°，
∴∠ACE=∠BCF，
∴△ACE≌△BCF（SAS），
∴AE=BF．
4．如圖，在等邊△ABC中，點D、E分別在邊AB、BC上，AD=CE，線段BE、CD交于點F，連接AF．
（1）求∠CFE的度數；
（2）當∠AFE=30°時，用等式表示線段CF與BF的數量關系，并證明．
【解析】（1）通過SAS證明DBC≌△EAB得出∠ABE=∠BCD，再由∠ABE+∠CBE=60°即可推出結果；
（2）作CH⊥BE交BE于點H，通過AAS證明△AFC≌△CHB得出CF=BH，再根據含30°的直角三角形性質推出CF=2FH即可得出結論．
解：（1）∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC=AC，∠ABC=∠CAB=60°，
又∵AD=CE，
∴BD=AE，
在△DBC與△EAB中，
，
∴△DBC≌△EAB（SAS），
∴∠ABE=∠BCD，
∵∠ABE+∠CBE=60°，
∴∠BCD+∠CBF=60°，
∴∠CFE=60°；
（2）CF=2BF，證明如下：
如圖，作CH⊥BE交BE于點H，
∵∠AFC=∠AFE+∠CFE=90°=∠CHB，
由（1）知，∠ACF=∠CBF，AC=BC，
∴△AFC≌△CHB（AAS），
∴CF=BH，
在Rt△CHF中，∠CFH=60°，
∴∠FCH=30°，
∴CF=2FH，
∴BH=2FH，
∵BH=FH+BF，
∴BF=FH，
∴CF=2BF．
5．如圖，△ABC是等邊三角形，延長BC到E，使CE=BC．點D是邊AC的中點，連接ED并延長交AB于F．
（1）求∠EFB的度數；
（2）求證：DE=2DF．
【解析】（1）根據等邊三角形的性質得出AC=BC，∠ACB=∠B=60°，求出CD=CE，根據三角形外角性質和等腰三角形的性質求出∠E=30°，求出∠BFE即可；
（2）連接BD，求出BD=DE，根據含30°角的直角三角形的性質得出BD=2DF，即可得出答案．
（1）解：∵△ABC是等邊三角形，
∴AC=BC，∠ACB=∠B=60°，
∵D為AC的中點，
∴AD=CD=AC，
∵CE=BC，
∴CD=CE，
∵∠E+∠CDE=∠ACB=60°，
∴∠E=∠CDE=30°，
∵∠B=60°，
∴∠EFB=180°-60°-30°=90°；
（2）證明：連接BD，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC，∠ABC=60°，
∵D為AC的中點，
∴∠DBC=∠ABD=∠ABC=30°，
∵∠E=30°，
∴∠DBC=∠E，
∴DE=BD，
∵∠BFE=90°，∠ABD=30°，
∴BD=2DF，
即DE=2DF．
3.利用等邊三角形的性質證明線段位置關系
6．已知△ABC和△DEF為等邊三角形．點D在△ABC邊AB上，點F在直線AC上．
（1）若點C和點F重合（如圖①），求證：AE∥BC；
（2）若F在AC的延長線上（如圖②），（1）中的結論是否成立．給出你的結論并證明．
【解析】（1）利用等邊三角形的性質可得BC=AC，DC=EC，∠B=∠BCA=∠DCE=60°，再根據全等三角形的判定與性質可得∠B=∠EAC，最后根據平行線的判定方法可得結論；
（2）過點F作FM∥BC交AB的延長線于點M，利用等邊三角形的判定與性質及平行線的性質可得結論．
（1）證明：∵△ABC和△DEF為等邊三角形，
∴BC=AC，DC=EC，∠B=∠BCA=∠DCE=60°，
∴∠BCD+∠DCA=∠ACE+∠DCA，即∠BCD=∠ACE，
在△BCD和△ACE中，
，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴∠B=∠EAC，
∵∠B=∠ACB，
∴∠EAC=∠ACB，
∴AE∥BC；
（2）若F在AC的延長線上，（1）中的結論仍然成立．
過點F作FM∥BC交AB的延長線于點M，
∵△ABC為等邊三角形，FM∥BC，
∴∠M=∠ABC=60°，∠AFM=∠ACB=60°，
∴△AFM為等邊三角形，
同（1）可證AE∥FM，
∵FM∥BC，
∴AE∥BC．
7 .如圖，△ABC是邊長為10cm的等邊三角形，動點P從點B出發以3cm/s速度沿著B→A→C→B向終點B運動，同時動點Q從點C出發以2cm/s速度沿著C→B→A→C向終點C運動，運動時間為t秒．
（1）當P在AB邊上運動時，BP＝　 　，BQ＝　 　．
（2）當PQ∥AC時，求t的值．
【分析】（1）根據等邊三角形的性質得到AB＝BC＝10cm，于是得到結論；
（2）當點P在AB邊上運動時，當點P在BC邊上時，根據等邊三角形的判定和性質即可得到結論．
【解答】解：（1）∵△ABC是邊長為10cm的等邊三角形，
∴AB＝BC＝10cm，
∴當P在AB邊上運動時，BP＝3tcm，BQ＝（10﹣2t）cm，
故答案為：3tcm；（10﹣2t）cm；
（2）當點P在AB邊上運動時，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠A＝∠C＝∠B＝60°，
當PQ∥AC時，∠BQP＝∠C＝60°，∠BPQ＝∠A＝60°，
∴△BQP是等邊三角形，
∴BQ＝BP，
即10﹣2t＝3t，
解得，t＝2；
當點P在BC邊上時，
同理可得10﹣（3t﹣20）＝2t﹣10，
解得，t＝8，
綜上所述，當PQ∥AC時，t的值為2或8．
【點評】本題考查了等邊三角形的判定和性質，平行線的性質，熟練掌握等邊三角形的性質是解題的關鍵．
三、課堂達標
一、選擇題(共8題，每小題4分，共32分)
1．如圖，已知△ABC是等邊三角形，中線BE，CD交于點F，則∠BFD的度數為 （　　）
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
【答案】B
【解析】首先利用等邊三角形的性質可以求出∠EBC、∠DCB，然后利用三角形的內角和定理即可求解．
解：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵中線BE，CD交于點F，
∴∠EBC=∠DCB=×60°=30°，
∴∠BFD=∠EBC+∠DCB=60°．
故選：B．
2．如圖，等邊△ABC的兩條高AD和BE相交于點O，則∠DOE度數為（　　）
A. 60° B. 90° C. 120° D. 150°
【答案】C
【解析】根據等邊三角形的性質推出AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，則∠BAD=∠BAC=30°，∠ABE=∠ABC=30°，根據三角形內角和定理求出∠AOB=120°，再根據對頂角相等求解即可．
解：∵等邊△ABC的兩條高AD和BE相交于點O，
∴∠BAC=∠ABC=60°，AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，
∴∠BAD=∠BAC=30°，∠ABE=∠ABC=30°，
∵∠AOB+∠ABE+∠BAD=180°，
∴∠AOB=120°，
∴∠DOE=∠AOB=120°，
故選：C．
3．如圖，P是正△ABC內的一點，若將△PBC繞點B旋轉到△P′BA，則∠PBP′的度數是（　　）
A. 45° B. 60° C. 90° D. 120°
【答案】B
【解析】根據旋轉的性質可得：△PBC≌△P′BA，故∠PBC=∠P′BA，即可求解．
解：∠PBP′=∠P′BA+∠PBA，
=∠PBC+∠PBA，
=∠ABC，
=60°．
故選：B．
4．如圖，△ABC是等邊三角形，點D在AC邊上，∠DBC=40°，則∠ADB的度數為（　　）
A. 25° B. 60° C. 90° D. 100°
【答案】D
【解析】等邊三角形的三個角都為60°，三角形的外角等于不相鄰的兩個內角的和．
解：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠C=60°，
∵∠ADB=∠DBC+∠C，∠DBC=40°，
∴∠ADB=40°+60°=100°，
故選：D．
5．下列說法中不正確的是（　　）
A. 有一腰長相等的兩個等腰三角形全等
B. 有一邊對應相等的兩個等邊三角形全等
C. 斜邊相等、一條直角邊也相等的兩個直角三角形全等
D. 斜邊相等的兩個等腰直角三角形全等
【答案】A
【解析】A、根據已知能得出AB=DE，AC=DF，不能判斷兩三角形全等；B、根據等邊三角形性質和SSS能推出兩三角形全等；根據HL能推出兩三角形全等，即可判斷C；根據等腰直角三角形性質推出∠A=∠D，根據AAS判斷即可．
解：A、
AB=DE，AB=AC，DF=DE，
∴AB=DE，AC=DF，但是找不出第三個相等的條件，即兩三角形不全等，故本選項正確；
B、∵AB=AC=BC，DE=DF=EF，AB=DE，
∴AB=DE，AC=DF，BC=EF，
∴△ABC和△DEF全等，故本選項錯誤；
C、根據HL推出兩直角三角形全等，故本選項錯誤；
D、
∵AC=BC，∠C=90°，
∴∠A=∠B=45°，
同理∠D=45°，
即∠A=∠D，∠C=∠E=90°，AB=DF，
∴△ACB≌△DEF（AAS），故本選項錯誤；
故選：A．
6．如圖，已知△ABC和△DCE均是等邊三角形，點B、C、E在同一直線上，AE與BD交于點O，AE與CD交于點G，AC與BD交于點F，連接FG；下列結論：①AE=BD；②AG=BF；③△BCF≌△DCF；④∠BOE=120°．其中正確的是（　　）
A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④
【答案】B
【解析】首先根據等邊三角形的性質，得到BC=AC，CD=CE，∠ACB=∠BCD=60°，然后由SAS判定△BCD≌△ACE，根據全等三角形的對應邊相等即可證得①正確；由全三角形的對應角相等，得到∠CBD=∠CAE，根據ASA證得△BCF≌△ACG，即可得到②正確，由于BC≠CD，∠CBF≠∠CDF，于是得到△BCF與△DCF不一定全等，③錯誤；根據三角形外角性質即可得出④正確．
解：∵△ABC和△DCE均是等邊三角形，
∴BC=AC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°，
∴∠ACB+∠ACD=∠ACD+∠ECD，∠ACD=60°，
在△BCD和△ACE中
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴AE=BD，∴①正確；
∠CBD=∠CAE，
∵∠BCA=∠ACG=60°，
∴在△BCF和△ACG中
∴△BCF≌△ACG（ASA），
∴AG=BF，∴②正確；
∵BC≠CD，∠CBF≠∠CDF，
∴△BCF與△DCF不一定全等，
∴③錯誤；
∵∠CDB=∠AEC，∠DCE=60°，
∴∠AOB=∠CBD+∠CEA=∠CBD+∠CDB=∠DCE=60°，
∴∠BOE=120°，
∴④正確．
故選：B．
7．已知∠AOB=30°，點P在∠AOB內部，P1與P關于OA對稱，P2與P于OB對稱，則△P1OP2的形狀一定是（　　）
A. 直角三角形
B. 等邊三角形
C. 底邊和腰不相等的等腰三角形
D. 鈍角三角形
【答案】B
【解析】根據軸對稱的性質，結合等邊三角形的判定求解．
解：∵P為∠AOB內部一點，點P關于OA、OB的對稱點分別為P1、P2，
∴OP=OP1=OP2且∠P1OP2=2∠AOB=60°，
∴△OP1P2是等邊三角形．
故選：B．
8．下列三角形：①有兩個角等于60°的三角形；②有一個角等于60°的等腰三角形；③三個角都相等的三角形；④三邊都相等的三角形．其中是等邊三角形的有（　　）
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③ D. ①②③④
【答案】D
【解析】直接根據等邊三角形的判定方法進行判斷．
解：①有兩個角等于60°的三角形是等邊三角形；
②有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形；
③三個角都相等的三角形是等邊三角形；
④三邊都相等的三角形是等邊三角形；
故選：D．
二、填空題(共5題，每小題4分，共20分)
9．等腰三角形的一個外角是120°，那么這個等腰三角形是 _____三角形．
【答案】等邊
【解析】根據已知可求得與這個外角相鄰的內角，再根據有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形即可求解．
解：∵等腰三角形的一個外角為120°，
∴與這個外角相鄰的角的度數為60°，
∴這個等腰三角形是等邊三角形，
故答案為：等邊．
10．如圖，已知是等邊△內一點，是線段延長線上一點，且，=120°，那么_____．
【答案】60°
【分析】由的度數利用鄰補角互補可得出，結合可得出為等邊三角形，而根據旋轉全等模型由易證出，根據全等三角形的性質可得出，再根據即可求出的度數．
【詳解】解：為等邊三角形，
，．
，，
．
又，
為等邊三角形，
，，．
，
．
在和中，
，
，
，
．
故答案為：60．
【點睛】本題考查了等邊三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質以及角的計算，通過證明，找出是解題的關鍵．
11．在等邊△ABC中，BM是AC邊上的中線，N為BC的延長線上的一點，且CN=CM，則∠BMN的度數是 _____．
【答案】120°
【解析】根據等邊三角形的性質求出∠ABC=∠ACB=60°，∠CBM=30°，根據等腰三角形的性質及三角形外角性質求出∠N=30°，根據三角形內角和定理求解即可．
解：∵等邊△ABC中，BM是AC邊上的中線，
∴∠ABC=∠ACB=60°，∠CBM=∠ABC，
∴∠CBM=30°，
∵CN=CM，
∴∠N=∠CMN，
∵∠N+∠CMN=∠ACB=60°，
∴∠N=30°，
∵∠CBM+∠BMN+∠N=180°，
∴∠BMN=120°，
故答案為：120°．
12．如圖，在△ABC中，AB=AC，D，E是△ABC內兩點，AD平分∠BAC，∠EBC=∠E=60°，若BE=9cm,DE=3cm,則BC=_____cm.
【答案】12
【解析】過點E作EF⊥BC，垂足為F，延長AD到H，交BC于點H，過點D作DG⊥EF，垂足為G，由直角三角形中30°所對的直角邊是斜邊的一半可知BF=4.5，DG=1.5，然后由等腰三角形三線合一可知AH⊥BC，BH=CH，然后再證明四邊形DGFH是矩形，從而得到FH=GD=1.5，最后根據BC=2BH計算即可．
解；過點E作EF⊥BC，垂足為F，延長AD到H，交BC于點H，過點D作DG⊥EF，垂足為G．
∵EF⊥BC，∠EBF=60°，
∴∠BEF=30°，
∴BF=，
∵∠BED=60°，∠BEF=30°，
∴∠DEG=30°．
又∵DG⊥EF，
∴GD=cm,
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AH⊥BC，且BH=CH．
∵AH⊥BC，EF⊥BC，DG⊥EF，
∴四邊形DGFH是矩形．
∴FH=GD=1.5cm.
∴BC=2BH=2×（4.5+1.5）=12cm.
解法二：延長ED交BC于M，延長AD交BC于點H，
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AH⊥BC，BH=CH，
∴∠DHM=90°，
∵∠E=∠BEM=60°，
∴△BEM是等邊三角形，
∴EM=BE=BM=9cm,∠DMH=60°，
∴∠MDH=30°，
∵ED=3cm,
∴DM=EM-ED=9-3=6cm,
∴HM=3cm,
∴BH=BC=BM-HM=9-3=6cm,
∴BC=12cm.
故答案為：12．
13．如圖，AB＝AC，點D是BC的中點，AB平分∠DAE，AE⊥BE，垂足為E．若BE∥AC，則∠C＝　 　．
【分析】根據平行線的性質證得∠EAC＝90°，由等腰三角形的性質和已知條件證得∠1＝∠2＝∠3＝30°，可得∠BAC＝60°，進而得到△ABC為等邊三角形，由等邊三角形的性質可得∠C的度數．
【解答】解：∵AE⊥BE，
∴∠E＝90°，
∵BE∥AC，
∴∠EAC＝90°，
∵AB平分∠DAE，
∴∠1＝∠2，
∵AB＝AC，點D是BC的中點，
∴∠1＝∠2＝∠3＝30°，
∴∠BAC＝∠1+∠3＝60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴∠C＝60°，
故答案為：60°．
【點評】本題主要考查了等邊三角形的判定和性質，等腰三角形的性質，平行線的性質，證得∠1＝∠2＝∠3＝30°是解決問題的關鍵．
三、解答題(共6題，共48分)
14．（8分）如圖，在四邊形ABCD中，∠ADC=90°，∠ABC=90°，點E是AC的中點．
（1）求證：△BED是等腰三角形；
（2）當∠DAB=_____°時，△BED是等邊三角形．
【答案】30
【解析】（1）由直角三角形的性質可得DE=AC，BE=AC，可得結論；
（2）由等腰三角形的性質可得∠DEB=2∠DAB，∠DAB=30°時，可得∠DEB=60°，可得結論．
（1）證明：∵∠ABC=∠ADC=90°，點E是AC 的中點，
∴DE=AC=AE，BE=AC=AE，
∴DE=BE，
即△BED是等腰三角形；
（2）解：∵DE=BE=AE，
∴∠DAE=∠ADE，∠EAB=∠EBA，
∴∠DEC=2∠DAE，∠BEC=2∠EAB，
∴∠DEB=2∠DAB，
當∠DAB=30°時，∠DEB=60°，
又∵BE=DE，
∴△BED是等邊三角形，
故答案為：30．
15．（6分）已知，在△ABC中，AB=AC，M是邊AC上的點，N是△ABC內一點，MN∥AB，且AM=MN=NB=BC，求證：△NBC是等邊三角形．
【解析】連接AN，根據平行線的性質及等腰三角形的性質得出∠BAN=∠CAN，即可根據題意判定△ABN≌△ACN，得到NB=NC，即可得解．
證明：連接AN，
∵AM=MN，
∴∠MAN=∠MNA，
∵MN∥AB，
∴∠BAN=∠MNA，
∴∠BAN=∠MAN，
即∠BAN=∠CAN，
在△ABN和△ACN中，
，
∴△ABN≌△ACN（SAS），
∴NB=NC，
∵NB=BC，
∴NB=NC=BC，
∴△NBC是等邊三角形．
16．（9分）如圖，在△ABC中，AB=AC，點D，E，F分別在AB，BC，AC邊上，且BE=CF，BD=CE．
（1）求證：DE=EF；
（2）當∠A=44°時，求∠DEF的度數；
（3）當∠A等于多少度時，△DEF成為等邊三角形？試證明你的結論．
【解析】（1）根據AB=AC可得∠B=∠C，即可求證△BDE≌△CEF，即可解題；
（2）根據全等三角形的性質，得出∠BED=∠CFE，再根據三角形內角和定理以及平角的定義，即可求得∠DEF的度數；
（3）根據△DEF為等邊三角形，以及△BDE≌△CEF，可得∠C的度數，最后根據等腰三角形ABC，求得其頂角的度數．
解：（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵在△BDE和△CEF中，
，
∴△BDE≌△CEF（SAS），
∴DE=EF；
（2）當∠A=44°時，∠B=∠C=（180°-44°）=68°，
∵△BDE≌△CEF，
∴∠BED=∠CFE，
∵△CEF中，∠CEF+∠CFE=180°-68°=112°，
∴∠BED+∠CEF=112°，
∴∠DEF=180°-112°=68°；
（3）當∠A等于60度時，△DEF成為等邊三角形．
證明：若△DEF為等邊三角形，則∠DEF=60°，
∴∠BED+∠CEF=120°，
又∵△BDE≌△CEF，
∴∠BED=∠CFE，
∴△CEF中，∠CEF+∠CFE=120°，
∴∠C=180°-120°=60°=∠B，
∴△ABC中，∠A=180°-60°×2=60°．
17．（8分）我們已經認識了圖形的軸對稱、平移和旋轉．這是圖形的三種基本變換，圖形經過這樣的變換，雖然位置發生了改變，但圖形的形狀與大小都不發生變化，反映了圖形之間的全等關系．這種運用動態變換研究圖形之間的關系的方法，是一種重要而且有效的方法，同學們學完了這些知識后，王老師在黑板上給大家出示了這樣一道題目：如圖，△ABC與△ACD為正三角形，點O為射線CA上的動點，作射線OM與射線BC相交于點E，將射線OM繞點O逆時針旋轉60°，得到射線ON，射線ON與射線CD相交于點F．
（1）如圖1，點，O與點A重合時，點E，F分別在線段BC，CD上，求證：△AEC≌△AFD；
（2）當同學們把這道題領會感悟后，王老師又在上題基礎上追加了一問：如圖2，當點，O在CA的延長線上時，E，F分別在線段BC的延長線和線段CD的延長線上，請寫出CE，CF，CO三條線段之間的數量關系，并說明理由．
【解析】（1）利用SAS證明△AEC≌△AFD即可得出結論；
（2）過點O作OH∥BC，交CF于H，可知△COH是等邊三角形，再利用ASA證明△OHF≌△OCE，從而解決問題．
（1）證明：∵△ABC與△ACD為正三角形，
∴AB=AC=BC=AD=CD，∠BAC=∠BCA=∠ADC=∠DAC=60°，
∵將射線OM繞點O逆時針旋轉60°，
∴AE=AF，∠EAF=60°，
∴∠BAC=∠CAD=∠EAF=60°，
∴∠EAC=∠DAE，且AC=AD，AE=AF，
在△AEC與△AFD中，
，
∴△AEC≌△AFD（SAS）；
（2）解：CE+CO=CF，
理由：如圖，過點O作OH∥BC，交CF于H，
∴∠HOC=∠BCA=60°，∠OHC=∠HCE=60°，
∴△COH是等邊三角形，
∴OC=CH=OH，
∵∠EOF=∠COH=∠CHO=∠BCA=60°，
∴∠COE=∠FOH，∠OCE=∠OHF=120°，OH=OC，
在△OHF與△OCE中，
，
∴△OHF≌△OCE（ASA），
∴CE=FH，
∵CF=CH+FH，
∴CF=CO+CE．
18．（8分）如圖，點E是∠AOB的平分線上一點，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分別為C、D．
（1）求證：∠ECD=∠EDC；
（2）若∠AOB=60°，OE=8，試求EF的長．
【答案】（1）見解析 （2）EF=2．
【解析】（1）點E是∠AOB的平分線上一點，EC⊥OA，ED⊥OB，根據角平分線的性質可知EC=ED，即可求證∠ECD=∠EDC；
（2）首先證明△DOC是等邊三角形，進而得出∠EOC=30°，又因為EC⊥OA，所以∠ECO=90°，OE=8，根據直角三角形的性質可求得EF=OE．
【小問1詳解】
證明：∵點E是∠AOB的平分線上一點，EC⊥OA，ED⊥OB，
∴EC=ED．
∴△EDC為等腰三角形．
∴∠ECD=∠EDC；
【小問2詳解】
解：∵在Rt△DEO和Rt△CEO中，
∵EO=EO，DE=EC（已證），
∴Rt△DEO≌Rt△CEO（HL），
∴DO=CO，
∵∠AOB=60°，OE是∠AOB的平分線，
∴∠EOC=30°，△DOC是等邊三角形，
∴∠OCD=60°，
∵EC⊥OA，
∴∠ECO=90°．
∴∠ECF=30°，
∴EC=OE=4，
∴EF=EC=×4=2．
【點睛】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質，全等三角形的判定與性質，等邊三角形的判定與性質，熟記各性質是解題的關鍵．
19．（9分）在等邊△ABC中，
（1）如圖1，P，Q是BC邊上兩點，AP=AQ，∠BAP=20°，求∠AQB的度數；
（2）點P，Q是BC邊上的兩個動點（不與B，C重合），點P在點Q的左側，且AP=AQ，點Q關于直線AC的對稱點為M，連接AM，PM．
①依題意將圖2補全；
②求證：PA=PM．
【解析】（1）根據三角形的外角性質得到∠APC，由等腰三角形的性質即可得到結論；
（2）①根據題意補全圖形即可；
②過點A作AH⊥BC于點H，根據等邊三角形的判定和性質解答即可．
解：（1）∵△ABC為等邊三角形
∴∠B=60°
∴∠APC=∠BAP+∠B=80°
∵AP=AQ
∴∠AQB=∠APC=80°，
（2）①補全圖形如圖所示，
②證明：過點A作AH⊥BC于點H，如圖．
由△ABC為等邊三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∵AP=AQ，
∴∠APQ=∠AQP，
∴∠APQ-∠B=∠AQP-∠C，
即∠PAB=∠QAC，
∵點Q，M關于直線AC對稱，
∴∠QAC=∠MAC，AQ=AM
∴∠MAC+∠PAC=∠PAB+∠PAC=60°，
∵AP=AM，
∴△APM為等邊三角形
∴PA=PM．
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