資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
人教版八年級數學上名師點撥精練
第13章 軸對稱
13.3.1 等腰三角形的判定
學習目標
1.掌握等腰三角形的判定方法.
2.掌握等腰三角形的判定定理，并運用其進行證明和計算.
重點：理解和運用等腰三角形的判定定理.
難點：利用尺規作等腰三角形：已知底邊及底邊上的高作等腰三角形.
老師告訴你
構造等腰三角形的四種方法
用“角平分線+平行線”構造等腰三角形
用“角平分線+垂線”構造等腰三角形
用線段的垂直平分線構造等腰三角形
用三角形中角的二倍關系構造等腰三角形
知識點撥
知識點1 等腰三角形的判定
判定方法
（1）等腰三角形的定義：如果一個三角形有兩邊相等，這個三角形是等腰三角形．
（2）判定定理：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等．【簡稱：等角對等邊】
說明：①等腰三角形是一個軸對稱圖形，它的定義既作為性質，又可作為判定辦法．
②等腰三角形的判定和性質互逆；
③在判定定理的證明中，可以作未來底邊的高線也可以作未來頂角的角平分線，但不能作未來底邊的中線；
④判定定理在同一個三角形中才能適用．
【新知導學】
例1-1．已知：如圖，中，是中點，垂足為，垂足為，且，求證：是等腰三角形
【對應導練】
1．如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，點E在BC上，點F在AB的延長線上，連接AE，CF，且AE=CF，BF=BE．求證：△ABC是等腰三角形．
2．如圖，在△ABC中，已知點D在線段AB的反向延長線上，過AC的中點F作線段GE交∠DAC的平分線于E，交BC于G，且AE∥BC．
（1）求證：△ABC是等腰三角形．
（2）若AE=8，AB=10，GC=2BG，求△ABC的周長．
3．如圖，在△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90°，AC=BD，AC與BD相交于點O．
（1）求證：△ABC≌△DCB；
（2）△OBC是何種三角形？證明你的結論．
4．如圖：△ABC的邊AB的延長線上有一個點D，過點D作DF⊥AC于F，交BC于E，且BD=BE，求證：△ABC為等腰三角形．
知識點2 等腰三角形性質判定綜合
解題技巧提煉
等腰三角形提供了好多相等的線段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是證明線段相等、角相等的重要手段．
解決與等腰三角形相關的探究題時，主要是綜合運用等腰三角形的性質和判定，有時會用到分類討論的思想來解決問題.
【新知導學】
例2-1．如圖，在等腰△ABC中，AB=AC，D為底邊BC延長線上任意一點，過點D作DE//AB，與AC的延長線交于點E．求證：△CDE是等腰三角形．
【對應導練】
1．如圖，在△ABC中，AB=AC，點D是邊BC上的一點，且BD=AD，DC=AC，請指出圖中的等腰三角形，并求∠B的度數．
2．如圖，∠ACB=90°，AC=AD，DE⊥AB．求證：CE=DE．
3．已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，點E在CA的延長線上，EF∥AD．求證：AE=AF．
4．在△ABC中，∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC，交AC于D，AE⊥BD，垂足為E．求證：AC=2BE．
知識點3 作等腰三角形
復雜作圖是在五種基本作圖的基礎上進行作圖，一般是結合了幾何圖形的性質和基本作圖方法．解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．
【新知導學】
例3-1．下面是作等腰三角形的尺規作圖過程： 已知等腰三角形底邊長為a,底邊上的高的長為h.
求作這個等腰三角形．
作法：（1）作線段AB=a.
（2）作線段AB的垂直平分線MN，交AB于點D．
（3）在MN上取一點C，使DC=h.
（4）連接AC，BC，則AC=BC，故△ABC就是求作的等腰三角形．此尺規作圖中判斷AC=BC的根據
是 .
【對應導練】
1．如圖，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°．請利用尺規作圖法在AC上求作一D，使得BD把△ABC分成兩個等腰三角形．（保留作圖痕跡，不寫作法）
2.如圖所示的正方形網格中，網格線的交點稱為格點，已知A、B是兩格點，如果C也是圖中的格點，且使得△ABC為等腰三角形，則點C的個數是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
二、題型訓練
1.利用等腰三角形的判定證明線段相等
1．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，CD是∠ACB的平分線，交AB于點D，過點A作AE∥BC，交CD的延長線于點E．求證：AE=DE．
2．已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，點E在CA的延長線上，EF∥AD．求證：AE=AF．
3．如圖，△ABC中，AD⊥BC，CE是△ABC的中線，DG垂直平分CE．
（1）求證：CD=AE；
（2）若∠DCE=25°，求∠B的度數．
2.利用等腰三角形的判定求角度
4．如圖，在△ABC中，AB=AC，點D、E、F分別在BC、AB、AC邊上，且BE=CF，BD=CE．
（1）求證：△DEF是等腰三角形；
（2）求證：∠B=∠DEF；
（3）當∠A=40°時，求∠DEF的度數．
5．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，將△ABC繞著點B逆時針旋轉得到△FBE，點C，A的對應點分別為E，F．點E落在BA上，連接AF．若∠BAC=22°，求∠AFE的度數．
6．如圖所示，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，點D在線段BC上運動（D不與B、C重合），連接AD，作∠ADE＝40°，DE交線段AC于點E．
（1）當∠BDA＝115°時，∠BAD＝ ；點D從B向C運動時，∠BDA逐漸變 （填“大”或“小”）．
（2）當DC的長為多少時，△ABD與△DCE全等？請說明理由．
（3）在點D的運動過程中，△ADE的形狀也在改變，請判斷當∠BDA等于多少度時，△ADE是等腰三角形．（直接寫出結論，不說明理由．）
3.利用等腰三角形的判定和性質判斷線段的數量關系
7．已知：如圖，E為△ABC的外角平分線上的一點，AE∥BC，BF=AE，求證：
（1）△ABC是等腰三角形；
（2）AF=CE．
8．如圖△ABC中，∠B，∠C的平分線交于點O，過O點作EF∥BC，交AB、AC于E、F，請寫出圖中線段EF與BE、CF間的數量關系，并說明理由．
三、課堂達標
一、選擇題(共8題，每小題4分，共32分)
1．下列條件中，可以判定△ABC是等腰三角形的是（　　）
A. ∠B=40°，∠C=80°
B. ∠A：∠B：∠C=1：2：3
C. 2∠A=∠B+∠C
D. 三個角的度數之比是2：2：1
2．如圖，坐標平面內一點A（3，-2），O為原點，P是x軸上的一個動點，如果以點P、O、A為頂點的三角形是等腰三角形，那么符合條件的動點P的個數為（　?。?br/>
A. 2 B. 3 C. 4 D. 1
3．如圖，每個小方格的邊長為1，A，B兩點都在小方格的頂點上，點C也是圖中小方格的頂點，并且△ABC是等腰三角形，那么點C的個數為（　?。?br/>A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=108°，AC的中垂線交BC于點D，交AC于點E，連接AD，∠ADB的角平分線交AB于點F則圖中等腰三角形的個數為（　?。?br/>A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
5．如圖，在△ABC中，∠ABC=45°，AC=8cm,F是高AD和BE的交點，則BF的長是（　　）
A. 4cm B. 6cm C. 8cm D. 9cm
6．如圖，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD=3cm,則CD等于（　　）
A. 3cm B. 4cm C. 1.5cm D. 2cm
7．如圖，△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN經過點O，與AB，AC相交于點M，N，且MN∥BC，已知△AMN的周長是18，則AB+AC=（　?。?br/>A. 9 B. 12 C. 15 D. 18
8．如圖，已知BP是∠ABC的平分線，AP⊥BP，若S△BPC=10cm2，則△ABC的面積等于（　?。?
A. 20cm2 B. 30cm2 C. 25cm2 D. 不能確定
二、填空題(共5題。每小題4分，共20分)
9．已知：如圖△ABC中，∠B=50°，∠C=90°，在射線BA上找一點D，使△ACD為等腰三角形，則∠ACD的度數為_____．
10．如圖，上午8時，一條船從海島A出發，以20nmile/h的速度向正北航行，10時到達海島B處．從海島A，B望燈塔C，測得∠NAC=42°，∠NBC=84°，則從海島B到燈塔C的距離 _____nmile.
11．如圖，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE是∠BAC的平分線，點E到AB的距離等于3cm，則CF=　 　cm.
12．下面是作等腰三角形的尺規作圖過程：
已知等腰三角形底邊長為a,底邊上的高的長為h.
求作這個等腰三角形．
作法：（1）作線段AB=a.
（2）作線段AB的垂直平分線MN，交AB于點D．
（3）在MN上取一點C，使DC=h.
（4）連接AC，BC，則AC=BC，故△ABC就是求作的等腰三角形．此尺規作圖中判斷AC=BC的根據是_____．
13．如圖所示，把一個直角三角尺ABC繞著60°角的頂點B順時針旋轉，使直角頂點C與AB的延長線上的點D重合．給出以下結論：①∠CBE=60°；②BE=CD；③△ACD是等腰三角形；④CD⊥BE；⑤A、C、E可能不共線．其中正確結論的序號是 _____．
三、解答題(共6題)
14．（6分）如圖，已知在△ABC中，AB=AC，D為△ABC內一點，∠ABD=∠ACD，試說明△DBC是等腰三角形．
15．（9分）在3×5的網格中，小正方形的頂點稱為格點，如圖，A，B是格點，畫等腰△ABC，使點C是格點，且分別滿足下列條件：
（1）AC=AB（畫在圖①中）；
（2）∠ACB=45°（畫在圖②中）；
（3）以AB為底且（畫在圖③中）．
16．（9分）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，點D在線段BC上運動（D不與B、C重合），連接AD，作∠ADE＝40°，DE交線段AC于E．
（1）當∠BDA＝115°時，∠BAD＝　　 °；點D從B向C運動時，∠BDA逐漸變　 ?。ㄌ睢按蟆被颉靶　保?br/>（2）當DC等于多少時，△ABD≌△DCE，請說明理由；
（3）在點D的運動過程中，△ADE的形狀也在改變，判斷當∠BDA等于多少度時，△ADE是等腰三角形．
17．（8分）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥DC，AC平分∠DAB，CB⊥AB，CE⊥AD交AD的延長線于點E．
（1）求證：△ACD是等腰三角形；
（2）連接BE，求證：AC垂直平分BE．
18．（8分）如圖，在6×6方格中，按下列要求畫三角形，使它的頂點均在方格的頂點上（小正方形的邊長為1）
（1）在圖甲中畫一個面積為8的等腰三角形；
（2）在圖乙中畫一個三角形與△ABC全等，且有一條公共邊．
19．（8分）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，E為CD的中點，連接AE、BE，BE⊥AE，延長AE交BC的延長線于F，
求證：（1）BE平分∠ABC
（2）AB=BC+AD
人教版八年級數學上名師點撥精練
第13章 軸對稱
13.3.1 等腰三角形的判定
學習目標
1.掌握等腰三角形的判定方法.
2.掌握等腰三角形的判定定理，并運用其進行證明和計算.
重點：理解和運用等腰三角形的判定定理.
難點：利用尺規作等腰三角形：已知底邊及底邊上的高作等腰三角形.
老師告訴你
構造等腰三角形的四種方法
用“角平分線+平行線”構造等腰三角形
用“角平分線+垂線”構造等腰三角形
用線段的垂直平分線構造等腰三角形
用三角形中角的二倍關系構造等腰三角形
知識點撥
2.知識點梳理
知識點1 等腰三角形的判定
判定方法
（1）等腰三角形的定義：如果一個三角形有兩邊相等，這個三角形是等腰三角形．
（2）判定定理：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等．【簡稱：等角對等邊】
說明：①等腰三角形是一個軸對稱圖形，它的定義既作為性質，又可作為判定辦法．
②等腰三角形的判定和性質互逆；
③在判定定理的證明中，可以作未來底邊的高線也可以作未來頂角的角平分線，但不能作未來底邊的中線；
④判定定理在同一個三角形中才能適用．
【新知導學】
例1-1．已知：如圖，中，是中點，垂足為，垂足為，且，求證：是等腰三角形
【答案】見解析
【解析】由是中點可得，再證明可得，然后根據等角對等邊可得即可證明結論．
解：∵是中點
∴
在和中
∴
∴
∴,即是等腰三角形．
【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質、等腰三角形的判定等知識點，證得是解答本題的關鍵．
【對應導練】
1．如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，點E在BC上，點F在AB的延長線上，連接AE，CF，且AE=CF，BF=BE．求證：△ABC是等腰三角形．
【解析】求出∠CBF=90°，根據全等三角形的判定定理推出Rt△ABE≌Rt△CBF，根據全等三角形的性質得出AB=CB，再根據等腰三角形的判定推出即可．
證明：∵∠ABC=90°，
∴∠CBF=180°-∠ABC=90°，
在Rt△ABE和Rt△CBF中
，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL），
∴AB=CB，
∴△ABC是等腰三角形．
2．如圖，在△ABC中，已知點D在線段AB的反向延長線上，過AC的中點F作線段GE交∠DAC的平分線于E，交BC于G，且AE∥BC．
（1）求證：△ABC是等腰三角形．
（2）若AE=8，AB=10，GC=2BG，求△ABC的周長．
【解析】（1）首先依據平行線的性質證明∠B=∠DAE，∠C=∠CAE，然后結合角平分線的定義可證明∠B=∠C，故此可證明△ABC為等腰三角形；
（2）首先證明△AEF≌△CFG，從而得到CG的長，然后可求得BC的長，于是可求得△ABC的周長．
證明：（1）∵AE∥BC，
∴∠B=∠DAE，∠C=∠CAE．
∵AE平分∠DAC，
∴∠DAE=∠CAE．
∴∠B=∠C．
∴AB=AC．
∴△ABC是等腰三角形．
（2）∵F是AC的中點，
∴AF=CF．
∵AE∥BC，
∴∠C=∠CAE．
由對頂角相等可知：∠AFE=∠GFC．
在△AFE和△CFG中，
∴△AFE≌△CFG．
∴AE=GC=8．
∵GC=2BG，
∴BG=4．
∴BC=12．
∴△ABC的周長=AB+AC+BC=10+10+12=32．
3．如圖，在△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90°，AC=BD，AC與BD相交于點O．
（1）求證：△ABC≌△DCB；
（2）△OBC是何種三角形？證明你的結論．
【解析】（1）根據已知條件，用HL公理證：Rt△ABC≌Rt△DCB；
（2）利用Rt△ABC≌Rt△DCB的對應角相等，即可證明△OBC是等腰三角形．
證明：（1）在△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90°
AC=BD，BC為公共邊，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）；
（2）△OBC是等腰三角形，
∵Rt△ABC≌Rt△DCB，
∴∠ACB=∠DBC，
∴OB=OC，
∴△OBC是等腰三角形．
4．如圖：△ABC的邊AB的延長線上有一個點D，過點D作DF⊥AC于F，交BC于E，且BD=BE，求證：△ABC為等腰三角形．
【解析】要證△ABC為等腰三角形，須證∠A=∠C，而由題中已知條件，DF⊥AC，BD=BE，因此，可以通過角的加減求得∠A與∠C相等，從而判斷△ABC為等腰三角形．
證明：∵DF⊥AC，
∴∠DFA=∠EFC=90°．
∴∠A=∠DFA-∠D，∠C=∠EFC-∠CEF，
∵BD=BE，
∴∠BED=∠D．
∵∠BED=∠CEF，
∴∠D=∠CEF．
∴∠A=∠C．
∴△ABC為等腰三角形．
知識點2 等腰三角形性質判定綜合
解題技巧提煉
等腰三角形提供了好多相等的線段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是證明線段相等、角相等的重要手段．
解決與等腰三角形相關的探究題時，主要是綜合運用等腰三角形的性質和判定，有時會用到分類討論的思想來解決問題.
【新知導學】
例2-1．如圖，在等腰△ABC中，AB=AC，D為底邊BC延長線上任意一點，過點D作DE//AB，與AC的延長線交于點E．求證：△CDE是等腰三角形．
【解析】根據等腰三角形的性質得到AB=AC，求得∠ABC=∠ACB，根據平行線的性質得到∠ABC=∠CDE，于是得到結論．
證明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵DE∥AB，
∴∠ABC=∠CDE，
∵∠DCE=∠ACB，
∴∠DCE=∠CDE，
∴△CDE是等腰三角形．
【對應導練】
1．如圖，在△ABC中，AB=AC，點D是邊BC上的一點，且BD=AD，DC=AC，請指出圖中的等腰三角形，并求∠B的度數．
【解析】利用等腰三角形的判定可證明△ABD、△ABC、△ACD都是等腰三角形，在△ADC中利用三角形內角和定理可求得∠B．
解：
∵AB=AC，BD=AD，DC=AC，
∴△ABD、△ABC、△ACD都是等腰三角形，
∵AB=AC，
∴∠C=∠B，
∴AD=BD，
∴∠ADC=2∠B，
∵CA=CD，
∴∠ADC=∠CAD=2∠B，
在△ACD中，由三角形內角和可得5∠B=180°，
解得∠B=36°．
2．如圖，∠ACB=90°，AC=AD，DE⊥AB．求證：CE=DE．
【解析】根據垂直定義求出∠ADE=∠ACB，根據等腰三角形的性質得出∠ACD=∠ADC，根據角的和差求出∠ECD=∠EDC，根據等腰三角形的判定即可得解．
證明：∵DE⊥AB，
∴∠ADE=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ADE=∠ACB，
∵AC=AD，
∴∠ACD=∠ADC，
∴∠ECD=∠EDC，
∴CE=DE．
3．已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，點E在CA的延長線上，EF∥AD．求證：AE=AF．
【解析】根據等腰三角形的性質可得出∠B=∠C，由ED⊥BC得出∠B+∠BAD=90°，∠C+∠DAC=90°，即可得出∠BAD=∠DAC，根據”兩直線平行同位角相等“和”兩直線平行內多角相等“可得出∠BAD=∠AFE，∠E=∠DAC，從而得出∠E=∠AFE，即可得出AE=AF．
證明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵ED⊥BC，
∴∠BDF=∠CDF=90°，
∴∠B+∠BAD=90°，∠C+∠DAC=90°，
∴∠BAD=∠DAC，
∵EF∥AD，
∴∠BAD=∠AFE，∠DAC=∠E，
∴∠E=∠AFE，
∴AE=AF．
4．在△ABC中，∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC，交AC于D，AE⊥BD，垂足為E．求證：AC=2BE．
【解析】首先過點A作AF∥BC，交BD的延長線于點F，由在△ABC中，∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC，易證得△ADF，△ABF，△DBC是等腰三角形，又由三線合一，可證得BF=2BE，即可證得AC=2BE．
證明：過點A作AF∥BC，交BD的延長線于點F，
∴∠F=∠DBC，∠FAD=∠C，
∵∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=∠C，
∴∠F=∠FAD=∠ABD，BD=CD，
∴AD=DF，AB=AF，
∵AE⊥BD，
∴BE=EF=BF，
∵AC=AD+CD=DF+BD=BF，
∴AC=2BE．
知識點3 作等腰三角形
復雜作圖是在五種基本作圖的基礎上進行作圖，一般是結合了幾何圖形的性質和基本作圖方法．解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．
【新知導學】
例3-1．下面是作等腰三角形的尺規作圖過程： 已知等腰三角形底邊長為a,底邊上的高的長為h.
求作這個等腰三角形．
作法：（1）作線段AB=a.
（2）作線段AB的垂直平分線MN，交AB于點D．
（3）在MN上取一點C，使DC=h.
（4）連接AC，BC，則AC=BC，故△ABC就是求作的等腰三角形．此尺規作圖中判斷AC=BC的根據
是 .
【分析】根據線段垂直平分線的性質解決問題．
【解答】解：由作法得MN垂直平分AB， 根據線段垂直平分線的性質得CA=CB．
故答案為：線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等．
【點評】本題考查了作圖-復雜作圖：復雜作圖是在五種基本作圖的基礎上進行作圖，一般是結合了幾何圖形的性質和基本作圖方法．解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．
【對應導練】
1．如圖，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°．請利用尺規作圖法在AC上求作一D，使得BD把△ABC分成兩個等腰三角形．（保留作圖痕跡，不寫作法）
【答案】見解析
【分析】作∠ABC的角平分線BD交AC于點D，線段BD即為所求作．
【詳解】解：如圖，線段BD即為所求作．
【點睛】本題考查尺規作圖-作等腰三角形．掌握角平分線的定義以及尺規作角平分線是解答本題的關鍵．
2.如圖所示的正方形網格中，網格線的交點稱為格點，已知A、B是兩格點，如果C也是圖中的格點，且使得△ABC為等腰三角形，則點C的個數是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【分析】根據題意，結合圖形，分兩種情況討論：①AB為等腰△ABC底邊；②AB為等腰△ABC其中的一條腰．
【詳解】解：如圖，C為格點，為等腰三角形，
①AB為等腰△ABC底邊時，符合條件的C點有4個（包括兩個等腰直角三角形）；
②AB為等腰△ABC其中的一條腰時，符合條件的C點有4個．
綜上：這樣的點C有8個，
故選D
【點睛】本題考查了等腰三角形的判定；解答本題關鍵是根據題意，畫出符合實際條件的圖形，分類討論，數形結合的思想是解題的關鍵．
二、題型訓練
1.利用等腰三角形的判定證明線段相等
1．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，CD是∠ACB的平分線，交AB于點D，過點A作AE∥BC，交CD的延長線于點E．求證：AE=DE．
【解析】根據等腰三角形性質和三角形內角和定理求出∠B=∠ACB=72°，根據角平分線定義求出∠DCB，根據平行線求出∠EAB=72°，根據三角形內角和定理求出∠ADE=72°，根據等腰三角形的判定即可得出答案．
證明：∵AB=AC，∠BAC=36°，
∴∠B=∠ACB=（180°-∠BAC）=72°，
∵CD是∠ACB的平分線，
∴∠DCB=∠ACB=36°，
∵AE∥BC，
∴∠EAB=∠B=72°，
∵∠B=72°，∠DCB=36°，
∴∠ADE=∠BDC=180°-72°-36°=72°，
∴∠EAD=∠ADE，
∴AE=DE．
2．已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，點E在CA的延長線上，EF∥AD．求證：AE=AF．
【解析】根據等腰三角形的性質可得出∠B=∠C，由ED⊥BC得出∠B+∠BAD=90°，∠C+∠DAC=90°，即可得出∠BAD=∠DAC，根據”兩直線平行同位角相等“和”兩直線平行內多角相等“可得出∠BAD=∠AFE，∠E=∠DAC，從而得出∠E=∠AFE，即可得出AE=AF．
證明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵ED⊥BC，
∴∠BDF=∠CDF=90°，
∴∠B+∠BAD=90°，∠C+∠DAC=90°，
∴∠BAD=∠DAC，
∵EF∥AD，
∴∠BAD=∠AFE，∠DAC=∠E，
∴∠E=∠AFE，
∴AE=AF．
3．如圖，△ABC中，AD⊥BC，CE是△ABC的中線，DG垂直平分CE．
（1）求證：CD=AE；
（2）若∠DCE=25°，求∠B的度數．
【解析】（1）由直角三角形斜邊上的中線可得，利用線段垂直平分線的性質可得DE=DC，進而可證明結論；
（2）由等腰三角形的性質及三角形外角的性質可得∠B=∠EDB=2∠BCE=50°．
（1）證明：∵AD⊥BC，CE是△ABC的中線，
∴，
∵DG垂直平分CE，
∴DE=DC，
∴CD=AE；
（2）解：∵DE=DC，
∴∠DEC=∠BCE，
∴∠EDB=∠BCE+∠DEC=2∠BCE=50°，
∵DE=BE，
∴∠B=∠EDB，
∵∠BCE=25°，
∴∠B=50°．
2.利用等腰三角形的判定求角度
4．如圖，在△ABC中，AB=AC，點D、E、F分別在BC、AB、AC邊上，且BE=CF，BD=CE．
（1）求證：△DEF是等腰三角形；
（2）求證：∠B=∠DEF；
（3）當∠A=40°時，求∠DEF的度數．
【解析】（1）首先根據條件證明△DBE≌△ECF，根據全等三角形的性質可得DE=FE，進而可得到△DEF是等腰三角形；
（2）根據△BDE≌△CEF，可知∠FEC=∠BDE，∠DEF=180°-∠BED-∠FEC=180°-∠DEB-∠EDB=∠B即可得出結論；
（3）由（2）知∠DEF=∠B，再根據等腰三角形的性質即可得出∠DEF的度數．
（1）證明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△DBE和△ECF中，，
∴△DBE≌△ECF，
∴DE=FE，
∴△DEF是等腰三角形；
（2）∵△BDE≌△CEF，
∴∠FEC=∠BDE，
∴∠DEF=180°-∠BED-∠FEC=180°-∠DEB-∠EDB=∠B
（3）∵由（2）知△BDE≌△CEF，
∴∠BDE=∠CEF，
∴∠CEF+∠DEF=∠BDE+∠B，
∴∠DEF=∠B，
∴AB=AC，∠A=40°，
∴∠DEF=∠B==70°．
5．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，將△ABC繞著點B逆時針旋轉得到△FBE，點C，A的對應點分別為E，F．點E落在BA上，連接AF．若∠BAC=22°，求∠AFE的度數．
【解析】根據旋轉的性質，推出∠BFE=22°，∠EBF=68°，△BAF是等腰三角形，進而求出∠BFA的度數，利用∠BFA-∠BFE即可求出∠AFE的度數．
解：如圖：
∵△ACB旋轉90°得到△FEB，
∴∠C=∠BEF，∠CAB=∠EFB，∠CBA=∠EBF，AB=BF，
∵∠C=90°，
∴∠BAC+∠CBA=90°，
∵∠BAC=22°，
∴∠CBA=68°，
∴∠BFE=22°，∠EBF=68°，
∵AB=BF，
∴∠BAF=∠BFA，
∵∠ABF=68°，
∴，
∴∠AFE=∠BFA-∠BFE=56°-22°=34°．
6．如圖所示，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，點D在線段BC上運動（D不與B、C重合），連接AD，作∠ADE＝40°，DE交線段AC于點E．
（1）當∠BDA＝115°時，∠BAD＝ ；點D從B向C運動時，∠BDA逐漸變 （填“大”或“小”）．
（2）當DC的長為多少時，△ABD與△DCE全等？請說明理由．
（3）在點D的運動過程中，△ADE的形狀也在改變，請判斷當∠BDA等于多少度時，△ADE是等腰三角形．（直接寫出結論，不說明理由．）
【答案】（1）25°；??；
（2）DC=2，理由見解答過程；
（3）110°或80°．
【解析】（1）根據三角形內角和定理計算求出∠BAD，根據點D從點B向點C運動可以得出∠BDA逐漸變?。?br/>（2）當DC=2時，AB=DC，根據∠DEC+∠EDC=140°，∠ADB+∠EDC=140°，得到∠ADB=∠DEC，利用AAS定理證明△ABD≌△DCE即可；
（3）分DA=DE、AE=AD、EA=ED三種情況，根據等腰三角形的性質、三角形內角和定理計算．
【小問1詳解】
解：∵∠B=40°，∠BDA=115°，
∴∠BAD=180°-∠B-∠BDA=180°-115°-40°=25°，
由圖形可知，∠BDA逐漸變小，
故答案為：25°；小；
【小問2詳解】
當DC=2時，△ABD≌△DCE，
理由如下：∵AB=2，
∴AB=DC，
∵AB=AC，
∴∠C=∠B=40°，
∴∠DEC+∠EDC=140°，
∵∠ADE=40°，
∴∠ADB+∠EDC=140°，
∴∠ADB=∠DEC，
在△ABD和△DCE中，
∴△ABD≌△DCE（AAS）；
【小問3詳解】
當∠BDA的度數為110°或80°時，△ADE是等腰三角形，理由如下：
當DA=DE時，∠DAE=∠DEA=70°，
∴∠BDA=∠DAE+∠C=70°+40°=110°；
當AD=AE時，∠AED=∠ADE=40°，
∴∠DAE=100°，
此時，點D與點B重合，不合題意；
當EA=ED時，∠EAD=∠ADE=40°，
∴∠BDA=∠DAE+∠C=40°+40°=80°，
綜上所述，當∠BDA的度數為110°或80°時，△ADE是等腰三角形．
【點睛】本題考查的是等腰三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、三角形外角的性質，掌握全等三角形的判定定理和性質定理、靈活運用分情況討論思想是解題的關鍵．
3.利用等腰三角形的判定和性質判斷線段的數量關系
7．已知：如圖，E為△ABC的外角平分線上的一點，AE∥BC，BF=AE，求證：
（1）△ABC是等腰三角形；
（2）AF=CE．
【解析】（1）根據平行線的性質可得∠DAE=∠B，∠EAC=∠ACB，再根據等角對等邊可得結論；
（2）利用“SAS”證明△ABF≌△CAE，根據全等三角形的性質可得結論．
證明：（1）∵AE∥BC，
∴∠DAE=∠B，∠EAC=∠ACB，
∵E為△ABC的外角平分線上的一點，
∴∠DAE=∠EAC，
∴∠B=∠ACB，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）在△ABF和△CAE中，
，
∴△ABF≌△CAE（SAS），
∴AF=CE．
8．如圖△ABC中，∠B，∠C的平分線交于點O，過O點作EF∥BC，交AB、AC于E、F，請寫出圖中線段EF與BE、CF間的數量關系，并說明理由．
【解析】先根據兩直線平行內錯角相等及角平分線定義，得到∠OBE=∠EOB，根據等角對等邊得到EO=BE，同理OF=FC，所以EF=EO+OF=BE+CF．
解：EF=BE+CF，
理由如下：
∵BO平分∠ABC，
∴∠EBO=∠OBC，
∵EF∥BC，
∴∠OBC=∠EOB，
∴∠EBO=∠EOB，
∴EO=BE，
同理可得OF=FC，
∴EO+OF=BE+FC，
即EF=BE+CF．
三、課堂達標
一、選擇題(共8題，每小題4分，共32分)
1．下列條件中，可以判定△ABC是等腰三角形的是（　　）
A. ∠B=40°，∠C=80°
B. ∠A：∠B：∠C=1：2：3
C. 2∠A=∠B+∠C
D. 三個角的度數之比是2：2：1
【答案】D
【解析】根據選項中△ABC三個角的關系，利用三角形的內角和定理可分別求出△ABC三個角的度數，進而根據等腰三角形的判定可得出答案．
解：對于選項A，
∵∠B=40°，∠C=80°
∴∠A=180°-（∠B+∠C）=60°，
故選項A不能判定△ABC為等腰三角形；
對于選項B，
∵∠A：∠B：∠C=1：2：3，
可設∠A=k,∠B=2k,∠C=3k,
又∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴k+2k+3k=180°，
解得：k=30°，
∴∠A=k=30°，∠B=2k=60°，∠C=3k=90°，
故選項B不能判定△ABC為等腰三角形；
對于選項C，
∵2∠A=∠B+∠C，
又∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴3∠A=180°，
解得：∠A=60°，
此時不能確定∠B和∠C的度數，無法判定△ABC的形狀，
故選項C不能判定△ABC為等腰三角形；
對于選項D，
∵三個角的度數之比是2：2：1，
不妨假設∠A：∠B：∠C=2：2：1，
可設∠A=2k,∠B=2k,∠C=k,
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴2k+2k+2=180°，
解得：k=36°，
∴∠A=2k=72°，∠B=2k=72°，∠C=k=36°，
∵∠A=∠B，
∴△ABC為等腰三角形，
故選項D可以判定△ABC為等腰三角形．
故選：D．
2．如圖，坐標平面內一點A（3，-2），O為原點，P是x軸上的一個動點，如果以點P、O、A為頂點的三角形是等腰三角形，那么符合條件的動點P的個數為（　?。?br/>
A. 2 B. 3 C. 4 D. 1
【答案】C
【解析】根據題意，結合圖形，分兩種情況討論：①OA為等腰三角形底邊；②OA為等腰三角形一條腰．
解：如圖：①OA為等腰三角形底邊，符合條件的動點P有一個；
②OA為等腰三角形一條腰，符合條件的動點P有三個．
綜上所述，符合條件的點P的個數共4個．
故選：C．
3．如圖，每個小方格的邊長為1，A，B兩點都在小方格的頂點上，點C也是圖中小方格的頂點，并且△ABC是等腰三角形，那么點C的個數為（　?。?br/>A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】根據“兩圓一線”畫圖找點即可．
解：如圖，C點與P、Q、R重合時，均滿足△ABC是等腰三角形，
故選：C．
4．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=108°，AC的中垂線交BC于點D，交AC于點E，連接AD，∠ADB的角平分線交AB于點F則圖中等腰三角形的個數為（　?。?br/>A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
【答案】B
【解析】由等腰三角形的判定可得答案．
解：∵AB=AC，∠BAC=108°，
∴∠B=∠C=36°，△ABC是等腰三角形，
∵DE是AC的中垂線，
∴AD=CD，△ADC是等腰三角形，
∴∠DAC=∠C=36°，∠BAD=108°-36°=72°，
∵∠B=36°，
∴∠BDA=180°-36°-72°=72°，
∴∠BAD=∠BDA，△ABD是等腰三角形，
∵DF平分∠ADB，∠ADB=72°，
∴∠BDF=∠ADF=36°，
∴△ADF和△BDF是等腰三角形．
故選：B．
5．如圖，在△ABC中，∠ABC=45°，AC=8cm,F是高AD和BE的交點，則BF的長是（　?。?br/>A. 4cm B. 6cm C. 8cm D. 9cm
【答案】C
【解析】求出∠FBD=∠CAD，AD=BD，證△DBF≌△DAC，推出BF=AC，代入求出即可．
解：∵F是高AD和BE的交點，
∴∠ADC=∠ADB=∠AEF=90°，
∴∠CAD+∠AFE=90°，∠DBF+∠BFD=90°，
∵∠AFE=∠BFD，
∴∠CAD=∠FBD，
∵∠ADB=90°，∠ABC=45°，
∴∠BAD=45°=∠ABD，
∴AD=BD，
在△DBF和△DAC中
∴△DBF≌△DAC（ASA），
∴BF=AC=8cm,
故選：C．
6．如圖，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD=3cm,則CD等于（　?。?br/>A. 3cm B. 4cm C. 1.5cm D. 2cm
【答案】A
【解析】根據題意，可得∠AOC=∠BOC，又因為CD∥OB，求得∠C=∠AOC，則CD=OD可求．
解：∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠BOC；
又∵CD∥OB，
∴∠C=BOC，
∴∠C=∠AOC；
∴CD=OD=3cm.
故選：A．
7．如圖，△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN經過點O，與AB，AC相交于點M，N，且MN∥BC，已知△AMN的周長是18，則AB+AC=（　?。?br/>A. 9 B. 12 C. 15 D. 18
【答案】D
【解析】由角平分線定義得到∠MBO=∠OBC，由平行線的性質推出∠MOB=∠OBC，得到∠MBO=∠MOB，推出MO=MB，同理ON=NC，即可得到MN=MB+NC因此△AMN的周長=AM+AN+MN=AB+AC，據此求解即可．
解：∵BO平分∠ABC，
∴∠MBO=∠OBC，
∵MN∥BC，
∴∠MOB=∠OBC，
∴∠MBO=∠MOB，
∴MO=MB，
同理ON=NC，
∴OM+ON=MB+NC，
∴MN=MB+NC，
∴△AMN的周長=AM+AN+MN=AM+AN+MB+NC=AB+AC，
∵△AMN的周長是18，
∴AB+AC=18，
故選：D．
8．如圖，已知BP是∠ABC的平分線，AP⊥BP，若S△BPC=10cm2，則△ABC的面積等于（　　）
A. 20cm2 B. 30cm2 C. 25cm2 D. 不能確定
【答案】A
【解析】先延長AP交BC于點D，根據已知條件證明△BAP≌△BDP，從而證出AP=PD，根據等底同高面積相等，得到△APC的面積=△DPC的面積，最后根據△BPC的面積是12cm2，求出答案即可．
解：如圖所示：延長AP交BC于點D，
∵BP是∠ABC的平分線，
∴∠ABP=∠DBP，
∵AP⊥BP，
∴∠APB=∠DPB=90°，
∵BP=BP，
∴△BAP≌△BDP（ASA），
∴AP=DP，
∴△APC的面積=△DPC的面積，
∵△BPC的面積=10（cm2），
∴△BPD的面積+△CPD的面積=10（cm2），
∴△ABP的面積+△APC的面積=10（cm2），
∴△ABC的面積=△BPD的面積+△CPD的面積+△ABP的面積+△APC的面積=20（cm2），
故選：A．
二、填空題(共5題。每小題4分，共20分)
9．已知：如圖△ABC中，∠B=50°，∠C=90°，在射線BA上找一點D，使△ACD為等腰三角形，則∠ACD的度數為_____．
【答案】70°或40°或20°
【解析】分三種情形分別求解即可；
解：如圖，有三種情形：
①當AC=AD時，∠ACD=70°．
②當CD′=AD′時，∠ACD′=40°．
③當AC=AD″時，∠ACD″=20°，
故答案為70°或40°或20°
10．如圖，上午8時，一條船從海島A出發，以20nmile/h的速度向正北航行，10時到達海島B處．從海島A，B望燈塔C，測得∠NAC=42°，∠NBC=84°，則從海島B到燈塔C的距離 _____nmile.
【答案】40
【解析】根據題意可得：AB=40海里，然后利用三角形的外角性質進行計算可得：∠ACB=∠NAC=42°，從而利用等角對等邊可得AB=BC=40海里，即可解答．
解：由題意得：AB=（10-8）×20=40（海里），
∵∠NBC是△ABC的一個外角，∠NAC=42°，∠NBC=84°，
∴∠ACB=∠NBC-∠NAC=42°，
∴∠ACB=∠NAC=42°，
∴AB=BC=40海里，
∴從海島B到燈塔C的距離40海里，
故答案為：40．
11．如圖，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE是∠BAC的平分線，點E到AB的距離等于3cm，則CF=　 　cm.
【答案】3
【知識點】角平分線的性質；等腰三角形的判定與性質
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB于點D，AE是∠BAC的平分線，
∴CE=點E到AB的距離=3cm，∠BAE=∠CAE，
∵∠AEC+∠CAE=90°，∠AFD+∠BAE=90°，
∴∠AEC=∠AFD，
∵∠CFE=∠AFD，
∴∠CEF=∠CFE，
∴CF=CE=3cm．
故答案為：3．
【分析】利用角平分線上的點到角兩邊的距離相等，就可證得CE=點E到AB的距離=3cm，再證明∠CEF=∠CFE，就可得出CE=CF，就可得到CF的長。
12．下面是作等腰三角形的尺規作圖過程：
已知等腰三角形底邊長為a,底邊上的高的長為h.
求作這個等腰三角形．
作法：（1）作線段AB=a.
（2）作線段AB的垂直平分線MN，交AB于點D．
（3）在MN上取一點C，使DC=h.
（4）連接AC，BC，則AC=BC，故△ABC就是求作的等腰三角形．此尺規作圖中判斷AC=BC的根據是_____．
【答案】線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等
【解析】根據線段垂直平分線的性質解決問題．
解：由作法得MN垂直平分AB，
根據線段垂直平分線的性質得CA=CB．
故答案為：線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等．
13．如圖所示，把一個直角三角尺ABC繞著60°角的頂點B順時針旋轉，使直角頂點C與AB的延長線上的點D重合．給出以下結論：①∠CBE=60°；②BE=CD；③△ACD是等腰三角形；④CD⊥BE；⑤A、C、E可能不共線．其中正確結論的序號是 _____．
【答案】①③④
【解析】依據旋轉的性質以及等腰三角形的性質進行推算，即可得出正確的結論．
解：把一個直角三角尺ABC繞著60°角的頂點B順時針旋轉，使直角頂點C與AB的延長線上的點D重合，
∴∠ABC=60°=∠DBE，∠ABD=180°，
∴∠CBE=180°-2×60°=60°，故①正確；
由旋轉可得，BC=BD，
∴∠ADC=∠ABC=30°=∠A，
∴CD=AC＜AB，故③正確；
又∵BE=AB，
∴CD＜BE，故②錯誤；
∵BC=BD，∠BDE=∠CBE，
∴BE⊥CD（三線合一），故④正確；
如圖所示，連接CE，
∵CD=AC=DE，∠CDE=90°-30°=60°，
∴△CDE是等邊三角形，
∴∠DCE=60°，
∴∠ACE=120°+60°=180°，
∴A、C、E三點共線，故⑤錯誤；
故答案為：①③④．
三、解答題(共6題)
14．（6分）如圖，已知在△ABC中，AB=AC，D為△ABC內一點，∠ABD=∠ACD，試說明△DBC是等腰三角形．
【解析】根據等腰三角形的性質得到∠ABC=∠ACB，根據角的和差得出∠DBC=∠DCB，即可根據“等角對等邊”得解．
解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠ABD=∠ACD，
∴∠ABC-∠ABD=∠ACB-∠ACD，
即∠DBC=∠DCB，
∴BD=CD，
∴△DBC是等腰三角形．
15．（9分）在3×5的網格中，小正方形的頂點稱為格點，如圖，A，B是格點，畫等腰△ABC，使點C是格點，且分別滿足下列條件：
（1）AC=AB（畫在圖①中）；
（2）∠ACB=45°（畫在圖②中）；
（3）以AB為底且（畫在圖③中）．
【解析】（1）根據要求畫出圖形即可；
（2）作等腰直角三角形ABC即可（AB=BC，∠ABC=90°）；
（3）構造腰長為5的等腰三角形即可．
解：（1）如圖①中，△ABC即為所求；
（2）解：如圖②中，△ABC即為所求；
（3）解：如圖③中，△ABC即為所求．
16．（9分）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，點D在線段BC上運動（D不與B、C重合），連接AD，作∠ADE＝40°，DE交線段AC于E．
（1）當∠BDA＝115°時，∠BAD＝　　 °；點D從B向C運動時，∠BDA逐漸變　 　（填“大”或“小”）；
（2）當DC等于多少時，△ABD≌△DCE，請說明理由；
（3）在點D的運動過程中，△ADE的形狀也在改變，判斷當∠BDA等于多少度時，△ADE是等腰三角形．
【分析】（1）根據三角形內角和定理，將已知數值代入即可求出∠BAD，根據點D的運動方向可判定∠BDA的變化情況．
（2）假設△ABD≌△DCE，利用全等三角形的對應邊相等得出AB＝DC＝2，即可求得答案．
（3）假設△ADE是等腰三角形，分為三種情況：①當AD＝AE時，∠ADE＝∠AED＝40°，根據∠AED＞∠C，得出此時不符合；②當DA＝DE時，求出∠DAE＝∠DEA＝70°，求出∠BAC，根據三角形的內角和定理求出∠BAD，根據三角形的內角和定理求出∠BDA即可；③當EA＝ED時，求出∠DAC，求出∠BAD，根據三角形的內角和定理求出∠ADB．
【解答】解：（1）∠BAD＝180°﹣∠ABD﹣∠BDA＝180°﹣40°﹣115°＝25°；
從圖中可以得知，點D從B向C運動時，∠BDA逐漸變小；
故答案為：25°；小．
（2∵∠EDC+∠EDA＝∠DAB+∠B，∠B＝∠EDA＝40°，
∴∠EDC＝∠DAB．，
∵∠B＝∠C，
∴當DC＝AB＝2時，△ABD≌△DCE，
（3）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝40°，
①當AD＝AE時，∠ADE＝∠AED＝40°，
∵∠AED＞∠C，
∴此時不符合；
②當DA＝DE時，即∠DAE＝∠DEA（180°﹣40°）＝70°，
∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴∠BAD＝100°﹣70°＝30°；
∴∠BDA＝180°﹣30°﹣40°＝110°；
③當EA＝ED時，∠ADE＝∠DAE＝40°，
∴∠BAD＝100°﹣40°＝60°，
∴∠BDA＝180°﹣60°﹣40°＝80°；
∴當∠ADB＝110°或80°時，△ADE是等腰三角形．
【點評】此題主要考查學生對等腰三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，三角形外角的性質等知識點的理解和掌握，此題涉及到的知識點較多，綜合性較強．
17．（8分）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥DC，AC平分∠DAB，CB⊥AB，CE⊥AD交AD的延長線于點E．
（1）求證：△ACD是等腰三角形；
（2）連接BE，求證：AC垂直平分BE．
【解析】（1）根據平行線的性質和角平分線的定義求出∠DCA=∠DAC，由等腰三角形的判定可得結論成立；
（2）證明Rt△CEA≌Rt△CBA，根據全等三角形的性質得到AE=AB，根據線段垂直平分線的判定即可得到AC垂直平分BE．
證明：（1）∵AB∥DC，
∴∠DCA=∠CAB，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAB，
∴∠DCA=∠DAC，
∴DA=DC，
∴△ACD是等腰三角形；
（2）∵AC是∠EAB的平分線，CE⊥AE，CB⊥AB，
∴CE=CB，∠CEA=∠CBA=90°，
又∵AC=AC，
∴Rt△CEA≌Rt△CBA（HL），
∴AE=AB，
∴點A、點C在線段BE的垂直平分線上，
∴AC垂直平分BE．
18．（8分）如圖，在6×6方格中，按下列要求畫三角形，使它的頂點均在方格的頂點上（小正方形的邊長為1）
（1）在圖甲中畫一個面積為8的等腰三角形；
（2）在圖乙中畫一個三角形與△ABC全等，且有一條公共邊．
【解析】（1）在圖甲中畫一個面積為8的等腰三角形；
（2）在圖乙中畫一個以BC為公共邊的三角形與△ABC全等．
解：（1）如圖甲中，△ABC即為所求（答案不唯一）；
（2）如圖乙中，△CBE即為所求（答案不唯一）．
19．（8分）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，E為CD的中點，連接AE、BE，BE⊥AE，延長AE交BC的延長線于F，
求證：（1）BE平分∠ABC
（2）AB=BC+AD
【解析】（1）證明△ADE≌△FCE 得AE=FE，再由垂直平分線的性質得BA=BF，最后由等腰三角形的三線合一定理得結論；
（2）由全等三角形得AD=CF，再BA=BF，得結論．
解：（1）∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠F，∠D=∠ECF，
∵E為CD中點，
∴DE=CE，
在△ADE和△FCE中，
，
∴△ADE≌△FCE （AAS），
∴AE=EF，
又∵BE⊥AE，
∴BA=BF，
∴BE平分∠ABC；
（2）由（1）知 AB=BF，
∵BF=BC+CF，
∴AB=BC+CF，
∵△ADE≌△FCE，
∵AD=CF，
∴AB=BC+AD．
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