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人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上名師點(diǎn)撥精練
第13章 軸對(duì)稱(chēng)
13.3.1 等腰三角形性質(zhì)
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.理解并掌握等腰三角形的性質(zhì).
2.經(jīng)歷等腰三角形的性質(zhì)的探究過(guò)程，能初步運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)解決有關(guān)問(wèn)題.
重點(diǎn)：1.等腰三角形的概念及性質(zhì)；2.等腰三角形性質(zhì)的應(yīng)用.
難點(diǎn)：等腰三角形三線合一的性質(zhì)的理解及其應(yīng)用.
老師告訴你
等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)包含三層含義：（1）已知等腰三角形底邊上的中線、則它平分頂角、垂直于底邊；（2）已知等腰三角形頂角的平分線，則它垂直平分底邊；（3）已知等腰三角形底邊上的高，則它平分底邊、平分頂角。
等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)的作用：常常可以用來(lái)證明角相等、線段相等、線段垂直。
知識(shí)點(diǎn)撥
知識(shí)點(diǎn)1 等腰三角形邊角性質(zhì)
1 .等腰三角形
定義：有兩邊相等的三角形，叫做等腰三角形.
2.等腰三角形邊角性質(zhì)
等腰三角形的兩個(gè)底角相等(簡(jiǎn)寫(xiě)“等邊對(duì)等角”).
★用符號(hào)語(yǔ)言表示為：
在△ABC中，
∵ AB=AC（已知），
∴ ∠B＝∠C （等邊對(duì)等角）.
【新知導(dǎo)學(xué)】
例1-1．等腰三角形的一個(gè)角是80°，則它的頂角的度數(shù)是( )
A.80° B.80°或20° C.80°或50° D.20°
【對(duì)應(yīng)導(dǎo)練】
1．如圖，在中，D為BC邊上一點(diǎn)，，，則的度數(shù)為( )
A. B. C. D.
2．已知：如圖，在中，，，，垂足分別為D、E，與交于點(diǎn)O.
發(fā)現(xiàn)：與有何數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由；
探索：判斷的形狀，并說(shuō)明理由；
拓展：連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)F，請(qǐng)你直接寫(xiě)出一條關(guān)于的結(jié)論.
3．等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為36°，則該等腰三角形的底角的度數(shù)為_(kāi)____________.
答案：63°或27°
4．已知等腰三角形的一個(gè)外角為130°，則它的頂角的度數(shù)為_(kāi)__________.
知識(shí)點(diǎn)2：等腰三角形的軸對(duì)稱(chēng)性
等腰三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)稱(chēng)軸為頂角平分線（或底邊上的高或底邊上的中線）所在的直線.
等腰三角形底邊上的高線、中線及頂角平分線重合.
★用符號(hào)語(yǔ)言表示為：
在△ABC中，
（1）∵AB=AC, ∠1=∠2(已知)，
∴BD=CD , AD⊥BC（等腰三角形三線合一）.
（2）∵AB=AC , BD=CD (已知)，
∴∠1=∠2 , AD⊥BC（等腰三角形三線合一）.
（3）∵AB=AC , AD⊥BC(已知)，
∴BD=CD, ∠1=∠2（等腰三角形三線合一）.
★在①等腰；②底邊上的高；③底邊上的中線；④頂角平分線．以上四個(gè)元素中，從中任意取出兩個(gè)元素當(dāng)成條件，就可以得到另外兩個(gè)元素為結(jié)論．
【新知導(dǎo)學(xué)】
例2-1 .如圖，在中，，是的中點(diǎn)，于．求證：．
【對(duì)應(yīng)導(dǎo)練】
1．如圖，在等腰三角形ABC中，，AD為BC邊上的中線，E為AD上一點(diǎn)，試說(shuō)明：.
2．如圖,在中,已知是上一點(diǎn),.求證:
(1);
(2).
3．如圖，在等腰三角形中，，為邊上中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交于，交于，若，則的長(zhǎng)為 （ ）
A．3 B．6 C．9 D．18
4．如圖，在等腰中，，，的平分線與的垂直平分線交于點(diǎn)O，點(diǎn)C沿折疊后與點(diǎn)O重合，則的度數(shù)是 .
二、題型訓(xùn)練
1.利用等腰三角形性質(zhì)證明角相等
1．如圖，∠A=∠D=90°，AB=DC，AC與DB交于點(diǎn)E，F(xiàn)是BC中點(diǎn)．求證：∠BEF=∠CEF．
2．如圖，在△ABC中，BE⊥AC于點(diǎn)E，BC的垂直平分線分別交AB、BE于點(diǎn)D、G，垂足為H，CD⊥AB，CD交BE于點(diǎn)F．
（1）試說(shuō)明：△BDF≌△CDA；
（2）若DF＝DG，則：
①BE平分∠ABC嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；
②線段BF與CE有何數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)說(shuō)明理由．
3．已知：如圖，AB＝AD，BD平分∠ABC，求證：ADBC．
2.利用等腰三角形的性質(zhì)求角度
4．如圖，在中，，于點(diǎn)．
（1）若，求的度數(shù)；
（2）若點(diǎn)在邊上，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，求證：．
5．如圖，AB=AE，AB∥DE，∠DAB=70°，∠E=40°．
（1）求∠DAE的度數(shù)；
（2）若∠B=30°，求證：AD=BC．
6．如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是邊BC上的中線．
（1）若∠B=54°，求∠BAD的度數(shù)．
（2）若AB=5，BC=6，AD=4，將△ABC沿中線AD剪開(kāi)，將△ABD與△ACD拼成一個(gè)與△ABC面積相等的四邊形，直接寫(xiě)出所拼得的所有四邊形的周長(zhǎng)．
3.利用等腰三角形性質(zhì)解決邊角問(wèn)題
7．已知：如圖，B，D，E，C在同一直線上，AB=AC，AD=AE．求證：BD=CE．
8．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC，垂足為G，且AD=AB．∠EDF=60°，其兩邊分別交邊AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)．
（1）求證：△ABD是等邊三角形；
（2）求證：BE=AF．
9．如圖所示，△ABC中，AB=BC，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥BC于點(diǎn)D，交AC于F．
（1）若∠AFD=155°，求∠EDF的度數(shù)；
（2）若點(diǎn)F是AC的中點(diǎn)，求證：∠CFD=∠B．
三、課堂達(dá)標(biāo)
一、選擇題(共8題，每小題4分，共32分)
1．如圖，在等腰△ABC中，∠B=∠C=65°，DE垂直平分AC，則∠BCD的度數(shù)等于（　　）
A. 10° B. 15° C. 20° D. 25°
2．等腰三角形一邊長(zhǎng)是6，另一邊長(zhǎng)是12，則周長(zhǎng)是（　　）
A. 24 B. 30 C. 24或30 D. 18
3．等腰三角形的一個(gè)外角等于80°，則與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別為（　　）
A. 40°，40° B. 80°，20°
C. 50°，50° D. 40°，40°或80°，20°
4．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠C=70°，D為BC邊中點(diǎn)，則∠CAD等于（　　）
A. 15° B. 20° C. 25° D. 30°
5．在等腰三角形中，AB的長(zhǎng)是BC的2倍，周長(zhǎng)為40，則AB的長(zhǎng)為（　　）
A. 16 B. 20
C. 16或20 D. 以上都不對(duì)
6．如圖，O為等腰三角形ABC的外心，AB=AC，連接OB，記∠C=α，∠CBO=β，則α，β滿足的關(guān)系式為（　　）
A. 2β-α=90° B. 2β-α=180°
C. β+α=90° D. 2a-β=90°
7．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠ACB=70°，若將AC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后得到AD，連接BD和CD，則∠BDC=（　　）
A. 19° B. 20° C. 21° D. 22°
8．如圖，在等腰△ABC中，∠A=120°，將△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到△CDE，此時(shí)點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D落在BC上時(shí)，連接BE，則∠CBE的度數(shù)是（　　）

A. 45° B. 55° C. 75° D. 85°
二、填空題(共5題，每小題4分，共20分)
9．如圖，在等腰△ABC中，AB=AC，AB=7cm,BC=12cm,點(diǎn)E在BC上，將△ABC沿AE折疊，使點(diǎn)B落在△ABC外部的點(diǎn)B′處，則圖形中陰影部分的周長(zhǎng)為 _____cm.

10．頂角為80°的等腰三角形的底角為 _____．
11．在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線與AC所在的直線相交所得到銳角為40°，則∠B=_____．
12．如圖，已知∠A=15°，AB=BC=CD，那么∠BCD=_____度．
13．如圖，在△ABC中，AC=BC，把△ABC沿AC翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)D處，連接BD，若∠CBD=16°，則∠BAC=_____°．
三、解答題(共6題，共48分)
14．（8分）如圖，在△ABC中，∠ABC=70°，AB=AC=8，D為BC中點(diǎn)，點(diǎn)N在線段AD上，NM∥AC交AB于點(diǎn)M，BN=3．
（1）求∠CAD度數(shù)；
（2）求△BMN的周長(zhǎng)．
15．（7分）如圖所示，在△ABC中，D是BC上一點(diǎn)，AD=BD，∠C=∠ADC，∠BAC=57°，求∠DAC的度數(shù)．
16．（8分）如圖，∠EAC是△ABC的外角，AB=AC．
（1）請(qǐng)你用尺規(guī)作圖的方法作∠EAC的角平分線AD；（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）
（2）判斷AD與BC的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．
17．（8分）如圖①，油紙傘是中國(guó)傳統(tǒng)工藝品之一，起源于中國(guó)的一種紙制或布制傘．油紙傘的制作工藝十分巧妙，如圖②，傘圈D沿著傘柄AP滑動(dòng)時(shí)，傘柄AP始終平分同一平面內(nèi)兩條傘骨所成的∠BAC，傘骨BD，CD的B，C點(diǎn)固定不動(dòng)，且到點(diǎn)A的距離AB=AC．
（1）當(dāng)D點(diǎn)在傘柄AP上滑動(dòng)時(shí)，處于同一平面的兩條傘骨BD和CD相等嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．
（2）如圖③，當(dāng)油紙傘撐開(kāi)時(shí)，傘的邊緣M，N與點(diǎn)D在同一直線上，若∠BAC=140°，∠MBD=120°，求∠CDA的度數(shù)．
18．（8分）如圖，AB=AE，AB∥DE，∠DAB=70°，∠E=40°．
（1）求∠DAE的度數(shù)；
（2）若∠B=30°，求證：AD=BC．
19 .（9分）如圖，在△ABC中，AC>AB，AD平分∠BAC，點(diǎn)D到點(diǎn)B與點(diǎn)C的距離相等，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E.
(1)求證：BE＝CE；
(2)請(qǐng)直接寫(xiě)出∠ABC，∠ACB，∠ADE三者之間的數(shù)量關(guān)系；
(3)若∠ACB＝40°，∠ADE＝20°，求∠DCB的度數(shù)．
人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上名師點(diǎn)撥精練
第13章 軸對(duì)稱(chēng)
13.3.1 等腰三角形性質(zhì)
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.理解并掌握等腰三角形的性質(zhì).
2.經(jīng)歷等腰三角形的性質(zhì)的探究過(guò)程，能初步運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)解決有關(guān)問(wèn)題.
重點(diǎn)：1.等腰三角形的概念及性質(zhì)；2.等腰三角形性質(zhì)的應(yīng)用.
難點(diǎn)：等腰三角形三線合一的性質(zhì)的理解及其應(yīng)用.
老師告訴你
等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)包含三層含義：（1）已知等腰三角形底邊上的中線、則它平分頂角、垂直于底邊；（2）已知等腰三角形頂角的平分線，則它垂直平分底邊；（3）已知等腰三角形底邊上的高，則它平分底邊、平分頂角。
等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)的作用：常常可以用來(lái)證明角相等、線段相等、線段垂直。
知識(shí)點(diǎn)撥
知識(shí)點(diǎn)1 等腰三角形邊角性質(zhì)
1 .等腰三角形
定義：有兩邊相等的三角形，叫做等腰三角形.
2.等腰三角形邊角性質(zhì)
等腰三角形的兩個(gè)底角相等(簡(jiǎn)寫(xiě)“等邊對(duì)等角”).
★用符號(hào)語(yǔ)言表示為：
在△ABC中，
∵ AB=AC（已知），
∴ ∠B＝∠C （等邊對(duì)等角）.
【新知導(dǎo)學(xué)】
例1-1．等腰三角形的一個(gè)角是80°，則它的頂角的度數(shù)是( )
A.80° B.80°或20° C.80°或50° D.20°
答案：B
解析：①80°角是頂角時(shí)，三角形的頂角為80°，
②80°角是底角時(shí)，頂角為，
綜上所述，該等腰三角形頂角的度數(shù)為80°或20°.
故選：B.
點(diǎn)評(píng)：根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理及等腰三角形的性質(zhì)求出它的底角的度數(shù)即可.
【對(duì)應(yīng)導(dǎo)練】
1．如圖，在中，D為BC邊上一點(diǎn)，，，則的度數(shù)為( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：如圖，，，.，.，，，，.
點(diǎn)評(píng)：利用等腰三角形性質(zhì)等邊對(duì)等角，結(jié)合三角形內(nèi)角和求出它的度數(shù)即可。
2．已知：如圖，在中，，，，垂足分別為D、E，與交于點(diǎn)O.
發(fā)現(xiàn)：與有何數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由；
探索：判斷的形狀，并說(shuō)明理由；
拓展：連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)F，請(qǐng)你直接寫(xiě)出一條關(guān)于的結(jié)論.
答案：發(fā)現(xiàn)：，理由見(jiàn)詳解
探索：是等腰三角形，理由見(jiàn)詳解
拓展：，理由見(jiàn)詳解（或者AF平分，證明過(guò)程同的證明過(guò)程）
解析：發(fā)現(xiàn)：
，理由如下：
，
，
又，，
，
又有，
，
，
得證；
探索：
是等腰三角形，理由如下：
在“發(fā)現(xiàn)”中已經(jīng)證得，
，
有，即是等腰三角形，
得證；
拓展：
，
理由如下：
如圖：
在“探索”中已經(jīng)證得，
又，，
，
，
平分，
又，，
，
，
.
3．等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為36°，則該等腰三角形的底角的度數(shù)為_(kāi)____________.
答案：63°或27°
解析：有兩種情況：
（1）如圖當(dāng)是銳角三角形時(shí)，于D，則，
，
.
，
.
（2）如圖，當(dāng)是鈍角三角形時(shí)，于H，則，
，
，
.
，
.
4．已知等腰三角形的一個(gè)外角為130°，則它的頂角的度數(shù)為_(kāi)__________.
答案：50°或80°
解析：由等腰三角形的一個(gè)外角為130°知一個(gè)內(nèi)角為50°.當(dāng)50°為頂角時(shí)，其他兩個(gè)角都為65°；當(dāng)50°為底角時(shí)，其他兩個(gè)角為50°、80°，所以等腰三角形的頂角為50°或80°.
知識(shí)點(diǎn)2：等腰三角形的軸對(duì)稱(chēng)性
等腰三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)稱(chēng)軸為頂角平分線（或底邊上的高或底邊上的中線）所在的直線.
等腰三角形底邊上的高線、中線及頂角平分線重合.
★用符號(hào)語(yǔ)言表示為：
在△ABC中，
（1）∵AB=AC, ∠1=∠2(已知)，
∴BD=CD , AD⊥BC（等腰三角形三線合一）.
（2）∵AB=AC , BD=CD (已知)，
∴∠1=∠2 , AD⊥BC（等腰三角形三線合一）.
（3）∵AB=AC , AD⊥BC(已知)，
∴BD=CD, ∠1=∠2（等腰三角形三線合一）.
★在①等腰；②底邊上的高；③底邊上的中線；④頂角平分線．以上四個(gè)元素中，從中任意取出兩個(gè)元素當(dāng)成條件，就可以得到另外兩個(gè)元素為結(jié)論．
【新知導(dǎo)學(xué)】
例2-1 .如圖，在中，，是的中點(diǎn)，于．求證：．
【答案】解：∵在中，，
∴為等腰三角形，
∵是的中點(diǎn)，
∴為的中線，
由“三線合一”知，AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，
∴∠ADB=90°，∠BAC=2∠DAC，
設(shè)AD與BE交于F點(diǎn)，
∵BE⊥AC，
∴∠AEB=∠ADB=90°，
∵∠AFB=∠ADB+∠DBE=∠AEB+∠DAE，
∴∠DBE=∠DAE，即：∠EBC=∠DAC，
∴∠BAC=2∠EBC．
【解析】【分析】 利用等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)可得AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，即得∠ADB=90°，∠BAC=2∠DAC，設(shè)AD與BE交于F點(diǎn)， 由垂直的定義可得 ∠AEB=∠ADB=90°， 利用三角形外角的性質(zhì)可得∠AFB=∠ADB+∠DBE=∠AEB+∠DAE，即得∠DBE=∠DAE，即得∠BAC=2∠EBC．
【對(duì)應(yīng)導(dǎo)練】
1．如圖，在等腰三角形ABC中，，AD為BC邊上的中線，E為AD上一點(diǎn)，試說(shuō)明：.
答案：因?yàn)椋珹D是BC邊上的中線，
所以.
所以AD是BC的垂直平分線，所以.
所以.
又因?yàn)椋?
所以，即.
2．如圖,在中,已知是上一點(diǎn),.求證:
(1);
(2).
答案：(1),,
又，，.
在和中，，
.
(2)由(1)知，.
又，(等腰三角形“三線合一”).
3．如圖，在等腰三角形中，，為邊上中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交于，交于，若，則的長(zhǎng)為 （ ）
A．3 B．6 C．9 D．18
答案：B
解析：連接.
∵是中點(diǎn)，
∴，，
∵,，
∴，
在和中，
，
∴，
∴的面積的面積，
∵
，
∴，
∴，
故答案為：6.
4．如圖，在等腰中，，，的平分線與的垂直平分線交于點(diǎn)O，點(diǎn)C沿折疊后與點(diǎn)O重合，則的度數(shù)是 .
答案：
解析：如圖，連接.
，平分，是的垂直平分線
又是的垂直平分線，點(diǎn)O是三邊垂直平分線的交點(diǎn)，
，.
又，.
垂直平分，，，.
二、題型訓(xùn)練
1.利用等腰三角形性質(zhì)證明角相等
1．如圖，∠A=∠D=90°，AB=DC，AC與DB交于點(diǎn)E，F(xiàn)是BC中點(diǎn)．求證：∠BEF=∠CEF．
【答案】詳見(jiàn)解析.
【解析】可先利用“AAS”證明△AEB≌△DEC，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可證EB=EC，然后利用等腰三角形“三線合一”可證∠BEF=∠CEF.
證明：在△AEB和△DEC中，
∠A=∠D，
∠AEB=∠DEC，
AB=DC.
∴△AEB≌△DEC（AAS）
∴EB=EC.
∵F是BC中點(diǎn)，
∴∠BEF=∠CEF.
【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì).熟練掌握相關(guān)定理，并能靈活運(yùn)用是解決此題的關(guān)鍵.
2．如圖，在△ABC中，BE⊥AC于點(diǎn)E，BC的垂直平分線分別交AB、BE于點(diǎn)D、G，垂足為H，CD⊥AB，CD交BE于點(diǎn)F．
（1）試說(shuō)明：△BDF≌△CDA；
（2）若DF＝DG，則：
①BE平分∠ABC嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；
②線段BF與CE有何數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】（1）見(jiàn)解析 （2）①BE平分∠ABC，理由見(jiàn)解析；②EC=BF，理由見(jiàn)解析
【解析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠A=∠DFB，由DH是BC的垂直平分線推出BD=DC，根據(jù)AAS即可證△BDF≌△CDA；
（2）①由DF=DG，可得∠DFB=∠BGH，而CD⊥AB，有∠ABE+∠DFB=90°，由DH⊥BC，得∠GBH+∠BGH=90°，從而∠ABE=∠GBH，BE平分∠ABC；
②由BD=CD，CD⊥AB，得△BCD是等腰直角三角形，即得∠ABE=∠CBE=22.5°，從而可得∠A=∠C=67.5°，有AB=CB，故AE=CE=AC，即可得EC=BF．
【小問(wèn)1詳解】
解：證明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠BDC=∠ADC=∠AEB=90°，
∴∠A+∠ABE=90°，∠ABE+∠DFB=90°，
∴∠A=∠DFB，
∵DH是BC的垂直平分線，
∴BD=DC，
在△BDF和△CDA中，
，
∴△BDF≌△CDA（AAS）；
【小問(wèn)2詳解】
①BE平分∠ABC，理由如下：
∵DF=DG，
∴∠DFB=∠DGF，
∴∠DFB=∠BGH，
∵CD⊥AB，
∴∠ABE+∠DFB=90°，
∵DH⊥BC，
∴∠GBH+∠BGH=90°，
∴∠ABE=∠GBH，
∴BE平分∠ABC；
②EC=BF，理由是：
∵由（1）知：BD=CD，△BDF≌△CDA，
而CD⊥AB，
∴△BCD是等腰直角三角形，AC=BF，
∴∠ABC=45°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE=22.5°，
∵BE⊥AC，
∴∠A=∠C=67.5°，
∴AB=CB，
∴AE=CE=AC，
∵BF=AC，
∴EC=BF．
【點(diǎn)睛】本題考查三角形綜合應(yīng)用，涉及等腰三角形性質(zhì)及應(yīng)用、全等三角形判定及應(yīng)用、垂直平分線性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是證明△BDF≌△CDA．
3．已知：如圖，AB＝AD，BD平分∠ABC，求證：ADBC．
【答案】見(jiàn)解析
【解析】根據(jù)等腰三角形的兩底角相等，在根據(jù)角平分線的定義，等量代換出一組內(nèi)錯(cuò)角相等，從而證明得出結(jié)論．
∵AB=AD
∴∠ABD=∠ADB
∵BD平分∠ABC
∴∠ABD=∠DBC
∴∠ADB=∠DBC
∴ADBC
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的定義，以及平行線的判定；綜合知識(shí)點(diǎn)推理得出內(nèi)錯(cuò)角相等是本題的關(guān)鍵．
2.利用等腰三角形的性質(zhì)求角度
4．如圖，在中，，于點(diǎn)．
（1）若，求的度數(shù)；
（2）若點(diǎn)在邊上，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，求證：．
【答案】（1）
（2）見(jiàn)解析
【解析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠C＝36°，進(jìn)而利用直角三角形的內(nèi)角和解答即可；
（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)判定解答．
【小問(wèn)1詳解】
解：∵BA＝BC，
∴∠C＝∠A＝36°，
∵BF⊥AC于點(diǎn)F，
∴∠BFC＝90°，
∴∠FBC＝90° 36°＝54°；
【小問(wèn)2詳解】
∵BA＝BC，BF⊥AC于點(diǎn)F，
∴∠ABF＝∠FBC，
∵DEBC，
∴∠E＝∠FBC，
∴∠E＝∠ABF，
∴DB＝DE．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠C＝36°解答．
5．如圖，AB=AE，AB∥DE，∠DAB=70°，∠E=40°．
（1）求∠DAE的度數(shù)；
（2）若∠B=30°，求證：AD=BC．
【解析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠EAB，再根據(jù)角的和差關(guān)系即可求解；
（2）根據(jù)ASA可證△ADE≌△BCA，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可求解．
解（1）∵AB∥DE，∠E=40°，
∴∠EAB=∠E=40°，
∵∠DAB=70°，
∴∠DAE=30°；
（2）證明：在△ADE與△BCA中，
，
∴△ADE≌△BCA（ASA），
∴AD=BC．
6．如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是邊BC上的中線．
（1）若∠B=54°，求∠BAD的度數(shù)．
（2）若AB=5，BC=6，AD=4，將△ABC沿中線AD剪開(kāi)，將△ABD與△ACD拼成一個(gè)與△ABC面積相等的四邊形，直接寫(xiě)出所拼得的所有四邊形的周長(zhǎng)．
【解析】（1）根據(jù)SSS判定△ABD≌△ACD，得到∠ADB=90°，根據(jù)直角三角形兩銳角互余，即可解決問(wèn)題；
（3）畫(huà)出拼接后的圖形即可解決問(wèn)題．
解：（1）∵AD是BC邊上的中線，
∴BD=DC，
在△ABD和△ACD中，
∴△ABD≌△ACD（SSS）．
∴∠ADB=∠ADC，
∵∠ADB+∠ADC=180°，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD=90°-∠B=90°-54°=36°．
（2）周長(zhǎng)為：14或16或18．
理由如下：如圖，構(gòu)成的四邊形有三種情形．
①當(dāng)拼得四邊形為ADBE時(shí)，周長(zhǎng)為2（3+4）=14；
②當(dāng)拼得四邊形為ABDF時(shí)，周長(zhǎng)為2（3+5）=16；
③當(dāng)拼得四邊形為ABGD時(shí)，周長(zhǎng)為2（5+4）=18，
即周長(zhǎng)為：14或16或18．
3.利用等腰三角形性質(zhì)解決邊角問(wèn)題
7．已知：如圖，B，D，E，C在同一直線上，AB=AC，AD=AE．求證：BD=CE．
【解析】此題可以用等腰三角形的三線合一的性質(zhì)解決．
證明：作AF⊥BC于F，
∵AB=AC（已知），
∴BF=CF（三線合一），
又∵AD=AE（已知），
∴DF=EF（三線合一），
∴BF-DF=CF-EF，即BD=CE（等式的性質(zhì)）．
8．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC，垂足為G，且AD=AB．∠EDF=60°，其兩邊分別交邊AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)．
（1）求證：△ABD是等邊三角形；
（2）求證：BE=AF．
【解析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)和已知條件得出∠BAD=∠DAC=×120°=60°，再由AD=AB，即可得出結(jié)論；
（2）由△ABD是等邊三角形，得出BD=AD，∠ABD=∠ADB=60°，證出∠BDE=∠ADF，由ASA證明△BDE≌△ADF，得出BE=AF．
（1）證明：∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠DAC=∠BAC，
∵∠BAC=120°，
∴∠BAD=∠DAC=×120°=60°，
∵AD=AB，
∴△ABD是等邊三角形；
（2）證明：∵△ABD是等邊三角形，
∴∠ABD=∠ADB=60°，BD=AD
∵∠EDF=60°，
∴∠BDE=∠ADF，
在△BDE與△ADF中，
，
∴△BDE≌△ADF（ASA），
∴BE=AF．
9．如圖所示，△ABC中，AB=BC，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥BC于點(diǎn)D，交AC于F．
（1）若∠AFD=155°，求∠EDF的度數(shù)；
（2）若點(diǎn)F是AC的中點(diǎn)，求證：∠CFD=∠B．
【解析】（1）求得∠A的度數(shù)后利用四邊形的內(nèi)角和定理求得結(jié)論即可；
（2）連接FB，根據(jù)AB=BC，且點(diǎn)F是AC的中點(diǎn)，得到BF⊥AC，∠ABF=∠CBF=∠ABC，證得∠CFD=∠CBF后即可證得∠CFD=∠ABC．
解：（1）∵∠AFD=155°，
∴∠DFC=25°，
∵DF⊥BC，DE⊥AB，
∴∠FDC=∠AED=90°，
在Rt△FDC中，
∴∠C=90°-25°=65°，
∵AB=BC，
∴∠C=∠A=65°，
∴∠EDF=360°-65°-155°-90°=50°．
（2）連接BF
∵AB=BC，且點(diǎn)F是AC的中點(diǎn)，
∴BF⊥AC，∠ABF=∠CBF=∠ABC，
∴∠CFD+∠BFD=90°，
∠CBF+∠BFD=90°，
∴∠CFD=∠CBF，
∴∠CFD=∠ABC．
三、課堂達(dá)標(biāo)
一、選擇題(共8題，每小題4分，共32分)
1．如圖，在等腰△ABC中，∠B=∠C=65°，DE垂直平分AC，則∠BCD的度數(shù)等于（　　）
A. 10° B. 15° C. 20° D. 25°
【答案】B
【解析】首先利用線段垂直平分線的性質(zhì)推出∠DAC=∠DCA，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可求出∠ABC=∠ACB，易求∠BCD的度數(shù)．
解：∵∠ABC=∠ACB=65°．
∴∠A=50°，
∵DE垂直平分AC，
∴AD=CD，
∴∠A=∠ACD=50°，
∴∠BCD=∠ACB-∠ACD=15°．
故選：B．
2．等腰三角形一邊長(zhǎng)是6，另一邊長(zhǎng)是12，則周長(zhǎng)是（　　）
A. 24 B. 30 C. 24或30 D. 18
【答案】B
【解析】題目給出等腰三角形有兩條邊長(zhǎng)為6和12，而沒(méi)有明確腰、底分別是多少，所以要進(jìn)行討論，還要應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系驗(yàn)證能否組成三角形．
解：分兩種情況：
當(dāng)腰為6時(shí)，6+6=12，所以不能構(gòu)成三角形；
當(dāng)腰為12時(shí)，6+12＞12，所以能構(gòu)成三角形，周長(zhǎng)是：12+12+6=30．
故選：B．
3．等腰三角形的一個(gè)外角等于80°，則與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別為（　　）
A. 40°，40° B. 80°，20°
C. 50°，50° D. 40°，40°或80°，20°
【答案】A
【解析】先根據(jù)平角等于180°求出與這個(gè)外角相鄰的內(nèi)角的度數(shù)，再根據(jù)等腰三角形兩底角相等求解．
解：∵等腰三角形的一個(gè)外角等于80°，
∴與這個(gè)外角相鄰的內(nèi)角是180°-80°=100°，
∴100°的內(nèi)角是頂角，
（180°-100°）=40°，
∴另兩個(gè)內(nèi)角是40°，40°．
故選：A．
4．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠C=70°，D為BC邊中點(diǎn)，則∠CAD等于（　　）
A. 15° B. 20° C. 25° D. 30°
【答案】B
【解析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得到AD是BC邊的垂線，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可求∠DAC的度數(shù)．
解：∵AB=AC，D是BC邊的中點(diǎn)，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠C+∠DAC=90°，
∵∠C=70°，
∴∠DAC=90°-70°=20°．
故選：B．
5．在等腰三角形中，AB的長(zhǎng)是BC的2倍，周長(zhǎng)為40，則AB的長(zhǎng)為（　　）
A. 16 B. 20
C. 16或20 D. 以上都不對(duì)
【答案】A
【解析】分AB為腰和底兩種情況列出方程，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行判斷即可．
解：當(dāng)AB邊為腰時(shí)，由題意可得AB+AB+AB=40，解得AB=16，此時(shí)三角形的三邊為16、16、8，滿足三角形的三邊關(guān)系，此時(shí)AB為16，
當(dāng)AB邊為底時(shí)，由題意可得AB+AB+AB=40，解得AB=20，此時(shí)三角形的三邊為20、10、10，不滿足三角形的三邊關(guān)系，所以此種情況不存在，
綜上可知AB為16．
故選：A．
6．如圖，O為等腰三角形ABC的外心，AB=AC，連接OB，記∠C=α，∠CBO=β，則α，β滿足的關(guān)系式為（　　）
A. 2β-α=90° B. 2β-α=180°
C. β+α=90° D. 2a-β=90°
【答案】D
【解析】根據(jù)等腰三角形的判定和性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理即可得到結(jié)論．
解：∵AB=AC，∠ACB=α，
∴∠ACB=∠ABC=α，
∴∠CAB=180°-2α，
連接OC，OA，
∵O為等腰三角形ABC的外心，
∴OB=OA=OC，
∴∠CBO=∠BCO=β，
∴∠ABO=∠ACO=α-β，
∴∠CAO=∠ACO=∠ABO=∠BAO=α-β，
∴∠CAB=2（α-β）=180°-2α，
∴2a-β=90°，
故選：D．
7．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠ACB=70°，若將AC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后得到AD，連接BD和CD，則∠BDC=（　　）
A. 19° B. 20° C. 21° D. 22°
【答案】B
【解析】由已知條件可求出∠CAB的度數(shù)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得△ACD為等邊三角形，可求出∠BAD、∠ADC的度數(shù)以及得到AB=AD，進(jìn)而求出∠ADB的度數(shù)，由角的和差關(guān)系可得∠BDC的度數(shù)．
解：由旋轉(zhuǎn)得：AC=AD，∠CAD=60°，
∴△ACD為等邊三角形，
∴∠ADC=60°，
∵AB=AC，∠ACB=70°，
∴AB=AD，∠ACB=∠ABC，
∴∠CAB=180°-2∠ACB=40°，∠BAD=∠CAD-∠CAB=60°-40°=20°，
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB=（180°-20°）÷2=80°，
∴∠BDC=∠ADB-∠ADC=80°-60°=20°．
故選：B．
8．如圖，在等腰△ABC中，∠A=120°，將△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到△CDE，此時(shí)點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D落在BC上時(shí)，連接BE，則∠CBE的度數(shù)是（　　）

A. 45° B. 55° C. 75° D. 85°
【答案】C
【解析】由等腰三角形的性質(zhì)可得∠ABC=∠ACB=30°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠ACB=∠ABC=∠DCE=∠DEC=30°，CB=CE，即可求解．
解：∵AB=AC，∠A=120°，
∴∠ABC=∠ACB=30°，
由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知，∠ACB=∠ABC=∠DCE=∠DEC=30°，CB=CE，
∴∠CEB=∠CBE=75°，
故選：C．
二、填空題(共5題，每小題4分，共20分)
9．如圖，在等腰△ABC中，AB=AC，AB=7cm,BC=12cm,點(diǎn)E在BC上，將△ABC沿AE折疊，使點(diǎn)B落在△ABC外部的點(diǎn)B′處，則圖形中陰影部分的周長(zhǎng)為 _____cm.

【答案】26
【解析】根據(jù)折疊的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)求解即可．
解：根據(jù)折疊的性質(zhì)得，AB=AB′，BE=B′E，
圖形中陰影部分的周長(zhǎng)為AC+CE+AB′+B′E=BE+CE+AC+AB=BC+AC+AB，
∵AB=7cm,BC=12cm,AB=AC，
∴BC+AC+AB=26（cm），
∴圖形中陰影部分的周長(zhǎng)為26cm,
故答案為：26．
10．頂角為80°的等腰三角形的底角為 _____．
【答案】50°
【解析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行解答即可．
解：∵等腰三角形的頂角為80°，
∴這個(gè)等腰三角形的底角=（180°-80°）=50°．
故答案為：50°．
11．在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線與AC所在的直線相交所得到銳角為40°，則∠B=_____．
【答案】65°或25°
【解析】根據(jù)△ABC中∠A為銳角與鈍角分為兩種情況解答．
解：（1）當(dāng)AB的中垂線MN與AC相交時(shí)，
∵∠AMD=90°，
∴∠A=90°-40°=50°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=（180°-∠A）=65°；
（2）當(dāng)AB的中垂線MN與CA的延長(zhǎng)線相交時(shí)，
∴∠DAB=90°-40°=50°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=∠DAB=25°．
故答案為65°或25°．
12．如圖，已知∠A=15°，AB=BC=CD，那么∠BCD=_____度．
【答案】120
【解析】由AB=BC可知∠BCA=∠A=15°，由三角形外角性質(zhì)得∠CBD=∠A+∠BCD=30°，再由BC=CD可知，△BCD為等腰三角形，由內(nèi)角和定理求∠BCD．
解：∵AB=BC，
∴∠BCA=∠A=15°，
∴∠CBD=∠A+∠BCD=30°，
又∵BC=CD，
∴∠CBD=∠D=30°，
∴∠BCD=180°-∠CBD-∠D=120°．
故答案為：120．
13．如圖，在△ABC中，AC=BC，把△ABC沿AC翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)D處，連接BD，若∠CBD=16°，則∠BAC=_____°．
【答案】37
【解析】根據(jù)翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)得到CB=CD，∠ACB=∠ACD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可．
解：由折疊的性質(zhì)可知，CB=CD，∠ACB=∠ACD，
∵∠CBD=16°，CB=CD，
∴∠DCB=180°-16°×2=148°，
∴∠ACB=∠ACD==106°，
∵CA=CB，
∴∠BAC==37°，
故答案為：37．
三、解答題(共6題，共48分)
14．（8分）如圖，在△ABC中，∠ABC=70°，AB=AC=8，D為BC中點(diǎn)，點(diǎn)N在線段AD上，NM∥AC交AB于點(diǎn)M，BN=3．
（1）求∠CAD度數(shù)；
（2）求△BMN的周長(zhǎng)．
【解析】（1）由等腰三角形性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可求出∠CAD度數(shù)；
（2）由平行線的性質(zhì)及等腰三角形性質(zhì)可得到AM=NM，則求△BMN的周長(zhǎng)可轉(zhuǎn)化成求線段AB和線段BN的和，由題中給出的條件即可求出結(jié)果．
解：（1）∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，
又∵∠ABC=70°，
∴∠BAC=180°-70°×2=40°，
又∵D為BC的中點(diǎn)，
∴AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD=∠BAC=×40°=20°，
故∠CAD度數(shù)為20°．
（2）∵NM∥AC，
∴∠ANM=∠CAD，
又∵∠CAD=∠BAD，
∴∠ANM=∠BAD，
∴AM=NM，
∴△BMN的周長(zhǎng)=MB+BN+NM=AB+BN，
∵AB=8，BN=3，
∴△BMN的周長(zhǎng)=8+3=11．
故△BMN的周長(zhǎng)為11．
15．（7分）如圖所示，在△ABC中，D是BC上一點(diǎn)，AD=BD，∠C=∠ADC，∠BAC=57°，求∠DAC的度數(shù)．
【解析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠B=∠BAD，由三角形的外角的性質(zhì)得到∠ADC=∠B+∠BAD=2∠B，于是得到∠C=2∠B，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠B+∠C=3∠B=180°-∠BAC=41°，根據(jù)得到結(jié)論．
解：∵AD=BD，
∴∠B=∠BAD，
∵∠ADC=∠B+∠BAD=2∠B，
∴∠C=2∠B，
∵∠BAC=57°，
∴∠B+∠C=3∠B=180°-∠BAC=41°，
∴∠ADC=∠C=82°，
∴∠DAC=16°．
16．（8分）如圖，∠EAC是△ABC的外角，AB=AC．
（1）請(qǐng)你用尺規(guī)作圖的方法作∠EAC的角平分線AD；（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）
（2）判斷AD與BC的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．
【解析】（1）利用基本作圖作AD平分∠EAC；
（2）利用AD平分∠EAC得到∠EAD=∠CAD，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠B=∠C，然后根據(jù)三角形外角性質(zhì)證明∠DAC=∠C，從而可判斷AD∥BC．
解：（1）如圖，AD為所作；
（2）AD∥BC．
理由如下：∵AD平分∠EAC，
∴∠EAD=∠CAD，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
而∠EAC=∠B+∠C，
∴∠DAC=∠C，
∴AD∥BC．
17．（8分）如圖①，油紙傘是中國(guó)傳統(tǒng)工藝品之一，起源于中國(guó)的一種紙制或布制傘．油紙傘的制作工藝十分巧妙，如圖②，傘圈D沿著傘柄AP滑動(dòng)時(shí)，傘柄AP始終平分同一平面內(nèi)兩條傘骨所成的∠BAC，傘骨BD，CD的B，C點(diǎn)固定不動(dòng)，且到點(diǎn)A的距離AB=AC．
（1）當(dāng)D點(diǎn)在傘柄AP上滑動(dòng)時(shí)，處于同一平面的兩條傘骨BD和CD相等嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．
（2）如圖③，當(dāng)油紙傘撐開(kāi)時(shí)，傘的邊緣M，N與點(diǎn)D在同一直線上，若∠BAC=140°，∠MBD=120°，求∠CDA的度數(shù)．
【解析】（1）根據(jù)題意可得∠BAD=∠CAD，即可根據(jù)SAS證明△ABD≌△ACD，即可得出BD=CD；
（2）先求出．再根據(jù)三角形的外角定理得出∠BDA=∠MBD-∠BAD=50°．最后根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等，即可得出
∠CDA=∠BDA=50°．
解：（1）相等．理由如下：
∵傘柄AP始終平分同一平面內(nèi)兩條傘骨所成的∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD．
在△ABD和△ACD中，
∵，
∴△ABD≌△ACD（SAS）．
∴BD=CD．
（2）∵∠BAC=140°，
∴．
又∵∠MBD=120°，
∴∠BDA=∠MBD-∠BAD=120°-70°=50°．
∵△ABD≌△ACD，
∴∠CDA=∠BDA=50°．
18．（8分）如圖，AB=AE，AB∥DE，∠DAB=70°，∠E=40°．
（1）求∠DAE的度數(shù)；
（2）若∠B=30°，求證：AD=BC．
【解析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠EAB，再根據(jù)角的和差關(guān)系即可求解；
（2）根據(jù)ASA可證△ADE≌△BCA，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可求解．
解（1）∵AB∥DE，∠E=40°，
∴∠EAB=∠E=40°，
∵∠DAB=70°，
∴∠DAE=30°；
（2）證明：在△ADE與△BCA中，
，
∴△ADE≌△BCA（ASA），
∴AD=BC．
19 .（9分）如圖，在△ABC中，AC>AB，AD平分∠BAC，點(diǎn)D到點(diǎn)B與點(diǎn)C的距離相等，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E.
(1)求證：BE＝CE；
(2)請(qǐng)直接寫(xiě)出∠ABC，∠ACB，∠ADE三者之間的數(shù)量關(guān)系；
(3)若∠ACB＝40°，∠ADE＝20°，求∠DCB的度數(shù)．
【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）∠ABC－∠ACB＝2∠ADE，理由見(jiàn)解析；（3）30°
【分析】（1）利用等腰三角形底邊上三線合一即可證明．
（2）結(jié)論：∠ABC-∠ACB=2∠ADE．如圖2中，作BN⊥AD于N，交AC于M．證出∠ABN=∠AMN，再由角的和差求得．
（3）如圖3中，作DM⊥AC于M，DN⊥AB于N．首先證明△DBN≌△DCM，推出∠BDN=∠CDM，推出∠CDB=∠MDN，由∠CAB+∠MDN=180°，推出∠CDB+∠CAB=180°，
利用（2）的結(jié)論求出∠ABC，∠CAB即可解決問(wèn)題．
【解析】（1）證明：如圖1中，
∵DB=DC，DE⊥BC，
∴CE=BE（等腰三角形底邊上三線合一）．
（2）結(jié)論：∠ABC-∠ACB=2∠ADE．
理由：如圖2中，作BN⊥AD于N，交AC于M．
∵∠BAN=∠MAN，∠BAN+∠ABN=90°，∠MAN+∠AMN=90°，
∴∠ABN=∠AMN，
∵∠DOE=∠BON，∠DEO=∠BNO=90°，
∴∠EDA=∠CBM，
∴∠ABC-∠ACB=∠ABM+∠CBM-∠ACB=∠AMB+∠CBM-∠ACB=∠MCB+∠CBM+∠CBM-∠ACB=2∠CBN=2∠EDA．
故答案為∠ABC-∠ACB=2∠ADE
（3）解：如圖3中，作DM⊥AC于M，DN⊥AB于N．
∵∠DAN=∠DAM，DM⊥AC，DN⊥AB，
∴DM=DN，
在Rt△DBN和Rt△DCM中，
，
∴△DBN≌△DCM，
∴∠BDN=∠CDM，
∴∠CDB=∠MDN，
∵∠CAB+∠MDN=180°，
∴∠CDB+∠CAB=180°，
∵∠ACB=40°，∠ADE=20°，∠ABC-∠ACB=2∠ADE
∴∠ABC=80°，
∴∠CAB=180°-80°-40°=60°，
∴∠CDB=120°，
∴∠EDB=∠EDC=60°，
∴∠DCB=90°-∠EDC=30°．
【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)定理、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題．
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁(yè) （共 2 頁(yè)）
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