資源簡介

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人教版八年級數學上名師點撥精練
第13章 軸對稱
13.2 .2 坐標平面內的軸對稱
學習目標
1.能夠經過探索利用坐標來表示軸對稱。
2.掌握點關于x軸，y軸對稱的特征。
【學習重點】點關于x軸，y軸對稱的特征。
【學習難點】會作關于x軸，y軸對稱的圖形
老師告訴你
1.兩點關于x軸對稱，其坐標“橫等縱反”，兩點關于y軸對稱，其坐標“橫反縱等”
2.點平移的變化規律：“上加下減”“左減右加”，即上下平移，其縱坐標“上加下減”，橫坐標不變，左右平移，其橫坐標“左減右加”，坐標軸不變。
知識點撥
知識點1. 關于x軸對稱的兩個點的橫（縱）坐標的關系
　 已知P點坐標（a,b），則它關于x軸的對稱點的坐標為(a-b)，如下圖所示：
即關于軸的對稱的兩點，坐標的關系是：橫坐標相同，縱坐標互為相反數．
【新知導學】
例1-1．如圖所示，在平面直角坐標系中，已知A（0，1）、B（2，0）、C（4，3）．
（1）在平面直角坐標系中畫出△ABC，則△ABC的面積是 _____；
（2）若點D與點C關于x軸對稱，則點D的坐標為 _____；
（3）已知P為y軸上一點，若△ABP的面積為4，求點P的坐標．
【對應導練】
1．在平面直角坐標系中，△ABC的位置如圖所示．已知點A的坐標為（0，3），點B的坐標為（1，-4），按要求解下列問題：
（1）寫出點C關于x軸的對稱點C'的坐標；
（2）求△ABC的面積．
2．已知點P（m,n）且m,n滿足（2m-6）2+|n+2|=0，試求點P關于x軸對稱的點的坐標．
3．點A（1，-3）關于x軸的對稱點A'的坐標是 _____．
知識點2. 關于y軸對稱的兩個點橫（縱）坐標的關系
　 已知P點坐標為（a,b），則它關于軸對稱點的坐標為（-a,b），如上圖所示．
　 即關于軸對稱的兩點坐標關系是：縱坐標相同，橫坐標互為相反數．
【新知導學】
例2-1．蝴蝶標本可以近似地看作軸對稱圖形．如圖，將一只蝴蝶標本放在平面直角坐標系中，如果圖中點A的坐標為（5，3），則其關于y軸對稱的點B的坐標為 _____．
【對應導練】
1．如圖，在平面直角坐標系中，A（-1，5），B（-1，0），C（-4，3）．
（1）求出△ABC的面積．
（2）若△A1B1C1與△ABC關于y軸的對稱，寫出點A1，B1，C1的坐標．
（3）在x軸上找一點P，使點P到A、C兩點的距離之和最小（保留作圖痕跡）．
2．如圖，在平面直角坐標系中點A的坐標為（0，1），點C的坐標為（4，3）．
（1）在圖中△ABC關于y軸對稱圖形為△A1B1C1，則C1（ _____，_____）；
（2）△A1B1C1的面積是 _____；
（3）如果要使以點A、B、D為頂點的三角形與△ABC全等，那么點D的坐標是 _____．
3．如圖，平面直角坐標系中，小正方形組成的網格的邊長是1，△ABC的三個頂點均在格點上，且AC經過坐標原點O，請按要求完成下列各題．
（1）寫出A、B、C三點的坐標；
（2）寫出點B關于y軸對稱的點B1的坐標；
（3）計算△AB1C的面積；
知識點3.關于與x軸（y軸）平行的直線對稱的兩個點橫（縱）坐標的關系
　 P點坐標關于直線的對稱點的坐標為．
　 P點坐標關于直線的對稱點的坐標為．
平面直角坐標系中的軸對稱變換
計算———計算已知圖形特殊點對稱點的坐標（注意特殊點一定要能確定原圖形）
描點———根據對稱的坐標描點
連接———依次連接所描各點得到成軸對稱的圖形
【新知導學】
例3-1．在平面直角坐標系中，若點（1，2）關于某條直線對稱后得點（-1，2），則這條直線為 _____．
【對應導練】
1．在正方形網格中，每個小正方形的邊長為1，點A（-4，5），C（-1，3），A1（4，5），B1（2，1），△ABC與△A1B1C1關于某直線成軸對稱．
（1）在網格內完善平面直角坐標系；
（2）點B坐標是 _____，點C1坐標是 _____；
（3）求△A1B1C1的面積．
2．已知點A1（2，5）關于y軸的對稱點A2，關于原點的對稱點A3
（1）求△A1A2A3的面積；
（2）如果將△A1A2A3沿著直線y=-5翻折可得到△B1B2B3，請寫出B1，B2，B3的坐標．
3．如圖，在平面直角坐標系中，直線l過點M（3，0），且平行于y軸．
（1）如果△ABC三個頂點的坐標分別是A（-2，0），B（-1，0），C（-1，2），△ABC關于y軸的對稱圖形是△A1B1C1，△A1B1C1關于直線l的對稱圖形是△A2B2C2，寫出△A2B2C2的三個頂點的坐標；
（2）如果點P的坐標是（-a,0），其中0＜a＜3，點P關于y軸的對稱點是P1，點P1關于直線l的對稱點是P2，求PP2的長．
二、題型訓練
1.利用對稱點的坐標特征求字母的值
1.點P（﹣2，b）與點Q（a，3）關于x軸對稱，則a+b的值為（　　）
A．5 B．﹣5 C．1 D．﹣1
2.若點P關于x軸的對稱點為P1（2a+b，﹣a+1），關于y軸的對稱點為P2（4﹣b，b+2），則P點的坐標為（　　）
A．（9，3） B．（﹣9，3） C．（9，﹣3） D．（﹣9，﹣3）
3 .若點A（a，5），在第二象限，則點A關于直線m（直線m上各點的橫坐標都是1）對稱的點坐標是（　　）
A．（﹣a，5） B．（2﹣a，5） C．（﹣a﹣4，﹣5） D．（﹣a﹣2，﹣5）
2.利用全等變換在網格中作圖
4．如圖，△ABC的三個頂點在邊長為1的正方形網格中，已知A（3，3），B（﹣3，﹣3），C（1，﹣3）．
(1)畫出△ABC及關于y軸對稱的△A1B1C1；
(2)點A的對應點A1的坐標是　 　，點B的對應點B1的坐標是　 　，點C的對應點C1的坐標是　 　；
(3)若△ABP與△ABC全等，△ABP的頂點P在第四象限內，且不與C重合，則P的坐標是 ．
5．如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點的坐標分別是A（2，-1），B（1，-2），C（3，-3）．
（1）請畫出與△ABC關于y軸對稱的△A1B1C1，并寫出點C1的坐標；
（2）在（1）的條件下，畫出與△A1B1C1關于直線l對稱的△A2B2C2；
（3）在（2）的條件下，若點P1（m,n）在△A1B1C1的內部，則點P1在△A2B2C2中對應點P2的坐標是 _____．
6．在平面直角坐標系中，如圖所示A（-2，1），B（-4，1），C（-1，4）．
（1）△ABC向上平移一個單位，再向左平移一個單位得到△A1B1C1，那么C的對應點C1的坐標為_____；P點到△ABC三個頂點的距離相等，點P的坐標為_____；
（2）△ABC關于第一象限角平分線所在的直線作軸對稱變換得到△A2B2C2，那么點B的對應點B2的坐標為_____；
（3）△A3B3C3是△ABC繞坐標平面內的Q點順時針旋轉得到的，且A3（1，0），B3（1，2），C3（4，-1），點Q的坐標為_____．
3.利用全等變換在坐標系中作圖
7 .如圖所示，△ABC在平面直角坐標系中（每個小正方形的邊長為1個單位長度）
(1)直接寫出點A的坐標A（ ， ）；
(2)畫出△ABC關于軸對稱的；
(3)在（1）的條件下，結合你所畫的圖形，求出的面積．
8 .如圖，在直角坐標系中，A（﹣1，5），B（﹣3，0），C（﹣4，3）．
（1）在圖中作出△ABC關于y軸對稱的圖形△A1B1C1；
（2）寫出點C1的坐標；
（3）求△ABC的面積．
9 .已知點A（2a﹣b，5+a），B（2b﹣1，﹣a+b）．
（1）若點A、B關于x軸對稱，求a、b的值；
（2）若A、B關于y軸對稱，求﹙4a+b﹚2016的值．
三、課堂達標
一、選擇題(共8題，每小題4分，共32分)
1．點P（-5，3）關于x軸對稱點P的坐標為（　　）
A. （-5，-3） B. （5，3）
C. （5，-3） D. （3，-5 ）
2．點（2，-3）關于y軸對稱的點的坐標是（　　）
A. （-2，3） B. （-2，-3） C. （2，3） D. （2，-3）
3．已知點P1（-4，3），P2（-4，-3），則P1和P2滿足（　　）
A. P1P2∥x軸 B. 關于y軸對稱
C. 關于x軸對稱 D. P1P2=8
4．在平面直角坐標系中，已知點A（3，1）和點B（n,m）關于x軸對稱，則nm的值是（　　）
A. -3 B.
C. 3 D. -
5．已知點A（m,2024）與點B（2023，n）關于x軸對稱，則m+n的值為（　　）
A. 1 B. -1 C. 0 D. 2
6．如圖，在平面直角坐標系中，△ABC與△A'B'C'關于x軸對稱，其中點A，B，C的對應點分別為點A'，B'，C'，若點P（2，3）在△ABC的邊上，則點P在△A'B'C'上的對應點P'的坐標是（　　）
A. （3，2） B. （-2，3） C. （2，-3） D. （-2，-3）
7．已知點P（2m+3n,2）與點Q（6，3m-2n）關于x軸對稱，在△ABC中，邊AB，AC的垂直平分線分別交BC于點M，G（如圖），連AM，AG．若BC=26m+13n.則△AMG的周長為（　　）
A. 28 B. 30 C. 32 D. 34
8．如圖，在平面直角坐標xOy中，∠A=90°，OA=2，OB平分∠AOx,點B（a-1，a-2）關于x軸的對稱點是（　　）
A. （-2，1） B. （3，-2） C. （2，-1） D. （3，-1）
二、填空題(共5題，每小題4分，共20分)
9．已知點A（-2，3）和點B是坐標平面內的兩個點，它們關于直線x=1對稱，則B的坐標為 _____．
10．如圖，在直角坐標系中，Rt△ABC的頂點A在x軸上，頂點B在y軸上，∠ACB=90°，OB∥AC，點C的坐標為（4，8），點D和點C關于AB成軸對稱，且AD交y軸于點E．則點E的坐標為 _____．
11．如圖，在平面直角坐標系中，四邊形AOCB是邊長為2的正方形，A，C分別在y軸正半軸與x軸正半軸上，P點坐標為（﹣1，1），將P點關于A對稱得到P1，將P1關于O點對稱得到P2，將P2關于C點對稱得到P3，將P3關于B點對稱得到P4，將P4關于A點對稱得到P5，……，按照順序以此類推，則P2023的坐標為 　 　．
12．如圖是由三個小正方形組成的圖形請你在圖中補畫一個小正方形使補畫后的圖形為軸對稱圖形，共有_____種補法．
．
13．如圖，在平面直角坐標系中，對△ABC進行循環往復的軸對稱變換，若原來點A坐標是（1，2），則經過第2022次變換后點A的對應點的坐標為 _____．
三、解答題(共6題，共48分)
14．（8分）已知點A（a,3），B（-4，b），試根據下列條件分別求出a,b的值．
（1）A，B兩點關于y軸對稱；
（2）AB∥x軸，且線段AB=3．
15．（8分）已知點A（2a-b,5+a），B（2b-1，-a+b）．
（1）若點A，B關于x軸對稱，求a,b的值；
（2）若點A，B關于y軸對稱，求（4a+b）2019的值．
16．（7分）如圖所示，在平面直角坐標系中，已知A（0，1）、B（2，0）、C（4，3）．
（1）在平面直角坐標系中畫出△ABC，則△ABC的面積是 _____；
（2）若點D與點C關于x軸對稱，則點D的坐標為 _____；
（3）已知P為y軸上一點，若△ABP的面積為4，求點P的坐標．
17．（8分）如圖，在平面直角坐標系中，直線l過點A且平行于x軸，交y軸于點D（0，1），已知AD=5，△ABC關于直線l對稱．
（1）求點A的坐標；
（2）若點C的坐標為（-2，-2），判斷△ABC的形狀，并說明理由．
18．（9分）在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為（2，4），過（3，0）點作x軸的垂線l,點A與點B關于直線對稱；
（1）點B的坐標為 _____；
（2）點C的坐標為（6，0），順次連接OABC，若在四邊形OABC內部有一個點P，滿足S△POA=S△PBC，且S△PAB=S△POC，求點P的坐標；
（3）在四邊形外部是否存在點Q，滿足S△QOA=S△QBC，且S△QAB=S△QOC，若存在，直接寫出Q點坐標，若不存在請說明理由．
19．（8分）如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點坐標分別為A（-1，5），B（-4，2），C（-2，1）．
（1）畫出△ABC；
（2）畫出△ABC關于x軸對稱的△A1B1C1，點A，B，C的對應點分別為A1，B1，C1；
（3）畫出△A1B1C1關于y軸對稱的△A2B2C2，點A1，B1，C1的對應點分別為A2，B2，C2；
（4）直接寫出點B1，B2的坐標．
人教版八年級數學上名師點撥精練
第13章 軸對稱
13.2 .2 坐標平面內的軸對稱
學習目標
1.能夠經過探索利用坐標來表示軸對稱。
2.掌握點關于x軸，y軸對稱的特征。
【學習重點】點關于x軸，y軸對稱的特征。
【學習難點】會作關于x軸，y軸對稱的圖形
老師告訴你
1.兩點關于x軸對稱，其坐標“橫等縱反”，兩點關于y軸對稱，其坐標“橫反縱等”
2.點平移的變化規律：“上加下減”“左減右加”，即上下平移，其縱坐標“上加下減”，橫坐標不變，左右平移，其橫坐標“左減右加”，坐標軸不變。
知識點撥
知識點1. 關于x軸對稱的兩個點的橫（縱）坐標的關系
　 已知P點坐標（a,b），則它關于x軸的對稱點的坐標為(a-b)，如下圖所示：
即關于軸的對稱的兩點，坐標的關系是：橫坐標相同，縱坐標互為相反數．
【新知導學】
例1-1．如圖所示，在平面直角坐標系中，已知A（0，1）、B（2，0）、C（4，3）．
（1）在平面直角坐標系中畫出△ABC，則△ABC的面積是 _____；
（2）若點D與點C關于x軸對稱，則點D的坐標為 _____；
（3）已知P為y軸上一點，若△ABP的面積為4，求點P的坐標．
【答案】(1)4;(2)（4，-3）;
【解析】（1）利用割補法求三角形的面積即可；
（2）根據關于x軸對稱的點的性質即可得答案；
（3）設點P的坐標為（0，m），則S△ABP=4，求出m的值，即可得出答案．
解：（1）△ABC的面積為4×3-×2×1-×2×3-×2×4=4；
故答案為：4；
（2）∵點D與點C關于x軸對稱，
∴點D的坐標為（4，-3）；
故答案為：（4，-3）；
（3）設點P的坐標為（0，m），
∴S△ABP=AP×2=4，
∴AP=4，
∴|m-1|=4，
∴m=5或-3，
∴點P的坐標為（0，5）或（0，-3）．
【對應導練】
1．在平面直角坐標系中，△ABC的位置如圖所示．已知點A的坐標為（0，3），點B的坐標為（1，-4），按要求解下列問題：
（1）寫出點C關于x軸的對稱點C'的坐標；
（2）求△ABC的面積．
【解析】（1）根據“關于y軸的對稱點的坐標特點：橫坐標互為相反數，縱坐標不變”即可解決問題；
（2）利用割補法即可計算三角形面積．
解：（1）由題意可知，點C的坐標為（3，2），
故點C關于x軸的對稱點C'的坐標為（3，-2）；
（2）△ABC 的面積為：
3×[3-（-4）]---
=3×7---
=21--6
=10．
2．已知點P（m,n）且m,n滿足（2m-6）2+|n+2|=0，試求點P關于x軸對稱的點的坐標．
【解析】首先根據絕對值以及偶次方的性質得出m,n的值，再利用關于x軸對稱點的坐標性質得出答案．
解：∵（2m-6）2+|n+2|=0，
∴2m-6=0，n+2=0，
解得：m=3，n=-2，
∴P（3，-2），
∴點P關于x軸對稱的點的坐標為：（3，2）．
3．點A（1，-3）關于x軸的對稱點A'的坐標是 _____．
【答案】（1，3）
【解析】根據關于x軸對稱的點的坐標特點解答即可．
解：點A（1，-3）關于x軸的對稱點A'的坐標是（1，3）．
故答案為：（1，3）．
知識點2. 關于y軸對稱的兩個點橫（縱）坐標的關系
　 已知P點坐標為（a,b），則它關于軸對稱點的坐標為（-a,b），如上圖所示．
　 即關于軸對稱的兩點坐標關系是：縱坐標相同，橫坐標互為相反數．
【新知導學】
例2-1．蝴蝶標本可以近似地看作軸對稱圖形．如圖，將一只蝴蝶標本放在平面直角坐標系中，如果圖中點A的坐標為（5，3），則其關于y軸對稱的點B的坐標為 _____．
【答案】（-5，3）
【解析】根據關于y軸的對稱點的坐標特點：橫坐標互為相反數，縱坐標不變，進而得出答案．
解：由題意知，圖中點A的坐標為（5，3），其關于y軸對稱的點B的坐標為（-5，3），
故答案為：（-5，3）．
【對應導練】
1．如圖，在平面直角坐標系中，A（-1，5），B（-1，0），C（-4，3）．
（1）求出△ABC的面積．
（2）若△A1B1C1與△ABC關于y軸的對稱，寫出點A1，B1，C1的坐標．
（3）在x軸上找一點P，使點P到A、C兩點的距離之和最小（保留作圖痕跡）．
【解析】（1）求出AB的長，再求C點到AB的距離，即可求解；
（2）畫出△ABC關于y軸的對稱圖形，即可求點的坐標；
（3）作A點關于x軸的對稱點E，連接CE交x軸于點P，P點即為所求．
解：（1）∵A（-1，5），B（-1，0），C（-4，3），
∴AB=5，
∴S△ABC=×5×3=；
（2）A1（1，5），B1（1，0），C1（4，3）；
（3）作A點關于x軸的對稱點E，連接CE交x軸于點P，連接AP，
∴AP=EP，
∴AP+PC=EP+PC=EC，此時P到A、C兩點的距離之和最小．
2．如圖，在平面直角坐標系中點A的坐標為（0，1），點C的坐標為（4，3）．
（1）在圖中△ABC關于y軸對稱圖形為△A1B1C1，則C1（ _____，_____）；
（2）△A1B1C1的面積是 _____；
（3）如果要使以點A、B、D為頂點的三角形與△ABC全等，那么點D的坐標是 _____．
【答案】(1)-4;(2)3;(3)3;(4)（4，-1）或（-1，3）或（-1，-1）;
【解析】（1）根據關于y軸的對稱點的坐標特點可得點C1的坐標；
（2）根據三角形的面積公式解答即可；
（3）根據網格和全等三角形的判定即可得到符合條件的點D的坐標．
解：（1）∵點C的坐標為（4，3），△ABC關于y軸對稱圖形為△A1B1C1，
所以點C1的坐標為（-4，3）．
故答案為：-4；3；
（2）△A1B1C1的面積是=3，
故答案為：3；
（3）如圖所示：
要使以點A、B、D為頂點的三角形與△ABC全等，那么點D的坐標是（4，-1）或（-1，3）或（-1，-1）．
故答案為：（4，-1）或（-1，3）或（-1，-1）．
3．如圖，平面直角坐標系中，小正方形組成的網格的邊長是1，△ABC的三個頂點均在格點上，且AC經過坐標原點O，請按要求完成下列各題．
（1）寫出A、B、C三點的坐標；
（2）寫出點B關于y軸對稱的點B1的坐標；
（3）計算△AB1C的面積；
【解析】（1）根據圖形直接寫出坐標即可；
（2）關于y軸對稱的點縱坐標相等，橫坐標互為相反數，據此作答即可；
（3）利用割補法即可求解；
（4）運用勾股定理求出AB2=12+22=5，BC2=32+42=25，AC2=22+42=20，再利用勾股定理的逆定理即可證明．
解：（1）結合圖形可得：A（-1，2）；B（-3，1）；C（1，-2）；
（2）∵關于y軸對稱的點縱坐標相等，橫坐標互為相反數，B（-3，1），
∴B1（3，1）；
（3）如圖，
△AB1C的面積=
=16-2-3-4
=16-9
=7；
知識點3.關于與x軸（y軸）平行的直線對稱的兩個點橫（縱）坐標的關系
　 P點坐標關于直線的對稱點的坐標為．
　 P點坐標關于直線的對稱點的坐標為．
平面直角坐標系中的軸對稱變換
計算———計算已知圖形特殊點對稱點的坐標（注意特殊點一定要能確定原圖形）
描點———根據對稱的坐標描點
連接———依次連接所描各點得到成軸對稱的圖形
【新知導學】
例3-1．在平面直角坐標系中，若點（1，2）關于某條直線對稱后得點（-1，2），則這條直線為 _____．
【答案】x=0
【解析】根據軸對稱的性質解決問題即可．
解：∵A（1，2），B（-1，2）是縱坐標相等，橫坐標互為相反數，
∴A，B關于y軸對稱，
∴這條直線是x=0．
故答案為：x=0．
【對應導練】
1．在正方形網格中，每個小正方形的邊長為1，點A（-4，5），C（-1，3），A1（4，5），B1（2，1），△ABC與△A1B1C1關于某直線成軸對稱．
（1）在網格內完善平面直角坐標系；
（2）點B坐標是 _____，點C1坐標是 _____；
（3）求△A1B1C1的面積．
【答案】(1)（-2，1）;(2)（1，3）;
【解析】（1）根據A（-4，5），C（-1，3）確定原點位置，然后作出坐標系即可；
（2）根據點B的位置寫出點B的坐標即可，根據圖形可知△ABC與△A1B1C1關于y軸對稱，即可得到點C1坐標；
（3）分割法求出△A1B1C1的面積即可．
解：（1）如圖所示：建立直角坐標系如下，
（2）由圖可知，B（-2，1），
∵A（-4，5），A1（4，5），B1（2，1），
∴△ABC與△A1B1C1關于y軸對稱，如圖，
∴C1（1，3）；
故答案為：（-2，1），（1，3）；
（3）△A1B1C1的面積為．
2．已知點A1（2，5）關于y軸的對稱點A2，關于原點的對稱點A3
（1）求△A1A2A3的面積；
（2）如果將△A1A2A3沿著直線y=-5翻折可得到△B1B2B3，請寫出B1，B2，B3的坐標．
【解析】（1）作出△A1A2A3，然后代入面積公式進行運算即可；
（2）關于y=-5對稱的兩點，橫坐標相等，縱坐標之和為2×（-5），由此可得出各點的坐標．
解：（1）如圖所示：
關于y軸對稱的兩點：橫坐標互為相反數，縱坐標相等，則點A2坐標為（-2，5）；
關于原點對稱的兩點：橫、縱坐標均互為相反數，則A3坐標為（-2，-5）；
則S△A1A2A3=×4×10=20．
（2）點A1（2，5）關于y=-5對稱的點B1的坐標為（2，-15）；
點A2（-2，5）關于y=-5對稱的點B2的坐標為（-2，-15）；
點A3（-2，-5）關于y=-5對稱的點B3的坐標為（-2，-5）；
3．如圖，在平面直角坐標系中，直線l過點M（3，0），且平行于y軸．
（1）如果△ABC三個頂點的坐標分別是A（-2，0），B（-1，0），C（-1，2），△ABC關于y軸的對稱圖形是△A1B1C1，△A1B1C1關于直線l的對稱圖形是△A2B2C2，寫出△A2B2C2的三個頂點的坐標；
（2）如果點P的坐標是（-a,0），其中0＜a＜3，點P關于y軸的對稱點是P1，點P1關于直線l的對稱點是P2，求PP2的長．
【解析】（1）根據關于y軸對稱點的坐標特點是橫坐標互為相反數，縱坐標相同可以得到△A1B1C1各點坐標，又關于直線l的對稱圖形點的坐標特點是縱坐標相同，橫坐標之和等于3的二倍，由此求出△A2B2C2的三個頂點的坐標；
（2）P與P1關于y軸對稱，利用關于y軸對稱點的特點：縱坐標不變，橫坐標變為相反數，求出P1的坐標，再由直線l的方程為直線x=3，利用對稱的性質求出P2的坐標，即可得出PP2的長．
解：（1）△A2B2C2的三個頂點的坐標分別是A2（4，0），B2（5，0），C2（5，2）；
（2）如圖1，當0＜a＜3時，∵P與P1關于y軸對稱，P（-a,0），
∴P1（a,0），
又∵P1與P2關于l：直線x=3對稱，
設P2（x,0），可得：=3，即x=6-a,
∴P2（6-a,0），
則PP2=6-a-（-a）=6-a+a=6．
二、題型訓練
1.利用對稱點的坐標特征求字母的值
1.點P（﹣2，b）與點Q（a，3）關于x軸對稱，則a+b的值為（　　）
A．5 B．﹣5 C．1 D．﹣1
【分析】直接利用關于x軸對稱點的性質得出a，b的值，進而得出答案．
【解答】解：∵點P（﹣2，b）和點Q（a，3）關于x軸對稱，
∴a＝﹣2，b＝﹣3，
則a+b的值是：﹣5．
故選：B．
2.若點P關于x軸的對稱點為P1（2a+b，﹣a+1），關于y軸的對稱點為P2（4﹣b，b+2），則P點的坐標為（　　）
A．（9，3） B．（﹣9，3） C．（9，﹣3） D．（﹣9，﹣3）
【分析】點P關于x軸的對稱點為P1（2a+b，﹣a+1），則點P的坐標是（2a+b，a﹣1），點P關于y軸的對稱點為P2（4﹣b，b+2），則的P的坐標是（b﹣4，b+2），因而就得到關于a，b的方程組，從而求出a，b，得出點P的坐標．
【解答】解：根據題意得：
解得：
∴P點的坐標為（﹣9，﹣3）．
故選：D．
3 .若點A（a，5），在第二象限，則點A關于直線m（直線m上各點的橫坐標都是1）對稱的點坐標是（　　）
A．（﹣a，5） B．（2﹣a，5） C．（﹣a﹣4，﹣5） D．（﹣a﹣2，﹣5）
【分析】利用已知直線m上各點的橫坐標都是1，得出其解析式，再利用對稱點的性質得出答案．
【解答】解：∵直線m上各點的橫坐標都是1，
∴直線為：x＝1，
∵點P（a，5）在第二象限，
∴a到1的距離為：1﹣a，
∴點P關于直線m對稱的點的橫坐標是：1﹣a+1＝2﹣a，
故P點對稱的點的坐標是：（2﹣a，5）．
故選：B．
2.利用全等變換在網格中作圖
4．如圖，△ABC的三個頂點在邊長為1的正方形網格中，已知A（3，3），B（﹣3，﹣3），C（1，﹣3）．
(1)畫出△ABC及關于y軸對稱的△A1B1C1；
(2)點A的對應點A1的坐標是　 　，點B的對應點B1的坐標是　 　，點C的對應點C1的坐標是　 　；
(3)若△ABP與△ABC全等，△ABP的頂點P在第四象限內，且不與C重合，則P的坐標是 ．
【答案】(1)見解析
(2)（﹣3，3），（3，﹣3），（﹣1，﹣3）
(3)（3，﹣1）
【分析】（1）依據軸對稱的性質即可畫出△ABC關于y軸對稱的△A1B1C1；
（2）依據點A的對應點為A1，點B的對應點為B1，點C的對應點為C1，即可得到A1，B1，C1的坐標；
（3）依據全等三角形的性質，即可得到P的坐標．
【詳解】（1）解：如圖所示，△A1B1C1即為所求；
；
（2）解：A1，B1，C1的坐標分別是（-3，3），（3，-3），（-1，-3）．
故答案為：（-3，3），（3，-3），（-1，-3）．
（3）解：如圖，△ABC≌△BAP，且點P在第四象限．
　
∴P（3，-1）．
故答案為：（3，-1）．
【點睛】本題主要考查了運用軸對稱變換進行作圖以及坐標確定位置的運用，解決問題的關鍵是掌握畫一個圖形的軸對稱圖形的方法，畫圖時先從確定一些特殊的對稱點開始．還考查了全等三角形的判定和性質．
5．如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點的坐標分別是A（2，-1），B（1，-2），C（3，-3）．
（1）請畫出與△ABC關于y軸對稱的△A1B1C1，并寫出點C1的坐標；
（2）在（1）的條件下，畫出與△A1B1C1關于直線l對稱的△A2B2C2；
（3）在（2）的條件下，若點P1（m,n）在△A1B1C1的內部，則點P1在△A2B2C2中對應點P2的坐標是 _____．
【答案】（m,2-n）
【解析】（1）根據關于y軸對稱的點橫坐標互為相反數，縱坐標相同找到A、B、C對應點A1、B1、C1的位置，然后順次連接A1、B1、C1，再寫出點C1的坐標即可；
（2）根據關于直線y=1對稱的點橫坐標相同，縱坐標的和為1的2倍找到A1、B1、C1對應點A2、B2、C2的位置，然后順次連接A1、B1、C1即可；
（3）根據關于直線y=1對稱的點橫坐標相同，縱坐標的和為1的2倍進行求解即可．
解：（1）如圖所示△A1B1C1即為所求，
∴點C1的坐標為（-3，-3）；
（2）如圖所示，△A2B2C2即為所求；
（3）由題意得，△A1B1C1與△A2B2C2關于直線y=1對稱，
∴若點P1（m,n）在△A1B1C1的內部，則點P1在△A2B2C2中對應點P2的坐標是P2（m,2-n），
故答案為：（m,2-n）．
6．在平面直角坐標系中，如圖所示A（-2，1），B（-4，1），C（-1，4）．
（1）△ABC向上平移一個單位，再向左平移一個單位得到△A1B1C1，那么C的對應點C1的坐標為_____；P點到△ABC三個頂點的距離相等，點P的坐標為_____；
（2）△ABC關于第一象限角平分線所在的直線作軸對稱變換得到△A2B2C2，那么點B的對應點B2的坐標為_____；
（3）△A3B3C3是△ABC繞坐標平面內的Q點順時針旋轉得到的，且A3（1，0），B3（1，2），C3（4，-1），點Q的坐標為_____．
【答案】(1)（-2，5）;(2)（-3，3）;(3)（1，-4）;(4)（-1，-1）;
【解析】（1）分別作出A，B，C的對應點A1，B1，C1即可．
（2）分別作出A，B，C的對應點A2，B2，C2即可．
（3）分別作出A，B，C對應點A3，B3，C3即可，作出對應點連線段的垂直平分線的交點Q即可解決問題．
解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求，那么C的對應點C1的坐標為（-2，5）P，點P的坐標為（-3，3）．
故答案為（-2，5），（-3，3）．
（2）△A2B2C2如圖所示，那么點B的對應點B2的坐標為（1，-4）．
故答案為（1，-4）．
（3）△A3B3C3即為所求，Q（-1，-1），
故答案為（-1，1）．
3.利用全等變換在坐標系中作圖
7 .如圖所示，△ABC在平面直角坐標系中（每個小正方形的邊長為1個單位長度）
(1)直接寫出點A的坐標A（ ， ）；
(2)畫出△ABC關于軸對稱的；
(3)在（1）的條件下，結合你所畫的圖形，求出的面積．
【答案】(1)A（ -2，3）
(2)見解析
(3)3.5
【分析】(1)根據坐標與象限的關系，確定坐標即可．
(2)確定A(-2，3)，B(-5，2)，C(-1，1)，再確定(2，3)， (5，2)， (1，1)，依次連接即可．
(3) 利用構造矩形后用分割法計算面積．
(4) 先確定點A關于y軸的對稱點，連接對稱點與點C，與y軸的交點即為所求．
【詳解】（1）根據題意，得點A在第二象限，
∴A(-2，3)，
故答案為：-2，3．
（2）如圖，∵A(-2，3)，B(-5，2)，C(-1，1)，
∴它們關于y軸的對稱點，依次為(2，3)， (5，2)， (1，1)，
∴順次連接 ， ， ，
則即為所求．
（3）如圖，補形矩形DEF，
∴的面積為：4×2-
=．
【點睛】本題考查了坐標與象限，點關于y軸對稱，坐標系中圖形面積的計算，線段和最小的構造法，熟練掌握點的對稱點的坐標特點，靈活運用將軍飲馬河原理是解題的關鍵．
8 .如圖，在直角坐標系中，A（﹣1，5），B（﹣3，0），C（﹣4，3）．
（1）在圖中作出△ABC關于y軸對稱的圖形△A1B1C1；
（2）寫出點C1的坐標；
（3）求△ABC的面積．
【答案】（1）見解析；（2）（4，3）；（3）；
【詳解】
（1）△A1B1C1如圖所示．
(2)點C1的坐標為(4，3)．
(3)S△ABC＝3×5－×3×2－×3×1－×2×5＝.
9 .已知點A（2a﹣b，5+a），B（2b﹣1，﹣a+b）．
（1）若點A、B關于x軸對稱，求a、b的值；
（2）若A、B關于y軸對稱，求﹙4a+b﹚2016的值．
【答案】（1）；（2）1
【解析】
解：（1）∵點A，B關于x軸對稱，
∴ ，
解得；
（2）∵A，B關于y軸對稱，
∴，
解得，
所以，（4a+b）2016=[4×（﹣1）+3]2016=1
三、課堂達標
一、選擇題(共8題，每小題4分，共32分)
1．點P（-5，3）關于x軸對稱點P的坐標為（　　）
A. （-5，-3） B. （5，3）
C. （5，-3） D. （3，-5 ）
【答案】A
【解析】根據關于x軸對稱的點的坐標特征，即可解答．
解：點P（-5，3）關于x軸對稱點P的坐標為（-5，-3），
故選：A．
2．點（2，-3）關于y軸對稱的點的坐標是（　　）
A. （-2，3） B. （-2，-3） C. （2，3） D. （2，-3）
【答案】B
【解析】直接利用關于y軸對稱點的性質得出答案．
解：點（2，-3）關于y軸對稱的點的坐標是：（-2，-3）．
故選：B．
3．已知點P1（-4，3），P2（-4，-3），則P1和P2滿足（　　）
A. P1P2∥x軸 B. 關于y軸對稱
C. 關于x軸對稱 D. P1P2=8
【答案】C
【解析】直接利用關于x軸對稱點的性質得出答案．
解：∵點P1（-4，3），P2（-4，-3），
∴P1和P2滿足關于x軸對稱．
故選：C．
4．在平面直角坐標系中，已知點A（3，1）和點B（n,m）關于x軸對稱，則nm的值是（　　）
A. -3 B.
C. 3 D. -
【答案】B
【解析】根據關于x軸對稱的點的坐標特點可得n、m的值，進而可得nm的值．
解：∵點點A（3，1）和點B（n,m）關于x軸對稱，
∴n=3，m=-1，
∴nm=3-1=，
故選：B．
5．已知點A（m,2024）與點B（2023，n）關于x軸對稱，則m+n的值為（　　）
A. 1 B. -1 C. 0 D. 2
【答案】B
【解析】利用關于x軸對稱的點的坐標特點可得答案．
解：∵點A（m,2024）與點B（2023，n）關于x軸對稱，
∴m=2023，n=-2024，
∴m+n=2023-2024=-1．
故選：B．
6．如圖，在平面直角坐標系中，△ABC與△A'B'C'關于x軸對稱，其中點A，B，C的對應點分別為點A'，B'，C'，若點P（2，3）在△ABC的邊上，則點P在△A'B'C'上的對應點P'的坐標是（　　）
A. （3，2） B. （-2，3） C. （2，-3） D. （-2，-3）
【答案】C
【解析】利用關于x軸的對稱點的坐標特點可得答案．
解：∵△ABC與△A'B'C'關于x軸對稱，點P（2，3）在△ABC的邊上，
∴點P在△A'B'C'上的對應點P'的坐標是（2，-3）．
故選：C．
7．已知點P（2m+3n,2）與點Q（6，3m-2n）關于x軸對稱，在△ABC中，邊AB，AC的垂直平分線分別交BC于點M，G（如圖），連AM，AG．若BC=26m+13n.則△AMG的周長為（　　）
A. 28 B. 30 C. 32 D. 34
【答案】D
【解析】先根據點P（2m+3n,2）與點Q（6，3m-2n）關于x軸對稱，求出m和n的值，即可求出BC的長，再根據線段垂直平分線的性質定理證明AM=BM，AG=GC，那么△AMG的周長就轉化為BC的長．
解：∵點P（2m+3n,2）與點Q（6，3m-2n）關于x軸對稱，
∴2m+3n=6，3m-2n=-2，
解得m=，n=，
∴BC=26m+13n=12+22=34，
∵邊AB，AC的垂直平分線分別交BC于點M，G，
∴AM=BM，AG=GC，
∴BC=BM+MG+GC=AM+MG+AG=34，
∴△AMG的周長為34．
故選：D．
8．如圖，在平面直角坐標xOy中，∠A=90°，OA=2，OB平分∠AOx,點B（a-1，a-2）關于x軸的對稱點是（　　）
A. （-2，1） B. （3，-2） C. （2，-1） D. （3，-1）
【答案】C
【解析】過B點作BC⊥x軸于點C，則△OAB≌△OCB，即OC=OA，寫出B點坐標，最后求出關于x軸的對稱點的坐標．
解：如圖，過B點作BC⊥x軸于點C，
∵∠A=90°，
∴∠A=∠OCB=90°．
∵OB平分∠AOx,
∴∠AOB=∠BOC．
又∵OB=OB，
∴△OAB≌△OCB，
∴OC=OA，
即：a-1=2，
解得：a=3，
∴B（2，1），
∴B（2，1）關于x軸的對稱點是（2，-1）．
故選C．
二、填空題(共5題，每小題4分，共20分)
9．已知點A（-2，3）和點B是坐標平面內的兩個點，它們關于直線x=1對稱，則B的坐標為 _____．
【答案】（4，3）
【解析】根據軸對稱的性質可知A，B兩點到直線x=1的距離相等，據此可解決問題．
解：因為A，B兩點關于直線x=1對稱，
所以A，B兩點的縱坐標相等，
則yB=yA=3；
A，B兩點到直線x=1的距離相等，
則1-（-2）=xB-1，
所以xB=4，
則點B的坐標為（4，3）．
故答案為：（4，3）．
10．如圖，在直角坐標系中，Rt△ABC的頂點A在x軸上，頂點B在y軸上，∠ACB=90°，OB∥AC，點C的坐標為（4，8），點D和點C關于AB成軸對稱，且AD交y軸于點E．則點E的坐標為 _____．
【答案】（0，3）
【解析】利用軸對稱的性質可得出AD=AC=8，∠CAB=∠DAB，再通過平行線得出∠ABO=∠CAB，進而得出∠ABO=∠DAB，最后利用等角對等邊，結合勾股定理即可解決問題．
解：因為∠ACB=90°，OB∥AC，
所以∠OBC=90°，
又因為∠BOA=90°，
所以四邊形BOAC是矩形．
因為點C的坐標為（4，8），
所以AC=8，BC=4，
所以BD=BC=4，AD=AC=8．
因為點D和點C關于AB成軸對稱，
所以∠CAB=∠DAB，
又因為OB∥AC，
所以∠OBA=∠CAB，
所以∠OBA=∠DAB，
所以BE=AE．
令BE=AE=x,
則DE=8-x.
在△BDE中，
BD2+DE2=BE2，
即42+（8-x）2=x2，
解得x=5，
所以BE=5，
所以OE=8-5=3，
即點E的坐標為（0，3）．
故答案為：（0，3）．
11．如圖，在平面直角坐標系中，四邊形AOCB是邊長為2的正方形，A，C分別在y軸正半軸與x軸正半軸上，P點坐標為（﹣1，1），將P點關于A對稱得到P1，將P1關于O點對稱得到P2，將P2關于C點對稱得到P3，將P3關于B點對稱得到P4，將P4關于A點對稱得到P5，……，按照順序以此類推，則P2023的坐標為 　 　．
【分析】探究規律，利用規律求解即可．
【解答】解：如圖，由題意P（﹣1，1），P1（1，3），P2（﹣1，﹣3），P3（5，3），P4（﹣1，1），
∴P4與P重合，四次一個循環，
∵2023÷4＝505…3，
∴P2023與P3重合，
∴P2023（5，3）．
故答案為：（5，3）．
12．如圖是由三個小正方形組成的圖形請你在圖中補畫一個小正方形使補畫后的圖形為軸對稱圖形，共有_____種補法．
【答案】4
【解析】根據軸對稱與對稱軸的定義，即可求得答案．
解：如圖：補畫一個小正方形使補畫后的圖形為軸對稱圖形，共有4種補法．
．
故答案為：4．
13．如圖，在平面直角坐標系中，對△ABC進行循環往復的軸對稱變換，若原來點A坐標是（1，2），則經過第2022次變換后點A的對應點的坐標為 _____．
【答案】（-1，-2）
【解析】觀察圖形可知每四次對稱為一個循環組，依次循環，用2022除以4，然后根據商和余數的情況確定出變換后的點A所在的象限，解答即可．
解：點A第一次關于y軸對稱后在第二象限，
點A第二次關于x軸對稱后在第三象限，
點A第三次關于y軸對稱后在第四象限，
點A第四次關于x軸對稱后在第一象限，即點A回到原始位置，
所以，每四次對稱為一個循環組依次循環，
∵2022÷4=505余2，
∴經過第2022次變換后所得的A點與第二次變換的位置相同，在第三象限，坐標為（-1，-2）．
故答案為：（-1，-2）．
三、解答題(共6題，共48分)
14．（8分）已知點A（a,3），B（-4，b），試根據下列條件分別求出a,b的值．
（1）A，B兩點關于y軸對稱；
（2）AB∥x軸，且線段AB=3．
【解析】（1）直接利用關于y軸對稱點的坐標特點，縱坐標相同，橫坐標互為相反數，進而得出答案；
（2）利用平行于x軸時，縱坐標相同，進而結合兩點之間距離求法得出答案．
解：（1）∵點A（a,3），B（-4，b），A，B兩點關于y軸對稱，
∴b=3，a=4；
（2）∵點A（a,3），B（-4，b），AB∥x軸，且線段AB=3，
∴b=3，|a-（-4）|=3或|-4-a|=3，
解得：a=-1或-7．
15．（8分）已知點A（2a-b,5+a），B（2b-1，-a+b）．
（1）若點A，B關于x軸對稱，求a,b的值；
（2）若點A，B關于y軸對稱，求（4a+b）2019的值．
【解析】（1）根據“關于x軸對稱的點，橫坐標相同，縱坐標互為相反數”列方程組求解即可；
（2）根據“關于y軸對稱的點，縱坐標相同，橫坐標互為相反數；”列方程組求出a、b的值，然后代入代數式進行計算即可得解．
解：（1）∵點A，B關于x軸對稱，
∴，
解得．
（2）∵點A，B關于y軸對稱，
∴，
解得，
∴（4a+b）2019=[4×（-1）+3]2019=-1．
16．（7分）如圖所示，在平面直角坐標系中，已知A（0，1）、B（2，0）、C（4，3）．
（1）在平面直角坐標系中畫出△ABC，則△ABC的面積是 _____；
（2）若點D與點C關于x軸對稱，則點D的坐標為 _____；
（3）已知P為y軸上一點，若△ABP的面積為4，求點P的坐標．
【答案】(1)4;(2)（4，-3）;
【解析】（1）利用割補法求三角形的面積即可；
（2）根據關于x軸對稱的點的性質即可得答案；
（3）設點P的坐標為（0，m），則S△ABP=4，求出m的值，即可得出答案．
解：（1）△ABC的面積為4×3-×2×1-×2×3-×2×4=4；
故答案為：4；
（2）∵點D與點C關于x軸對稱，
∴點D的坐標為（4，-3）；
故答案為：（4，-3）；
（3）設點P的坐標為（0，m），
∴S△ABP=AP×2=4，
∴AP=4，
∴|m-1|=4，
∴m=5或-3，
∴點P的坐標為（0，5）或（0，-3）．
17．（8分）如圖，在平面直角坐標系中，直線l過點A且平行于x軸，交y軸于點D（0，1），已知AD=5，△ABC關于直線l對稱．
（1）求點A的坐標；
（2）若點C的坐標為（-2，-2），判斷△ABC的形狀，并說明理由．
【解析】（1）直線l過點A且平行于x軸，交y軸于點D（0，1），AD=5，可得點A的坐標；
（2）根據△ABC關于直線l對稱，可得BC⊥AD，BE=CE，AB=AC，根據點C的坐標，可得AE=CE=3，所以∠CAE=∠C=45°，所以∠BAC=90°，即可得出結論．
解：（1）∵直線l過點A且平行于x軸，交y軸于點D（0，1），AD=5，
∴點A的坐標為（-5，1）；
（2）△ABC為等腰直角三角形，
理由：如圖，設直線l與BC交于點E，
∵△ABC關于直線l對稱，
∴BC⊥AD，BE=CE，AB=AC，
∵點C的坐標為（-2，-2），
∴點E的坐標為（-2，1），
∴AE=CE=3，
∴∠CAE=∠C=45°，
∴∠BAC=90°，
∴△ABC為等腰直角三角形．
18．（9分）在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為（2，4），過（3，0）點作x軸的垂線l,點A與點B關于直線對稱；
（1）點B的坐標為 _____；
（2）點C的坐標為（6，0），順次連接OABC，若在四邊形OABC內部有一個點P，滿足S△POA=S△PBC，且S△PAB=S△POC，求點P的坐標；
（3）在四邊形外部是否存在點Q，滿足S△QOA=S△QBC，且S△QAB=S△QOC，若存在，直接寫出Q點坐標，若不存在請說明理由．
【答案】（4，4）
【解析】（1）觀察圖象，根據點的位置寫出坐標即可；
（2）設P（m,0）．G構建方程求解即可；
（3）設Q（3，t），構建方程求解即可．
解：（1）圖形如圖所示，B（4，4）．
故答案為：（4，4）；
（2）∵S△POA=S△PBC，
∴點P在對稱軸l上，
設P（3，m），
∵S△PAB=S△POC，
∴×2×（4-m）=×6×m,
∴m=1，
∴P（3，1）；
（3）存在．
理由：∵S△QOA=S△QBC，
∴點Q在對稱軸l上，
設P（3，t），
∵S△QAB=S△QOC，
∴×2×（4-t）=×6×（-t），
∴t=-2，
∴Q（3，-2）．
19．（8分）如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點坐標分別為A（-1，5），B（-4，2），C（-2，1）．
（1）畫出△ABC；
（2）畫出△ABC關于x軸對稱的△A1B1C1，點A，B，C的對應點分別為A1，B1，C1；
（3）畫出△A1B1C1關于y軸對稱的△A2B2C2，點A1，B1，C1的對應點分別為A2，B2，C2；
（4）直接寫出點B1，B2的坐標．
【解析】（1）根據題意找出三個點，依次連接即可；
（2）直接利用關于x軸對稱點的性質得出對應點位置進而得出答案；
（3）直接利用關于y軸對稱點的性質得出對應點位置進而得出答案；
（4）根據圖象寫出坐標即可．
解：（1）如圖所示：
（2）如圖所示：
（3）如圖所示：
（4）B1（-4，-2），B2（4，-2）．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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