資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
人教版八年級數學上名師點撥精練
第13章 軸對稱
13.2 畫軸對稱圖形
學習目標
1．能作軸對稱圖形，能應用軸對稱進行簡單的圖案設計；
2．能用軸對稱的知識解決相應的數學問題．
3．通過獨立思考、交流討論、展示質疑，發展觀察、歸納、想象及推理能力．
重點：作軸對稱圖形．
難點：用軸對稱知識解決相應的數學問題．
老師告訴你
利用特殊點畫對稱圖形的方法：
畫一個圖形關于某條直線的對稱圖形，只要分別作出圖形中的一些特殊點關于此條直線的對稱點，再連接這些對稱點，便可得到原圖形關于此直線的對稱圖形。
知識點撥
知識點1 軸對稱變換
軸對稱變換： 由一個平面圖形可以得到與它關于一條直線 l 對稱的圖形，這個圖形與原圖形的形狀、大小完全相同(位置、朝向可能不同)；
軸對稱變換的性質：
（1）新圖形上的每一點都是原圖形上的某一點關于直線 l 的對稱點；
（2）連接任意一對對應點的線段被對稱軸垂直平分．
【新知導學】
例1-1 .下列每對圖形中的兩個圖形成軸對稱變換的是（ ）
A． B． C． D．
【對應導練】
1．小強站在鏡前，從鏡子中看到鏡子對面墻上掛著的電子表，其讀數如圖所示，則電子表的實際時刻是（　　）
A. 15：01 B. 10：51 C. 10：21 D. 12：01
2．如圖，△ABC與△A'B'C'關于直線MN對稱，BB′交MN于點O，則下列結論不一定正確的是 （　　）
A. AC=A'C' B. BO=B'O C. A′A⊥MN D. AB∥B'C'
3．把一個正方形如圖對折三次后沿虛線剪下兩個角，則展開余下部分所得的圖形想是( )
A. B. C. D.
知識點2 畫軸對稱圖形
①由已知點出發向所給直線作垂線，并確定垂足；
②直線的另一側，以垂足為一端點，作一條線段使之等于已知點和垂足之間的線段的長，得到線段的另一端點，即為對稱點；
③連接這些對稱點，就得到原圖形的軸對稱圖形．
在軸對稱圖形和成軸對稱的兩個圖形中，對應線段、對應角相等.成軸對稱的兩個圖形，如果它們的對應線段或延長線相交，那么交點一定在對稱軸上.如果兩個圖形的對應點連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個圖形關于這條直線對稱.
找對稱軸：對應點連線的垂直平分線即為對稱軸
【新知導學】
例2-1．下面是四位同學作△ABC關于直線MN的軸對稱圖形，其中正確的是（　　）
A. B.
C. D.
【對應導練】
1．作已知點關于某直線的對稱點的第一步是（　　）
A. 過已知點作一條直線與已知直線相交
B. 過已知點作一條直線與已知直線垂直
C. 過已知點作一條直線與已知直線平行
D. 不確定
2．在下列各圖中分別補一個小正方形，使其成為不同的軸對稱圖形．
3．在圖①中描涂2個小方塊，在圖②中描涂3個小方塊，在圖③中描涂4個小方塊，在圖④中描涂5個小方塊，分別使圖中的陰影圖案成為軸對稱圖形．
在下面各圖中畫△A′B′C′，使△A′B′C′與△ABC關于l成軸對稱圖形．
5 .利用圖形中的對稱點，畫出圖形的對稱軸．
知識點3 軸對稱綜合題（幾何變換）
綜合應用線段垂直平分線性質判定、軸對稱的性質、平移的性質、全等三角形判定、性質解決綜合問題。
【新知導學】
例3-1 .如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點的坐標分別為A（﹣2，5）．B（﹣4，3），C（﹣1，1）．
（1）作出△ABC向右平移5個單位的△A1B1C1；
（2）作出△ABC關于x軸對稱的△A2B2C2，并寫出點C2的坐標．
（3）請求△ABC的面積．
【對應導練】
1 .如圖，在四邊形中，分別是邊上的動點．
若的周長最小，利用無刻度直尺和圓規確定點的位置(不寫作法，保留尺規作圖痕跡)；
在(1)的條件下，求的度數．
2．折紙是進一步理解直線平行的條件和平行線的性質，發展推理能力的一種有效的方法．

（1）如圖1，四邊形ABCD是長方形紙片，AB∥CD，折疊紙片，折痕為EF，AE和CD交于點G．探究∠A′EF和∠CFE的數量關系，并說明理由；
（2）如圖2，在（1）中折疊的基礎上，再將紙片折疊，使得C′G經過點E，折痕為GH．探究兩次折痕EF和GH的位置關系，并說明理由．
3．如圖，已知點P在∠AOB的內部，且點P與點M關于OA對稱，PM交OA于點Q，點P與點N關于OB對稱，PN交OB于點R，MN分別交OA，OB于點E，F．
（1）連接PE，PF，若MN=15，求△PEF的周長；
（2）若PM=PN，求證：OP平分∠AOB．
二、題型訓練
1.畫軸對稱圖形在網格中的應用
1.如圖，三角形的三個頂點都在正方形網格的格點上，請在圖①②③④中分別畫出另一個三角形，使它與已知的三角形關于某條直線成軸對稱，并畫出對稱軸．
如圖①、圖②、圖③均是4×4的正方形網格，每個小正方形的頂點稱為格點，圖中給定的各點均在格點上，只用無刻度的直尺，在給定的網格中按要求作圖，保留作圖痕跡．
（1）在圖①中，畫出線段O′A'，使O′A′與OA關于直線l成軸對稱．
（2）在圖②中，畫出△BCD的對稱軸．
（3）在圖③中，在線段EF上確定一點P，連結MP、NP，使∠MPF＝∠NPF．
2.利用軸對稱變換尋找全等三角形
3．如圖，在平面直角坐標系中點A的坐標為（0，1），點C的坐標為（4，3）．
（1）在圖中△ABC關于y軸對稱圖形為△A1B1C1，則C1（ _____，_____）；
（2）△A1B1C1的面積是 _____；
（3）如果要使以點A、B、D為頂點的三角形與△ABC全等，那么點D的坐標是 _____．
4．如圖，已知AD=AE，AB=AC．
（1）求證：∠B=∠C；
（2）若∠A=50°，問△ADC經過怎樣的變換能與△AEB重合？
5．如圖，在由邊長為1個單位長度的小正方形組成的的網格中，的頂點都在小正方形的頂點上，這樣的三角形稱為格點三角形.在網格中與成軸對稱的全等格點三角形一共有__________________個.
成軸對稱的作圖在計算中的應用
6．如圖，在平面直角坐標系中，直線l過點A且平行于x軸，交y軸于點D（0，1），已知AD=5，△ABC關于直線l對稱．
（1）求點A的坐標；
（2）若點C的坐標為（-2，-2），判斷△ABC的形狀，并說明理由．
7．如圖，已知△ABC．
（1）畫出與△ABC關于y軸對稱的圖形△A1B1C1并寫出各頂點的坐標．
（2）求△ABC的面積．
三、課堂達標
一、選擇題(共8題，每小題4分，共32分)
1．在下列圖形中，只利用沒有刻度的直尺將無法作出其對稱軸的是（　　）
A. 等腰三角形 B. 菱形
C. 等腰梯形 D. 正六邊形
2．電子鐘鏡子里的像如圖所示，實際時間是（　　）
A. 21：10 B. 10：21 C. 10：51 D. 12：01
3．小華將一張如圖所示的矩形紙片沿對角線剪開，他利用所得的兩個直角三角形進行圖形變換，構成了下列四個圖形，這四個圖形中不是軸對稱圖形的是（　　）
A. B.
C. D.
4．如圖所示的圖形共有對稱軸的條數為（　　）
A. 1條 B. 2條 C. 3條 D. 4條
5．如圖的2×4的正方形網格中，△ABC的頂點都在小正方形的格點上，這樣的三角形稱為格點三角形，在網格中與△ABC成軸對稱的格點三角形一共有（　　）
A. 2個 B. 3個 C. 4個 D. 5個
6 .如圖，△ABE和△ADC分別沿著邊AB、AC翻折180°形成的，若∠BCA：∠ABC：∠BAC＝28：5：3，BE與DC交于點F，則∠EFC的度數為（　　）
A．20° B．30° C．40° D．45°
7.將△ABC沿著平行于BC的直線折疊，點A落到點A′，若∠C=120°，∠A=26°，則∠A′DB的度數是（ ）
A．100° B．104° C．108° D．112°
8 .如圖，小強拿一張正方形的紙，沿圖甲中虛線對折一次得圖乙，再對折一次得圖丙，然后用剪刀沿圖丙中的虛線剪去一個角，再打開后的形狀是（ ）
A． B． C． D．
二、填空題(共5題，每小題4分，共20分)
9．如圖，OE是∠AOB的平分線，BD⊥OA于點D，AC⊥BO于點C，則關于直線OE對稱的三角形共有_____對．
10．黑板上寫著在正對著黑板的鏡子里的像是 _____．
11 .如圖，在△ABC中，∠C＝90°， BC＝6，D為線段AC的中點，把△ABC沿BD折疊，C點的對應點為點E，若△ADE為直角三角形，則CD＝ ．
12 .如圖是由三個小正方形組成的圖形請你在圖中補畫一個小正方形使補畫后的圖形為軸對稱圖形，共有 種補法．
13 .如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為，點B的坐標為，點C、D分別在y軸、 上運動，連接，則的最小值為 ．
三、解答題（共6小題，共48分）
14．（8分）畫出下列軸對稱圖形的對稱軸．
15 .（6分）如圖所示，在的正方形網格中，我們稱每個小正方形的頂點為“格點”，以格點為頂點的三角形叫做“格點三角形”. 是一個格點三角形，請你在圖1，圖2，圖3中分別畫出一個與成軸對稱的格點三角形，并將所畫三角形涂上陰影.（注：所畫的三個圖不能重復.）
16 .（9分）在圖示的正方形網格紙中，每個小正方形的邊長都是1，△ABC的三個頂點都在小正方形的頂點處，直線MN與網格中豎直的線相重合．
（1）直接寫出△ABC的面積；
（2）作出△ABC關于直線MN對稱的△A'B'C'；
（3）在網格內找一點D，使點D到線段BC，B'C'的距離相等且DB＝DC．（在網格上直接標出點D的位置，不寫作法）
17 .（8分）如圖，在平面直角坐標系中，，，．
(1)作出關于x軸對稱的圖形，并寫出點的坐標；
(2)在x軸上作出點P，使得最短，并寫出點P的坐標．
18 .（8分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝7cm，BC＝5cm，CD為AB邊上的高，點E從點B出發，在直線BC上以2cm/s的速度移動，過點E作BC的垂線交直線CD于點F．
（1）求證：∠A＝∠BCD；
（2）當CF＝AB時，點E運動多長時間？并說明理由．
19 .（9分）在平面直角坐標系中，經過點M（0，m）且平行于x軸的直線記作直線y＝m．給出如下定義：①把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這條直線成軸對稱，這條直線叫做對稱軸，折疊后重合的點叫做對稱點，對稱軸經過對稱點所連線段的中點，并且垂直于這條線段②將點P（x，y）關于y軸的對稱點記作點P1，再將點P1關于直線y＝m的對稱點記作點P2，則稱點P2為點P（x，y）關于y軸和直線y＝m的“青一對稱點”．例如：點P（3，1）關于y軸和直線y＝3的“青一對稱點”為點P2（﹣3，5）．
（1）點A（3，4）關于y軸和直線y＝1的“青一對稱點”A2的坐標是 　 　；
（2）點B（3m+n，m﹣n）關于y軸和直線y＝m的“青一對稱點”B2的坐標是（﹣9，5），求m和n的值；
（3）若點C（6x﹣5，2x+1）關于y軸和直線y＝m的“青一對稱點”C2在第二象限，且滿足條件的x的整數解有且只有一個，求m的取值范圍．
人教版八年級數學上名師點撥精練
第13章 軸對稱
13.2 畫軸對稱圖形
學習目標
1．能作軸對稱圖形，能應用軸對稱進行簡單的圖案設計；
2．能用軸對稱的知識解決相應的數學問題．
3．通過獨立思考、交流討論、展示質疑，發展觀察、歸納、想象及推理能力．
重點：作軸對稱圖形．
難點：用軸對稱知識解決相應的數學問題．
老師告訴你
利用特殊點畫對稱圖形的方法：
畫一個圖形關于某條直線的對稱圖形，只要分別作出圖形中的一些特殊點關于此條直線的對稱點，再連接這些對稱點，便可得到原圖形關于此直線的對稱圖形。
知識點撥
知識點1 軸對稱變換
軸對稱變換： 由一個平面圖形可以得到與它關于一條直線 l 對稱的圖形，這個圖形與原圖形的形狀、大小完全相同(位置、朝向可能不同)；
軸對稱變換的性質：
（1）新圖形上的每一點都是原圖形上的某一點關于直線 l 的對稱點；
（2）連接任意一對對應點的線段被對稱軸垂直平分．
【新知導學】
例1-1 .下列每對圖形中的兩個圖形成軸對稱變換的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【提示】
根據兩個圖形成軸對稱的定義，逐一判斷選項即可.
【詳解】
A.兩個圖形是平移變換，不符合題意；
B.兩個圖形是平移變換，不符合題意；
C.兩個圖形成軸對稱，符合題意；
D.兩個圖形是旋轉+平移變換，不符合題意；
故選C.
【名師點撥】
本題主要考查圖形的軸對稱的定義，掌握軸對稱的定義，是解題的關鍵.
【對應導練】
1．小強站在鏡前，從鏡子中看到鏡子對面墻上掛著的電子表，其讀數如圖所示，則電子表的實際時刻是（　　）
A. 15：01 B. 10：51 C. 10：21 D. 12：01
【答案】C
【解析】鏡子中看到的數字與實際數字是關于鏡面成垂直的線對稱．注意鏡子的5實際應為2．
解：電子表的實際時刻是10：21．
故選：C．
2．如圖，△ABC與△A'B'C'關于直線MN對稱，BB′交MN于點O，則下列結論不一定正確的是 （　　）
A. AC=A'C' B. BO=B'O C. A′A⊥MN D. AB∥B'C'
【答案】D
【解析】根據軸對稱的性質逐項判斷即可得．
解：A．AC=A′C′，則此項正確，不符合題意；
B．BO=B′O，則此項正確，不符合題意；
C．AA′⊥MN，則此項正確，不符合題意；
D．AB∥B'C'不一定正確，則此項符合題意；
故選：D．
3．把一個正方形如圖對折三次后沿虛線剪下兩個角，則展開余下部分所得的圖形想是( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：從折疊的圖形中剪去10個等腰直角三角形，易得將從正方形紙片中剪去5個小正方形，
故選：C.
知識點2 畫軸對稱圖形
①由已知點出發向所給直線作垂線，并確定垂足；
②直線的另一側，以垂足為一端點，作一條線段使之等于已知點和垂足之間的線段的長，得到線段的另一端點，即為對稱點；
③連接這些對稱點，就得到原圖形的軸對稱圖形．
在軸對稱圖形和成軸對稱的兩個圖形中，對應線段、對應角相等.成軸對稱的兩個圖形，如果它們的對應線段或延長線相交，那么交點一定在對稱軸上.如果兩個圖形的對應點連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個圖形關于這條直線對稱.
找對稱軸：對應點連線的垂直平分線即為對稱軸
【新知導學】
例2-1．下面是四位同學作△ABC關于直線MN的軸對稱圖形，其中正確的是（　　）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】根據軸對稱的定義判斷即可得．
解：作△ABC關于直線MN的軸對稱圖形正確的是B選項，
故選：B．
【對應導練】
1．作已知點關于某直線的對稱點的第一步是（　　）
A. 過已知點作一條直線與已知直線相交
B. 過已知點作一條直線與已知直線垂直
C. 過已知點作一條直線與已知直線平行
D. 不確定
【答案】B
【解析】根據作圖方法可得第一步是過已知點作一條直線與已知直線垂直．
解：作已知點關于某直線的對稱點的第一步是過已知點作一條直線與已知直線垂直，
故選：B．
2．在下列各圖中分別補一個小正方形，使其成為不同的軸對稱圖形．
【解析】直接利用軸對稱圖形的性質得出符合題意的答案．
解：如圖所示：
3．在圖①中描涂2個小方塊，在圖②中描涂3個小方塊，在圖③中描涂4個小方塊，在圖④中描涂5個小方塊，分別使圖中的陰影圖案成為軸對稱圖形．
【解析】根據軸對稱的性質作圖即可．
解：如圖所示：
．
在下面各圖中畫△A′B′C′，使△A′B′C′與△ABC關于l成軸對稱圖形．
【分析】分別找出點A、B、C關于直線l的對稱點A′、B′、C′的位置，然后順次連接即可．
【解答】解：△A′B′C′如圖所示．
5 .利用圖形中的對稱點，畫出圖形的對稱軸．
【分析】根據軸對稱圖形的性質來畫，先從圖上找出幾個對稱點，連接，作垂直平分對應點連線的垂線就是對稱軸．
【解答】解：
知識點3 軸對稱綜合題（幾何變換）
綜合應用線段垂直平分線性質判定、軸對稱的性質、平移的性質、全等三角形判定、性質解決綜合問題。
【新知導學】
例3-1 .如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點的坐標分別為A（﹣2，5）．B（﹣4，3），C（﹣1，1）．
（1）作出△ABC向右平移5個單位的△A1B1C1；
（2）作出△ABC關于x軸對稱的△A2B2C2，并寫出點C2的坐標．
（3）請求△ABC的面積．
【分析】（1）根據圖形平移的性質畫出△A1B1C1即可；
（2）分別作出各點關于x軸的對稱點，再順次連接，并寫出點C2的坐標即可；
（3）利用矩形的面積減去三個頂點上三角形的面積即可．
【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求；
（2）如圖，△A2B2C2即為所求；
（3）S△ABC＝3×4﹣×2×3﹣×2×2﹣×1×4＝12﹣3﹣2﹣2＝5．
【對應導練】
1 .如圖，在四邊形中，分別是邊上的動點．
若的周長最小，利用無刻度直尺和圓規確定點的位置(不寫作法，保留尺規作圖痕跡)；
在(1)的條件下，求的度數．
【答案】(1)見分析；(2)
【分析】(1)先利用四邊形的內角和求得，要使的周長最小，即利用點的對稱，使三角形的三邊在同一直線上，作出關于和的對稱點，
(2)由(1)可得出進而得出即可得出答案．
（1）解：如圖作出關于和的對稱點，
連接，交于，交于，點即為所求，
則 即為的周長最小值．
（2）∵，
∴，
∴
∵
∴
∴
∴．
【點撥】本題考查的是軸對稱-最短路線問題，同時考查了三角形的內角和定理，四邊形的內角和定理，根據軸對稱得出的位置是解題關鍵．
2．折紙是進一步理解直線平行的條件和平行線的性質，發展推理能力的一種有效的方法．

（1）如圖1，四邊形ABCD是長方形紙片，AB∥CD，折疊紙片，折痕為EF，AE和CD交于點G．探究∠A′EF和∠CFE的數量關系，并說明理由；
（2）如圖2，在（1）中折疊的基礎上，再將紙片折疊，使得C′G經過點E，折痕為GH．探究兩次折痕EF和GH的位置關系，并說明理由．
【解析】（1）結論：∠A′EF=∠CFE．利用平行線的性質翻折變換的性質證明；
（2）結論：EF∥GH，證明∠FEG=∠HGE即可．
解：（1）結論：∠A′EF=∠CFE．
理由：∵AB∥CD，
∴∠CFE=∠AEF，
由翻折變換的性質可知∠AEF=∠A′EF，
∴∠A′EF=∠CFE；
（2）結論：EF∥GH．
理由：∵AB∥CD，
∴∠AEG=∠CGE，
由翻折變換的性質可知∠FEG=∠AEG，∠HGE=∠CGE，
∴∠FEG=∠HGE，
∴EF∥GH．
3．如圖，已知點P在∠AOB的內部，且點P與點M關于OA對稱，PM交OA于點Q，點P與點N關于OB對稱，PN交OB于點R，MN分別交OA，OB于點E，F．
（1）連接PE，PF，若MN=15，求△PEF的周長；
（2）若PM=PN，求證：OP平分∠AOB．
【解析】（1）先根據軸對稱的性質可得ME=PE，FN=PF，再根據三角形的周長公式即可得；
（2）先根據軸對稱的性質可得，，從而可得Q=PR，再根據角平分線的判定定理即可得證．
（1）解：∵點P與點M關于OA對稱，
∴ME=PE．
同理：FN=PF．
∴△PEF的周長=EP+FP+EF=ME+EF+FN=MN=15；
（2）證明：∵PN=PM，Q、R為MP，PN的中點，
∴，，
∴PQ=PR．
又∵點P與點M關于OA對稱，點P與點N關于OB對稱，
∴PQ⊥QA，PR⊥OB，
∴OP平分∠AOB．
二、題型訓練
1.畫軸對稱圖形在網格中的應用
1.如圖，三角形的三個頂點都在正方形網格的格點上，請在圖①②③④中分別畫出另一個三角形，使它與已知的三角形關于某條直線成軸對稱，并畫出對稱軸．
【分析】根據畫出的三角形與已知的三角形關于某條直線成軸對稱，分別作圖，即可作答．
【解答】解：如圖所示：
如圖①、圖②、圖③均是4×4的正方形網格，每個小正方形的頂點稱為格點，圖中給定的各點均在格點上，只用無刻度的直尺，在給定的網格中按要求作圖，保留作圖痕跡．
（1）在圖①中，畫出線段O′A'，使O′A′與OA關于直線l成軸對稱．
（2）在圖②中，畫出△BCD的對稱軸．
（3）在圖③中，在線段EF上確定一點P，連結MP、NP，使∠MPF＝∠NPF．
【分析】（1）根據軸對稱的性質作圖即可．
（2）取CD的中點E，作直線BE即可．
（3）利用網格取格點P，使∠MPF＝∠NPF＝45°即可．
【解答】解：（1）如圖①，線段O′A'即為所求．
（2）如圖②，取CD的中點E，作直線BE，
則直線BE即為所求．
（3）如圖③，點P即為所求．
2.利用軸對稱變換尋找全等三角形
3．如圖，在平面直角坐標系中點A的坐標為（0，1），點C的坐標為（4，3）．
（1）在圖中△ABC關于y軸對稱圖形為△A1B1C1，則C1（ _____，_____）；
（2）△A1B1C1的面積是 _____；
（3）如果要使以點A、B、D為頂點的三角形與△ABC全等，那么點D的坐標是 _____．
【答案】(1)-4;(2)3;(3)3;(4)（4，-1）或（-1，3）或（-1，-1）;
【解析】（1）根據關于y軸的對稱點的坐標特點可得點C1的坐標；
（2）根據三角形的面積公式解答即可；
（3）根據網格和全等三角形的判定即可得到符合條件的點D的坐標．
解：（1）∵點C的坐標為（4，3），△ABC關于y軸對稱圖形為△A1B1C1，
所以點C1的坐標為（-4，3）．
故答案為：-4；3；
（2）△A1B1C1的面積是=3，
故答案為：3；
（3）如圖所示：
要使以點A、B、D為頂點的三角形與△ABC全等，那么點D的坐標是（4，-1）或（-1，3）或（-1，-1）．
故答案為：（4，-1）或（-1，3）或（-1，-1）．
4．如圖，已知AD=AE，AB=AC．
（1）求證：∠B=∠C；
（2）若∠A=50°，問△ADC經過怎樣的變換能與△AEB重合？
【解析】（1）要證明∠B=∠C，可以證明它們所在的三角形全等，即證明△ABE≌△ACD；已知兩邊和它們的夾角對應相等，由SAS即可判定兩三角形全等．
（2）因為△ABE≌△ACD，公共點A，對應線段CD與BE相交，所以要通過旋轉，翻折兩次完成．
（1）證明：在△AEB與△ADC中，AB=AC，∠A=∠A，AE=AD；
∴△AEB≌△ADC，
∴∠B=∠C．
（2）解：先將△ADC繞點A逆時針旋轉50°，
再將△ADC沿直線AE對折，即可得△ADC與△AEB重合．
或先將△ADC繞點A順時針旋轉50°，
再將△ADC沿直線AB對折，即可得△ADC與△AEB重合．
5．如圖，在由邊長為1個單位長度的小正方形組成的的網格中，的頂點都在小正方形的頂點上，這樣的三角形稱為格點三角形.在網格中與成軸對稱的全等格點三角形一共有__________________個.
答案：3
成軸對稱的作圖在計算中的應用
6．如圖，在平面直角坐標系中，直線l過點A且平行于x軸，交y軸于點D（0，1），已知AD=5，△ABC關于直線l對稱．
（1）求點A的坐標；
（2）若點C的坐標為（-2，-2），判斷△ABC的形狀，并說明理由．
【解析】（1）直線l過點A且平行于x軸，交y軸于點D（0，1），AD=5，可得點A的坐標；
（2）根據△ABC關于直線l對稱，可得BC⊥AD，BE=CE，AB=AC，根據點C的坐標，可得AE=CE=3，所以∠CAE=∠C=45°，所以∠BAC=90°，即可得出結論．
解：（1）∵直線l過點A且平行于x軸，交y軸于點D（0，1），AD=5，
∴點A的坐標為（-5，1）；
（2）△ABC為等腰直角三角形，
理由：如圖，設直線l與BC交于點E，
∵△ABC關于直線l對稱，
∴BC⊥AD，BE=CE，AB=AC，
∵點C的坐標為（-2，-2），
∴點E的坐標為（-2，1），
∴AE=CE=3，
∴∠CAE=∠C=45°，
∴∠BAC=90°，
∴△ABC為等腰直角三角形．
7．如圖，已知△ABC．
（1）畫出與△ABC關于y軸對稱的圖形△A1B1C1并寫出各頂點的坐標．
（2）求△ABC的面積．
【解析】（1）分別作出點A、B、C關于y軸對稱的點，然后順次連接；根據圖示以及直角坐標系的特點寫出個頂點的坐標；
（2）利用割補法求三角形的面積．
解：（1）如圖所示：
A1（0，-2），B1（-2，-4），C1（-4，-1）
（2）由圖可知，．
三、課堂達標
一、選擇題(共8題，每小題4分，共32分)
1．在下列圖形中，只利用沒有刻度的直尺將無法作出其對稱軸的是（　　）
A. 等腰三角形 B. 菱形
C. 等腰梯形 D. 正六邊形
【答案】A
【解析】根據軸對稱的性質對各選項進行逐一判斷即可．
解：A、沒有刻度尺不能作軸對稱，故本選項正確；
B、連接菱形的對角線即是對稱軸，故本選項錯誤；
C、等腰梯形對稱軸是兩腰延長線的交點和對角線的交點的連線，故本選項錯誤；
D、連接兩個對角線即是對稱軸，故本選項錯誤．
故選：A．
2．電子鐘鏡子里的像如圖所示，實際時間是（　　）
A. 21：10 B. 10：21 C. 10：51 D. 12：01
【答案】C
【解析】根據鏡面對稱的性質求解，在平面鏡中的像與現實中的事物恰好左右或上下順序顛倒，且關于鏡面對稱．
解：根據鏡面對稱的性質，分析可得題中所顯示的圖片與10：51成軸對稱，所以此時實際時刻為10：51．
故選：C．
3．小華將一張如圖所示的矩形紙片沿對角線剪開，他利用所得的兩個直角三角形進行圖形變換，構成了下列四個圖形，這四個圖形中不是軸對稱圖形的是（　　）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】根據軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念，分析各圖形的特征求解．
解：A、只是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，
B、C、D都軸對稱．
故選：A．
4．如圖所示的圖形共有對稱軸的條數為（　　）
A. 1條 B. 2條 C. 3條 D. 4條
【答案】B
【解析】軸對稱就是一個圖形的一部分，沿著一條直線對折，能夠和另一部分重合，這樣的圖形就是軸對稱圖形，這條直線就是對稱軸，依據定義即可求解．
解：相鄰兩邊的中垂線，都是對稱軸，故選B．
5．如圖的2×4的正方形網格中，△ABC的頂點都在小正方形的格點上，這樣的三角形稱為格點三角形，在網格中與△ABC成軸對稱的格點三角形一共有（　　）
A. 2個 B. 3個 C. 4個 D. 5個
【答案】B
【解析】根據題意畫出圖形，找出對稱軸及相應的三角形即可．
解：如圖：
共3個，
故選：B．
6 .如圖，△ABE和△ADC分別沿著邊AB、AC翻折180°形成的，若∠BCA：∠ABC：∠BAC＝28：5：3，BE與DC交于點F，則∠EFC的度數為（　　）
A．20° B．30° C．40° D．45°
【答案】B
【分析】根據∠BCA：∠ABC：∠BAC＝28：5：3，三角形的內角和定理分別求得∠BCA，∠ABC，∠BAC的度數，然后根據折疊的性質求出∠D、∠DAE、∠BEA的度數，在△AOD中，根據三角形的內角和定理求出∠AOD的度數，繼而可求得∠EOF的度數，最后根據三角形的外角定理求出∠EFC的度數．
【解析】在△ABC中，
∵∠BCA：∠ABC：∠BAC＝28：5：3，
∴設∠BCA為28x，∠ABC為5x，∠BAC為3x，
則28x+5x+3x＝180°，
解得：x＝5°，
則∠BCA＝140°，∠ABC＝25°，∠BAC＝15°，
由折疊的性質可得：∠D＝25°，∠DAE＝3∠BAC＝45°，∠BEA＝140°，
在△AOD中，∠AOD＝180°﹣∠DAE﹣∠D＝110°，
∴∠EOF＝∠AOD＝110°，
∴∠EFC＝∠BEA﹣∠EOF＝140°﹣110°＝30°．
故選：B．
【點評】本題考查圖形的折疊變化及三角形的內角和定理．關鍵是要理解折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據軸對稱的性質，折疊前后圖形的形狀和大小不變，只是位置變化．
7.將△ABC沿著平行于BC的直線折疊，點A落到點A′，若∠C=120°，∠A=26°，則∠A′DB的度數是（ ）
A．100° B．104° C．108° D．112°
【答案】D
【分析】利用三角形的內角和為180°求出∠B，從而根據平行線的性質可得∠ADE=∠B，再由折疊的性質得出∠ADE=∠A'DE，利用平角的知識可求出∠A′DB的度數．
【詳解】解：∵∠C=120°，∠A=26°，
∴∠B=180°-（∠A+∠C）=34°，
又∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B=34°，
根據折疊的性質可得∠ADE=∠A'DE，
∴∠A'DE=∠ADE=∠B=34°，
∴∠A′DB=180°-∠ADE-∠A'DE=112°．
故選D．
【點睛】本題考查折疊的性質，注意掌握折疊前后對應角相等，另外解答本題需要用到三角形的內角和定理及平行線的性質，也要注意對這些基礎知識的掌握．
8 .如圖，小強拿一張正方形的紙，沿圖甲中虛線對折一次得圖乙，再對折一次得圖丙，然后用剪刀沿圖丙中的虛線剪去一個角，再打開后的形狀是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】嚴格按照圖中的方法親自動手操作一下，即可很直觀地呈現出來．
【詳解】解：嚴格按照圖中的順序向右下對折，向左下對折，從上方角剪去一個直角三角形，展開得到結論．
故選：B．
【點評】此題主要考查了學生的動手能力及空間想象能力，解題的關鍵是學生只要親自動手操作，答案就會很直觀地呈現．
二、填空題(共5題，每小題4分，共20分)
9．如圖，OE是∠AOB的平分線，BD⊥OA于點D，AC⊥BO于點C，則關于直線OE對稱的三角形共有_____對．
【答案】4
【解析】關于直線OE對稱的三角形就是全等的三角形，據此即可判斷．
解：△ODE和△OCE，△OAE和△OBE，△ADE和△BCE，△OCA和△ODB共4對．
故答案為：4．
10．黑板上寫著在正對著黑板的鏡子里的像是 _____．
【答案】50281
【解析】根據鏡面對稱的性質求解，在平面鏡中的像與現實中的事物恰好左右或上下順序顛倒，且關于鏡面對稱．
解：根據鏡面對稱的性質，因此18502的真實圖象應該是50281．
故答案為：50281．
11 .如圖，在△ABC中，∠C＝90°， BC＝6，D為線段AC的中點，把△ABC沿BD折疊，C點的對應點為點E，若△ADE為直角三角形，則CD＝ ．
【答案】6
【分析】由折疊可得，∠CDB＝∠EDB，由∠CDE＝90°，即可得到∠CDB＝45°，∠CBD＝45°，即可得出CD＝CB．
【詳解】解：由折疊可得，∠CDB＝∠EDB，
∵Rt△ADE中，∠ADE＝90°，
∴∠CDE＝90°，
∴∠CDB＝45°，∠CBD＝45°，
∴∠CDB＝∠CBD，
∴CD＝CB＝6，
故答案為6．
【點睛】本題考查的是翻轉變換的性質，翻轉變換是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等．
12 .如圖是由三個小正方形組成的圖形請你在圖中補畫一個小正方形使補畫后的圖形為軸對稱圖形，共有 種補法．
【答案】4
【分析】根據軸對稱圖形的定義，畫出圖形，即可求得答案．
解：如圖，

∴補畫一個小正方形使補畫后的圖形為軸對稱圖形，共有4種補法．
故答案為：4．
【點撥】此題考查了利用軸對稱設計圖案的知識．掌握如果一個圖形沿著一條直線對折，直線兩側的圖形能夠完全重合，這個圖形就是軸對稱圖形，且對稱軸為折痕所在的這條直線是解題關鍵．
13 .如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為，點B的坐標為，點C、D分別在y軸、 上運動，連接，則的最小值為 ．
【答案】
【分析】先找出線段關于y軸的對稱線段，再過點B作這條對稱線段的垂線段，這條垂線段的長度即位的最小值．
解：如下圖所示，先找出點B關于y軸對稱的對稱點，截取，此時點D與點關于y軸對稱，從而可知．

再根據垂線段最短可知，當是線段的垂線段，與y軸交于點C時，即有最小值．

∵點A的坐標為，點B的坐標為
∴點的坐標為， =6． =5，4，
∴
即
∴
∴的最小值為
故答案為：．
【點撥】本題考查線段和的最小值，掌握垂線段最短和找出線段關于y軸的對稱線段時解題的關鍵．
三、解答題（共6小題，共48分）
14．（8分）畫出下列軸對稱圖形的對稱軸．
【分析】根據軸對稱圖形的意義：如果一個圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸；據此解答即可．
【解答】解：如圖所示：
15 .（6分）如圖所示，在的正方形網格中，我們稱每個小正方形的頂點為“格點”，以格點為頂點的三角形叫做“格點三角形”. 是一個格點三角形，請你在圖1，圖2，圖3中分別畫出一個與成軸對稱的格點三角形，并將所畫三角形涂上陰影.（注：所畫的三個圖不能重復.）
【答案】圖形見解析，答案不唯一，
【分析】根據題意畫出圖形即可.
【詳解】答案不唯一，例如：
【點評】本題考查格點畫圖能力,關鍵在于理解題意,由題意畫圖.
16 .（9分）在圖示的正方形網格紙中，每個小正方形的邊長都是1，△ABC的三個頂點都在小正方形的頂點處，直線MN與網格中豎直的線相重合．
（1）直接寫出△ABC的面積；
（2）作出△ABC關于直線MN對稱的△A'B'C'；
（3）在網格內找一點D，使點D到線段BC，B'C'的距離相等且DB＝DC．（在網格上直接標出點D的位置，不寫作法）
【分析】（1）把三角形的面積看成矩形的面積減去周圍的三個三角形面積即可；
（2）利用軸對稱變換的性質分別作出A，B，C的對應點A′，B′，C′即可；
（3）作線段BC的垂直平分線交MN于點D，點D即為所求．
【解答】解：（1）△ABC的面積＝4×51×51×34×4＝8；
（2）如圖，△A′B′C′即為所求；
（3）如圖，點D即為所求．
【點評】本題考查作圖﹣軸對稱變換，三角形的面積等知識，解題的關鍵是掌握軸對稱變換的性質，學會用割補法求三角形面積，屬于中考常考題型．
17 .（8分）如圖，在平面直角坐標系中，，，．
(1)作出關于x軸對稱的圖形，并寫出點的坐標；
(2)在x軸上作出點P，使得最短，并寫出點P的坐標．
【答案】(1)圖見解析，
(2)圖見解析，
【分析】（1）根據A（4，1），B（﹣4，﹣2），C（1，﹣3）和軸對稱的性質即可作出△ABC關于x軸對稱的圖形△A1B1C1，進而寫出點B1的坐標；
（2）連接B1C交x軸于點P即可使得PB+PC最短，進而可以寫出點P的坐標．
【詳解】（1）解：如圖，△A1B1C1即為所求；
點B1的坐標為（﹣4，2）；
（2）解：如圖，點P即為所求；點P的坐標：（﹣2，0）．
【點評】本題考查了作圖﹣旋轉變換，軸對稱﹣最短路徑問題，坐標與圖形變化﹣平移，解題的關鍵是掌握旋轉的性質．
18 .（8分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝7cm，BC＝5cm，CD為AB邊上的高，點E從點B出發，在直線BC上以2cm/s的速度移動，過點E作BC的垂線交直線CD于點F．
（1）求證：∠A＝∠BCD；
（2）當CF＝AB時，點E運動多長時間？并說明理由．
【分析】（1）根據余角的性質即可得到結論；
（2）如圖，分點E在射線BC上移動和點E在射線CB上移動兩種情況，證△CEF≌△ACB得CE＝AC＝5，繼而得出BE的長，從而得出答案．
【解析】（1）∵∠A+∠ACD＝90°，∠BCD+∠ACD＝90°，
∴∠A＝∠BCD；
（2）如圖，當點E在射線BC上移動時，
∵∠A＝∠BCD，∠BCD＝∠ECF，
∴∠A＝∠ECF，
在△CFE與△ABC中，
，
∴△CEF≌△ACB（AAS），
∴CE＝AC＝7，
∴BE＝BC+CE＝12，
∴t＝12÷2＝6（s）；
當點E在射線CB上移動時，
同理△CF′E′≌△CBA（AAS），
∴CE′＝AC＝7，
∴BE′＝CE′﹣CB＝2，
∴t＝2÷2＝1（s）
總之，當點E在射線CB上移動6s或1s時，CF＝AB．
【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質，余角的性質，熟練掌握全等三角形的判定和性質是解題的關鍵．
19 .（9分）在平面直角坐標系中，經過點M（0，m）且平行于x軸的直線記作直線y＝m．給出如下定義：①把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這條直線成軸對稱，這條直線叫做對稱軸，折疊后重合的點叫做對稱點，對稱軸經過對稱點所連線段的中點，并且垂直于這條線段②將點P（x，y）關于y軸的對稱點記作點P1，再將點P1關于直線y＝m的對稱點記作點P2，則稱點P2為點P（x，y）關于y軸和直線y＝m的“青一對稱點”．例如：點P（3，1）關于y軸和直線y＝3的“青一對稱點”為點P2（﹣3，5）．
（1）點A（3，4）關于y軸和直線y＝1的“青一對稱點”A2的坐標是 　 　；
（2）點B（3m+n，m﹣n）關于y軸和直線y＝m的“青一對稱點”B2的坐標是（﹣9，5），求m和n的值；
（3）若點C（6x﹣5，2x+1）關于y軸和直線y＝m的“青一對稱點”C2在第二象限，且滿足條件的x的整數解有且只有一個，求m的取值范圍．
【分析】（1）根據定義可知P2（﹣x，2m﹣y），結合所給的點代入即可求解；
（2）根據題意可得，解方程組即可求解；
（3）先求C2（5﹣6x，2m﹣2x﹣1），再由C2在第二象限，可得5﹣6x＜0，2m﹣2x﹣1＞0，則x＞，x＜m﹣，根據滿足條件的x的整數解有且只有一個，得到1＜m﹣≤2，解得＜m≤．
【解答】解：（1）P（x，y）關于y軸的對稱點P1（﹣x，y），P1（﹣x，y）關于直線y＝m的對稱點P2（﹣x，2m﹣y），
∵A（3，4），
∴點A（3，4）關于y軸和直線y＝1的“青一對稱點”A2的坐標是（﹣3，﹣2），
故答案為：（﹣3，﹣2）；
（2）∵點B（3m+n，m﹣n）關于y軸和直線y＝m的“青一對稱點”B2的坐標是（﹣9，5），
∴，
解得；
（3）點C（6x﹣5，2x+1）關于y軸和直線y＝m的“青一對稱點”C2為（5﹣6x，2m﹣2x﹣1），
∵C2在第二象限，
∴5﹣6x＜0，2m﹣2x﹣1＞0，
∴x＞，x＜m﹣，
∵滿足條件的x的整數解有且只有一個，
∴1＜m﹣≤2，
解得＜m≤．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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