資源簡介

第一節　任意角和弧度制、三角函數的概念
1.了解任意角和弧度制的概念．
2．能進行弧度與角度的互化．
3．借助單位圓理解任意角三角函數(正弦、余弦、正切)的定義．
問題思考·夯實技能
【問題1】　請你寫出角β與角α的終邊關于x軸、y軸、原點對稱的關系．
【問題2】　已知角α的終邊上的任意一點P到原點的距離為r(r>0)，那么如何確定P點的坐標？角α的三角函數值是否會隨點P在α的終邊上的位置的變化而改變？
關鍵能力·題型剖析
題型一 象限角及終邊相同的角
例 1 (1)[2024·江西吉安模擬]已知角β的集合β＝，則在[0，2π)內的角有(　　)
A．2個　 　B．3個　 　C．4個　 　D．5個
(2)若|cos θ|＝cos θ，|tan θ|＝－tan θ，則的終邊在(　　)
A．第一、三象限
B．第二、四象限
C．第一、三象限或在x軸的非負半軸上
D．第二、四象限或在x軸上
(1)利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫出與這個角的終邊相同的所有角的集合，然后通過集合中的參數k(k∈Z)賦值來求得所需的角．
(2)確定kα，(k∈N*)的終邊位置的方法：先寫出kα或的范圍，然后根據k的可能取值確定kα或的終邊所在的位置．
鞏固訓練1
(1)(多選)已知角α的終邊在第一象限，那么角的終邊可能在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
(2)若角α的頂點為坐標原點，始邊在x軸的非負半軸上，終邊在直線y＝－x上，則角α的取值集合是________．
題型二 弧度制及其應用
例 2 已知扇形的圓心角是α，半徑為R，弧長為l.
(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧長l；
(2)若扇形的周長是20 cm，當扇形的圓心角α為多少弧度時，這個扇形的面積最大？
(3)若α＝，R＝2 cm，求扇形的弧所在的弓形的面積．
應用弧度制解決問題的策略
鞏固訓練2
(1)《九章算術》是我國古代數學名著，其中有這樣一個問題：“今有宛田，下周三十步，徑十六步，問為田幾何？”意思說：現有扇形田，弧長三十步，直徑十六步，問面積多少？在此問題中，扇形的圓心角的弧度數是(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
(2)[2024·黑龍江雙鴨山模擬]已知扇形的面積為4 cm2，該扇形圓心角的弧度數是2，則扇形的弧長為____________ cm.
題型三 三角函數的定義及其應用
角度一　三角函數的定義
例 3 (1)已知角α的終邊過點A(－4，3)，則sin α·tan α＝(　　)
A．－　 　B．　 　C．－　 　D．
(2)已知角θ的頂點為原點，起始邊為x軸非負半軸，若點P(4，y)是角θ終邊上一點，且sin θ＝－，則y＝(　　)
A．8　　　B．－8　　　C．6　　　D．－6
利用三角函數的定義，已知角α終邊上一點P的坐標，可以求出α的三角函數值；已知角α的三角函數值，也可求出點P的坐標．
角度二　三角函數值的符號
例 4 “cos θ<0且tan θ>0”是“θ為第三象限角”的(　　)
A．充要條件
B．必要不充分條件
C．充分不必要條件
D．既不充分也不必要條件
要判定三角函數值的符號，關鍵是要搞清三角函數中的角是第幾象限角，再根據正、余弦函數值在各象限的符號確定值的符號．特別要注意不要忽略角的終邊在坐標軸上的情況．
鞏固訓練3
(1)已知角α的終邊落在直線y＝2x上，則sin α的值為(　　)
A．　 B．　 C．－　 D．±
(2)在△ABC中，A為鈍角，則點P(tan B，cos A)(　　)
A．在第一象限 B．在第二象限
C．在第三象限 D．在第四象限
1．下列各角中，與1850° 角終邊相同的角是(　　)
A．40° B．50°
C．320° D．－400°
2．扇子具有悠久的歷史，蘊含著豐富的數學元素．小明制作了一把如圖所示的扇子，其半徑為16 cm，圓心角為，則這把扇子的弧長為(　　)
A．6π cm B．12π cm
C．18π cm D．24π cm
3．(多選)下列結論正確的是(　　)
A．－是第三象限角
B．若角α的終邊過點P(－3，4)，則cos α＝－
C．若sin α>0，則α是第一或第二象限角
D．若圓心角為的扇形的弧長為π，則該扇形面積為
4．[2024·北京中關村中學模擬]在平面直角坐標系xOy中，角α與角β均以Ox為始邊，它們的終邊關于原點對稱，點M(x，－1)在角β的終邊上．若sin α＝，則sin β＝______．
課后定時檢測案26　任意角和弧度制、三角函數的概念
一、單項選擇題
1．與－1 990°終邊相同的最小正角是(　　)
A．80°　　B．150°　　C．170°　　D．290°
2．已知點(2，－2)在角α的終邊上，則角α的最大負值為(　　)
A．－ B．－
C．－ D．
3．sin 2·cos 3·tan 4的值(　　)
A．小于0 B．大于0
C．等于0 D．不存在
4．在沒有其他因素影響時，飛機的航線往往選取的是兩地之間的最短距離．設地球為一半徑為R的球體，一架飛機將從A地東經0°飛至B地東經120°，且A，B兩地緯度都為0°.若飛機始終在地球球面上運動，則該飛機飛行的最短路程為(　　)
A． B．
C． D．
5．已知角α終邊經過點P(x，－6)，且cos α＝－，則x的值為(　　)
A．± B．±
C．－ D．
6．已知角α的終邊經過點P(1，m)(m<0)，則下列各式一定為正的是(　　)
A．sin α　　B．tan α C．cos α　　D．
7．已知角α為第二象限角，且|cos |＝－cos ，則角是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
8．[2024·北京房山模擬]我們學過度量角有角度制與弧度制，最近，有學者提出用“面度制”度量角，因為在半徑不同的同心圓中，同樣的圓心角所對扇形的面積與半徑平方之比是常數，從而稱這個常數為該角的面度數，這種度量角的制度，叫做面度制．在面度制下，若角α的面度數為，則角α的正弦值是(　　)
A．－　　B．　　C．－　　D．
二、多項選擇題
9．[2024·重慶九龍坡模擬]下列結論正確的是(　　)
A．－是第一象限角
B．若圓心角為的扇形的弧長為π，則該扇形的面積為
C．若角α的終邊上有一點P(－3，4)，則cos α＝－
D．若角α為銳角，則角2α為鈍角
10．若角α的終邊經過點P(－1，3)，則下列結論正確的是(　　)
A．α是第二象限角
B．α是鈍角
C．tan α＝－3
D．點(sin α，cos α)在第二象限
11．[2024·遼寧大連模擬]給出下列四個命題，其中是真命題的為(　　)
A．如果θ是第一或第四象限角，那么cos θ>0
B．如果cos θ>0，那么θ是第一或第四象限角
C．終邊在x軸上的角的集合為{α|α＝kπ，k∈Z}
D．已知扇形OAB的面積為1，周長為4，則扇形的圓心角(正角)的弧度數為2
三、填空題
12．已知角α，β的終邊關于直線x＋y＝0對稱，且α＝－60°，則β＝________．
13．平面直角坐標系xOy中，角α的始邊與x軸的非負半軸重合，終邊與單位圓交于第一象限的點P(，m)，則tan α＝________．
14．[2024·江蘇南通模擬]已知半徑為3的扇形OAB的弦長AB＝3，則該扇形的弧長是________．
四、解答題
15．已知＝－，且lg (cos α)有意義．
(1)試判斷角α所在的象限；
(2)若角α的終邊與單位圓相交于點M(，m)，求m的值及sin α的值．
?優生選做題?
16．如圖，在平面直角坐標系xOy中，角α的始邊與x軸的非負半軸重合且與單位圓相交于點A(1，0)，它的終邊與單位圓相交于x軸上方一點B，始邊不動，終邊在運動．
(1)若點B的橫坐標為－，求sin α的值；
(2)若△AOB為等邊三角形，寫出與角α終邊相同的角β的集合；
(3)若α∈(0，]，請寫出弓形AB的面積S與α的函數關系式(注：弓形是指在圓中由弦及其所對的弧組成的圖形).
第一節　任意角和弧度制、三角函數的概念
問題思考·夯實技能
【問題1】　提示：角β與角α的終邊關于x軸對稱，則β＝－α＋2kπ(k∈Z)；角β與角α的終邊關于y軸對稱，則β＝π－α＋2kπ(k∈Z)；角β與角α的終邊關于原點對稱，則β＝π＋α＋2kπ(k∈Z)．
【問題2】　提示：由三角函數的定義可知P點的坐標為(r cos α，r sin α)．角α的三角函數值與點P的位置無關．
關鍵能力·題型剖析
例1　解析：(1)依題意，解不等式0≤<2π，得≤k<，而k∈Z，因此k∈{1，2，3}，所以在[0，2π)內的角有3個．故選B.
(2)因為|cos θ|＝cos θ，可得cos θ≥0，則θ是第一、四象限或x軸正半軸，
又因為|tan θ|＝－tan θ，可得tan θ≤0，則θ是二、四象限或x軸，
所以θ是第四象限或x軸正半軸，
所以k·360°＋270°<θ≤k·360°＋360°，k∈Z，
可得k·180°＋135°<≤k·180°＋180°，k∈Z，
令k＝2n，n∈Z，可得n·360°＋135°<≤n·360°＋180°，n∈Z，
則在二象限或x軸負半軸；
令k＝2n＋1，n∈Z，可得n·360°＋315°<≤n·360°＋360°，n∈Z，
則在四象限或x軸正半軸，
綜上可得，的終邊在第二、四象限或在x軸上．故選D.
答案：(1)B　(2)D
鞏固訓練1　解析：(1)因為角α的終邊在第一象限，
所以k·360°<α所以k·180°<當k＝0時，0°<<45°，則終邊在第一象限；
當k＝1時，180°<<225°，則終邊在第三象限；
所以角的終邊可能在第一象限或第三象限．故選AC.
(2)直線y＝－x的傾斜角是，所以終邊落在直線y＝－x上的角的取值集合為.
答案：(1)AC　(2)
例2　解析：(1)α＝60°＝，l＝10×＝ (cm)．
(2)由已知得，l＋2R＝20，
所以S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25.
所以當R＝5 cm時，S取得最大值25 cm2，
此時l＝10 cm，α＝2.
(3)設弓形面積為S弓．由題知l＝ cm.S弓＝S扇形－S三角形＝×2－×22×sin ＝() (cm2)．
鞏固訓練2　解析：(1)由題意可知扇形的弧長l＝30，半徑r＝8，
所以扇形的圓心角的弧度數是＝＝，故選A.
(2)設扇形的弧長為l，半徑為R，
由已知可得，圓心角α＝2，面積S＝4，
所以有即解得.
答案：(1)A　(2)4
例3　解析：(1)由題意可得：sin α＝＝，tan α＝＝－，則sin α·tan α＝－.故選C.
(2)因為點P(4，y)是角θ終邊上一點，且sin θ＝－，
由三角函數的定義可得sin θ＝＝－，則y<0，解得y＝－8.故選B.
答案：(1)C　(2)B
例4　解析：充分性：由cos θ<0可知＋2kπ<θ<＋2kπ，k∈Z，
由tan θ>0可知2kπ<θ<＋2kπ或π＋2kπ<θ<＋2kπ，k∈Z，
綜上，π＋2kπ<θ<＋2kπ，k∈Z，即θ為第三象限角．
必要性：若θ為第三象限角，則cos θ<0且tan θ>0.所以“cos θ<0且tan θ>0”是“θ為第三象限角”的充要條件．故選A.
答案：A
鞏固訓練3　解析：(1)設直線y＝2x上任意一點P的坐標為(m，2m)(m≠0)，
則OP＝＝|m|(O為坐標原點)，
根據正弦函數的定義得：sin α＝＝＝，
m>0時，sin α＝； m<0時，sin α＝－，
所以選項D正確，選項A，B，C錯誤，故選D.
(2)因為△ABC中，A為鈍角，所以B為銳角，可得tan B>0，cos A<0，所以點P(tan B，cos A)在第四象限．故選D.
答案：(1)D　(2)D
隨堂檢測
1．解析：1 850°－40°＝1810°＝5×360°＋10°，故A錯誤．
1 850°－50°＝1 800°＝5×360°，故B正確．
1 850°－320°＝1 530°＝4×360°＋90°，故C錯誤．
1 850°－(－400°)＝2 250°＝6×360°＋90°，故D錯誤．故選B.
答案：B
2．解析：因為扇形半徑為16 cm，圓心角為，所以弧長為×16 cm＝12π cm.故選B.
答案：B
3．解析：對于A，由－∈(－，0)，則其為第四象限角，故A錯誤；對于B，由角α的終邊過點P(－3，4)，則cos α＝＝－，故B正確；對于C，由sin α>0，則角α終邊也可能在y軸上，故C錯誤；對于D，由圓心角的扇形的弧長為π，則其半徑r＝3，所以扇形的面積S＝×3·π＝，故D正確．故選BD.
答案：BD
4．解析：由題意知角α與角β的終邊關于原點對稱，點M(x，－1)在角β的終邊上，
則點N(－x，1)在角α的終邊上，
由sin α＝以及|ON|＝，可得＝；
由點M(x，－1)在角β的終邊上且|OM|＝，
可知sin β＝＝－.
答案：－
課后定時檢測案26　任意角和弧度制、三角函數的概念
1．解析：因為－1 990°＝－5×360°－190°，－1 990°＝－6×360°＋170°，故與－1 990°終邊相同的最小正角是170°.故選C.
答案：C
2．解析：由題意可知點在第四象限，且tan α＝＝－，所以α＝－＋2kπ，k∈Z，故當k＝0，α＝－時為最大的負值．故選C.
答案：C
3．解析：∵<2<3<π<4<，
∴sin 2>0，cos 3<0，tan 4>0，
∴sin 2·cos 3·tan 4<0.故選A.
答案：A
4．解析：依題意，A，B兩地對于地球球心O所成的角∠AOB＝，
所以該飛機飛行的最短路程為.故選C.
答案：C
5．解析：因為角α終邊經過點P(x，－6)，所以cos α＝＝－，所以，解得x＝－.故選C.
答案：C
6．解析：因為角α終邊經過點P(1，m)(m<0)，所以α在第四象限，所以sin α<0，cos α>0，tan α<0，<0，故C正確．故選C.
答案：C
7．解析：因為角α為第二象限角，所以90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z)，
所以45°＋k·180°<<90°＋k·180°(k∈Z)，
當k是偶數時，設k＝2n(n∈Z)，則45°＋n·360°<<90°＋n·360°(n∈Z)，
此時為第一象限角；
當k是奇數時，設k＝2n＋1(n∈Z)，則225°＋n·360°<<270°＋n·360°(n∈Z)，
此時為第三象限角；
綜上所述：為第一象限角或第三象限角，
因為|cos |＝－cos ，所以cos ≤0，所以為第三象限角．故選C.
答案：C
8．解析：設角α所在的扇形的半徑為r，面積為S，
則由題意可得＝＝，解得α＝，
所以sin α＝sin ＝.故選D.
答案：D
9．解析：對于A，－＝－2π＋，是第一象限角，故A正確；對于B，設該扇形的半徑為r，則·r＝π，∴r＝3，∴S扇形＝××32＝，故B正確；對于C，r＝＝5，cos α＝＝－，故C正確；對于D，取α＝30°，則α是銳角，但2α＝60°不是鈍角，故D錯誤．故選ABC.
答案：ABC
10．解析：由點P(－1，3)在第二象限，可得α是第二象限角，但不一定是鈍角，A正確，B錯誤；tan α＝＝－3，C正確；由sin α>0，cos α<0，則點(sin α，cos α)在第四象限，D錯誤．故選AC.
答案：AC
11．解析：對于A，若θ是第一或第四象限角，根據三角函數的定義可得cos θ>0，故正確；
對于B，若θ＝0，則cos θ＝1>0，但此時θ不是第一或第四象限角，故錯誤；
對于C，終邊在x軸上的角的集合為{α|α＝kπ，k∈Z}，故正確；
對于D，設扇形的圓心角的弧度數為β，半徑為r，
則，解得，故正確．故選ACD.
答案：ACD
12．解析：因為－60°與－30°的終邊關于直線y＝－x對稱，所以β的終邊與－30°角的終邊相同，所以β＝－30°＋k·360°，k∈Z
答案：－30°＋k·360°，k∈Z
13．解析：因為角α的終邊與單位圓交于第一象限的點P(，m)，
所以解得m＝，tan α＝＝.
答案：
14．解析：在△ABC中，AB2＝OA2＋OB2＝18，故∠AOB＝，故弧長l＝×3＝.
答案：
15．解析：(1)∵＝－，∴sin α<0，　①
由lg (cos α)有意義，∴cos α>0，　②
由①②得，角α在第四象限．
(2)∵點M(，m)在單位圓上，
∴()2＋m2＝1，解得m＝±，
又α是第四象限角，即m<0，∴m＝－，
由三角函數定義知sin α＝－.
16．解析：(1)因為角α的終邊與單位圓相交于B，且點B的橫坐標為－，因為B在x軸上方，所以點B的坐標為(－，).
由三角函數的定義，可得sin α＝.
(2)當△AOB為等邊三角形時，因為B在x軸上方，則B(cos ，sin )，即B(，)，
所以α＝∠AOB＝，即與角α終邊相同的角β的集合{β|β＝＋2kπ，k∈Z}．
(3)弓形AB的面積：S＝S扇形－S△AOB.
扇形的圓心角為α，所以S扇形＝α×12＝.
過O作OH⊥AB于H，則OH＝cos ×1＝cos ，
AB＝2sin OA＝2sin ×1＝2sin ，
所以S△AOB＝×2sin ×cos ＝sin α.
所以S＝S扇形－S△AOB＝－sin α＝.

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