資源簡介

第三節　等式性質與不等式性質
1.理解用作差法比較兩個實數大小的理論依據．
2．理解不等式的性質，掌握不等式性質的簡單應用．
問題思考·夯實技能
【問題1】　對于非零實數a，b，如果a>b，是否一定有<？
【問題2】　已知a克糖水中含有b克糖(a>b>0)，再添加m克糖(m>0)(糖全部溶解)，糖水變甜了，請你用一個不等式表示這一事實．
關鍵能力·題型剖析
題型一 比較數(式)的大小
例 1 (1)[2024·湖南長沙模擬]設互不相等的三個實數a，b，c滿足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，則a，b，c的大小關系是(　　)
A．b>a>c B．b>c>a
C．c>a>b D．c>b>a
(2)若a＝，b＝，c＝，則(　　)
A．aC．c比較大小的常用方法
鞏固訓練1
(1)已知p∈R，M＝(2p＋1)(p－3)，N＝(p－6)·(p＋3)＋10，則M，N的大小關系為(　　)
A．MN
C．M≤N D．M≥N
(2)已知a>b>0，比較aabb與abba的大小．
題型二 不等式的性質
例2 (1)若a，b，c∈R，且a>b，則下列不等式中一定成立的是(　　)
A．a＋b≥b－c B．ac≥bc
C．>0 D．(a－b)c2≥0
(2)(多選)[2024·河北衡水模擬]已知<<0，則下列不等式一定成立的有(　　)
A．>1 B．<0
C．< D．bc判斷不等式的常用方法
鞏固訓練2
(1)已知a>b>0，cA．－<－ B．c2C．a＋c(2)(多選)已知a，b，c∈R，且c≠0，則下列命題中是真命題的是(　　)
A．如果a>b，那么<
B．如果acC．如果a>b，那么>
D．如果c>a>b>0，那么>
題型三 不等式性質的應用
例 3 設2【變式練習】　本例條件不變，則2a－b的取值范圍是________；的取值范圍是________．
利用不等式的性質求取值范圍時，應注意同向不等式具有可加性與正值可乘性，但是不能相減或相除，應用時，要充分利用所給條件進行適當變形來求范圍，注意變形的等價性．
鞏固訓練3
已知a>b>c，2a＋b＋c＝0，則的取值范圍是(　　)
A．－3<<－1 B．－1<<－
C．－2<<－1 D．－1<<－
隨堂檢測
1.若a＝(x＋1)(x＋3)，b＝2(x＋2)2，則下列結論正確的是(　　)
A．a>b B．aC．a≥b D．a，b大小不確定
2．已知0A．abC．b3．下列命題為假命題的是(　　)
A．若a>b，c∈R，則a＋c>b＋c
B．若a>b，b>c，則a>c
C．若a>b，c>0，則ac>bc
D．若a>b，c>d，則ac>bd
4．(多選)若a>b>0，dA．ac>bc B．a－d>b－c
C．< D．a3>b3
5．已知0<β<α<，則α－β的取值范圍是________．
課后定時檢測案3　等式性質與不等式性質
一、單項選擇題
1．已知0A．x2>>x B．>x2>x
C．x>>x2 D．>x>x2
2．已知a>0，b>0，M＝＋，N＝，則(　　)
A．M>N B．MC．M≥N D．M≤N
3．已知2A．(0，2) B．(2，5)
C．(5，8) D．(6，7)
4．設a、b、c為實數，且aA．< B．ac2C．> D．|a|>|b|
5．如果a<0，－1A．a>ab>ab2 B．ab2>ab>a
C．ab>a>ab2 D．ab>ab2>a
6．已知a，b，c，m∈R，則下列說法正確的是 (　　)
A．若a>b，則am2>bm2
B．若>，則a>b
C．若ac2>bc2，則a>b
D．若a2>b2，ab>0，則<
7．[2024·河北承德模擬]已知a>b>0，c>0，則(　　)
A．> B．>
C．a2c>ac2 D．b2c>bc2
8．設α∈(－，)，β∈[0，π]，那么2α－的取值范圍是(　　)
A．(0，) B．(－，)
C．[－，) D．(－，π)
9．(素養提升)設a，b為實數，則“a>b>0”的一個充分不必要條件是(　　)
A．> B．a2>b2
C．> D．a－b>b－a
10．(素養提升)購買同一種物品，可以用兩種不同的策略，第一種是不考慮物品價格的升降，每次購買這種物品的數量一定；第二種是不考慮物品價格的升降，每次購買這種物品所花的錢一定．假設連續購買兩天該物品，第一天物品的價格為a1，第二天物品的價格為a2，且a1≠a2，則以下選項正確的為(　　)
A．第一種方式購買物品的單價為
B．≥
C．第一種購買方式所用單價更低
D．第二種購買方式所用單價更低
二、多項選擇題
11．[2024·河北滄州模擬]已知函數f(x)＝ax2＋bx＋c，其中a>b>c，若f(1)＝0，則(　　)
A．b2>bc B．acC．ab>ac D．a2>c2
12．[2024·安徽安慶模擬]若－1A．> B．a2＋b2>2ab
C．a＋b>2 D．a＋>b＋
三、填空題
13．已知下列四個條件：①b>0>a；②0>a>b；③a>0>b；④a>b>0.不能推出<成立的序號是__________．
14．(素養提升)[2024·北京房山模擬]能夠說明“設a，b，c是任意實數，若a四、解答題
15．(1)設a，b為實數，比較a2＋b2與4a－2b－5的值的大小．
(2)已知a>b>0，c.
?優生選做題?
16．[2024·貴州貴陽模擬]已知正實數a，b，c分別滿足a2＝，b＝ln 2，c＝，其中e是自然常數，則a，b，c的大小關系為(　　)
A．a>c>b B．a>b>c
C．b>c>a D．b>a>c
17．已知2(1)求x的取值范圍；
(2)求的取值范圍；
(3)求2x－3y的取值范圍．
狀元筆記 一類特殊類型的范圍問題
【典例1】　[2024·江蘇南通模擬]已知a－b∈[0，1]，a＋b∈[2，4]，則4a－2b的取值范圍是(　　)
A．[1，5] 　 B．[2，7] C．[1，6] 　 D．[0，9]
[解析]　方法一　設4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)＝(m＋n)a－(m－n)b，
所以，解得，
所以4a－2b＝3(a－b)＋(a＋b)，
又a－b∈[0，1]，a＋b∈[2，4]，
所以3(a－b)∈[0，3]，4a－2b∈，故A，C，D錯誤．故選B.
方法二　令 ∴
∴4a－2b＝4×－2×＝3m＋n∈[2，7].
故選B.
[答案]　B
【典例2】　設f(x)＝ax2＋bx，且1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，則f(3)的取值范圍是________．
[解析]　由1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，得1≤a－b≤2，2≤a＋b≤4，
則f(3)＝9a＋3b，
設
∴
∴f(3)＝9a＋3b＝9×＋3×＝3m＋6n∈[15，30].
[答案]　[15，30]
第三節　等式性質與不等式性質
問題思考·夯實技能
【問題1】　提示：不一定．當a>b>0時，一定有<，當0>a>b時，也一定有<，但當a>0>b時，應有>.
【問題2】　提示：<
關鍵能力·題型剖析
例1　解析：(1)由b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，得b＝1＋a2，且三個實數a，b，c互不相等，
于是b－a＝1－a＋a2＝(a－)2＋>0，即b>a，
而c－b＝(2－a)2≥0，因此c>b，
所以a，b，c的大小關系是c>b>a.
(2)方法一　對于函數y＝f(x)＝，y′＝，易知當x>e時，函數f(x)單調遞減．因為e<3<4<5，所以f(3)>f(4)>f(5)，即c方法二　易知a，b，c都是正數，
＝＝<1，所以a>b；
＝＝>1，
所以b>c，即c答案：(1)D　(2)B
鞏固訓練1　解析：(1)M－N＝(2p＋1)(p－3)－[(p－6)(p＋3)＋10]＝p2－2p＋5＝(p－1)2＋4>0，所以M>N.
(2)∵＝＝()a－b，
又a>b>0，故>1，a－b>0，
∴()a－b>1，即>1，
又abba>0，∴aabb>abba.
答案：(1)B　(2)見解析
例2　解析：(1)A顯然錯誤，例如a＝3，b＝2，c＝－10，a＋bc<0時，由a>b得aca>b a－b>0，但c＝0時，＝0，C錯；
a>b a－b>0，又c2≥0，所以(a－b)c2≥0，D正確．
(2)由<<0，得c≠0，當c>0時，得0>>，即a當c<0時，得0<<，即a>b>0，綜上ab>0>c，上述兩種情況均可得0<<1，故A選項錯誤；
當ab>0>c時，得<0，故B選項正確；
令a＝－1，b＝－，c＝1，則＝2，＝0，從而得>，故C選項錯誤；
由上述論證可知bc<0答案：(1)D　(2)BD
鞏固訓練2　解析：(1)方法一　已知a>b>0，c令a＝2，b＝1，c＝－2，d＝－1，則－＝－，－＝－1，－>－1，故A項不正確；
又c2＝4，cd＝2，4>2，故B項不正確；而a＋c＝b＋d＝0，故C項也不正確；所以排除ABC.
方法二　在a>b兩邊同除以負數－ab得－<－，與A項矛盾；
c2－cd＝c(c－d)>0，與B項矛盾；
由(a＋c)－(b＋d)＝(a－b)＋(c－d)，又a－b>0，c－d<0，
故(a－b)＋(c－d)不一定小于0，故C項不正確；
由c－d>0，又a>b>0，兩式相乘得－ac>－bd，兩邊同除以負數－cd可得，<，故D項正確．
(2)取a＝2，b＝－1，c＝－1，滿足選項A，B中的前提條件．
對于選項A，有>，故A是假命題；
對于選項B，有a>b，故B是假命題；
對于選項C，∵c≠0，∴>0，由不等式的性質4知C是真命題；
對于選項D，a>b>0 －a<－b<0 0b>0，∴>，故D是真命題．
答案：(1)D　(2)CD
例3　解析：∵2∵2答案：(5，13)　(2，14)
變式練習　解析：∵2由同向不等式的可加性，得2<2a－b<13，
由同向同正不等式的可乘性，得1<<7.
答案：(2，13)　(1，7)
鞏固訓練3　解析：∵a>b>c，2a＋b＋c＝0，
∴a>0，c<0，
∴b＝－2a－c，且a>0，c<0，
∵a>b>c，
∴－2a－c－c，
解得>－3，
將b＝－2a－c代入b>c，可得－2a－c>c，可得a<－c，可得<－1，
∴－3<<－1.故選A.
答案：A
隨堂檢測
1．解析：因為b－a＝2(x＋2)2－(x＋1)(x＋3)
＝2x2＋8x＋8－(x2＋4x＋3)
＝x2＋4x＋5
＝(x＋2)2＋1>0，
所以a答案：B
2．解析：對于A，因為0b，故A錯誤；
對于B，因為0b，又因為0ab，則b答案：B
3．解析：對于A，若a>b，c∈R，則a＋c>b＋c，A是真命題；
對于B，若a>b，b>c，則a>c，B是真命題；
對于C，若a>b，c>0，則ac>bc，C是真命題；
對于D，取a＝1，b＝0，c＝－1，d＝－2，滿足a>b，c>d，而ac＝－1<0＝bd，D是假命題．
答案：D
4．解析：對于選項A：因為ac－bc＝(a－b)c，又因為a>b，c<0，則a－b>0，可得ac－bc＝(a－b)c<0，所以ac對于選項B：因為(a－d)－(b－c)＝(a－b)＋(c－d)，
又因為a>b，d0，c－d>0，可得(a－d)－(b－c)＝(a－b)＋(c－d)>0，所以a－d>b－c，故B正確；
對于選項C：因為＝，又因為d0，c－d>0，可得＝>0，所以>，故C錯誤；
對于選項D：因為a>b>0，所以a3>b3，故D正確．
答案：BD
5．解析：∵0<β<α<，∴－<－β<0，α－β>0，
∴0<α－β<.
∴α－β的取值范圍是(0，)．
答案：(0，)
課后定時檢測案3　等式性質與不等式性質
1．解析：因為00，所以－x＝＝>0，所以>x，
又x－x2＝x(1－x)>0，所以x>x2，
所以>x>x2.故選D.
答案：D
2．解析：由題意得M2＝a＋b＋2，N2＝a＋b，而a>0，b>0，得M>N.故選A.
答案：A
3．解析：2故4<2a<6，1<－b<2，得5<2a－b<8.故選C.
答案：C
4．解析：因為a、b、c為實數，且a所以>，|a|>|b|，a2>b2，ab>0，故A錯誤，D正確；
當c＝0時ac2＝bc2，故B錯誤；
因為－＝<0，所以<，故C錯誤．故選D.
答案：D
5．解析：由選項可知，僅需要比較a，ab，ab2三個數的大小，
顯然，a<0，ab>0，ab2<0，所以ab最大，
由－1所以ab2－a＝a(b2－1)>0，即ab2>a，
可得ab>ab2>a.故選D.
答案：D
6．解析：對于A，若m＝0，則不成立，故A錯誤；
對于B，若c<0，則不成立，故B錯誤；
對于C，將ac2>bc2兩邊同時除以c2，可得a>b，故C正確；
對于D，取a＝－2，b＝－1，可得<不成立，故D錯誤．故選C.
答案：C
7．解析：對于A，若a＝2，b＝1，c＝1，則＝，＝，因為<，所以<，所以A錯誤；
對于B，因為a>b>0，所以a－b>0，因為c>0，所以－＝>0，所以B正確；
對于C，若a＝2，c＝5，則a2c＝20對于D，若b＝1，c＝2，則b2c＝2答案：B
8．解析：α∈(－，)，β∈[0，π]，所以－<2α<π，－≤－≤0，則－<2α－<π.故選D.
答案：D
9．解析：由>，則可得a>b≥1，可推出a>b>0，反向推不出，A滿足；
由a2>b2，則|a|>|b|，推不出a>b>0，反向可推出，B不滿足；由>，則a>b>0或b>0>a或0>a>b，推不出a>b>0，反向可推出，C不滿足；由a－b>b－a，則a>b，推不出a>b>0，反向可推出，D不滿足．故選A.
答案：A
10．解析：第一種策略：設每次購買這種物品的數量均為m，則平均價格為＝，故A不正確；
第二種策略：設每次購買這種物品所花的錢為n，第一次能購得該物品的數量為，第二次能購得該物品的數量為，則平均價格為＝；
－＝－＝＝>0，
所以>，故B錯誤，同時說明第二種購買方式所用單價更低．故選D.
答案：D
11．解析：由f(1)＝0，得a＋b＋c＝0，又a>b>c，所以a>0，c<0，且b的符號不確定，故b2－bc＝b(b－c)的符號也不確定，故A錯誤；
由a>b，c<0，得ac由b>c，a>0，得ab>ac，故C正確；
因為a>0>c，兩邊平方后不等式不一定成立，故D錯誤．故選BC.
答案：BC
12．解析：A.因為－1－a>－b>0，所以－<－，則>，故正確；
B．a2＋b2≥2ab，而a≠b，取不到等號，故正確；
C．因為－1D．因為－10，所以a＋>b＋，故正確．故選ABD.
答案：ABD
13．解析：利用不等式性質可知：①b>0>a可得<0<，即可得<，
②0>a>b時，可得<，
③a>0>b可得>0>，故不能得出<，
④a>b>0，可得<，
所以不能推出<成立的序號是③.
答案：③
14．解析：若a0時，ac當c＝0時，ac＝bc；
當c<0時，ac>bc；
“設a，b，c是任意實數，若a答案：－2，－1，0(答案不唯一)
15．解析：(1)a2＋b2－(4a－2b－5)＝a2－4a＋4＋b2＋2b＋1＝(a－2)2＋(b＋1)2≥0，
則a2＋b2≥4a－2b－5.
(2)∵a>b>0，－c>－d>0，∴a－c>b－d>0，
∴<，又e<0，∴>.
16．解析：由a2＝得a＝，∴＝×＝，
∵e>()2＝，∴>，∴＝>1，又c>0，∴a>c；
令f(x)＝，則f′(x)＝＝，
∴當x∈(0，e2)時，f′(x)>0；當x∈(e2，＋∞)時，f′(x)<0；
∴f(x)在(0，e2)上單調遞增，在(e2，＋∞)上單調遞減；
∴f(e)>f(2)，即＝>，∴>ln 2，即a>b；
且f(e2)>f(8)，即＝>＝，∴ln 2<，即b綜上所述a>c>b.故選A.
答案：A
17．解析：(1)因為2兩個不等式相加可得5<2x<11，解得所以x的取值范圍是(，).
(2)因為2所以<<，
所以<<3.
所以的取值范圍是(，3).
(3)設2x－3y＝m(x＋y)＋n(x－y)，則2x－3y＝(m＋n)x＋(m－n)y.
所以解得
所以2x－3y＝－(x＋y)＋(x－y)，
因為2因為3①＋②得5<－(x＋y)＋(x－y)<14，
所以2x－3y的取值范圍是(5，14).

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