資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
4.5相似三角形的性質九大題型（一課一講）
【浙教版】
題型一：重心的有關性質
【經典例題1】如圖， ABC重心為G， ABC和在邊上高之比為（ ）
A． B． C．2 D．3
【變式訓練1-1】如圖，在 ABC中，點D是邊上任意一點，點E、F分別是和的重心，如果，那么線段的長為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【變式訓練1-2】如圖，在中，，，斜邊上的高，矩形的邊在邊上，頂點G、F分別在邊、上，如果恰好經過 ABC的重心，那么的長為（ ）
A．1 B． C． D．2
【變式訓練1-3】，，，為重心，則 ．
【變式訓練1-4】如圖，在中，∠B=90°，點O是的重心，如果，則點O到邊的距離是 ．
【變式訓練1-5】如圖所示，點是 ABC的重心，點是邊的中點，過點作交于點，過點作交的延長線于點，如果四邊形的面積為12，那么 ABC的面積為 ．
題型二：利用相似三角形的性質求線段長度
【經典例題2】如圖，已知，且，，，則 ．
【變式訓練2-1】如圖，，若，，則的長為 ．
【變式訓練2-2】如圖，在矩形中，點E，F分別在邊上，，，，，則的長為 ．
【變式訓練2-3】如圖所示，在 ABC中，點在邊上，已知，，，如果在上找一點，使得 ADE與 ABC相似，求的長．

【變式訓練2-4】如圖所示，已知，，，，，求的度數及的長．
【變式訓練2-5】如圖，已知，，，，．求，的長．
【變式訓練2-6】兩個相似三角形對應邊的長分別為和，且兩個三角形的面積差為．求較大三角形的面積．
題型三：利用相似比求周長比
【經典例題3】如圖，在 ABC中，分別交于點，若，則 ADE與 ABC的周長之比是（　　）
A． B． C． D．
【變式訓練3-1】若，它們的相似比為，則 ABC與的周長比為 ．
【變式訓練3-2】已知，和是它們的對應角平分線，若，的周長為，則的周長是 ．
【變式訓練3-3】兩個相似三角形的相似比為，周長之差為，則較大三角形的周長為 ．
【變式訓練3-4】已知一個三角形的三邊長為6，7，9，與它相似的另一個三角形的最小邊長為3，那么三角形的周長為 ．
【變式訓練3-5】在中，，D為邊上一點，．在邊上取一點E，連接，得到．若這兩個三角形相似，則與的周長之比是 ．
題型四：利用相似比求面積比
【經典例題4】兩個相似三角形對應邊上的高之比為，則它們的面積比為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練4-1】兩個相似三角形的面積比是，其中一個三角形的周長為，則另一個三角形的周長是（ ）
A． B．或 C．或 D．或
【變式訓練4-2】如圖，在中，，為的三等分點，點，在上，且， ADE，四邊形，四邊形的面積分別為，，，則 ．
【變式訓練4-3】已知．
（1）若，，則 ；
（2）若 ABC和的相似比為，則這兩個三角形對應中線的比為 ， ABC與的面積比為 ；
（3）若 ABC與的周長比為，則這兩個三角形對應邊的比是 ．
【變式訓練4-4】如圖，在 ABC中，D是邊上一點，且．
(1)求證：；
(2)若，，的面積為9，求 ABC的面積．
【變式訓練4-5】在 ABC與中，．
(1)求證：．
(2)直接寫出 ABC與的面積比．
題型五：相似三角形中動點問題
【經典例題5】如圖所示，點坐標為，點坐標為，動點從點開始沿以每秒1個單位長度的速度向點移動，動點從點開始沿以每秒2個單位長度的速度向點移動．如果、分別從、同時出發，用（秒）表示移動的時間（），那么：
(1)當為何值時，四邊形是梯形，此時梯形的面積是多少？
(2)當為何值時，以點、、為頂點的三角形與 AOB相似？
【變式訓練5-1】如圖，在矩形中，厘米，厘米．點沿邊從開始向點以厘米/秒的速度移動；同時點沿邊從點開始向點以厘米/秒速度移動，用（秒）表示移動的時間（）．
(1)當為何值時，為等腰直角三角形？
(2)求四邊形的面積；
(3)當為何值時，以點為頂點的三角形與 ABC相似？
【變式訓練5-2】如圖，在中，，，，動點M從點B出發，在邊上以2的速度向點A勻速運動，同時動點N從點C出發，在邊上以的速度向點B勻速運動，設運動時間為（），連接．
發現： ， ；（用含t的式子來表示）
（1）猜想：
①若，求t值；
②若的面積與四邊形的面積比值為，求出t的值．
（2）探究：是否存在符合條件的t，使與 ABC相似？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．
【變式訓練5-3】如圖，在 ABC中，，，，動點P從點B出發，以每秒5個單位長的速度沿向點A運動，過點P作于點Q，以為邊向右作矩形，使，點F落在射線上．設點P的運動時間為t（）秒．
(1)求的長（用含t的代數式表示）；
(2)求點E落在 ABC區域（含邊界）內的時長；
(3)連接，當與 ABC相似時，求t的值；
(4)當將 ABC的面積分成兩部分時，直接寫出點E到的距離．
【變式訓練5-4】在中，．現有動點P從點A出發，沿向點C方向運動，動點Q從點C出發，沿線段也向點B方向運動．如果點P的速度是秒，點Q的速度是秒，它們同時出發，當有一點到達所在線段的端點時，就停止運動．設運動的時間為ｔ秒，求：
(1)用含t的代數式表示的面積S；
(2)當秒時，這時，P，Q兩點之間的距離是多少？
(3)當t為多少秒時，以點C，P，Q為頂點的三角形與 ABC相似？
【變式訓練5-5】如圖，在 ABC中，，，∠B=90°．點從點開始沿邊向點以的速度移動，點從點開始沿邊向點以的速度移動，如果、分別從、同時出發，設移動時間為．
(1)當時，求的面積；
(2)當為多少時，的面積是？
(3)當為多少時，與 ABC是相似三角形？
題型六：在網格中畫出與已知三角形相似的三角形
【經典例題6】如圖，在的正方形網格中，點A，B，C均在格點上，請按要求作圖．
(1)在圖1中畫一個格點 ADE，使．
(2)在圖2中找一點F，使．
【變式訓練6-1】圖①、圖②、圖③均是的正方形網格，每個小正方形的頂點稱為格點，線段的端點均在格點上，在圖①、圖②、圖③給定的網格中按要求畫圖．（保留作圖痕跡，要求：借助網格，只用無刻度的直尺，不要求寫出畫法）
(1)在圖①中，在線段上畫出點M，使
(2)在圖②中，在線段上畫出點N，使
(3)在圖③中，在線段上畫出點Q，使
【變式訓練6-2】小正方形的頂點稱為格點，頂點均在格點上的圖形叫做格點圖形。如圖，在的正方形網格中，畫出符合要求的格點三角形.

(1)在圖1中畫出以C為旋轉中心順時針旋轉的三角形；
(2)在圖2中畫出以為邊的三角形，且與 ABC相似（不全等）.
【變式訓練6-3】如圖，在的網格中， ABC的三個頂點均在格點上，請按要求在方格紙上畫格點三角形（各頂點都在格點上）．

(1)在圖1中畫出，使它由 ABC繞著點B旋轉得到；
(2)在圖2中找到格點M，N，使得與 ABC相似，且相似比為．
【變式訓練6-4】如圖，在的方格紙中，已知格點 ABC與格點P，請按要求畫與 ABC相似的格點三角形（頂點均在格點上），要求圖1與圖2所畫的三角形不全等．
(1)在圖1中畫，使點M，N均落在的邊上．
(2)在圖2中畫，使點P在的內部（不包括邊上），且與 ABC組成一幅軸對稱的圖形．
【變式訓練6-5】已知圖1和圖2中的每個小正方形的邊長都是1個單位，請在方格紙上按要求畫格點三角形：
(1)在圖1中畫，使得，且相似比為；
(2)在圖2中畫，使得，且面積比為．
題型七：利用相似求坐標
【經典例題7】如圖，矩形的頂點A、C分別在x軸和y軸上，點B的坐標為，雙曲線的圖象經過上的點D與交于點E，連接，若E是的中點．
(1)求點D的坐標；
(2)點F是邊上一點，若和相似，求點F的坐標．
【變式訓練7-1】如圖，在平面直角坐標系中，點的坐標為，是軸上一點．

(1)在上求作點，使得∽要求：尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡；在
(2)在（1）的條件下，，是 AOB的中線，過點的直線交于點，交軸于點，當時，求點的坐標．
【變式訓練7-2】如圖，直線與雙曲線相交于和兩點，與y軸交于點C，與x軸交于點D．
(1)求雙曲線的解析式；
(2)連接、，求 AOB的面積；
(3)在y軸上是否存在一點P，使與相似？若存在求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
【變式訓練7-3】圖，直線與反比例函數的圖象相交于點，與軸交于點．
(1)求，，的值．
(2)是軸上一點，若，求點的坐標．
【變式訓練7-4】如圖，矩形的頂點、分別在軸和軸上，點的坐標為，雙曲線的圖象經過BC的中點，且與交于點，連接
(1)求 BDE的面積
(2)若點是邊上一點，且∽，求點坐標．
【變式訓練7-5】直線y＝kx+b與反比例函數（x＞0）的圖象分別交于點A（m，3）和點B（6，n），與坐標軸分別交于點C和點D．
（1）求直線AB的解析式；
（2）若點P是x軸上一動點，當△COD與△ADP相似時，求點P的坐標．
題型八：相似三角形的應用
【經典例題8】為了加快城市發展，保障市民出行方便，某市在流經該市的河流上架起一座橋，連通南北，鋪就城市繁榮之路．小明和小穎想通過自己所學的數學知識計算該橋的長．如圖，該橋兩側河岸平行，他們在河的對岸選定一個目標作為點A，再在河岸的這一邊選出點B和點C，分別在，的延長線上取點D，E，使得．經測量，米，米，且點E到河岸的距離為90米．已知于點F，請你根據提供的數據，幫助他們計算橋的長度．
【變式訓練8-1】如圖所示，我校數學興趣小組利用標桿測量建筑物的高度，已知標桿高為，測得，，求建筑物的高．
【變式訓練8-2】西安環城公園是一處融合了明代城墻韻味與現代綠化風貌的公益性公園．它不僅是自然的饋贈，更是歷史的見證．小華和小剛打算測量環城公園安定門段的牌坊的高度．如圖，小華站在點D處，位于點D正前方3米的點C處有一平面鏡，通過平面鏡小華剛好可以看到牌坊頂端A的像，此時測得小華眼睛到地面的距離ED為1.5米；小剛在G處豎了一根高為2米的標桿，發現地面上的點H，標桿的頂端F和牌坊的頂端A在一條直線上，此時測得米，米，已知，于G，于D，于B，點B，C，D，G，H在一條直線上，請根據以上數據計算牌坊的高度．
【變式訓練8-3】一天小明和小亮去某影視基地游玩，當小明給站在城樓上的小亮照相時，發現他自己的眼睛、涼亭頂端、小亮頭頂三點恰好在一條直線上(如圖) ．已知小明的眼睛離地面米，涼亭頂端離地面米，小明到涼亭的距離為米，涼亭離城樓底部的距離為米，小亮身高為米． 請根據以上數據求出城樓的高度．
【變式訓練8-4】杭州第屆亞洲運動會開幕式在杭州奧體中心主體育場舉行，奧運會游泳冠軍汪順和代表火炬線上傳遞參與者的“虛擬數字火炬手”一同點燃了杭州亞運會的主火炬臺．某校社會實踐小組為了測量這座主火炬臺頂端距離地面的高度，如圖，小明先在地面上處垂直于地面豎立了高度為米的標桿，這時地面上的點，標桿的頂端點，火炬臺的頂端正好在同一直線上，測得米；小明再從點出發沿著方向前進米，到達點．在點處放置一平面鏡，小剛站在處時，恰好在平面鏡中看到火炬頂端的像，此時測得小剛的眼睛到地面的距離為米，米．已知點與火炬臺的底端在同一直線上，，，．（平面鏡大小忽略不計）
(1)求與的等量關系；
(2)請你根據以上數據，計算該火炬臺的高度．
【變式訓練8-5】如圖所示，某測量工作人員頭頂A與標桿頂點F、電視塔頂端E在同一直線上，已知此測量人員的頭頂距地面的高為1.4m，標桿的長為2.8m，且測量人員與標桿的距離為3.5m，標桿與電視塔的距離為6.5m，，，，求電視塔的高．
題型九：相似三角形的性質和判定綜合
【經典例題9】如圖，在中，是線段中點．連接交于點，連接并延長交于．
(1)試說明F為中點；
(2)若恰好垂直，且，求的值．
【變式訓練9-1】如圖，在 ABC中，D是邊上一點，且滿足，．
(1)求證：；
(2)若，且，求的長．
【變式訓練9-2】如圖．四邊形中，平分，，為的中點．連接，．
(1)求證：；
(2)若，．求的值．
【變式訓練9-3】如圖，在矩形中，是的中點，，垂足為F．
(1)求證：；
(2)若，，求的長．
【變式訓練9-4】如圖， ABC的中線、相交于點O，F、G分別是、的中點．

(1)求的值；
(2)當時，求證：四邊形是矩形．
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4.5相似三角形的性質九大題型（一課一講）
【浙教版】
題型一：重心的有關性質
【經典例題1】如圖， ABC重心為G， ABC和在邊上高之比為（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】D
【分析】本題考查三角形的重心，相似三角形的判定和性質，連接并延長交于點，根據重心的性質，得到，進而得到，證明，列出比例式即可得出結果．
【詳解】解：連接并延長交于點，
∵ ABC重心為G，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故選D．
【變式訓練1-1】如圖，在 ABC中，點D是邊上任意一點，點E、F分別是和的重心，如果，那么線段的長為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】本題考查了三角形重心、相似三角形的判定與性質，連接并延長交于，連接并延長交于，由三角形重心的性質得出，，，，從而得出，證明，由相似三角形的性質可得，計算即可得解．
【詳解】解：如圖，連接并延長交于，連接并延長交于，
∵點E、F分別是和的重心，
∴，，，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
故選：A．
【變式訓練1-2】如圖，在中，，，斜邊上的高，矩形的邊在邊上，頂點G、F分別在邊、上，如果恰好經過 ABC的重心，那么的長為（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【分析】設 ABC的重心是，連接，延長交于，由三角形的重心的性質可得，再結合矩形的性質和平行線分線段成比例及余角的性質得到，代數求出，，然后利用勾股定理求解即可．
【詳解】解：設的重心是，連接，延長交于，
，
四邊形是矩形，
，，
，
，
，
，
∵
∴．
故選：C．
【點睛】本題考查了三角形的重心，平行線分線段成比例，矩形的性質，勾股定理等知識，解題的關鍵是掌握以上知識點．
【變式訓練1-3】，，，為重心，則 ．
【答案】2
【分析】本題考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三邊中線的交點； 重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為. 也考查了直角三角形斜邊上的中線性質．根據直角三角形斜邊上的中線性質求出，根據重心的性質求出的長即可.
【詳解】解：如圖， ∵為的重心，

∴是的中線，，
，
，
，
故答案為：.
【變式訓練1-4】如圖，在中，∠B=90°，點O是的重心，如果，則點O到邊的距離是 ．
【答案】2
【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質，三角形重心的性質，正確作出輔助線是解答本題的關鍵． 連接并延長交于點E，作于點F，證明得，由點O是的重心得，，代入比例式即可求解．
【詳解】解：連接并延長交于點E，作于點F，
∵，
∴，
∴，
∴．
∵點O是的重心，，
∴，，
∴，
∴，即點O到邊的距離是2．
故答案為：2．
【變式訓練1-5】如圖所示，點是 ABC的重心，點是邊的中點，過點作交于點，過點作交的延長線于點，如果四邊形的面積為12，那么 ABC的面積為 ．
【答案】36
【分析】本題考查了三角形重心的性質，平行線分線段成比例定理，相似三角形的判定與性質．連接，，根據為 ABC的重心，得到，證明，得到與的相似比為，設的高為，得到四邊形底邊的高為，根據平行四邊形的面積求得，據此求解即可得到結論．
【詳解】解：連接，
∵點是 ABC的重心，點是邊的中點，
∴點在線段上，，
∵，
∴，
∴與的相似比為，
設的高為，
∴的高為，即 ABC的高為，
∴四邊形底邊的高為，
∵四邊形的面積為12，
∴，
∴的面積為，
∵點是邊的中點，
∴ ABC的面積為36，
故答案為：36，
題型二：利用相似三角形的性質求線段長度
【經典例題2】如圖，已知，且，，，則 ．
【答案】
【分析】本題考查相似三角形的判定與性質，根據，得到，從而得到，代入求解即可得到答案；
【詳解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，解得：，
故答案為：4．
【變式訓練2-1】如圖，，若，，則的長為 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了相似三角形的性質，根據相似三角形對應邊成比例可得，據此代值計算即可．
【詳解】解：∵，
∴，即，
∴或（舍去），
故答案為：．
【變式訓練2-2】如圖，在矩形中，點E，F分別在邊上，，，，，則的長為 ．
【答案】
【分析】此題主要考查了相似三角形的性質，熟練掌握是解題的關鍵．根據相似三角形性質得到，先求出，把，代入，即得的值．
【詳解】∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案為：．
【變式訓練2-3】如圖所示，在 ABC中，點在邊上，已知，，，如果在上找一點，使得 ADE與 ABC相似，求的長．

【答案】或．
【分析】本題考查了相似三角形的性質．由題意知，分，兩種情況求解即可．
【詳解】解：由題意知，分，兩種情況求解；

當時，，即，
解得，，
∴；
當時，，即，
解得，；
∴；
綜上所述，或．
【變式訓練2-4】如圖所示，已知，，，，，求的度數及的長．
【答案】，
【分析】本題考查相似三角形的性質和判定，熟練掌握相似三角形的性質和判定是解題的關鍵；根據相似三角形的性質和判定求解即可；
【詳解】解：，
，；
，
又，
；
，
；
故的度數為，的長為
【變式訓練2-5】如圖，已知，，，，．求，的長．
【答案】，
【分析】本題考查的是相似三角形的性質，熟知相似三角形的對應邊成比例是解答此題的關鍵．根據即可得出，再把已知數據代入進行計算即可．
【詳解】解：，
，
，，，
，
解得，．
【變式訓練2-6】兩個相似三角形對應邊的長分別為和，且兩個三角形的面積差為．求較大三角形的面積．
【答案】較大三角形的面積為
【分析】本題考查相似三角形的性質，掌握相似三角形面積的比等于相似比的平方是解題的關鍵．
設較大三角形的面積是，由相似三角形面積的比等于相似比的平方得到求解即可．
【詳解】解：設較大三角形的面積是，則較小三角形的面積為．
由題意可得：，解得：．
答：較大三角形的面積為．
題型三：利用相似比求周長比
【經典例題3】如圖，在 ABC中，分別交于點，若，則 ADE與 ABC的周長之比是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質，求出邊的比例即可求出周長的比．根據相似三角形的判斷與性質，求出邊的比例即可求解．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴與的周長之比是；
故選：A．
【變式訓練3-1】若，它們的相似比為，則 ABC與的周長比為 ．
【答案】
【分析】本題考查了相似三角形的性質，相似三角形的周長比等于相似比，據此作答即可．
【詳解】解：∵，它們的相似比為
∴與的周長比為
故答案為：
【變式訓練3-2】已知，和是它們的對應角平分線，若，的周長為，則的周長是 ．
【答案】12
【分析】本題考查了相似三角形的性質，根據兩個相似三角形的周長比等于相似比即可求解，掌握相似三角形的性質是解題的關鍵．
【詳解】解：∵，，
∴，設的周長為，
∴，
解得，，即的周長為，
故答案為：12 ．
【變式訓練3-3】兩個相似三角形的相似比為，周長之差為，則較大三角形的周長為 ．
【答案】
【分析】本題考查了相似三角形的性質，根據周長比等于相似比，設較大三角形的周長為，則較小三角形的周長為，因為周長之差為，所以列式，解出，即可作答．
【詳解】解：∵兩個相似三角形的相似比為，
∴設較大三角形的周長為，則較小三角形的周長為，
依題意，，
解得，
∴，
故答案為：．
【變式訓練3-4】已知一個三角形的三邊長為6，7，9，與它相似的另一個三角形的最小邊長為3，那么三角形的周長為 ．
【答案】11
【分析】本題考查了相似三角形的性質，根據題意可得相似三角形的相似比，再根據周長比等于相似比即可解題．
【詳解】解：一個三角形的三邊長為6，7，9，與它相似的另一個三角形的最小邊長為3，
又，
，
的的周長，
故答案為：11．
【變式訓練3-5】在中，，D為邊上一點，．在邊上取一點E，連接，得到．若這兩個三角形相似，則與的周長之比是 ．
【答案】或
【分析】本題考查的是相似三角形的性質，關鍵是運用分類討論，對可能出現的幾種情況進行分析．
與相似要分成兩種情況來進行討論， ； ，然后根據相似三角形的性質求解即可．
【詳解】解：分兩種情況討論：①當時，
∵
∴與的周長之比為；
②當時，
∵，
∴與的周長之比為，
綜上，與的周長之比為或，
故答案為：或．
題型四：利用相似比求面積比
【經典例題4】兩個相似三角形對應邊上的高之比為，則它們的面積比為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了相似三角形性質．根據相似三角形對應高的比等于相似比，面積比是相似比的平方求解即可．
【詳解】解：兩個相似三角形對應高之比為，
它們的相似比為，
面積比．
故選：D．
【變式訓練4-1】兩個相似三角形的面積比是，其中一個三角形的周長為，則另一個三角形的周長是（ ）
A． B．或 C．或 D．或
【答案】D
【分析】本題考查的知識點是相似三角形的性質，解題關鍵是掌握相似三角形周長的比等于相似比、相似三角形面積的比等于相似比的平方．
根據相似三角形的性質求出相似比，得到周長比，根據題意列出比例式，解答即可．
【詳解】解：兩個相似三角形的面積比是，
兩個相似三角形的相似比是，
兩個相似三角形的周長比是，
令另外一個三角形周長為，分兩種情況：或者，
解得或．
故選：．
【變式訓練4-2】如圖，在中，，為的三等分點，點，在上，且， ADE，四邊形，四邊形的面積分別為，，，則 ．
【答案】
【分析】本題考查相似三角形的判定和性質、以及相似三角形面積比等于相似比的平方，掌握相似三角形的判定方法以及面積比等于相似比的平方是解題的關鍵．
本題先根據三條直線平行得到 ,得到對應相似比為，然后得到 ，最后得到答案．
【詳解】∵
∴，
又∵，為的三等分點，
∴,
∴
設，則 ，，
∴．
故答案為．
【變式訓練4-3】已知．
（1）若，，則 ；
（2）若 ABC和的相似比為，則這兩個三角形對應中線的比為 ， ABC與的面積比為 ；
（3）若 ABC與的周長比為，則這兩個三角形對應邊的比是 ．
【答案】
【分析】本題考查了相似三角形的性質：相似三角形的對應角相等，對應邊的比相等．相似三角形（多邊形）的周長的比等于相似比；相似三角形的對應線段（對應中線、對應角平分線、對應邊上的高）的比也等于相似比；相似三角形的面積的比等于相似比的平方．
（1）根據相似三角形的性質即可解答；
（2）根據相似三角形的性質即可解答；
（3）根據相似三角形的性質即可解答．
【詳解】解：（1），
，
，，
，
故答案為：；
（2），且和的相似比為，
這兩個三角形對應中線的比為， ABC與的面積比為，
故答案為：，；
（3） ABC與的周長比為，，
ABC和的相似比為，
這兩個三角形對應邊的比是，
故答案為：．
【變式訓練4-4】如圖，在 ABC中，D是邊上一點，且．
(1)求證：；
(2)若，，的面積為9，求 ABC的面積．
【答案】(1)見解析
(2)36
【分析】本題考查三角形相似的判定和性質．熟練掌握三角形相似的判定定理和相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題關鍵．
（1）根據“兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似”判定即可證明，即得出；
（2）根據“相似三角形的面積比等于相似比的平方”即可求解．
【詳解】（1）證明：∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴．
∵，
∴．
【變式訓練4-5】在 ABC與中，．
(1)求證：．
(2)直接寫出 ABC與的面積比．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】本題考查相似三角形的判定和性質：
（1）根據三組對應邊對應成比例的兩個三角形相似，即可得證；
（2）根據相似三角形的面積比等于相似比的平方，進行求解即可．
【詳解】（1）解：∵，
∴，
∴；
（2）∵，
∴．
題型五：相似三角形中動點問題
【經典例題5】如圖所示，點坐標為，點坐標為，動點從點開始沿以每秒1個單位長度的速度向點移動，動點從點開始沿以每秒2個單位長度的速度向點移動．如果、分別從、同時出發，用（秒）表示移動的時間（），那么：
(1)當為何值時，四邊形是梯形，此時梯形的面積是多少？
(2)當為何值時，以點、、為頂點的三角形與 AOB相似？
【答案】(1)當時，四邊形是梯形，此時梯形的面積為27
(2)的值為秒或3秒
【分析】（1）當，四邊形是梯形，此時易證，根據三角形相似得到，即，即可得到t，利用梯形的面積的面積的面積求面積；
（2）討論：當，即，此時，由（1）得；當，則，，即可得到t．
【詳解】（1）解：根據題意得：，
，
當，四邊形是梯形，
，
∴，即，
∴，
∴，
∴梯形的面積的面積的面積
，
當時，四邊形是梯形，此時梯形的面積為27；
（2）解：，
當，則，
，
由（1）得；
當，則，
∴，即，
∴，
當的值為秒或3秒時，以點P、Q、B為頂點的三角形與相似．
【點睛】本題考查了坐標與圖形，梯形的性質，三角形相似的判定與性質，熟練掌握分類討論思想的運用以及三角形的相似的判定定理是解題的關鍵．
【變式訓練5-1】如圖，在矩形中，厘米，厘米．點沿邊從開始向點以厘米/秒的速度移動；同時點沿邊從點開始向點以厘米/秒速度移動，用（秒）表示移動的時間（）．
(1)當為何值時，為等腰直角三角形？
(2)求四邊形的面積；
(3)當為何值時，以點為頂點的三角形與 ABC相似？
【答案】(1)；
(2)；
(3)或．
【分析】（）由等腰三角形的定義可得，即得，解方程即可求解；
（）根據即可求解；
（）根據相似三角形的判定分和兩種情況解答即可求解；
本題考查了矩形的性質，等腰三角形的定義，相似三角形的性質，運用分類討論思想解答是解題的關鍵．
【詳解】（1）解：∵四邊形是矩形，
∴，
當時，為等腰直角三角形，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴；
（3）解：∵四邊形是矩形，
∴，
當時，，
∴，
解得；
當時，，
∴，
解得；
綜上，當或時，以點為頂點的三角形與相似．
【變式訓練5-2】如圖，在中，，，，動點M從點B出發，在邊上以2的速度向點A勻速運動，同時動點N從點C出發，在邊上以的速度向點B勻速運動，設運動時間為（），連接．
發現： ， ；（用含t的式子來表示）
（1）猜想：
①若，求t值；
②若的面積與四邊形的面積比值為，求出t的值．
（2）探究：是否存在符合條件的t，使與 ABC相似？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．
【答案】發現：，；（1）①秒②秒（2）滿足條件的t的值為或秒
【分析】本題是相似綜合題目，考查了相似三角形的判定與性質，含30度的直角三角形的性質，綜合性較強，證明三角形相似是解題的關鍵，
發現：利用路程等于速度乘以時間即可得出結論；
猜想：（1）①利用建立方程求解即可得出結論；②先求出的面積，進而求出的面積，最后用的面積建立方程并解方程，即可得出結論；
（2）分兩種情況，利用相似三角形得出比例式建立方程求解即可得出結論．
【詳解】解：發現：在中，，
∴，
∵，
∴， ，
由運動知，， ，
∴，
故答案為：，；
猜想：（1）①∵，
∴，
∴秒；
②∵ ，
∴，
∵與四邊形面積比值為，
∴，
如圖，過點M作于D，
在中，，，
∴，
∴，
解得：秒；
（2）∵與相似，
當時，
∴ ，
∴ ，
∴秒，
當時，
∴，
∴，
∴秒，
即：滿足條件的t的值為或秒；
【變式訓練5-3】如圖，在 ABC中，，，，動點P從點B出發，以每秒5個單位長的速度沿向點A運動，過點P作于點Q，以為邊向右作矩形，使，點F落在射線上．設點P的運動時間為t（）秒．
(1)求的長（用含t的代數式表示）；
(2)求點E落在 ABC區域（含邊界）內的時長；
(3)連接，當與 ABC相似時，求t的值；
(4)當將 ABC的面積分成兩部分時，直接寫出點E到的距離．
【答案】(1)
(2)秒
(3)的值為或1
(4)1或
【分析】（1）由題意可知，得，由此可知，代入相關數據即可求解；
（2）找到臨界位置，當點在上時，和重合，在的邊界上，若再繼續向點運動，則點不在內，再此時證明，可知，據此列出方程即可求解；
（3）由（1）可知，，，則，則，分兩種情況：當時，；當時，，即：，分別求解即可；
（4）由題意得，若將的面積分成兩部分，可知或，分兩種情況：當時，，當時，，結合面積列出方程即可求解．
【詳解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
由題意可知，，則，
∴；
（2）由勾股定理可知，，
當點在上時，和重合，在 ABC的邊界上，若再繼續向點運動，則點不在 ABC內，
此時，，，則，，
∵四邊形是矩形，
∴，，則，
∴，
∴，即：，解得：，
即：點落在區域（含邊界）內的時長為秒；
（3）由（1）可知，，，則，
則，
∵，
∴當時，，即：，解得：；
當時，，即：，解得：；
綜上，當與相似時，的值為或1；
（4），
若將 ABC的面積分成兩部分，
則或，
當時，，
∴，解得：，
此時，，，則，
∴點在線段上，則，
即：點到的距離為1；
當時，，
∴，解得：，
此時，，，則，
∴點在射線上，則，
即：點到的距離為；
綜上，點到的距離為1或．
【點睛】此題考查了相似三角形的判定與性質、矩形的性質、列代數式、方程的應用等知識，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解答此題的關鍵．
【變式訓練5-4】在中，．現有動點P從點A出發，沿向點C方向運動，動點Q從點C出發，沿線段也向點B方向運動．如果點P的速度是秒，點Q的速度是秒，它們同時出發，當有一點到達所在線段的端點時，就停止運動．設運動的時間為ｔ秒，求：
(1)用含t的代數式表示的面積S；
(2)當秒時，這時，P，Q兩點之間的距離是多少？
(3)當t為多少秒時，以點C，P，Q為頂點的三角形與 ABC相似？
【答案】(1)
(2)
(3)秒或秒
【分析】此題是相似形綜合題，主要考查了直角三角形的面積公式，勾股定理，相似三角形的性質，解本題的關鍵時用分類討論的思想和方程思想解決問題．
（1）由點，點的運動速度和運動時間，又知的長，可將、用含的表達式求出，代入直角三角形面積公式求解；
（2）在中，當秒，可知、的長，運用勾股定理可將的長求出；
（3）應分兩種情況：當時，根據，可將時間求出；當時，根據，可求出時間．
【詳解】（1）解：由題意得，
則，
∴的面積為；
（2）解：由題意得，
則，
當秒時，，
在中，由勾股定理得；
（3）解：由題意得，
則，
∵．
∴①當時，，
即，
解得秒；
②當時，，
即，
解得秒．
∴秒或秒時，以點、、為頂點的三角形與相似．
【變式訓練5-5】如圖，在 ABC中，，，∠B=90°．點從點開始沿邊向點以的速度移動，點從點開始沿邊向點以的速度移動，如果、分別從、同時出發，設移動時間為．
(1)當時，求的面積；
(2)當為多少時，的面積是？
(3)當為多少時，與 ABC是相似三角形？
【答案】(1)
(2)秒或秒
(3)當為或秒鐘，使與 ABC相似．
【分析】本題主要考查一元二次方程的實際運用，相似三角形的性質和判定等知識點的理解和掌握，能求出符合條件的所有情況是解此題的關鍵．
（1）用含的代數式表示線段和，代入求得、，利用三角形的面積計算公式求得答案；
（2）由（1）得到，，根據三角形的面積公式得出方程解答即可；
（3）要使與 ABC相似，根據兩邊成比例并且夾角相等的兩三角形相似得到第一種情況和第二種情況代入求出即可．
【詳解】（1）解：∵點從點開始沿邊向點以的速度移動，點從點開始沿邊向點以的速度移動，
∴，，
∴，
當時，，，的面積；
（2）解：由題意得，
即，
答：當為或秒，使的面積為．
（3）
解：設經過秒鐘，使與 ABC相似，
，
第一種情況：當時，與 ABC相似，即，
解得：，
第二種情況：當時，與 ABC相似，即，
解得：．
答：當為或秒鐘，使與 ABC相似．
題型六：在網格中畫出與已知三角形相似的三角形
【經典例題6】如圖，在的正方形網格中，點A，B，C均在格點上，請按要求作圖．
(1)在圖1中畫一個格點 ADE，使．
(2)在圖2中找一點F，使．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】本題考查基本作圖，涉及相似三角形的判定、勾股定理、圓周角定理等知識，熟系相關知識是解答的關鍵．
（1）找格點E、D，根據網格特點，得到，根據相似三角形的判定可求解；
（2）找格點F，證得點F為 ABC的外接圓圓心，利用圓周角定理可得結論．
【詳解】（1）解：如圖，即為所求：
作圖依據：由網格特點，，，
∴，又，
∴；
（2）解：如圖，點F即為所求：
作圖依據：取格點F，連接、、，則，
∴點F為 ABC的外接圓圓心，
∴，則點F即為所求．
【變式訓練6-1】圖①、圖②、圖③均是的正方形網格，每個小正方形的頂點稱為格點，線段的端點均在格點上，在圖①、圖②、圖③給定的網格中按要求畫圖．（保留作圖痕跡，要求：借助網格，只用無刻度的直尺，不要求寫出畫法）
(1)在圖①中，在線段上畫出點M，使
(2)在圖②中，在線段上畫出點N，使
(3)在圖③中，在線段上畫出點Q，使
【答案】(1)見解析；
(2)見解析；
(3)見解析．
【分析】本題考查作圖-應用與設計作圖、相似三角形的判定與性質、垂線，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．
（1）取格點C，D，使，且，連接，交于點M，則點M即為所求．
（2）取格點E，F，使，且，連接，交于點N，則點N即為所求．
（3）利用網格，過點P作的垂線，與的交點即為點Q
【詳解】（1）解：如圖①，取格點C，D，使，且，
連接，交于點M，
則，
，
即，
則點M即為所求．
（2）如圖②，取格點E，F，使，且，
連接，交于點N，
則，
，
即，
則點N即為所求．
（3）如圖③，取格點G，連接交于點Q，
則點Q即為所求．
【變式訓練6-2】小正方形的頂點稱為格點，頂點均在格點上的圖形叫做格點圖形。如圖，在的正方形網格中，畫出符合要求的格點三角形.

(1)在圖1中畫出以C為旋轉中心順時針旋轉的三角形；
(2)在圖2中畫出以為邊的三角形，且與 ABC相似（不全等）.
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】本題考查了網格作圖，熟練掌握旋轉性質，相似三角形的判定和性質，是解題的關鍵．
（1）根據旋轉的性質可作出點A和B的對應點D和E，使，，，所得即為繞點C順時針旋轉的三角形；
（2）根據相似三角形性質取點F，使，，連接，，所得．
【詳解】（1）如圖，取格點D，E，使，，，
連接，，，
即為所求作；
（2）如圖，取格點F，使，，
連接，，
即為所求作．
【變式訓練6-3】如圖，在的網格中， ABC的三個頂點均在格點上，請按要求在方格紙上畫格點三角形（各頂點都在格點上）．

(1)在圖1中畫出，使它由 ABC繞著點B旋轉得到；
(2)在圖2中找到格點M，N，使得與 ABC相似，且相似比為．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】本題考查作圖-相似變換，旋轉變換等知識:
（1）根據要求作出圖形；
（2）根據對應邊的比為，構造相似三角形即可．
【詳解】（1）解：如圖，即為所作：

（2）解：如圖，即為所作：

【變式訓練6-4】如圖，在的方格紙中，已知格點 ABC與格點P，請按要求畫與 ABC相似的格點三角形（頂點均在格點上），要求圖1與圖2所畫的三角形不全等．
(1)在圖1中畫，使點M，N均落在的邊上．
(2)在圖2中畫，使點P在的內部（不包括邊上），且與 ABC組成一幅軸對稱的圖形．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】本題考查作相似圖形和軸對稱圖形，熟練掌握相似的性質和軸對稱的性質是解此題的關鍵．
（1）利用相似圖形的定義確定對應點的位置即可；
（2）利用相似圖形的定義和軸對稱圖形的定義確定對應點的位置即可．
【詳解】（1）如圖：
即為所求；
（2）如圖：
即為所求．
【變式訓練6-5】已知圖1和圖2中的每個小正方形的邊長都是1個單位，請在方格紙上按要求畫格點三角形：
(1)在圖1中畫，使得，且相似比為；
(2)在圖2中畫，使得，且面積比為．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】本題主要考查了作相似三角形，
（1）根據相似比得出各邊均擴大2倍，通過計算求出擴大后三角形三邊長再連接各點即可；
（2）由面積的比得兩三角形相似比為，畫出所有對應邊為原來倍的三角形即可．
【詳解】（1）解：如圖：即為所求．
；
（2）解：如圖：即為所求．
．
題型七：利用相似求坐標
【經典例題7】如圖，矩形的頂點A、C分別在x軸和y軸上，點B的坐標為，雙曲線的圖象經過上的點D與交于點E，連接，若E是的中點．
(1)求點D的坐標；
(2)點F是邊上一點，若和相似，求點F的坐標．
【答案】(1)
(2)或．
【分析】本題主要考查了反比例函數與幾何的綜合問題，矩形的性質，求反比例函數解析，相似三角形的性質等知識，掌握這些性質與分類討論的思想是解題的關鍵．
（1）先求出點E的坐標，求出反比例函數解析式，再求出當時，y的值，即可得出點D的坐標．
（2）和相似可以分兩種情況進行求解，①當若時，得求出，得出F點的坐標，②當時，可得求出，得出F點坐標．
【詳解】（1）解：四邊形是矩形
為的中點，點B的坐標為
點E的坐標為
點E在反比例函數上
∴反比例函數的解析式為：，
∴當時，則
∴點D的坐標為
（2）由（1）可得
為的中點
①若時，
則
即：
點F的坐標為
②若時，
則
即：
點F與點O重合
點F的坐標為
綜上所述，點F的坐標為或
【變式訓練7-1】如圖，在平面直角坐標系中，點的坐標為，是軸上一點．

(1)在上求作點，使得∽要求：尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡；在
(2)在（1）的條件下，，是 AOB的中線，過點的直線交于點，交軸于點，當時，求點的坐標．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）作于點即可；
（2）求出直線，直線的解析式，構建方程組求解．
【詳解】（1）如圖，點即為所求；

（2）∽，
：：，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
直線的解析式為，
，
，
，
，
，
，
直線的解析式為，
由，解得，
【點睛】本題考查作圖相似變換，一次函數的應用等知識，解題的關鍵是學會構建一次函數確定交點坐標．
【變式訓練7-2】如圖，直線與雙曲線相交于和兩點，與y軸交于點C，與x軸交于點D．
(1)求雙曲線的解析式；
(2)連接、，求 AOB的面積；
(3)在y軸上是否存在一點P，使與相似？若存在求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，或
【分析】（1）根據點，利用待定系數法求解即可得；
（2）先根據反比例函數的解析式求出點的坐標，利用待定系數法可得直線的解析式，從而可得點的坐標和的長，再根據的面積等于與的面積之和即可得；
（3）先推出是等腰直角三角形，，再分兩種情況：①過點作軸，交軸于點，則；②過點作，交軸于點，則，由此即可得．
【詳解】（1）解：將點代入得：，
則雙曲線的解析式為．
（2）解：如圖，連接、，
將點代入得：，即，
將點，代入得：，
解得，
則，
當時，，即，
當時，，解得，即，
則的面積為．
（3）解：，
是等腰直角三角形，，
①如圖，過點作軸，交軸于點，
，符合題意，
，
；
②如圖，過點作，交軸于點，
則是等腰直角三角形，
在和中，，
，符合題意，
又軸，軸軸，
，
，
，即，
綜上，在軸上存在一點，使與相似，點的坐標為或．
【點睛】本題考查了一次函數與反比例函數的綜合、相似三角形的判定等知識點，較難的是題（3），正確分兩種情況討論是解題關鍵．
【變式訓練7-3】圖，直線與反比例函數的圖象相交于點，與軸交于點．
(1)求，，的值．
(2)是軸上一點，若，求點的坐標．
【答案】(1)，，
(2)
【分析】（1）先根據點在反比例函數上求出，然后將點和點代入一次函數解析式即可得出答案．
（2）如圖，過點作軸交軸于點，交軸于點，設出點的坐標，根據代入即可得出答案．
【詳解】（1）解：將代入，得，
∴點的坐標為．
將和代入，
得，
解得．
（2）：如圖，過點作軸交軸于點，交軸于點．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
設點坐標為，則，，，
∴，
解得，
∴點的坐標為．
【點睛】本題屬于反比例與一次函數綜合題，解題的關鍵是讀懂題意，設出坐標，應用相似三角形對應邊成比例代入求解．
【變式訓練7-4】如圖，矩形的頂點、分別在軸和軸上，點的坐標為，雙曲線的圖象經過BC的中點，且與交于點，連接
(1)求 BDE的面積
(2)若點是邊上一點，且∽，求點坐標．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先利用D點為BC的中點得到D（1，3），再利用待定系數法確定反比例函數解析式為y＝，接著利用E點的橫坐標為2得到E（2，），然后根據三角形面積公式求解；
（2）根據相似三角形的性質，利用相似比可求出CF，然后計算出OF的長，從而得到點F坐標．
【詳解】（1）點為的中點，，
，
把代入得，
反比例函數解析式為，
， 點的橫坐標為，
當時，，即，
的面積；
（2）∽，
，即，解得，
，
點坐標為．
【點睛】本題考查了相似三角形的性質：相似三角形的對應角相等，對應邊的比相等；相似三角形（多邊形）的周長的比等于相似比；相似三角形的面積的比等于相似比的平方．也考查了反比例函數圖象上的點的坐標特征．
【變式訓練7-5】直線y＝kx+b與反比例函數（x＞0）的圖象分別交于點A（m，3）和點B（6，n），與坐標軸分別交于點C和點D．
（1）求直線AB的解析式；
（2）若點P是x軸上一動點，當△COD與△ADP相似時，求點P的坐標．
【答案】（1）；（2）或．
【分析】（1）利用反比例函數（x＞0）經過點A(m，4)和點B(6，2)，可確定A、B兩點坐標，再利用待定系數法即可得答案；
（2）根據AB解析式可得出C、D坐標，可得OD、OC得長，根據兩點間距離公式可得AD得長，分PA⊥OD時，AP'⊥CD兩種情況討論，利用相似三角形得性質即可得答案．
【詳解】（1）∵y＝kx+b與反比例函數y＝（x＞0）的圖象分別交于點A（m，3）和點B（6，n），
∴3=，，
解得：m＝2，n＝1，
∴A（2，3），B（6，1），
∴，
解得：，
∴直線AB的解析式為y＝﹣x+4．
（2）如圖，當PA⊥OD時，
∴PA∥OC，
∴△ADP∽△CDO，
∵A（2，3），點P在x軸上，
∴P（2，0）．
②當AP′⊥CD時，
∵直線AB的解析式為y＝﹣x+4，
∴當y=0時，x=8，x=0時，y=4，
∴C（0，4），D（8，0），
∴AD==，OD=8，OC=4，CD==，
∵∠DAP′=∠DOC=90°，∠ADP′=∠ODC，
∴△P′DA∽△CDO，
∴，即，
解得：DP′=，
∴OP′=OD-DP′=
∴P′（，0），
綜上所述：滿足條件的點P坐標為（2，0）或（，0）．
【點睛】本題是反比例函數綜合題，主要考查了待定系數法，相似三角形的性質，用方程的思想和分類討論的思想解決問題是解本題的關鍵．
題型八：相似三角形的應用
【經典例題8】為了加快城市發展，保障市民出行方便，某市在流經該市的河流上架起一座橋，連通南北，鋪就城市繁榮之路．小明和小穎想通過自己所學的數學知識計算該橋的長．如圖，該橋兩側河岸平行，他們在河的對岸選定一個目標作為點A，再在河岸的這一邊選出點B和點C，分別在，的延長線上取點D，E，使得．經測量，米，米，且點E到河岸的距離為90米．已知于點F，請你根據提供的數據，幫助他們計算橋的長度．
【答案】橋的長度為120米
【分析】本題考查了相似測量河的寬度（測量距離），過E作于G，依據，即可得出，依據，即可得到，進而得出的長，構造相似三角形是解題的關鍵．
【詳解】解：如圖所示，過E作于G，
∵，
，
，
，
，
，
，
，即：，
解得，
∴橋的長度為120米．
【變式訓練8-1】如圖所示，我校數學興趣小組利用標桿測量建筑物的高度，已知標桿高為，測得，，求建筑物的高．
【答案】
【分析】本題主要考查相似三角形的性質與判定，熟練掌握相似三角形的性質與判定是解題的關鍵；由題意易得，然后根據相似三角形的性質可進行求解．
【詳解】解：由題意得：，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴．
【變式訓練8-2】西安環城公園是一處融合了明代城墻韻味與現代綠化風貌的公益性公園．它不僅是自然的饋贈，更是歷史的見證．小華和小剛打算測量環城公園安定門段的牌坊的高度．如圖，小華站在點D處，位于點D正前方3米的點C處有一平面鏡，通過平面鏡小華剛好可以看到牌坊頂端A的像，此時測得小華眼睛到地面的距離ED為1.5米；小剛在G處豎了一根高為2米的標桿，發現地面上的點H，標桿的頂端F和牌坊的頂端A在一條直線上，此時測得米，米，已知，于G，于D，于B，點B，C，D，G，H在一條直線上，請根據以上數據計算牌坊的高度．
【答案】牌坊的高度11米
【分析】本題考查了相似三角形的應用，先證明，利用相似三角形的性質可求出，證明，得出，然后代入數據求解即可．
【詳解】解：根據題意，得，
又，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
解得，
即牌坊的高度11米．
【變式訓練8-3】一天小明和小亮去某影視基地游玩，當小明給站在城樓上的小亮照相時，發現他自己的眼睛、涼亭頂端、小亮頭頂三點恰好在一條直線上(如圖) ．已知小明的眼睛離地面米，涼亭頂端離地面米，小明到涼亭的距離為米，涼亭離城樓底部的距離為米，小亮身高為米． 請根據以上數據求出城樓的高度．
【答案】城樓的高度為米
【分析】本題考查了相似三角形的應用，構造直角三角形，利用相似三角形的判定證出是解題的關鍵．過點作于點，交于點，由題意得：米，米，米，米，進而得到米，米，米，證明得到，求出米，最后根據線段的和差即可求解．
【詳解】解：過點作于點，交于點，
由題意得：米，米，米，米，
，
四邊形是矩形，
又，
米，
（米），（米），
，
，
，即，
米，
城樓的高度為：（米）．
【變式訓練8-4】杭州第屆亞洲運動會開幕式在杭州奧體中心主體育場舉行，奧運會游泳冠軍汪順和代表火炬線上傳遞參與者的“虛擬數字火炬手”一同點燃了杭州亞運會的主火炬臺．某校社會實踐小組為了測量這座主火炬臺頂端距離地面的高度，如圖，小明先在地面上處垂直于地面豎立了高度為米的標桿，這時地面上的點，標桿的頂端點，火炬臺的頂端正好在同一直線上，測得米；小明再從點出發沿著方向前進米，到達點．在點處放置一平面鏡，小剛站在處時，恰好在平面鏡中看到火炬頂端的像，此時測得小剛的眼睛到地面的距離為米，米．已知點與火炬臺的底端在同一直線上，，，．（平面鏡大小忽略不計）
(1)求與的等量關系；
(2)請你根據以上數據，計算該火炬臺的高度．
【答案】(1)，理由見解析；
(2)該火炬臺的高度米．
【分析】（）由，，得，證明，然后根據相似三角形的性質即可求解；
（）由，，得，證明，然后根據相似三角形的性質和，即可求解；
本題考查了相似三角形的應用，熟練掌握相似三角形得判定與性質是解題的關鍵．
【詳解】（1）解：，理由：
∵點與火炬臺的底端在同一直線上，，，
∴，
∴，
∴，
∵米，米，
∴，
∴；
（2）解：由題意得：米，
∴（米），
∵點與火炬臺的底端在同一直線上，，，
∴，
∴，
∴，
∵米，米，
∴，即，
由（）得：，
∴，
∴（米），
答：該火炬臺的高度為米．
【變式訓練8-5】如圖所示，某測量工作人員頭頂A與標桿頂點F、電視塔頂端E在同一直線上，已知此測量人員的頭頂距地面的高為1.4m，標桿的長為2.8m，且測量人員與標桿的距離為3.5m，標桿與電視塔的距離為6.5m，，，，求電視塔的高．
【答案】電視塔的高的長為米
【分析】本題考查相似三角形的應用，過點作，交于點，交于，易得，，，證明，列出比例式求出的長，進而求出的長即可．
【詳解】解：過點作，交于點，交于，由題意，得：四邊形，四邊形均為矩形，
∴，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
答：電視塔的高的長為．
題型九：相似三角形的性質和判定綜合
【經典例題9】如圖，在中，是線段中點．連接交于點，連接并延長交于．
(1)試說明F為中點；
(2)若恰好垂直，且，求的值．
【答案】(1)見解析
(2)．
【分析】（1）根據平行四邊形的性質證明，，得到，由是線段中點，得到，即可得出結論；
（2）由（1）知，由，從而得到，，再根據平行四邊形的性質結合，得到，利用勾股定理求出，從而得到，，利用勾股定理求出，即可求出的值．
【詳解】（1）證明：在中，
，
，，
，，
是線段中點，
，
，
，
為中點；
（2）解：由①知，
，
，，
，
，
，
，，
，
．
【點睛】本題考查了平行四邊形的性質，勾股定理，相似三角形的判定和性質．解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題．
【變式訓練9-1】如圖，在 ABC中，D是邊上一點，且滿足，．
(1)求證：；
(2)若，且，求的長．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】本題考查三角形相似的判定與性質．
（1）根據，為公共角，即可證明；
（2）根據可得，進而得到，由（1）知，可得，求出，再根據，即可得出結果．
【詳解】（1）證明：，，
；
（2）解：，
，
設，則，
，
，
由（1）知，
，
，
，
（負值舍去），
，
．
【變式訓練9-2】如圖．四邊形中，平分，，為的中點．連接，．
(1)求證：；
(2)若，．求的值．
【答案】(1)證明過程見詳解
(2)
【分析】本題主要考查相似三角形的判定和性質，角平分線的性質，平行線的判定和性質，
（1）根據角平分線的性質可得，且，可證，由此即可求解；
（2）由（1）可求出，根據直角三角形斜邊上的中線可得，，于是，可證，可求出的值，由此即可求解．
【詳解】（1）證明：∵平分，
∴，且，
∴，
∴，
∴；
（2）解：由（1）可得，
∴，則（負值舍去），
∵點是的中點，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，且，
∴，
解得，，
∴．
【變式訓練9-3】如圖，在矩形中，是的中點，，垂足為F．
(1)求證：；
(2)若，，求的長．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】本題主要考查了矩形的性質，相似三角形的性質與判定，勾股定理：
（1）由矩形性質得，進而由平行線的性質得，再由，得出，最后根據兩角對應相等的兩個三角形相似即可證明．
（2）由是的中點得出，由勾股定理得出，再根據相似三角形對應邊成比例，列式求解即可．
【詳解】（1）證明：∵四邊形是矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵是的中點，
∴，
∵四邊形是矩形，
∴，
在中，由勾股定理得，
由（1）知，，
∴，即
∴．
【變式訓練9-4】如圖， ABC的中線、相交于點O，F、G分別是、的中點．

(1)求的值；
(2)當時，求證：四邊形是矩形．
【答案】(1)
(2)見解析
【分析】（1）首先得到點E，D分別是，的中點，然后證明出，得到，進而得到；
（2）首先得到，，證明出四邊形是平行四邊形，然后證明出，得到，然后得到，即可證明出四邊形是矩形．
【詳解】（1）解：∵的中線、相交于點O，
∴點E，D分別是，的中點，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（2）∵F、G分別是、的中點，
∴，，
∵，，
∴，，
∴四邊形是平行四邊形，
∵，且E，D分別是，的中點，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴同理可得，，
∴，
∵四邊形是平行四邊形，
∴，，
∴，
∴四邊形是矩形．
【點睛】此題考查了三角形中位線的性質和判定， 矩形的判定，相似三角形的性質和判定，平行四邊形的性質和判定等知識，解題的關鍵是掌握以上知識點．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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