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4.3&4.4相似三角形及其判定七大題型（一課一講）
【浙教版】
題型一：判斷兩個三角形是否相似
【經典例題1】如圖，是 ABC的邊上一點，下列條件：①；②；③；④．其中一定使的有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】C
【分析】本題考查了相似三角形的判定：兩邊及其夾角法：兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似；有兩組角對應相等的兩個三角形相似．解題的關鍵是熟練掌握相似三角形的判定． ABC和有公共角，然后根據相似三角形的判定方法對各個條件進行判斷，從而得到答案．
【詳解】解：∵，
∴當或，可根據有兩組角對應相等的兩個三角形相似可判斷，故①正確，④正確；
當時，可根據兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似可判斷，故②正確；
當＝時，雖但不是其對應的夾角，所以與 ABC不相似，故③不正確．
因此有3個正確．
故選：C．
【變式訓練1-1】在和中，，下列不能判定這兩個三角形相似的是（ ）
A．， B．，，，
C．，，， D．，，，
【答案】C
【分析】本題主要考查相似三角形的判定定理：兩角對應相等，兩組邊對應成比例且夾角相等，三邊對應成比例．根據相似三角形的判定方法對各個選項進行分析即可．
【詳解】解：A、，
，
，
，
又∵，
，故該選項不符合題意；
B、，，，，
，
，
，故該選項不符合題意；
C、，，，，
，
不能判定這兩個三角形相似，故該選項符合題意；
D、，，，，
，
，
，故該選項不符合題意；
故選：C．
【變式訓練1-2】如圖，在 ABC中，點、分別在邊、上，下列條件中不能判斷的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了相似三角形的判定：兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似；有兩組角對應相等的兩個三角形相似．根據此，分別進行判斷即可．
【詳解】解：由題意得，
A、當時，，故本選項不符合題意；
B、當時，，故本選項不符合題意；
C、當時，不能推斷，故本選項符合題意；
D、當時，，則，故本選項不符合題意；
故選：C．
【變式訓練1-3】下列各條件中，能判斷的是（ ）
A．，
B． ，
C．，
D．，，，
【答案】C
【分析】本題主要考查相似三角形的判定，解答的關鍵是熟記相似三角形的判定條件．兩角對應相等的兩個三角形相似；兩組對應邊成比例且其夾角相等的兩個三角形相似．
根據相似三角形的判定條件對各選項進行分析即可．
【詳解】A、∵，，只有一角一邊，
∴不能判斷兩個三角形相似，
故A不符合題意；
B、∵，，不是與的夾角，
∴不能判斷兩個三角形相似，
故B不符合題意；
C、由，可得，
再由，得，
∵兩組對應邊成比例且其夾角相等的兩個三角形相似，
∴可判斷，
故C符合題意；
D、由，，
得，
由，，
得，
∵只有，
∴不能得，
故D不符合題意．
故選：C．
【變式訓練1-4】根據下列條件，能判定 ABC和相似的個數是（　?。?br/>（1），，，；
（2），，，，，；
（3），，，，，；
（4），，，，，．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】A
【分析】根據兩三角形相似的判定定理，對各選項依次判斷即可．
【詳解】解：（1） ABC和中，，，，，
∴，
∴ ABC和不相似；
（2）和中，
∵，，但與不一定相等，
∴ ABC和不相似；
（3）∵，，，
∴，
∴ ABC和不相似；
（4）∵，，，
∴，
∴ ABC和相似；
綜上，只有（4）相似，
故選：A．
【點睛】本題考查了相似三角形的判定定理：（1）兩角對應相等的兩個三角形相似．（2）兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似．（3）三邊對應成比例的兩個三角形相似．熟練掌握相似三角形的判定定理是解題的關鍵．
【變式訓練1-5】根據下列各組條件，不能判斷 ABC和相似的是（ ）
A．，，
B．，，，
C．，，；，，
D．，，；，，
【答案】C
【分析】本題考查了相似三角形的判定，根據相似三角形的判定定理對各選項進行判斷作答即可，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題的關鍵．
【詳解】解：∵，，，
∴，則，故選項A不符合要求；
∵，，，，
∴，，則，故選項B不符合要求；
∵，，；，，，
∴，不能判斷 ABC和相似，故選項C符合要求；
∵，，；，，，
∴，，則，故選項D不符合要求；
故選：C．
題型二：添加一個條件讓兩個三角形相似
【經典例題2】如圖，點P在 ABC的邊上，要判斷，添加一個條件，下列不正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查的是相似三角形的判定，分別利用相似三角形的判定方法判斷得出即可．
【詳解】解：A、當時，
又∵，
∴，故此選項不符合題意；
B、當時，
又∵，
∴，故此選項不符合題意；
C、當時，
又∵，
∴，故此選項不符合題意；
D、當時，無法得到，故此選項符合題意．
故選：D．
【變式訓練2-1】如圖，與相交于點 O，要使 AOB與相似，可添加的一個條件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查相似三角形的判定．根據相似三角形的判定方法，進行判斷即可．
【詳解】解：（對頂角相等），
A、當時，則 AOB與相似，符合題意；
B、當時，無法證明與相似，不符合題意；
C、當時，無法證明與相似，不符合題意；
D、，無法證明與相似，不符合題意；
故選：A．
【變式訓練2-2】如圖，點P在 ABC的邊上，要判斷，添加一個條件，不正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本題考查的是相似三角形的判定，分別利用相似三角形的判定方法判斷得出即可．
【詳解】解：A、當時，
又∵，
∴，故此選項不符合題意；
B、當時，
又∵，
∴，故此選項不符合題意；
C、當時，
又∵，
∴，故此選項不符合題意；
D、當時，無法得到，故此選項符合題意．
故選：D．
【變式訓練2-3】如圖，已知，那么添加下列一個條件后，不能判定的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題關鍵．
先根據求出，再根據相似三角形的判定方法解答．
【詳解】解：∵
∴
∴
A、當時，可通過“兩角對應相等，兩個三角形相似”可證，故不符合題意；
B、當時，可通過“兩角對應相等，兩個三角形相似”可證，故不符合題意；
C、當時，可通過“兩邊對應成比例且夾角相等，兩個三角形相似”可證，故不符合題意；
D、當時，無法證明兩個三角形相似，故符合題意；
故選：D ．
【變式訓練2-4】如圖，已知，若再增加一個條件不一定能使結論成立，則這個條件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查相似三角形判定，根據題意得到，再結合相似三角形判定定理逐項判斷，即可解題．
【詳解】解：，
，
，
，
，
故A項使結論成立，符合題意；
，
，
故B項使結論成立，符合題意；
，
得不到，
故C項使結論不能成立，不符合題意；
，
，
故D項使結論成立，符合題意；
故選：C．
【變式訓練2-5】如圖，在四邊形中，已知，那么補充下列條件后不能判定和相似的是（　?。?br/>A．平分 B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查添加條件使三角形相似，根據相似三角形的判定方法，逐一進行判斷即可．
【詳解】解：∵平分，
∴，
∵，
∴，故A選項不符合題意；
∵，，
∴，故B選項不符合題意；
C選項無法判定和相似，不符合題意；
∵，，
∴，故D選項不符合題意；
故選C．
題型三：相似三角形的證明
【經典例題3】如圖，將 ABC繞點B逆時針旋轉得到，連接MA，求證：∽
【答案】見解析
【分析】本題考查了相似三角形的判定，旋轉的性質，熟練掌握相似三角形的判定定理，旋轉的性質是解題的關鍵．
由旋轉性質可得：，，，進而可得，，由此根據相似三角形的判定定理即可證明
【詳解】證明：將繞點B逆時針旋轉得到，
由旋轉性質，得，，，
，
，
，
即，
∽
【變式訓練3-1】如圖，，連接、，且點、、在同一條直線上，求證： ABE∽ CBD．
【答案】見解析
【分析】本題考查了全等三角形的性質、相似三角形的判定，根據“全等三角形的對應邊相等、對應角相等”，得出，，，推出，，根據“兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似”，即可證明，熟練掌握全等三角形的性質、相似三角形的判定是解題的關鍵．
【詳解】證明：∵，
∴，，，
∴，，即，
∴．
【變式訓練3-2】如圖，四邊形為正方形，．
(1)證明：
(2)不添加輔助線，添加一個角的條件，證明
【答案】(1)見解析
(2)添加，證明見解析
【分析】本題考查了相似三角形的判定，正方形的性質，垂直的概念，三角形全等的判定；
（1）證明有兩對角相等即可判斷；
（2）假設，可以推出即可．
【詳解】（1）證明：，
，
又，
，
，
，
，
；
（2）解：添加，
如果，
，
，
，
，
，
為等腰直角三角形，
，
故添加：，能證明．
【變式訓練3-3】已知：在 ABC和中， ．求證：．
【答案】見解析
【分析】直接在線段（或它的延長線）上截取，得出，再證明，進而得出答案．
此題主要考查了全等三角形的判定與性質以及相似三角形的判定，正確得出是解題關鍵．
【詳解】證明：在線段（或它的延長線）上截取，過點D作，交于點E，
∵，∴，
∴，
又，，
∴，，
∴，
在和中
，
∴，
∴．
【變式訓練3-4】如圖，在 ABC中，，，是邊上的高，點為線段上一點（不與點，點重合），連接，作與的延長線交于點，與交于點，連接．
(1)求證：；
(2)若，求證：；
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】本題考查相似三角形的判定與性質，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解題的關鍵．
（1）證，結合，則結論得證；
（2）證明即可；
【詳解】（1）證明：∵，，
∴，
又∵，
∴；
（2）證明：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即．
【變式訓練3-5】如圖，在等邊三角形中，點D、E、F分別在邊、、上，且．找出圖中所有相似的三角形（不要求證明）．
【答案】，
【分析】本題考查了相似三角形的判定、全等三角形的判定與性質以及等邊三角形的性質，利用全等三角形的判定定理，找出是解題的關鍵．
利用等邊三角形的性質，可得出，，結合，可得出，利用全等三角形的判定定理，可證出，同理可得出，進而可得出，利用全等三角形的性質，可得出，進而可得出是等邊三角形，結合等邊三角形的性質，可得出．
【詳解】解：∵是等邊三角形，
∴，，
又∵，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
同理：，
∴，，
∴是等邊三角形，
∴，，
∴．
題型四：判斷與已知三角形相似的個數
【經典例題4】如圖，在中，，E、F分別為、的中點，連接，H為的中點，過點H作，交于點 D，連接，則與相似(不含)的三角形個數為（ ）
A．1 B．4 C．8 D．2
【答案】D
【分析】本題主要考查了相似三角形的判定等知識點，由三角形中位線定理可得，可得，由有兩組角對應相等的兩個三角形相似可證，可得結論，掌握相似三角形的判定方法是解題的關鍵．
【詳解】∵E、F分別為、的中點，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
故選：D．
【變式訓練4-1】如圖，銳角 ABC的高和高相交于，則與相似的三角形（不含自身）個數是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本題考查的是相似三角形的判定，熟記三角形的判定方法是解本題的關鍵，本題結合三角形的高的含義，分別證明，，即可得到答案．
【詳解】解：如圖所示，
∵、是高，
∴，
又∵，
∴，
又∵、是高，
∴，
∵，
∴，
同理可證，
∴，
∴和相似的三角形有3個．
故選C．
【變式訓練4-2】如圖，在中，分別為的中點，連接為的中點，過點H作，交于點D，連接，則與 ABC相似（不含 ABC）的三角形個數為（　?。?br/>A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本題考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解題的關鍵．
由三角形中位線定理可得，可得，由有兩組角對應相等的兩個三角形相似可證，可得結論．
【詳解】解：∵、分別為、的中點，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
故選：B．
【變式訓練4-3】如圖，在由相同的小正方形組成的的網格中，點、、、、、、都在小正方形頂點上，則圖中能用字母表示（不再添加輔助線）的三角形中，與相似的三角形的個數是（?。?br/>A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】本題考查了勾股定理與網格問題，相似三角形的判定；根據勾股定理求得各邊長，且，根據相似三角形的判定進行判斷，即可求解．
【詳解】解：根據圖形可得，，
∵
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴
∴
綜上所述，與相似的三角形的個數是3個，
故選：B．
【變式訓練4-4】新定義：由邊長為1的小正方形構成的網格圖中，每個小正方形的頂點稱為格點，頂點都在格點上的三角形稱為格點三角形．如圖，已知 ABC是的網格圖中的格點三角形，那么該網格中所有與 ABC相似且有一個公共角的格點三角形的個數是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】取的中點，再取網格點M、N，連接格點，結合中位線的性質可證明，，，再根據，，，，可得，結合，有，即可獲得答案．
【詳解】解：如圖，取的中點，再取網格點M、N，連接格點，

則，且，
∴，，
∴．
同理可證：，．
∵，，，，
∴，
∴，，
∴，
綜上，滿足條件的三角形有4個，
故選：D．
【點睛】本題主要考查了中位線的性質、相似三角形的判定等知識，熟練掌握相似三角形的判定條件是解答本題的關鍵．
【變式訓練4-5】下列五幅圖均是由邊長為1的16個小正方形組成的正方形網格，網格中的三角形的頂點都在小正方形的頂點上，那么在下列右邊四幅圖中的三角形，與左圖中的△ABC相似的個數有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】B
【分析】可利用正方形的邊把對應的線段表示出來，利用三邊對應成比例兩個三角形相似，分別計算各邊的長度即可解題．
【詳解】解：根據題意得：，
∴，
∴該三角形為直角三角形，且兩直角邊的比為，
第1個圖形中，有兩邊為2，4，且為直角三角三角形，則兩直角邊的比為2，故第1個圖形中三角形與△ABC相似；
第2個圖形中，三邊長分別為，，，
∵，
則該三角形是直角三角形，兩直角邊的比為1，故第2個圖形中三角形不與△ABC相似；
第3個圖形中，三邊長分別為，，，
∵，
則該三角形不是直角三角形，故第3個圖形中三角形不與△ABC相似；
第4個圖形中，三邊長分別為，，，
∵，
則該三角形是直角三角形，兩直角邊的比為2，故第4個圖形中三角形與△ABC相似；
故選：B．
【點睛】此題考查了勾股定理在直角三角形中的運用，三角形對應邊比值相等判定三角形相似的方法，本題中根據勾股定理計算三角形的三邊長是解題的關鍵．
【變式訓練4-6】如圖，在 ABC中，、是高，且、交于點，則圖中與相似（不包括其本身）的三角形個數是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】先利用高線的定義得到∠BEC＝∠BDC＝90°，再利用等角的余角相等得到∠ABD＝∠ACE，加上∠A＝∠A，根據有兩組角對應相等的兩個三角形相似可判斷△ABD∽△ACE，利用同樣的方法得到△FBE∽△ABD，△FCD∽△ACE，所以△ABD∽△ACE∽△FBE∽△FCD．
【詳解】解：∵高BD、CE相交于點F，
∴∠BEC＝∠BDC＝90°，
∵∠BFE＝∠CFD，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠A＝∠A，
∴△ABD∽△ACE，
∵∠ABD＝∠FBE，∠BEF＝∠BDA，
∴△FBE∽△ABD，同理可得△FCD∽△ACE，
∴△ABD∽△ACE∽△FBE∽△FCD，
故選C．
【點睛】本題考查了相似三角形的判定，解題的關鍵是掌握：一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，這兩個三角形相似.
題型五：裁剪使兩個三角形相似
【經典例題5】如圖，在 ABC中，，，，將 ABC沿圖示中的虛線剪開，剪下的陰影三角形與 ABC不相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查圖形的相似，熟練掌握三角形相似的條件是解題的關鍵．根據題意分別判定即可．
【詳解】解：兩角分別相等的兩個三角形相似，故選項A中剪下的陰影三角形與相似，故選項A不符合題意；
兩角分別相等的兩個三角形相似，故選項B中剪下的陰影三角形與相似，故選項B不符合題意；
選項C中剪下的陰影三角形與不相似，故選項C符合題意；
兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似，故選項D中剪下的陰影三角形與相似，故選項D不符合題意；
故選C．
【變式訓練5-1】如圖，在 ABC中，，，，將 ABC沿圖示中的虛線剪開，剪下的陰影三角形與原三角形不一定相似的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了相似三角形的判定．根據相似三角形的判定定理，即可求解．
【詳解】解：A、滿足有兩角對應相等的兩個三角形相似，故本選項不符合題意；
B、與不一定相等，不能判定兩個三角形相似，故本選項符合題意；
C、，且，能判定兩個三角形相似，故本選項不符合題意；
D、滿足有兩角對應相等的兩個三角形相似，故本選項不符合題意；
故選：B
【變式訓練5-2】如圖，在紙片中，，將該紙片沿虛線剪開，剪下的陰影三角形與原三角形不相似的是（　?。?br/> B．
C．D．
【答案】D
【分析】本題主要考查相似三角形的判定，由于點D，得，則，而，即可證明，可判斷A不符合題意；由，得，則，可證明，可判斷B不符合題意；由，得，而，可證明，可判斷C不符合題意；由，得，，則，而，所以與不相似，可判斷D符合題意，于是得到問題的答案．
【詳解】解：如圖1，
∵于點D，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故A不符合題意；
如圖2，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故B不符合題意；
如圖3，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
故C不符合題意；
如圖4，
∵，
∴，，
∴，
假設，
∵，
∴，與已知條件不符，
∴與不相似，
故D符合題意，
故選：D．
【變式訓練5-3】如圖，在三角形紙片中，，，．將沿圖示中的虛線剪開，剪下的陰影三角形與原三角形相似的有（　?。?br/>A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】B
【分析】本題考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此題的關鍵．根據相似三角形的判定定理對各選項進行逐一判定即可．
【詳解】解：①陰影部分的三角形與原三角形有兩個角相等，故兩三角形相似；
②陰影部分的三角形與原三角形有兩個角相等，故兩三角形相似；
③兩三角形的對應邊不成比例，故兩三角形不相似；
④兩三角形對應邊成比例且夾角相等，故兩三角形相似．
故選：B
【變式訓練5-4】如圖，在 ABC中，，，．將 ABC沿圖示中的虛線剪開，剪下的陰影三角形與原三角形不能相似的是（ ）
A．B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查相似三角形的判定，解題的關鍵是熟練掌握相似三角形的判定方法，兩組角對應相等，兩個三角形相似；兩組邊對應成比例及其夾角相等，兩個三角形相似；三組邊對應成比例，兩個三角形相似．
【詳解】解：A、陰影部分的三角形與原三角形有兩個角相等，故兩三角形相似，不符合題意；
B、陰影部分的三角形與原三角形有兩個角相等，故兩三角形相似，不符合題意；
C、有兩邊對應邊成比例但是夾角不相等，故兩三角形不相似，符合題意；
D、，，兩三角形有兩邊對應邊成比例且夾角相等，故兩三角形相似，不符合題意．
陰影部分的三角形與原三角形有兩個角相等，，故兩三角形相似，不符合題意，
故選：C．
【變式訓練5-5】如圖，在 ABC中，，，，將 ABC沿圖中的虛線剪開，得到的三角形與原三角形不相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本題考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此題的關鍵．
根據相似三角形的判定定理逐項判定即可．
【詳解】解：A、剪開得到的三角形與原三角形有兩個角相等，可判兩三角形相似，故本選項不符合題意；
B、剪開得到三角形與原三角形的兩組對應邊成比例且夾角相等，可判兩三角形相似，故本選項不符合題意；
C、由同位角相等、兩直線平行可得平行線，故可判定兩三角形相似，故本選項不符合題意．
D、兩三角形的對應邊成比例，但夾角不相等，不能判定兩三角形相似，故本選項符合題意．
故選：D．
【變式訓練5-6】如圖， ABC中，．將 ABC沿圖示中的虛線剪開，剪下的陰影三角形與原三角形不相似的是（　?。?br/>A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據相似三角形的判定逐項進行分析即可．此題考查了相似三角形的判定，熟練掌握判定三角形相似的方法是解題的關鍵．
【詳解】解：A、陰影三角形與原三角形有兩個角對應相等，故兩三角形相似，
故本選項不符合題意；
B、陰影三角形與原三角形有兩個角對應相等，故兩三角形相似，
故本選項不符合題意；
C、兩三角形的兩對應邊成比例，但夾角不相等，故兩三角形不相似，
故本選項符合題意；
D、陰影三角形中，的兩邊分別為，則兩三角形對應邊成比例且夾角相等，故兩三角形相似，
故本選項不符合題意．
故選：C．
題型六：尺規作圖使兩個三角形相似
【經典例題6】如圖，在 ABC中，，請你利用尺規作圖，在求作一點D，使．（不寫作法，保留作圖痕跡）
【答案】詳見解析
【分析】本題考查作圖﹣相似變換，等腰三角形的性質等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．作線段的垂直平分線交于點D，連接，點D即為所求．
【詳解】解：如圖，點D即為所求．
理由：由作圖可知，
∴，
∵，
∴，
∴．
【變式訓練6-1】在 ABC中，．請用尺規作圖，在邊上求作一點，連接，使得將 ABC分為兩個相似三角形（保留作圖痕跡，不寫作法）
【答案】．
【分析】本題主要考查了相似三角形的判定，垂線的尺規作圖， 于D，根據垂線的定義得到 再證明即可證明．
【詳解】解：如圖所示，點D即為所求．
∵，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴點D即為所求．
【變式訓練6-2】如圖，在中，，平分交于點D．在邊上求作一點E，使得；（要求：尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）
【答案】見解析
【分析】作，則，即可使得．
【詳解】解：如圖所示，點E即為所求；
．
【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定是解決問題的關鍵．
【變式訓練6-3】請用直尺，圓規作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡．已知在 ABC中，．
(1)在的延長線上有一點，連接，使得（尺規作圖）；
(2)在（1）的情況下，求證： ．
【答案】(1)見解析；
(2)見解析．
【分析】本題考查了作圖-復雜作圖，相似三角形的判定，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．
（1）在的右側作，連接交的延長線上有點即可；
（2）根據已知條件得到即可證明．
【詳解】（1）解：以點為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交，于點，，再以點為圓心，以長度為半徑畫弧，兩弧相交于點，連接交的延長線上有點，如圖，則．
（2）
證明：如上圖，
∵，，
∴，
在和中，，，
∴．
【變式訓練6-4】如圖，四邊形ABCD中，，，．
(1)尺規作圖：在上求作一點E，使得；（保留作圖痕跡，不寫作去）
(2)在（1）的條件下，連接DE．求證：．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】（1）以A為圓滿心，為半徑畫弧，交于點E，連接即可；
（2）先求出，再利用等腰三角形的性質證，平行線的性質得，從而得，，即可由相似三角形的判定定理得出結論．
【詳解】（1）解：如圖，點E即為所求的點，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）證明：連接
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
由作圖得，，
∴，
∵，
∴
又∵，
∴，，
∴．
【點睛】本題考查尺規作圖，相似三角形的判定，等腰三角形的性質，三角形內角和定理，熟練掌握相似三角形的判定是解題的關鍵．
【變式訓練6-5】如圖，在 ABC中，．
(1)尺規作圖：在邊上求一點P，使得．（保留作圖痕跡，不寫作法）
(2)求證： ABC．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】
（1）作線段的垂直平分線交邊即可；
（2）先證，，得，利用兩角分別相等的兩個三角形全等即可得證．
【詳解】（1）解：如圖．點P為所求作的點，
（2）證明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
又∵，
∴∽．
【點睛】本題考查了尺規作線段的垂直平分線以及相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定是解題的關鍵．
題型七：相似三角形中多結論問題
【經典例題7】如圖，在正方形中，是等邊三角形，連接與相交于點H，給出下列結論：①；②；③；④．其中正確結論的個數是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】①根據正方形和等邊三角形的性質可得，然后根據三角形內角和求得即可判斷；②證明是等邊三角形，得出，在中，根據含直角三角形的性質即可求解；③根據，即可求解；④根據兩角相等兩個三角形相似即可解答．
【詳解】解：∵是等邊三角形，
，
∵四邊形是正方形，
，
，
，
∴，故①正確；
∵是等邊三角形，
，
∵四邊形是正方形，
，
，
，
∴是等邊三角形，
，
，
，
在中，，
，
∴，故②正確；
，
，
，
，
，
∴，故④正確；
在中，，
∴，
∴，故③錯誤；
綜上分析可知，正確的結論有3個，故B正確．
故選：B．
【點睛】本題考查了正方形的性質，等邊三角形的判定和性質，直角三角形的性質，三角形相似的判定，勾股定理，熟練掌握上述知識是解題的關鍵．
【變式訓練7-1】如圖，在中，，、是斜邊上兩點，且，將繞點順時針旋轉后，得到，連接．下列結論中正確的個數有（ ）
①；②；③平分；④．

A．個 B．個 C．個 D．個
【答案】C
【分析】①根據旋轉的性質知，因為，，所以，可得的度數；
②因為與不一定相等，根據三角形相似的判定即可作出判斷；
③證明，得，即可；
④，，，根據勾股定理判斷．
【詳解】解：①∵將繞點順時針旋轉后，得到，
∴，，，，
∵，
∴，
∴，故結論①正確；
②∵，，
∴，
但與不一定相等，
∴與不一定相似，故結論②錯誤；
③∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴平分，故結論③正確；
④∵，，
∴，
∴，
∵將繞點順時針旋轉后，得到，
∴，
∴，
又∵，
∴，故結論④正確，
∴結論正確的個數有個．
故選：C．
【點睛】本題屬于圖形的旋轉變換，考查了旋轉的性質，相似的判定，等邊對等角，全等三角形的判定和性質，勾股定理．掌握旋轉的性質、勾股定理及相似的判定是解題的關鍵．
【變式訓練7-2】如圖，在正方形中，是等邊三角形，、的延長線分別交于點E，F，連接，與相交于點H，給出下列結論：①；②；③；④；⑤；其中正確結論的個數是（　?。?br/>
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【分析】根據等邊三角形的性質，正方形的性質，直角三角形中，角所對的直角邊等于斜邊的一半；三角形相似的判定，勾股定理證明判斷即可．
【詳解】解：∵是等邊三角形，
∴，，
∵四邊形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，故①正確；
∵是等邊三角形，
∴，，
∵四邊形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴是等邊三角形，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，故②正確；
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，故④正確；
在中，，
∴，，
∴，故③錯誤；
設，則，
根據勾股定理得：，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，故⑤正確．
綜上分析可知，正確的結論有4個，故B正確．
故選：B．
【點睛】本題考查了正方形的性質，等邊三角形的判定和性質，直角三角形的性質，三角形相似的判定，勾股定理，熟練掌握上述知識是解題的關鍵．
【變式訓練7-3】如圖，在正方形中，是等邊三角形，、的延長線分別交于點E，F，連接，與相交于點H，給出下列結論：①；②；③；④．其中正確結論的個數是（ ）

A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】根據等邊三角形的性質，正方形的性質，直角三角形中，角所對的直角邊等于斜邊的一半；三角形相似的判定，勾股定理證明判斷即可．
【詳解】解：∵是等邊三角形，
∴，，
∵四邊形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，故①正確；
∵是等邊三角形，
∴，，
∵四邊形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴是等邊三角形，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，故②正確；
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，故④正確；
在中，，
∴，，
∴，故③錯誤；
綜上分析可知，正確的結論有3個，故B正確．
故選：B．
【點睛】本題考查了正方形的性質，等邊三角形的判定和性質，直角三角形的性質，三角形相似的判定，勾股定理，熟練掌握上述知識是解題的關鍵．
【變式訓練7-4】如圖，在正方形中，的頂點，分別在，邊上，高與正方形的邊長相等，連接分別交，于點，，下列說法：
①；
②連接，，則為直角三角形；
③；
④若，，則的長為．其中正確結論的個數是( )
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【分析】根據正方形的性質及定理求得，，從而求得，，然后求得，從而得到，由此判斷①；
將繞點順時針旋轉至位置，連接，，，由旋轉的性質根據結合定理求得，得到，結合正方形和旋轉的性質求得，從而可得，然后根據定理求得，，從而得到，，從而求得，由此判斷②；
由垂直可得 ，然后結合①中已證，可得，由此得到 ，然后根據定理求得三角形形式，由此判斷③；
旋轉到，由旋轉性質和定理可得得，，設，在中，根據勾股定理列方程求，從而求得正方形的邊長，設，結合②中的結論列方程求的值，從而判斷④．
【詳解】解：如圖中，
四邊形是正方形，
，，
，
，
在和中， ，
，
，
同理可證，
，
，
，
，故①正確；
如圖②，將繞點順時針旋轉至位置，連接，，
由旋轉知：，，
四邊形是正方形，
，
，
，
，
，又，
，
，
四邊形是正方形，
．
由旋轉知：，，
，
，
．
又，，
，
，
同理可證：
，
即為直角三角形，故②正確；
，
，
又，
由①可知：，
，
，
又，
，故③正確；
如圖中，
旋轉到，，
，，
同理②中可證：，
，設，
，，
四邊形是正方形，
，
，
在中，根據勾股定理得，
或舍，
，
，
正方形的邊長為；
由正方形的邊長為，
，
由①可知，
，，
由②得，
設，
，，
，
，
解得，
，故④正確
故選：A．
【點睛】本題主要考查正方形的性質、等腰直角三角形的性質、全等三角形的判定和性質、勾股定理等知識，解題關鍵是學會用旋轉法添加輔助線，構造全等三角形解決問題．
【變式訓練7-5】如圖，在 ABC中，，將 ABC繞著點B逆時針方向旋轉，使點C的對應點落在CA的延長線上，得到，連接，交于點O．下列結論：①；②；③；④．其中正確結論的個數是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】利用旋轉的性質和等腰三角形的性質推出，即可判斷①的正確性；通過點、、、四點共圓可以判斷出②③④的正確性．
【詳解】解：由題意可得：，
∵
∴
∵
∴，故①正確；
∵
∴
∵
∴
∴，
∴點、、、四點共圓
∵，
∴是直徑，不是直徑
∴，故②錯誤；
∵點、、、四點共圓
∴，故③正確；
∵點、、、四點共圓
∴，
∴，故④正確；
∴正確結論的個數是3個
故選C．
【點睛】本題考查了圖形的旋轉、等腰三角形的性質、四點共圓、圓周角定理的推論以及相似的判定等知識點，靈活運用這些知識點是解題的關鍵．
【變式訓練7-6】如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點，且∠EAF=45°，AE、AF分別交BD于M、N，連按EN、EF，有以下結論：
①△ABM∽△NEM；②△AEN是等腰直角三角形；③當AE=AF時，；④BE+DF=EF．其中正確的個數有(　　　)
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】D
【分析】①證明△AMN∽△BME和△AMB∽△NME；②利用相似三角形的性質可得∠NAE=∠AEN=45°，則△AEN是等腰直角三角形可作判斷；③先證明CE=CF，假設正方形邊長為1，設CE=x，則BE=1-x，表示AC的長為AO+OC可作判斷；④如圖3，將△ADF繞點A順時針旋轉90°得到△ABH，證明△AEF≌△AEH（SAS），則EF=EH=BE+BH=BE+DF，可作判斷.
【詳解】如圖1，∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠EBM=∠ADM=∠FDN=∠ABD=45°，
∵∠MAN=∠EBM=45°，∠AMN=∠BME，
∴△AMN∽△BME，
∴，
∴，
∵∠AMB=∠EMN，
∴△AMB∽△NME，故①正確，
∴∠AEN=∠ABD=45°，
∴∠NAE=∠AEN=45°，
∴△AEN是等腰直角三角形，故②正確，
在△ABE和△ADF中，
∵，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE=DF，
∵BC=CD，
∴CE=CF，
假設正方形邊長為1，設CE=x，則BE=1-x，
如圖2，連接AC，交EF于H，
∵AE=AF，CE=CF，
∴AC是EF的垂直平分線，
∴AC⊥EF，OE=OF，
Rt△CEF中，OC=EF=x，
△EAF中，∠EAO=∠FAO=22.5°=∠BAE=22.5°，
∴OE=BE，
∵AE=AE，
∴Rt△ABE≌Rt△AOE（HL），
∴AO=AB=1，
∴AC==AO+OC，
∴1+x=，
x=2-，
∴，
故③正確，
③如圖3，
∴將△ADF繞點A順時針旋轉90°得到△ABH，則AF=AH，∠DAF=∠BAH，
∵∠EAF=45°=∠DAF+∠BAE=∠HAE，
∵∠ABE=∠ABH=90°，
∴H、B、E三點共線，
在△AEF和△AEH中，
，
∴△AEF≌△AEH（SAS），
∴EF=EH=BE+BH=BE+DF，故④正確，
故選：D
【點睛】本題考查正方形的性質、全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的判定和性質、線段垂直平分線的性質和判定等知識，解題的關鍵是靈活應用所學知識解決問題，學會添加常用輔助線構造全等三角形，屬于中考壓軸題．
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4.3&4.4相似三角形及其判定七大題型（一課一講）
【浙教版】
題型一：判斷兩個三角形是否相似
【經典例題1】如圖，是 ABC的邊上一點，下列條件：①；②；③；④．其中一定使的有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【變式訓練1-1】在和中，，下列不能判定這兩個三角形相似的是（ ）
A．， B．，，，
C．，，， D．，，，
【變式訓練1-2】如圖，在 ABC中，點、分別在邊、上，下列條件中不能判斷的是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練1-3】下列各條件中，能判斷的是（ ）
A．，
B． ，
C．，
D．，，，
【變式訓練1-4】根據下列條件，能判定 ABC和相似的個數是（　　）
（1），，，；
（2），，，，，；
（3），，，，，；
（4），，，，，．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【變式訓練1-5】根據下列各組條件，不能判斷 ABC和相似的是（ ）
A．，，
B．，，，
C．，，；，，
D．，，；，，
題型二：添加一個條件讓兩個三角形相似
【經典例題2】如圖，點P在 ABC的邊上，要判斷，添加一個條件，下列不正確的是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練2-1】如圖，與相交于點 O，要使 AOB與相似，可添加的一個條件是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練2-2】如圖，點P在 ABC的邊上，要判斷，添加一個條件，不正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓練2-3】如圖，已知，那么添加下列一個條件后，不能判定的是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練2-4】如圖，已知，若再增加一個條件不一定能使結論成立，則這個條件是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練2-5】如圖，在四邊形中，已知，那么補充下列條件后不能判定和相似的是（　?。?br/>A．平分 B． C． D．
題型三：相似三角形的證明
【經典例題3】如圖，將 ABC繞點B逆時針旋轉得到，連接MA，求證：∽
【變式訓練3-1】如圖，，連接、，且點、、在同一條直線上，求證： ABE∽ CBD．
【變式訓練3-2】如圖，四邊形為正方形，．
(1)證明：
(2)不添加輔助線，添加一個角的條件，證明
【變式訓練3-3】已知：在 ABC和中， ．求證：．
【變式訓練3-4】如圖，在 ABC中，，，是邊上的高，點為線段上一點（不與點，點重合），連接，作與的延長線交于點，與交于點，連接．
(1)求證：；
(2)若，求證：；
【變式訓練3-5】如圖，在等邊三角形中，點D、E、F分別在邊、、上，且．找出圖中所有相似的三角形（不要求證明）．
題型四：判斷與已知三角形相似的個數
【經典例題4】如圖，在中，，E、F分別為、的中點，連接，H為的中點，過點H作，交于點 D，連接，則與相似(不含)的三角形個數為（ ）
A．1 B．4 C．8 D．2
【變式訓練4-1】如圖，銳角 ABC的高和高相交于，則與相似的三角形（不含自身）個數是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【變式訓練4-2】如圖，在中，分別為的中點，連接為的中點，過點H作，交于點D，連接，則與 ABC相似（不含 ABC）的三角形個數為（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【變式訓練4-3】如圖，在由相同的小正方形組成的的網格中，點、、、、、、都在小正方形頂點上，則圖中能用字母表示（不再添加輔助線）的三角形中，與相似的三角形的個數是（?。?br/>A．2 B．3 C．4 D．5
【變式訓練4-4】新定義：由邊長為1的小正方形構成的網格圖中，每個小正方形的頂點稱為格點，頂點都在格點上的三角形稱為格點三角形．如圖，已知 ABC是的網格圖中的格點三角形，那么該網格中所有與 ABC相似且有一個公共角的格點三角形的個數是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
【變式訓練4-5】下列五幅圖均是由邊長為1的16個小正方形組成的正方形網格，網格中的三角形的頂點都在小正方形的頂點上，那么在下列右邊四幅圖中的三角形，與左圖中的△ABC相似的個數有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【變式訓練4-6】如圖，在 ABC中，、是高，且、交于點，則圖中與相似（不包括其本身）的三角形個數是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
題型五：裁剪使兩個三角形相似
【經典例題5】如圖，在 ABC中，，，，將 ABC沿圖示中的虛線剪開，剪下的陰影三角形與 ABC不相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓練5-1】如圖，在 ABC中，，，，將 ABC沿圖示中的虛線剪開，剪下的陰影三角形與原三角形不一定相似的是（ ）
A．B．C．D．
【變式訓練5-2】如圖，在紙片中，，將該紙片沿虛線剪開，剪下的陰影三角形與原三角形不相似的是（　　）
B．
C．D．
【變式訓練5-3】如圖，在三角形紙片中，，，．將沿圖示中的虛線剪開，剪下的陰影三角形與原三角形相似的有（　?。?br/>A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【變式訓練5-4】如圖，在 ABC中，，，．將 ABC沿圖示中的虛線剪開，剪下的陰影三角形與原三角形不能相似的是（ ）
A．B． C． D．
【變式訓練5-5】如圖，在 ABC中，，，，將 ABC沿圖中的虛線剪開，得到的三角形與原三角形不相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓練5-6】如圖， ABC中，．將 ABC沿圖示中的虛線剪開，剪下的陰影三角形與原三角形不相似的是（　　）
A．B．C．D．
題型六：尺規作圖使兩個三角形相似
【經典例題6】如圖，在 ABC中，，請你利用尺規作圖，在求作一點D，使．（不寫作法，保留作圖痕跡）
【變式訓練6-1】在 ABC中，．請用尺規作圖，在邊上求作一點，連接，使得將 ABC分為兩個相似三角形（保留作圖痕跡，不寫作法）
【變式訓練6-2】如圖，在中，，平分交于點D．在邊上求作一點E，使得；（要求：尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）
【變式訓練6-3】請用直尺，圓規作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡．已知在 ABC中，．
(1)在的延長線上有一點，連接，使得（尺規作圖）；
(2)在（1）的情況下，求證： ．
【變式訓練6-4】如圖，四邊形ABCD中，，，．
(1)尺規作圖：在上求作一點E，使得；（保留作圖痕跡，不寫作去）
(2)在（1）的條件下，連接DE．求證：．
【變式訓練6-5】如圖，在 ABC中，．
(1)尺規作圖：在邊上求一點P，使得．（保留作圖痕跡，不寫作法）
(2)求證： ABC．
題型七：相似三角形中多結論問題
【經典例題7】如圖，在正方形中，是等邊三角形，連接與相交于點H，給出下列結論：①；②；③；④．其中正確結論的個數是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【變式訓練7-1】如圖，在中，，、是斜邊上兩點，且，將繞點順時針旋轉后，得到，連接．下列結論中正確的個數有（ ）
①；②；③平分；④．

A．個 B．個 C．個 D．個
【變式訓練7-2】如圖，在正方形中，是等邊三角形，、的延長線分別交于點E，F，連接，與相交于點H，給出下列結論：①；②；③；④；⑤；其中正確結論的個數是（　?。?br/>
A．5 B．4 C．3 D．2
【變式訓練7-3】如圖，在正方形中，是等邊三角形，、的延長線分別交于點E，F，連接，與相交于點H，給出下列結論：①；②；③；④．其中正確結論的個數是（ ）

A．4 B．3 C．2 D．1
【變式訓練7-4】如圖，在正方形中，的頂點，分別在，邊上，高與正方形的邊長相等，連接分別交，于點，，下列說法：
①；
②連接，，則為直角三角形；
③；
④若，，則的長為．其中正確結論的個數是( )
A．4 B．3 C．2 D．1
【變式訓練7-5】如圖，在 ABC中，，將 ABC繞著點B逆時針方向旋轉，使點C的對應點落在CA的延長線上，得到，連接，交于點O．下列結論：①；②；③；④．其中正確結論的個數是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
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