資源簡介

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4.2由平行線截得的比例線段六大題型（一課一講）
【浙教版】
題型一：平行線分線段成比例之“#”字型
【經典例題1】如圖，，若，，則的長為（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
【變式訓練1-1】如圖所示，已知直線，直線m分別交直線a，b，c于點A，B，C；直線n分別交直線a，b，c于點D，E，F．若，則等于（ ）
A． B． C． D．1
【變式訓練1-2】如圖，直線，直線和被，，所截，，，，則的長為（ ）
A．2 B． C．4 D．
【變式訓練1-3】如圖，與分別相交于點A、B、C，與分別相交于點D、E、F，，，那么 ；
【變式訓練1-4】如圖，，直線與這三條平行線分別交于點、、和點、、，若，，，求的長．
【變式訓練1-5】如圖，已知，它們依次交直線，于點A，B，C和點D，E，F．如果，，，求的長．
題型二：平行線分線段成比例之“x”字型
【經典例題2】如圖，已知，，，那么的長等于（ ）

A． B． C． D．
【變式訓練2-1】如圖，已知，那么下列結論正確的是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練2-2】如圖，，若，則下面結論錯誤的是（ ）．
A． B． C． D．
【變式訓練2-3】如圖，若，，，，則長為 ．
【變式訓練2-4】如圖，已知,與交于點，若 ，求和的長．
【變式訓練2-5】如圖，已知直線、、分別截直線于點、、，截直線于點、、，且．
(1)如果，，，求的長；
(2)如果，，求的長．
題型三：平行線分線段成比例之“A”字型
【經典例題3】如圖，已知在 ABC中，點、、分別是邊、、上的點，，，且，那么等于（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練3-1】如圖，是 ABC的中線，點E在上，交于點F，若，則為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練3-2】如圖，在菱形中，對角線交于點O，點E為的中點，連接，．

（Ⅰ）的面積為 ；
（Ⅱ）若點F為的中點，連接交于點G，，則線段的長為 ．
【變式訓練3-3】如圖，在 ABC中，，，，求證：．
【變式訓練3-4】如圖，．
(1)，求；
(2)，的長．
【變式訓練3-5】如圖， ABC中，，于點，在上，，交于點，．若，求的長．
題型四：平行線分線段成比例之“8”字型
【經典例題4】如圖，點D，E，F分別在 ABC的邊上，，，，點M是的中點，連接并延長交于點N，求的值．
【變式訓練4-1】如圖，在平行四邊形中，點E是邊上一點，連接并延長交的延長線于點F，，，則下列結論正確的是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練4-2】如圖，在中，點E為的中點，點F為上一點，與相交于點H．若，，，則的長為 ．
【變式訓練4-3】如圖，在 ABC中，，，．連接交于點，求的值 ．
【變式訓練4-4】如圖，在矩形中，E是邊延長線上的點，且，與相交于點F，，，求及的長．
【變式訓練4-5】如圖，M、N分別是平行四邊形邊、的中點，對角線交、分別于點P、Q．
(1)求證：；
(2)當四邊形是正方形時，試從內角大小和鄰邊的數量關系的角度探究平行四邊形的形狀特征．
題型五：平行線分線段成比例綜合
【經典例題5】已知，是 ABC的中線，過點作．

(1)如圖，交于點，連接．求證：四邊形是平行四邊形；
(2)是線段上一點（不與點重合），交于點，交于點，連接．如圖，四邊形是平行四邊形嗎？請說明理由．
【變式訓練5-1】如圖，正方形的邊長為1．對角線、相交于點O，P是延長線上的一點，交于點E，交于點H，交于點F，且與平行．
(1)求證：．
(2)求證：四邊形為平行四邊形．
(3)求的長度．
【變式訓練5-2】如圖，在平行四邊形中，對角線相交于點，且．點E為的中點，過點E作的平行線，交于點F．在的延長線上取一點G，使得．連接．
(1)求證：四邊形是矩形；
(2)若，，求的長．
【變式訓練5-3】如圖，已知正方形，點是邊上的一個動點（不與點、重合），點在上，滿足，延長交于點．
(1)求證：；
(2)連接，當時，求的值．
【變式訓練5-4】如圖，在 ABC中，平分交于點，為邊上一點，．

(1)求證：．
(2)若，，，求的長．
【變式訓練5-5】四邊形的兩條對角線，相交于點O，．
(1)如圖1，已知．
①求證：；
②若，求的值；
(2)如圖2，若，，，求的值．
【變式訓練5-6】如圖，等腰 ABC內接于，，點是上的點（不與點，重合），連接并延長至點，連接并延長至點，與交于點．
(1)求證：；
(2)若的半徑為5，，點是的中點，求的長．
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4.2由平行線截得的比例線段六大題型（一課一講）
【浙教版】
題型一：平行線分線段成比例之“#”字型
【經典例題1】如圖，，若，，則的長為（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
【答案】C
【分析】本題主要考查了平行線分線段成比例定理，根據平行線分線段成比例定理可得，則．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
故選：C．
【變式訓練1-1】如圖所示，已知直線，直線m分別交直線a，b，c于點A，B，C；直線n分別交直線a，b，c于點D，E，F．若，則等于（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【分析】本題主要考查了平行線分線段成比例定理，根據平行線分線段成比例定理得到，則．
【詳解】解：∵．
∴，
∴，
故選：C．
【變式訓練1-2】如圖，直線，直線和被，，所截，，，，則的長為（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】D
【分析】本題考查平行線分線段定理．根據題意可得，代入數值繼而得到本題答案．
【詳解】解：∵直線，直線和被，，所截，
∴，
∵，，，
∴，即：，
故選：D．
【變式訓練1-3】如圖，與分別相交于點A、B、C，與分別相交于點D、E、F，，，那么 ；
【答案】/
【分析】本題考查平行線分線段成比例定理的應用，根據平行線分線段成比例定理可得，代入數值后解決問題．
【詳解】解：∵，
∴，即，
解得：，
故答案為：．
【變式訓練1-4】如圖，，直線與這三條平行線分別交于點、、和點、、，若，，，求的長．
【答案】
【分析】此題考查了平行線分線段成比例定理，根據平行線分線段成比例定理列出比例式，把已知數據代入計算，得到答案，靈活運用定理、找準對應關系是解題的關鍵．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
解得：．
【變式訓練1-5】如圖，已知，它們依次交直線，于點A，B，C和點D，E，F．如果，，，求的長．
【答案】
【分析】本題考查了平行線分線段成比例，根據平行線分線段成比例定理得到，把已知數據代入計算即可；
【詳解】解：，
，即，
．
題型二：平行線分線段成比例之“x”字型
【經典例題2】如圖，已知，，，那么的長等于（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查平行線分得的線段成比例的相關知識，熟練掌握這個定理是解答本題的關鍵．
由平行關系得到線段對應成比例，再根據比例關系求出的長．
【詳解】∵
∴，即，
∴，
∴．
故選B．
【變式訓練2-1】如圖，已知，那么下列結論正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了平行線分線段成比例定理，根據平行線分線段成比例定理逐個判斷即可，能根據平行線分線段成比例定理得出正確的比例式是解此題的關鍵．
【詳解】解：A．，
，故本選項不符合題意；
B．，
，故本選項不符合題意；
C．，
，故本選項不符合題意；
D．，
，故本選項符合題意；
故選：D．
【變式訓練2-2】如圖，，若，則下面結論錯誤的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】本題主要考查了比例的基本性質、平行線等分線段定理等知識點，掌握平行線等分線段定理成為解題的關鍵．
根據比例的性質、平行線分線段成比例列出比例式逐項判斷即可．
【分析】解：＝，
,
故A選項正確，不符合題意；
，且＝，
,
故B選項正確，不符合題意；
故D選項正確，不符合題意；
根據已知條件不能求出的值，故C選項不正確．
故選C．
【變式訓練2-3】如圖，若，，，，則長為 ．
【答案】2
【分析】本題主要考查了平行線分線段成比例，根據平行線分線段成比例得出，再代入數值計算即可．
【詳解】∵，
∴．
∵，
∴，
解得．
故答案為：2．
【變式訓練2-4】如圖，已知,與交于點，若 ，求和的長．
【答案】,
【分析】本題主要考查了平行線等分線段定理，根據平行線等分線段定理列出比例式成為解題的關鍵．
先根據線段的和差求得，根據平行線等分線段定理可得即可得，進而得到，再根據平行線等分線段定理可得即，然后求解即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，解得：，
∴，
∵，
∴，
∴，即，解得：．
【變式訓練2-5】如圖，已知直線、、分別截直線于點、、，截直線于點、、，且．
(1)如果，，，求的長；
(2)如果，，求的長．
【答案】(1)
(2)6
【分析】（1）根據平行線分線段成比例定理列式計算即可；
（2）根據平行線分線段成比例定理列式計算即可．
本題考查了平行線分線段成比例定理，熟練掌握定理是解題的關鍵．
【詳解】（1）解：∵，
∴.
將，，代入，得.
解得 ．
（2）解：∵，
∴.
∵，
∴.
將，代入，得.
解得.
題型三：平行線分線段成比例之“A”字型
【經典例題3】如圖，已知在 ABC中，點、、分別是邊、、上的點，，，且，那么等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了平行線分線段成比例：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應線段成比例．根據平行線分線段成比例定理，由得到，則利用比例性質得到，然后利用可得到．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故選：C
【變式訓練3-1】如圖，是 ABC的中線，點E在上，交于點F，若，則為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了平行線分線段成比例，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵．過點作，交于點，根據平行線分線段成比例可得點是的中點，從而可得，然后再利用平行線分線段成比例可得，從而可得，即可解答．
【詳解】解：過點作，交于點，
，點是的中點，
，
，
點是的中點，
，
，
，
，
，
故選：A
【變式訓練3-2】如圖，在菱形中，對角線交于點O，點E為的中點，連接，．

（Ⅰ）的面積為 ；
（Ⅱ）若點F為的中點，連接交于點G，，則線段的長為 ．
【答案】 12
【分析】（1）根據三角形中線求面積即可；
（2）過點E作于點M，由菱形的性質，是的中位線，得，因此，推出，得到，從而求出的長，得到的長，求出的長，由三角形面積公式求出長，得到的長，由勾股定理即可求出的長．
【詳解】解：（1）為的中點，
，
；
（2）如圖，過點E作于點M，
四邊形為菱形，
，
，
，
，
，
為的中位線，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【點睛】本題考查了菱形的性質，全等三角形的判定和性質，三角形中位線定理，三角形中線求面積，平行線分線段成比例，勾股定理等知識，關鍵是過點E作于點M，證明，求出的長．
【變式訓練3-3】如圖，在 ABC中，，，，求證：．
【答案】見解析
【分析】本題主要考查平行線分線段成比例的性質，熟練掌握平行線分線段成比例的性質是解題的關鍵．三條平行線截兩條直線，所得對應線段成比例；由平行可得，結合已知條件和比例的性質即可得證．
【詳解】證明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【變式訓練3-4】如圖，．
(1)，求；
(2)，的長．
【答案】(1)6
(2)5
【分析】本題主要考查了平行線分線段成比例定理，靈活運用所學知識是解題的關鍵．
（1）根據平行線分線段成比例定理求解即可；
（2）根據平行線分線段成比例定理得到，然后代值計算即可．
【詳解】（1）解：∵，
∴，即，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴的長為5．
【變式訓練3-5】如圖， ABC中，，于點，在上，，交于點，．若，求的長．
【答案】
【分析】本題主要考查了三線合一定理，平行線分線段成比例定理，先由三線合一定理得到，再由平行線分線段成比例定理得到，，同理得到，則，則，據此可得答案．
【詳解】解：，，
，
又，
，
，
，，
，
，
，即．
解得，．
題型四：平行線分線段成比例之“8”字型
【經典例題4】如圖，點D，E，F分別在 ABC的邊上，，，，點M是的中點，連接并延長交于點N，求的值．
【答案】．
【分析】本題考查了平行線分線段成比例，全等三角形的判定與性質．先根據平行線性質和中點性質證明，再證明，從而可得答案．
【詳解】解：如圖，設與的交點為H，
∵點M是的中點，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【變式訓練4-1】如圖，在平行四邊形中，點E是邊上一點，連接并延長交的延長線于點F，，，則下列結論正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質，平行線分線段成比例定理，先由平行四邊形的性質得到，，根據，得出，根據平行線分線段成比例定理得出，然后逐項進行判斷即可．
【詳解】解：在平行四邊形中，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，故A、D不符合題意；
∴，故C符合題意；
∵，，
∴，故D不符合題意．
故選：C．
【變式訓練4-2】如圖，在中，點E為的中點，點F為上一點，與相交于點H．若，，，則的長為 ．
【答案】20
【分析】延長交的延長線于點G．證明，得出，求出，根據平行線分線段成比例定理，得出，代入求出結果即可．
【詳解】如圖，延長交的延長線于點G．
四邊形為平行四邊形，
．
，．
點E為邊的中點，
．
在和中，，
，
．
，，
．
，
．
，
，即，
解得．
【點睛】此題考查了平行四邊形的性質，三角形全等的判定和性質，平行線分線段成比例定理，解題的關鍵是作出輔助線，證明．
【變式訓練4-3】如圖，在 ABC中，，，．連接交于點，求的值 ．
【答案】
【分析】本題主要考查比例線段的基本性質，根據共高兩三角形的底邊之比等于面積比將線段的比轉化為面積的比是解題的關鍵．
【詳解】解： 如圖，連接、，
則，
，，，
，，，，
．
【變式訓練4-4】如圖，在矩形中，E是邊延長線上的點，且，與相交于點F，，，求及的長．
【答案】，
【分析】本題主要考查了矩形的性質，平行線分線段成比例，以及勾股定理的應用，由矩形的性質得出，，，，由勾股定理求出，，由平行線分線段成比例可得出，設，則，代入，得出x的值，即可得出
【詳解】解：∵四邊形是矩形，且，，
∴，，，，
∴，
在中，，
在中，，
∵，
∴，
設，則，
∵，
∴，
∴，
∴．
【變式訓練4-5】如圖，M、N分別是平行四邊形邊、的中點，對角線交、分別于點P、Q．
(1)求證：；
(2)當四邊形是正方形時，試從內角大小和鄰邊的數量關系的角度探究平行四邊形的形狀特征．
【答案】(1)見詳解
(2)
【分析】本題主要考查平行四邊形的性質、平行線所截線段成比例以及正方形的性質，
（1）根據平行四邊形的性質和中點得到是平行四邊形，有，則有和，即可得到結論．
（2）由正方形的性質得到，，結合中點，則有，進一步可得．
【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∵M、N分別是、的中點，
∴，，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
則，即，
同理，即，
．
（2）如圖，
由（1）知，
∵四邊形是正方形，
∴，，
∴，
則，
即．
題型五：平行線分線段成比例綜合
【經典例題5】已知，是 ABC的中線，過點作．

(1)如圖，交于點，連接．求證：四邊形是平行四邊形；
(2)是線段上一點（不與點重合），交于點，交于點，連接．如圖，四邊形是平行四邊形嗎？請說明理由．
【答案】(1)證明見解析；
(2)是平行四邊形，理由見解析．
【分析】（）由可得，進而得，再證明，得到，即得四邊形是平行四邊形，得到，即可得到四邊形是平行四邊形；
（）如圖，延長，交于點，同理（）可得，得到，進而得到四邊形是平行四邊形，即得，即可求證；
本題考查了平行線等分線段定理，全等三角形的判定和性質，平行四邊形的判定和性質，正確作出輔助線是解題的關鍵．
【詳解】（1）證明：∵，
∴，
∵是的中線，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
∴四邊形是平行四邊形；
（2）解：四邊形是平行四邊形，理由如下：
如圖，延長，交于點，

∵，點是的中點，
∴同理（）可得，，
∴，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
∵，
∴四邊形是平行四邊形．
【變式訓練5-1】如圖，正方形的邊長為1．對角線、相交于點O，P是延長線上的一點，交于點E，交于點H，交于點F，且與平行．
(1)求證：．
(2)求證：四邊形為平行四邊形．
(3)求的長度．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)
【分析】（1）由正方形的性質得出，結合即可得證；
（2）由得出，，由正方形的性質得出，，從而，即，推出，即可得證；
（3）求出和的長，再由勾股定理計算即可得出答案．
【詳解】（1）證明：∵四邊形是正方形，
∴，
∵，
∴；
（2）證明：∵，
∴，，
∵四邊形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴四邊形為平行四邊形；
（3）解：∵四邊形是正方形，
∴，
∵四邊形為平行四邊形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴由勾股定理可得：．
【點睛】本題考查了正方形的性質、平行四邊形的判定與性質、勾股定理、平行線分線段成比例定理，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵．
【變式訓練5-2】如圖，在平行四邊形中，對角線相交于點，且．點E為的中點，過點E作的平行線，交于點F．在的延長線上取一點G，使得．連接．
(1)求證：四邊形是矩形；
(2)若，，求的長．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】本題考查矩形的判定與性質，平行四邊形的性質，平行線分線段成比例；
（1）由平行線可得，即，結合可得四邊形是平行四邊形，由三線合一可得即可得到四邊形是矩形；
（2）先求出，，即可求出，利用勾股定理求出即可．
【詳解】（1）證明∵，點E為的中點，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四邊形是平行四邊形，
∵
∴四邊形是矩形；
（2）解：∵平行四邊形，
∴，，
∴，，
∵四邊形是矩形，
∴，
∴，
∴．
【變式訓練5-3】如圖，已知正方形，點是邊上的一個動點（不與點、重合），點在上，滿足，延長交于點．
(1)求證：；
(2)連接，當時，求的值．
【答案】(1)見解析
(2)2
【分析】本題考查的是正方形的性質、等腰三角形性質、全等三角形的判定與性質、平行線分線段成比例定理，牢記性質是解題關鍵，
（1）根據正方形性質得出，再根據即可求出結論；
（2）作于點，作于點，證明，進而證出，利用求出即可求出結論．
【詳解】（1）證明：四邊形是正方形，，
，，
，
，，
，
，
，
．
（2）解：如圖1，作于點，則，
，
，
，
，
，
，
作于點，則，
，
，
，
，
，
，
的值是2．
【變式訓練5-4】如圖，在 ABC中，平分交于點，為邊上一點，．

(1)求證：．
(2)若，，，求的長．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】本題考查了平行線的判定，平行線分線段成比例，解題的關鍵是熟練掌握相關性質定理．
（1）先根據角平分線的定義得出，再根據等邊對等角得出，則，即可求證；
（2）根據平行線分線段成比例得出，進而求出，即可解答．
【詳解】（1）證明：∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∴．

【變式訓練5-5】四邊形的兩條對角線，相交于點O，．
(1)如圖1，已知．
①求證：；
②若，求的值；
(2)如圖2，若，，，求的值．
【答案】(1)①見解析；②
(2)
【分析】（1）過作于，交于，①根據平行線的判定得出和平行，再根據等腰三角形的性質即可求解；②根據平行線分線段成比例，求出和的比，再根據中位線定理得出和的關系，從而得解；
（2）延長到，使得，連接，根據三角形全等得出，從而求得和的關系，再根據勾股定理求出和的關系，從而得解．
【詳解】（1）解：過作于，交于，如圖：
①證明：設，
，
，
，，
，
，
；
②解：，為中點，
，
，
，
；
（2）解：延長至，使得，連接，如圖：
，，
，
，
，
又，
．
在和中，
，
，
，，
，
，
為等腰直角三角形，
，即，，
，
，
．
在直角中．，
．
【點睛】本題主要考查了相似形綜合題，合理運用全等三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質、勾股定理以及等腰直角三角形的判定與性質是本題解題的關鍵．
【變式訓練5-6】如圖，等腰 ABC內接于，，點是上的點（不與點，重合），連接并延長至點，連接并延長至點，與交于點．
(1)求證：；
(2)若的半徑為5，，點是的中點，求的長．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）由四邊形為圓內接四邊形，得到，結合，
得到，，即可求解，
（2）作，，由為的垂直平分線，得到，根據勾股定理，，根據平行線截線段成比例，得到，依次求出，，，根據勾股定理，即可求解，
本題考查了，圓內接四邊形的性質，勾股定理，平行線截線段成比例，解題的關鍵是：熟練掌握相關性質定理．
【詳解】（1）解：∵點均在上，
∴四邊形為圓內接四邊形．
．
又，
．
又，
．
又，，
．
（2）解：作于，
又∵，
為的垂直平分線，
過點作于點，連接，
為的垂直平分線，
點在上，
，
，
，
，，
．又，
，
，，
，
，
故答案為：．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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