資源簡介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
4.1比例線段六大題型（一課一講）
【浙教版】
題型一：成比例線段
【經(jīng)典例題1】已知，則下列等式中，正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；設(shè)，，再根據(jù)比例的性質(zhì)求解即可．
【詳解】解：，
設(shè)，，
． 由比例的性質(zhì)得到，故本選項(xiàng)不符合題意；
．，故本選項(xiàng)不符合題意；
．，故本選項(xiàng)不符合題意；
．，故本選項(xiàng)符合題意；
故選：．
【變式訓(xùn)練1-1】已知，，，，下列各式中，一定正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了比例的性質(zhì)，根據(jù)比例的性質(zhì)，最小項(xiàng)與最大項(xiàng)的積等于其余兩項(xiàng)的積，根據(jù)題意要求，將個(gè)數(shù)化為一個(gè)等積式，再化為比例式即可，熟練掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵，，，，
∴，
∴，
故選：．
【變式訓(xùn)練1-2】如果，且是和的比例中項(xiàng)，那么等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此題主要考查了比例線段，正確把握比例中項(xiàng)的定義是解題關(guān)鍵．
由b是a、c的比例中項(xiàng)，根據(jù)比例中項(xiàng)的定義，即可求得，又由，即可求得答案．
【詳解】解：∵b是a、c的比例中項(xiàng)，
∴，
∵，
∴，
故選：C．
【變式訓(xùn)練1-3】在一幅比例尺為的地圖上，甲、乙兩地的距離為10厘米，那么兩地的實(shí)際距離為 千米．
【答案】6
【分析】本題主要考查比例的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是先判斷題中的兩種相關(guān)聯(lián)的量成何比例，找準(zhǔn)對應(yīng)量，注意單位的轉(zhuǎn)換．根據(jù)題意知，比例尺一定，圖上距離和實(shí)際距離成正比例，由此列式解答即可．
【詳解】解：設(shè)甲乙兩地的實(shí)際距離為x厘米，
根據(jù)題意得，，
解得，
600000厘米千米．
即甲乙兩地的實(shí)際距離為6千米．
故答案為：6．
【變式訓(xùn)練1-4】已知實(shí)數(shù)x和1，2，4構(gòu)成比例，則實(shí)數(shù)x的值為 ．
【答案】或2或8
【分析】本題主要考查了成比例的數(shù)．根據(jù)成比例的數(shù)的性質(zhì)，即可求解．
【詳解】解：∵實(shí)數(shù)x和1，2，4構(gòu)成比例，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
綜上所述，實(shí)數(shù)x的值為或2或8，
故答案為：或2或8
【變式訓(xùn)練1-5】已知線段厘米，厘米，則線段和的比例中項(xiàng)是 厘米．
【答案】
【分析】本題考查了比例中項(xiàng)的概念，注意：求兩個(gè)數(shù)的比例中項(xiàng)的時(shí)候，應(yīng)開平方．求兩條線段的比例中項(xiàng)的時(shí)候，負(fù)數(shù)應(yīng)舍去．
根據(jù)線段比例中項(xiàng)的概念，即可求解．
【詳解】解：線段是、的比例中項(xiàng)，
，
解得，
又線段是正數(shù)，
．
故答案為：．
題型二：比例的性質(zhì)
【經(jīng)典例題2】若且，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了比例的性質(zhì)，先利用分式的基本性質(zhì)得到，然后根據(jù)等比性質(zhì)解決問題．掌握比例的系數(shù)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵，
∴，
又，
∴
故選：D．
【變式訓(xùn)練2-1】已知，且，則的值是（ ）．
A． B．3 C．1 D．0
【答案】A
【分析】本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握等比性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．利用等比性質(zhì)，進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【詳解】解：，
，
∴
，
故選：．
【變式訓(xùn)練2-2】已知，則 ．
【答案】
【分析】本題考查了比例的性質(zhì)，根據(jù)比例的性質(zhì)得到，進(jìn)而求解即可．
【詳解】解：由分比性質(zhì)，得
，即．
故答案為：．
【變式訓(xùn)練2-3】已知，則 ．
【答案】
【分析】此題考查了等比性質(zhì)的應(yīng)用，若，則，熟練掌握等比性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
設(shè)，根據(jù)，可用表示出，代入要求的式子，即可得出答案．
【詳解】解：設(shè)，
故答案為：．
【變式訓(xùn)練2-4】已知，那么下列等式中一定正確的是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此題考查了比例的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握內(nèi)項(xiàng)之積等于外項(xiàng)之積、合比性質(zhì)和等比性質(zhì)．根據(jù)比例的性質(zhì)分別對每一項(xiàng)進(jìn)行分析，即可得出答案．
【詳解】解：，
，，
A、，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
B、當(dāng)，時(shí)，，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
C、，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
D、，故本選項(xiàng)正確，符合題意；
故選：D．
【變式訓(xùn)練2-5】已知，且．
(1)的值為______；
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)8
【分析】此題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)等比性質(zhì)求解即可；
（2）根據(jù)給出的條件得出，，，再代入，然后進(jìn)行整理即可得出答案．
【詳解】（1）解：∵，
∴，
故答案為：；
（2）∵，且，
∴，，，
∵，
則，
∴的值為8．
題型三：利用設(shè)“k”法求參數(shù)的值
【經(jīng)典例題3】已知：線段a，b，c，根據(jù)以下條件回答問題．
(1)若，，c是a，b的比例中項(xiàng)線段，求c的長；
(2)若，，求a，b，c的長．
【答案】(1)
(2)，，
【分析】本題考查了比例線段，寫比例式的時(shí)候一定要注意順序，再根據(jù)比例的基本性質(zhì)求解即可：
（1）根據(jù)比例中項(xiàng)的定義列式得到，即，然后根據(jù)算術(shù)平方根的定義求解，即可得到c的長；
（2）設(shè)然后用表示a，b，c，再代入，求解得到，即可得到a，b，c的值
【詳解】（1）解：∵c是a，b的比例中項(xiàng)線段，
∴，
∴（負(fù)值舍去）
即c的長為；
（2）解：設(shè)
∴
∵，
∴，
∴
∴
【變式訓(xùn)練3-1】已知：．
(1)求代數(shù)式式的值；
(2)如果，求a，b，c的值．
【答案】(1)1
(2)
【分析】本題考查了比例的性質(zhì)，分式的求值，解一元一次方程，熟練掌握比例的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
（1）設(shè)，代入化簡即可；
（2）設(shè)，代入求出k的值，進(jìn)而可求出a，b，c的值．
【詳解】（1）∵，
∴設(shè)，代入，得
；
（2）∵，
∴設(shè)，代入，得
，
解得，
∴．
【變式訓(xùn)練3-2】已知線段a、b、c，且．
(1)求的值；
(2)若線段a、b、c滿足，求a、b、c的值．
【答案】(1)
(2)，，．
【分析】本題主要考查了比例的性質(zhì)．
（1）設(shè)，得到，，，代入計(jì)算即可；
（2）根據(jù)題意構(gòu)建方程求出的值，進(jìn)一步計(jì)算即可求解．
【詳解】（1）解：設(shè)，
則，，，
；
（2）解：，
，
，
，，．
【變式訓(xùn)練3-3】已知線段a、b、c滿足，且．
(1)求a、b、c的值；
(2)若線段a，b，c，d是成比例線段，求d的值．
【答案】(1)6，4，12
(2)8
【分析】本題主要考查了比例線段，解一元一次方程，
（1）利用，可設(shè)，，，代入求出的值，即可求出、、的值；
（2）根據(jù)題意得，代入求得d即可．
【詳解】（1）解：，
設(shè)，，，
又，
，
即，
合并同類項(xiàng)，得：，
系數(shù)化為，得：，
，
，
；
（2）解：∵線段a，b，c，d是成比例線段，
，
，
即，
【變式訓(xùn)練3-4】（1）若，且，求的值；
（2）若，則______．
【答案】（1）；（2）
【分析】本題考查比例的性質(zhì)，
（1）設(shè)，然后用含的代數(shù)式表示出、、，再代入求出的值，即可得解；
（2）由，得，，再代入，即可得解；
解題的關(guān)鍵是掌握比例的性質(zhì)：比例的內(nèi)項(xiàng)之積與外項(xiàng)之積相等．
【詳解】解：（1）設(shè)，
∴，，，
∴，
解得：，
∴，，，
∴，
∴的值為；
（2）∵，
∴，，
∴，
∴，
故答案為：．
【變式訓(xùn)練3-5】已知，求：
(1)；
(2)．
【答案】(1)；
(2)
【分析】本題考查了比例的基本性質(zhì)．
（1）根據(jù)比例的基本性質(zhì)可設(shè)，，，進(jìn)而求得、、的值，即可求解；
（2）把（1）中求得的a、b、c的值代入求值即可．
【詳解】（1）解：
設(shè)，，，
，
，，，
；
（2）解：∵，，，
∴．
題型四：線段成比例中三角形問題
【經(jīng)典例題4】已知a、b、c是 ABC的三邊，且滿足，．試判斷的形狀，并說明理由．
【答案】直角三角形，理由見解析
【分析】根據(jù)已知條件，得出，，進(jìn)而得到，再利用勾股定理逆定理，即可判斷的形狀．
【詳解】解：直角三角形，理由如下：
，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
是直角三角形．
【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)，勾股定理得逆定理，解題關(guān)鍵是掌握判定一個(gè)三角形是直角三角形的方法：①先確定最長邊，算出最長邊的平方；②計(jì)算另兩邊的平方和；③比較最長邊的平方與另兩邊的平方和是否相等，若相等，則此三角形為直角三角形．
【變式訓(xùn)練4-1】已知a、b、c是 ABC的三邊長，且，求：
(1)的值；
(2)若 ABC的周長為90，求的面積．
【答案】(1)2
(2) ABC的面積為270．
【分析】（1）利用已知的比例式，用同一未知數(shù)表示出a，b，c的值，進(jìn)而計(jì)算得出答案；
（2）根據(jù)的周長為90得，，用同一未知數(shù)表示出a，b，c的值，進(jìn)而計(jì)算得出答案．
【詳解】（1）解：設(shè)，則，，，
∴；
（2）解：∵的周長為90，
∴，
∴，
解得：，
∴，，，
∵，
∴，即是直角三角形
∴的面積為．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了比例的性質(zhì)，勾股定理的逆定理等，正確表示出各數(shù)是解題關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練4-2】a，b，c為 ABC的三邊長，且，，求 ABC的面積．
【答案】150
【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)設(shè)，，可用k表示a，b，c，根據(jù)解方程，可得答案．
【詳解】設(shè)，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴
∴
∴是直角三角形
∴
【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)，利用等式的性質(zhì)得出是解題關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練4-3】如圖，在 ABC中，點(diǎn)、分別為、上的中點(diǎn)，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了中位線，比例的性質(zhì)．熟練掌握中位線，比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
由題意知，，，，則，即．
【詳解】解：∵點(diǎn)、分別為、上的中點(diǎn)，
∴，，，
∴，
∴，
故選：D．
【變式訓(xùn)練4-4】已知△ABC的三邊長分別為a，b，c，且(a－c)∶(a＋b)∶(c－b)＝－2∶7∶1，則△ABC是(　　)
A．等腰三角形 B．等邊三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】C
【分析】根據(jù)題目給出的條件推出三角形三邊的比，再確定三角形的形狀．
【詳解】∵（a-c）：（a+b）=-2：7，
∴9a+2b-7c=0 ①，
∵（a-c）：（c-b）=-2：1，
∴a-2b+c=0 ②，
∵（a+b）：（c-b）=7：1，
∴a+8b-7c=0 ③，
∵①+②得a：c=3：5，①-③得a：b=3：4，
∴a：b：c=3：4：5，
∴△ABC是直角三角形，
故選C.
【點(diǎn)睛】本題考查了比例的基本性質(zhì)以及勾股定理的逆定理，根據(jù)比例的基本性質(zhì)進(jìn)行變形找出三角形三邊的比是解題的關(guān)鍵.
【變式訓(xùn)練4-5】已知三角形的三邊長為a、b、c．滿足，如果其周長為36，那么該三角形的最大邊長為 ．
【答案】16
【分析】設(shè)=k，根據(jù)三角形的周長列出方程即可求出k的值，從而求出結(jié)論．
【詳解】解：設(shè)=k
∴a=2k，b=3k，c=4k
由題意可知：a＋b＋c=36
∴2k＋3k＋4k=36
解得：k=4
∴該三角形的最大邊長為4×4=16
故答案為：16．
【點(diǎn)睛】此題考查的是比例的性質(zhì)，掌握設(shè)參法是解題關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練4-6】 ABC的三邊長分別是，，，且，則 ABC是 三角形．
【答案】直角
【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)變形，用含c的代數(shù)式表示出a、b，然后根據(jù)勾股定理逆定理判斷即可．
【詳解】解：∵，
∴，，，
∴，①，
，②，
，③，
①②，解得，④，
②③，解得，
∵，
且，
∴是直角三角形．
故答案為：直角．
【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)，勾股定理逆定理，用含c的代數(shù)式表示出a、b是解答本題的關(guān)鍵．
題型五：閱讀理解題型
【經(jīng)典例題5】閱讀下面的一段文字：
設(shè)，則有，當(dāng)時(shí)，．
從上面的推導(dǎo)過程可得，若，當(dāng)時(shí)，．把它稱為等比性質(zhì)．
利用等比性質(zhì)完成下題：
(1)在 ABC和中，，且厘米，求 ABC的周長．
(2)若且，求的值．
【答案】(1)15厘米
(2)
【分析】本題考查了比例的基本性質(zhì)．
（1）根據(jù)題意得到，由，代入計(jì)算即可求解；
（2）根據(jù)題意得到，進(jìn)而得到，結(jié)合，即可得出結(jié)果．
【詳解】（1）解：，且，
，
ABC的周長（厘米）．
故 ABC的周長為15厘米．
（2）解：，
，
，
．
【變式訓(xùn)練5-1】若a，b，c，d均不為0，且式子成立，則稱a，b，c，d成比例．如式子成立，故2，4，5，10這四個(gè)數(shù)成比例．
(1)當(dāng)a，b，c，d成比例，即成立時(shí)，分式與分式相等嗎？請舉例說明．
(2)閱讀下列推理過程，解決相應(yīng)問題：
均不為0，
對于式子．①
兩邊同乘以，得．②
在式子的兩邊都除以，得．③
問題1：從①式變形到②式的依據(jù)是：______．
問題2：若，則______，______．
【答案】(1)相等，說明見解析
(2)等式的基本性質(zhì)；3，3
【分析】（1）仿照題干舉例即可；
（2）根據(jù)材料中的變形可得依據(jù)，根據(jù)結(jié)果進(jìn)行計(jì)算．
【詳解】（1）解：分式與分式相等，
如：，，，，
則，且；
（2）問題1：
從①式變形到②式的依據(jù)是：等式的基本性質(zhì)；
問題2：
若，
則；
．
【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是讀懂材料，掌握基本知識(shí)并熟練運(yùn)用．
【變式訓(xùn)練5-2】閱讀下面的解題過程，然后解題：
題目：已知（a、b、c互相不相等），求x+y+z的值．
解：設(shè)，
則x=k（a﹣b），y=k（b﹣c），z=k（c﹣a）
于是，x+y+z=k（a﹣b+b﹣c+c﹣a）=k 0=0，
依照上述方法解答下列問題：
已知：（x+y+z≠0），求的值．
【答案】．
【分析】設(shè)，根據(jù)比例的性質(zhì)得到x=y=z，計(jì)算即可．
【詳解】解：設(shè)，
則y+z=xk，z+x=yk，x+y=zk，
∴2（x+y+z）=k（x+y+z），
解得，k=2，
∴y+z=2x，z+x=2y，x+y=2z，
解得，x=y=z，
則．
【點(diǎn)睛】本題考查的是比例的性質(zhì)，正確理解給出的解題過程是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練5-3】已知 ABC三邊滿足，且．
(1)求的值；
(2)判斷 ABC的形狀．
【答案】(1)；
(2)直角三角形．
【分析】（）設(shè)，，，可得，即得，進(jìn)而得到，，再由，可得，據(jù)此即可求解；
（）利用勾股定理逆定理即可判斷求解；
本題考查了比例的有關(guān)計(jì)算，勾股定理的逆定理，掌握比例的有關(guān)計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
【詳解】（1）解：設(shè)，，，
∴，
即，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，；
（2）解：∵，，
∴，
∴為直角三角形．
【變式訓(xùn)練5-4】已知a，b，c，d，e，f六個(gè)數(shù)，如果，那么．
理由如下：
∵
∴，，（第一步）
∴（第二步）
(1)解題過程中第一步應(yīng)用了______的基本性質(zhì)；在第二步解題過程中，應(yīng)用了______的基本性質(zhì)；
(2)應(yīng)用此解題過程中的思路和方法解決問題：
①如果，則______；
②已知，求的值．
【答案】(1)比例，比例
(2)①2，②
【分析】此題考查了比例的性質(zhì)，仿照例題方法用同一個(gè)字母表示所有未知數(shù)是解題的關(guān)鍵：
（1）根據(jù)比例的基本性質(zhì)解答；
（2）①根據(jù)比例的性質(zhì)得到，代入計(jì)算即可；
②設(shè)，則，代入化簡可得答案
【詳解】（1）解：解題過程中第一步應(yīng)用了比例的基本性質(zhì)；在第二步解題過程中，應(yīng)用了比例的基本性質(zhì)
（2）①∵，
∴，
∴
故答案為2；
②設(shè)，則，
∴
【變式訓(xùn)練5-5】我們知道：選用同一長度單位量得兩條線段，的長度分別是，，那么就說兩條線段的比，如果把表示成比值，那么或．請完成以下問題：
(1)四條線段，，，中，如果 ，那么這四條線段，，，叫做成比例線段．
(2)已知，那么成立嗎？請說明理由．
(3)如果，求的值．
【答案】(1)
(2)如果，那么成立，詳見解析
(3)或
【分析】（1）根據(jù)成比例線段的定義即四條線段，，，中，如果，那么這四條線段，，，叫做成比例線段，解答即可．
（2）根據(jù)等式的性質(zhì)，或設(shè)比值k的方法求解即可．
（3）分和兩種情況求解．
【詳解】（1）根據(jù)題意，得四條線段，，，中，如果，那么這四條線段，，，叫做成比例線段．
故答案為：．
（2）解法1： 如果，那么成立．理由：
，
，
∴，
．
解法2： 如果，那么成立．理由：
，
，
即，
．
（3）①當(dāng)時(shí)，
，，，
為其中任何一個(gè)比值，即；
②時(shí)，
．
所以或．
【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)，等比的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)并靈活運(yùn)用解題是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練5-6】閱讀理解：
已知：a，b，c，d都是不為0的數(shù)，且，求證：．
證明：∵，
∴．
∴．
根據(jù)以上方法，解答下列問題：
（1）若，求的值；
（2）若，且a≠b，c≠d，證明．
【答案】（1）；（2）證明過程見解析
【分析】（1）根據(jù)計(jì)算即可；
（2）先在等式兩邊同時(shí)減去1再結(jié)合計(jì)算即可；
【詳解】（1）∵，
∴；
（2）∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了比例的性質(zhì)應(yīng)用，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
題型六：黃金分割
【經(jīng)典例題6】兩千多年前，古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯發(fā)現(xiàn)：如圖，將一條線段分割成長、短兩條線段，若短段與長段的長度之比等于長段的長度與全長之比，即（此時(shí)線段叫做線段的比例中項(xiàng)）．這種分割稱為黃金分割，這個(gè)比值稱為黃金比，點(diǎn)叫做線段的黃金分割點(diǎn)．若，則的長為 ．
【答案】
【分析】本題考查了黃金分割的定義；根據(jù)已知線段的比例關(guān)系與已知條件，設(shè)，代入轉(zhuǎn)化一元二次方程求解即可．
【詳解】解：設(shè)，
依題意，，
∴
∴
即
解得：或（舍去）
∴
故答案為：．
【變式訓(xùn)練6-1】黃金分割是漢字結(jié)構(gòu)最基本的規(guī)律．借助如圖的正方形習(xí)字格書寫的漢字“晉”端莊穩(wěn)重、舒展美觀．已知一條分割線的端點(diǎn)A，B分別在習(xí)字格的邊上，且，“晉”字的筆畫“、”的位置在的黃金分割點(diǎn)C處，且，若，則的長為 （結(jié)果保留根號(hào)）．
【答案】/
【分析】本題考查了黃金分割的定義，正方形的性質(zhì)及矩形的判定與性質(zhì)，先證明四邊形是矩形，根據(jù)黃金分割的定義可得，據(jù)此求解即可，熟記黃金比是解題的關(guān)鍵．
【詳解】∵四邊形是正方形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴四邊形是矩形，
∴．
又∵，
∴，
故答案為：．
【變式訓(xùn)練6-2】黃金分割是一種被廣泛應(yīng)用于藝術(shù)和生活中的比例關(guān)系，具有嚴(yán)格的比例性、藝術(shù)性、和諧性，蘊(yùn)藏著豐富的美學(xué)價(jià)值，黃金分割比也被稱作是最美比例關(guān)系．某藝術(shù)品公司生產(chǎn)了一款長方形的畫框，測量發(fā)現(xiàn)該矩形畫框的長為厘米，其寬與長的比值等于黃金分割比．
(1)求該矩形畫框的寬；
(2)生產(chǎn)畫框所用的材料單價(jià)為元，則生產(chǎn)一個(gè)該畫框所需要的材料成本為多少錢？（結(jié)果保留根號(hào)）
【答案】(1)厘米；
(2)元．
【分析】()根據(jù)寬與長的比值等于黃金分割比列出算式即可求解；
()求出矩形畫框的面積，進(jìn)而即可解決問題；
本題考查了黃金分割，二次根式的運(yùn)算，熟知黃金分割的定義是解題的關(guān)鍵.
【詳解】（1）解：∵矩形畫框的寬與長的比值等于黃金分割比，且長為厘米，
∴矩形畫框的寬為厘米；
（2）解：矩形畫框的面積為（平方厘米），
∴矩形畫框的材料成本為元，
答：生產(chǎn)一個(gè)該畫框所需要的材料成本為元．
【變式訓(xùn)練6-3】如圖，我們知道，如果點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，將線段分割成兩條線段，且滿足，那么這種分割就叫做黃金分割．其中線段與的比值或線段與的比值叫做黃金分割數(shù)．已知比例的基本性質(zhì)：對于長度為的四條線段，如果，則．求黃金分割數(shù)（結(jié)果保留根號(hào)）．
【答案】
【分析】本題考查了黃金分割的概念和性質(zhì)，根據(jù)題意列出比例式即可，熟練掌握把線段分成兩條線段和，且使是和的比例中項(xiàng)，叫做把線段黃金分割是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：設(shè)線段，的長為，則，
即，整理得，
解得，（不合題意舍去），
∴黃金分割數(shù)為：．
【變式訓(xùn)練6-4】巴臺(tái)農(nóng)神廟的設(shè)計(jì)代表了古希臘建筑藝術(shù)上的最高水平，它的平面圖可看作寬與長的比是的矩形，我們將這種寬與長的比是的矩形叫黃金矩形．如圖①，已知黃金矩形的寬．
(1)黃金矩形的長 ；
(2)如圖②，將圖①中的黃金矩形裁剪掉一個(gè)以為邊的正方形，得到新的矩形，猜想矩形是否為黃金矩形，并證明你的結(jié)論；
(3)在圖②中，連接，求點(diǎn)到線段的距離．
【答案】(1)
(2)矩形DCEF為黃金矩形，理由見解析
(3)點(diǎn)D到線段AE的距離為
【分析】本題考查了黃金分割，理解題目所給“黃金矩形”的定義是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)，，即可求解；
（2）先求出，再求出的值，即可得出結(jié)論；
（3）連接，，過D作于點(diǎn)G，根據(jù)，，得出，再根據(jù)，即可求解．
【詳解】（1）解：∵，，
∴，
故答案為：；
（2）解：矩形為黃金矩形，理由是：
由（1）知，
∴，
∴，
故矩形為黃金矩形；
（3）解：連接，，過D作于點(diǎn)G
∵，，
∴，
在中， ，
即，
則，
解得，
∴點(diǎn)D到線段的距離為．
【變式訓(xùn)練6-5】黃金分割比例是使矩形最具美感的比例，即矩形的寬與長之比為，這樣的矩形被稱為黃金矩形，如古希臘的帕特農(nóng)神廟其立面就接近于黃金矩形，小華想設(shè)計(jì)一張版面為黃金矩形的海報(bào)，已知海報(bào)的寬為，則海報(bào)的長應(yīng)設(shè)計(jì)為多少？
【答案】
【分析】設(shè)海報(bào)的長應(yīng)設(shè)計(jì)為，由題意得，，計(jì)算求解滿足要求的解即可．
【詳解】解：設(shè)海報(bào)的長應(yīng)設(shè)計(jì)為，
由題意得，，
解得，
經(jīng)檢驗(yàn)，是分式方程的解，
∴海報(bào)的長應(yīng)設(shè)計(jì)為．
【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，二次根式的除法運(yùn)算，黃金分割．解題的關(guān)鍵在于正確的運(yùn)算．
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4.1比例線段六大題型（一課一講）
【浙教版】
題型一：成比例線段
【經(jīng)典例題1】已知，則下列等式中，正確的是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓(xùn)練1-1】已知，，，，下列各式中，一定正確的是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓(xùn)練1-2】如果，且是和的比例中項(xiàng)，那么等于（ ）
A． B． C． D．
【變式訓(xùn)練1-3】在一幅比例尺為的地圖上，甲、乙兩地的距離為10厘米，那么兩地的實(shí)際距離為 千米．
【變式訓(xùn)練1-4】已知實(shí)數(shù)x和1，2，4構(gòu)成比例，則實(shí)數(shù)x的值為 ．
【變式訓(xùn)練1-5】已知線段厘米，厘米，則線段和的比例中項(xiàng)是 厘米．
題型二：比例的性質(zhì)
【經(jīng)典例題2】若且，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓(xùn)練2-1】已知，且，則的值是（ ）．
A． B．3 C．1 D．0
【變式訓(xùn)練2-2】已知，則 ．
【變式訓(xùn)練2-3】已知，則 ．
【變式訓(xùn)練2-4】已知，那么下列等式中一定正確的是 （ ）
A． B． C． D．
【變式訓(xùn)練2-5】已知，且．
(1)的值為______；
(2)若，求的值．
題型三：利用設(shè)“k”法求參數(shù)的值
【經(jīng)典例題3】已知：線段a，b，c，根據(jù)以下條件回答問題．
(1)若，，c是a，b的比例中項(xiàng)線段，求c的長；
(2)若，，求a，b，c的長．
【變式訓(xùn)練3-1】已知：．
(1)求代數(shù)式式的值；
(2)如果，求a，b，c的值．
【變式訓(xùn)練3-2】已知線段a、b、c，且．
(1)求的值；
(2)若線段a、b、c滿足，求a、b、c的值．
【變式訓(xùn)練3-3】已知線段a、b、c滿足，且．
(1)求a、b、c的值；
(2)若線段a，b，c，d是成比例線段，求d的值．
【變式訓(xùn)練3-4】（1）若，且，求的值；
（2）若，則______．
【變式訓(xùn)練3-5】已知，求：
(1)；
(2)．
題型四：線段成比例中三角形問題
【經(jīng)典例題4】已知a、b、c是 ABC的三邊，且滿足，．試判斷的形狀，并說明理由．
【變式訓(xùn)練4-1】已知a、b、c是 ABC的三邊長，且，求：
(1)的值；
(2)若 ABC的周長為90，求的面積．
【變式訓(xùn)練4-2】a，b，c為 ABC的三邊長，且，，求 ABC的面積．
【變式訓(xùn)練4-3】如圖，在 ABC中，點(diǎn)、分別為、上的中點(diǎn)，則（ ）
A． B． C． D．
【變式訓(xùn)練4-4】已知△ABC的三邊長分別為a，b，c，且(a－c)∶(a＋b)∶(c－b)＝－2∶7∶1，則△ABC是(　　)
A．等腰三角形 B．等邊三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【變式訓(xùn)練4-5】已知三角形的三邊長為a、b、c．滿足，如果其周長為36，那么該三角形的最大邊長為 ．
【變式訓(xùn)練4-6】 ABC的三邊長分別是，，，且，則 ABC是 三角形．
題型五：閱讀理解題型
【經(jīng)典例題5】閱讀下面的一段文字：
設(shè)，則有，當(dāng)時(shí)，．
從上面的推導(dǎo)過程可得，若，當(dāng)時(shí)，．把它稱為等比性質(zhì)．
利用等比性質(zhì)完成下題：
(1)在 ABC和中，，且厘米，求 ABC的周長．
(2)若且，求的值．
【變式訓(xùn)練5-1】若a，b，c，d均不為0，且式子成立，則稱a，b，c，d成比例．如式子成立，故2，4，5，10這四個(gè)數(shù)成比例．
(1)當(dāng)a，b，c，d成比例，即成立時(shí)，分式與分式相等嗎？請舉例說明．
(2)閱讀下列推理過程，解決相應(yīng)問題：
均不為0，
對于式子．①
兩邊同乘以，得．②
在式子的兩邊都除以，得．③
問題1：從①式變形到②式的依據(jù)是：______．
問題2：若，則______，______．
【變式訓(xùn)練5-2】閱讀下面的解題過程，然后解題：
題目：已知（a、b、c互相不相等），求x+y+z的值．
解：設(shè)，
則x=k（a﹣b），y=k（b﹣c），z=k（c﹣a）
于是，x+y+z=k（a﹣b+b﹣c+c﹣a）=k 0=0，
依照上述方法解答下列問題：
已知：（x+y+z≠0），求的值．
【變式訓(xùn)練5-3】已知 ABC三邊滿足，且．
(1)求的值；
(2)判斷 ABC的形狀．
【變式訓(xùn)練5-4】已知a，b，c，d，e，f六個(gè)數(shù)，如果，那么．
理由如下：
∵
∴，，（第一步）
∴（第二步）
(1)解題過程中第一步應(yīng)用了______的基本性質(zhì)；在第二步解題過程中，應(yīng)用了______的基本性質(zhì)；
(2)應(yīng)用此解題過程中的思路和方法解決問題：
①如果，則______；
②已知，求的值．
【變式訓(xùn)練5-5】我們知道：選用同一長度單位量得兩條線段，的長度分別是，，那么就說兩條線段的比，如果把表示成比值，那么或．請完成以下問題：
(1)四條線段，，，中，如果 ，那么這四條線段，，，叫做成比例線段．
(2)已知，那么成立嗎？請說明理由．
(3)如果，求的值．
【變式訓(xùn)練5-6】閱讀理解：
已知：a，b，c，d都是不為0的數(shù)，且，求證：．
證明：∵，
∴．
∴．
根據(jù)以上方法，解答下列問題：
（1）若，求的值；
（2）若，且a≠b，c≠d，證明．
題型六：黃金分割
【經(jīng)典例題6】兩千多年前，古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯發(fā)現(xiàn)：如圖，將一條線段分割成長、短兩條線段，若短段與長段的長度之比等于長段的長度與全長之比，即（此時(shí)線段叫做線段的比例中項(xiàng)）．這種分割稱為黃金分割，這個(gè)比值稱為黃金比，點(diǎn)叫做線段的黃金分割點(diǎn)．若，則的長為 ．
【變式訓(xùn)練6-1】黃金分割是漢字結(jié)構(gòu)最基本的規(guī)律．借助如圖的正方形習(xí)字格書寫的漢字“晉”端莊穩(wěn)重、舒展美觀．已知一條分割線的端點(diǎn)A，B分別在習(xí)字格的邊上，且，“晉”字的筆畫“、”的位置在的黃金分割點(diǎn)C處，且，若，則的長為 （結(jié)果保留根號(hào)）．
【變式訓(xùn)練6-2】黃金分割是一種被廣泛應(yīng)用于藝術(shù)和生活中的比例關(guān)系，具有嚴(yán)格的比例性、藝術(shù)性、和諧性，蘊(yùn)藏著豐富的美學(xué)價(jià)值，黃金分割比也被稱作是最美比例關(guān)系．某藝術(shù)品公司生產(chǎn)了一款長方形的畫框，測量發(fā)現(xiàn)該矩形畫框的長為厘米，其寬與長的比值等于黃金分割比．
(1)求該矩形畫框的寬；
(2)生產(chǎn)畫框所用的材料單價(jià)為元，則生產(chǎn)一個(gè)該畫框所需要的材料成本為多少錢？（結(jié)果保留根號(hào)）
【變式訓(xùn)練6-3】如圖，我們知道，如果點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，將線段分割成兩條線段，且滿足，那么這種分割就叫做黃金分割．其中線段與的比值或線段與的比值叫做黃金分割數(shù)．已知比例的基本性質(zhì)：對于長度為的四條線段，如果，則．求黃金分割數(shù)（結(jié)果保留根號(hào)）．
【變式訓(xùn)練6-4】巴臺(tái)農(nóng)神廟的設(shè)計(jì)代表了古希臘建筑藝術(shù)上的最高水平，它的平面圖可看作寬與長的比是的矩形，我們將這種寬與長的比是的矩形叫黃金矩形．如圖①，已知黃金矩形的寬．
(1)黃金矩形的長 ；
(2)如圖②，將圖①中的黃金矩形裁剪掉一個(gè)以為邊的正方形，得到新的矩形，猜想矩形是否為黃金矩形，并證明你的結(jié)論；
(3)在圖②中，連接，求點(diǎn)到線段的距離．
【變式訓(xùn)練6-5】黃金分割比例是使矩形最具美感的比例，即矩形的寬與長之比為，這樣的矩形被稱為黃金矩形，如古希臘的帕特農(nóng)神廟其立面就接近于黃金矩形，小華想設(shè)計(jì)一張版面為黃金矩形的海報(bào)，已知海報(bào)的寬為，則海報(bào)的長應(yīng)設(shè)計(jì)為多少？
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