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4.6&4.7相似多邊形和圖形的位似七大題型（一課一講）
【浙教版】
題型一：相似多邊形的性質
【經典例題1】如圖，梯形中，，E是上的一點，，并且將梯形分成的兩個梯形相似，若，求．

【答案】
【分析】此題主要考查相似多邊形相似比的性質，首先根據相似性，列出相似比的等式，即可得出，即可得解．
【詳解】解：∵四邊形與四邊形相似，
∴，
又∵，，
∴
又∵，
∴，
∴
．
【變式訓練1-1】如圖在矩形中，，，、分別是、上的點，且，兩動點、都以2cm/s的速度分別從、兩點沿、向、兩點運動，判斷當、運動多長時間能使矩形與矩形相似，并證明你的結論．

【答案】運動或能使矩形與矩形相似，證明見解析
【分析】設運動時間能使矩形與矩形相似，分是矩形的長和是矩形的寬兩種情況列出比例式，分別求解即可．
【詳解】解：設運動時間能使矩形與矩形相似，
由題意或，
解得：或．
當時，，
∵，
又∵與都是矩形，
∴矩形與矩形相似．
同理可證當時矩形與矩形相似．
【點睛】本題考查了相似多邊形的判定，進行分類討論是解題的關鍵．
【變式訓練1-2】如圖，在四邊形的邊上任取一點O（不與點A、B重合）連接、，分別取的中點、、、，連接、、，四邊形與四邊形相似嗎？為什么？

【答案】四邊形四邊形，見解析
【分析】根據三角形的中位線定理證明兩個多邊形對應邊的比相等、對應角相等即可得到答案．
【詳解】解：四邊形四邊形，理由如下：
證明：、是、的中點，
，，
，
同理，
，
，
，，
同理，
，，
四邊形四邊形．

【點睛】本題考查的是相似多邊形的性質、三角形中位線定理，掌握相似多邊形的判定定理、靈活運用三角形中位線定理是解題的關鍵．
【變式訓練1-3】如圖，把一個矩形劃分成三個全等的小矩形．
(1)若原矩形的長，寬．問：每個小矩形與原矩形相似嗎？請說明理由．
(2)若原矩形的長，寬，且每個小矩形與原矩形相似，求矩形長與寬應滿足的關系式．
【答案】(1)不相似；證明過程見詳解
(2)
【分析】（1）根據劃分后小矩形的長為，寬為，可得，進而可判斷結論；
（2）根據劃分后小矩形的長為，寬為，再根據每個小矩形與原矩形相似，可得，從而可得與的關系式．
【詳解】（1）解：不相似．理由如下：
∵原矩形的長，寬，
∴劃分后小矩形的長為，寬為，
又∵，即原矩形與每個小矩形的邊不成比例，
∴每個小矩形與原矩形不相似．
（2）∵原矩形的長，寬，
∴劃分后小矩形的長為，寬為，
又∵每個小矩形與原矩形相似，
∴
∴，即．
【點睛】本題考查了相似多邊形的性質，本題的關鍵是根據兩矩形相似得到比例式．
【變式訓練1-4】正方形ABCD中，E是AC上一點，EF⊥AB，EG⊥AD，AB=6，AE：EC=2：1．求四邊形AFEG的面積．
【答案】16
【分析】先證明四邊形是正方形，再由相似的定義得出正方形正方形，然后根據相似多邊形的面積比等于相似比的平方即可求解．
【詳解】解：∵四邊形為中正方形，
∴，，
又EF⊥AB，EG⊥AD，
∴，
四邊形是矩形，，
，
，
矩形是正方形，
四邊形是正方形，
正方形正方形，
∵AE：EC=2：1，
∴AE：AC=2：3，
，
，
∴正方形AFEG的面積為16．
【點睛】本題考查了相似多邊形的判定與性質，難度適中，證明四邊形是正方形是解題的關鍵．
【變式訓練1-5】如圖，ABCD是邊長為1的正方形，在它的左側補一個矩形ABFE，使得新矩形CEFD與矩形ABEF相似，求BE的長．

【答案】
【分析】設BE=x，BC=1，CE=x+1，然后根據相似多邊形的性質列出比例式，計算即可．
【詳解】解：設BE=x，則BC=1，CE=x+1，
∵矩形CEFD與矩形ABEF相似，
∴或，代入數據，
∴或，
解得：，(舍去)，或不存在，
∴BE的長為，
故答案為．
【點睛】本題考查的是相似多邊形的性質，掌握相似多邊形的對應邊成比例是解題的關鍵．
【變式訓練1-6】如圖所示，四邊形四邊形，，，求和的長．
【答案】，
【分析】此題考查了相似四邊形的性質．此題比較簡單，解題的關鍵是注意掌握相似四邊形的對應角相等與相似四邊形的對應邊成比例性質定理的應用．由四邊形四邊形，根據相似四邊形的對應角相等，即可求得，又由四邊形的內角和等于，即可求得；根據相似四邊形的對應邊成比例，即可求得的長．
【詳解】解：∵四邊形四邊形，，，
∴，
∴，
∵四邊形四邊形，，
∴ ，即，
∴．
題型二：位似圖形的識別
【經典例題2】1．已知：，下列圖形中， ABC與不存在位似關系的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】此題主要考查了位似變換，正確把握位似圖形的定義是解題關鍵．根據位似圖形的定義，如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且對應頂點的連線相交于一點，對應邊互相平行，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，進而判斷得出答案．
【詳解】解：A、與是位似關系，故此選項不合題意；
B、與是位似關系，故此選項不合題意；
C、與是位似關系，故此選項不合題意；
D、與對應邊和不平行，故不存在位似關系，故此選項符合題意；
故選：D．
【變式訓練2-1】如圖，在正方形網格中， ABC的位似圖形可以是（ ）
A． BDE B． FDE C． D．
【答案】D
【分析】本題考查的是位似圖形，如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且對應頂點的連線相交于一點，對應邊互相平行，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形．先證明與相似，再根據位似圖形的概念判斷．
【詳解】解：根據網格信息可知：的三邊長分別為1，2，，
的三邊長分別為2，4，，
與的三邊對應成比例，
∴與相似，
∵與對應點連線相交于一點，對應邊平行或在同一條直線上，
∴與是位似圖形，
故選∶D．
【變式訓練2-2】下面四個圖中， ABC均與相似，且對應點交于一點；則 ABC與成位似圖形有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】C
【分析】本題考查了位似的定義，如果兩個多邊形不僅相似，而且對應頂點的連線所在的直線相交于一點，對應邊互相平行，像這樣的兩個圖形叫做位似圖形.
根據位似的定義判斷即可得出答案．
【詳解】解：根據位似圖形的定義可知，圖1，圖2，圖4中的與成位似圖形，
圖3中、不平行，即與不成位似圖形，
故選；C．
【變式訓練2-3】下面四個圖中， ABC均與相似，且對應點交于一點；則 ABC與成位似圖形有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】C
【分析】本題考查了位似的定義，如果兩個多邊形不僅相似，而且對應頂點的連線所在的直線相交于一點，對應邊互相平行，像這樣的兩個圖形叫做位似圖形，根據位似的定義判斷即可得出答案．
【詳解】解：根據位似圖形的定義可知，圖1，圖2，圖4中的與成位似圖形，
圖3中、不平行，即與不成位似圖形，
故選；C．
【變式訓練2-4】下圖所示的四種畫法中，能使得 ABC與是位似圖形的有（ ）
A．①②③④ B．①③④ C．①② D．③④
【答案】A
【分析】本題考查位似圖形，根據“兩個相似圖形的對應點的連線相交于一點，而且對應邊互相平行或位于同一條直線上，像這樣的兩個圖形叫做位似圖形，”進行判斷即可．
【詳解】解：圖①對應點的連線相交于點A，對應邊，對應邊與在同一條直線上，與在同一條直線上，是位似圖形；
圖②，對應邊，，對應邊和在同一條直線上，對應點的連線交于一點（的延長線于的交點），是位似圖形；
圖③，對應點的連線交于點O，對應邊，，，是位似圖形；
圖④，對應點法連線交于點O，對應邊，，，是位似圖形，
故選：A．
【變式訓練2-5】下列選項中的兩個相似圖形，不是位似圖形的是（ ）
A．B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查的是位似變換，掌握兩個圖形不僅是相似圖形，而且對應頂點的連線相交于一點，對應邊互相平行，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形是解題的關鍵．根據位似圖形的定義解答即可．
【詳解】解：根據位似圖圖形的定義可知選項A、B、D中的兩個圖形都是位似圖形，C中的兩個圖形不是位似圖形，
故選：C．
題型三：判定位似中心
【經典例題3】如圖，在平面直角坐標系中的兩個矩形和矩形是位似圖形，對應點和的坐標分別為，，則位似中心的坐標是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查位似圖形的性質、相似圖形的應用，連接，交軸于點，則點為位似中心，先根據題意證明，再根據位似比和點的坐標求出線段長度，得到，求出點的坐標即可．解決本題的關鍵是借助相似比求出線段長度．
【詳解】解：連接，交軸于點，則點為位似中心，
矩形與矩形是位似圖形，，，
，，，，，
，
，
，
即，
，
故位似中心的坐標為．
故選：A．
【變式訓練3-1】如圖，點是等邊三角形的中心，、、分別是、、的中點，則與是位似三角形，此時與的位似比、位似中心分別是（ ）
A．2、點 B．、點 C．2、點 D．、點
【答案】D
【分析】本題考查的是位似變換，掌握位似中心的定義、相似三角形的性質是解題的關鍵．
根據三角形中位線定理得到，根據位似三角形的定義、位似中心的定義解答．
【詳解】解：點是等邊三角形的中心，、、分別是、、的中點，
各對應點的連線交于點，，
位似中心是點，
∵與是位似三角形，位似中心到兩個對應點的距離之比叫做位似比，
∴與位似比是．
故選：D．
【變式訓練3-2】如圖，正方形與正方形是位似圖形，已知，，，，求位似中心的坐標．
【答案】或
【分析】此題主要考查了位似圖形的性質以及待定系數法求一次函數解析式，正確分類討論是解題的關鍵； 當B與F是對應點時，利用待定系數法求出直線的解析式，再求得直線與y軸的交點，即可求出位似中心的坐標； 當C與E是對應點時，分別利用待定系數法求出直線和的解析式，再將兩個解析式組成方程組，求得x和y的值即可得出位似中心的坐標．
【詳解】解：①若B和F是對應點，點A與點E是對應點，則位似中心在y軸上，
由題意可得，，
設直線的解析式為：，
則，
解得：，
故直線的解析式為：，
當時，，
即位似中心是：；
②若點C和E是對應點，點D和F是對應點，
由題意可得
設直線的解析式為：，
則，
解得：，
故直線的解析式為：，
設直線的解析式為：，
則，
解得：，
故直線的解析式為：，
則，
解得：，
即位似中心是：，
綜上所述：所述位似中心為：或．
【變式訓練3-3】如圖，矩形的對角線與相交于點O，E，F，G，H分別是，，，的中點，那么矩形與四邊形是不是位似圖形？如果是，指出位似中心，并求出相似比；如果不是，請說明理由．
【答案】是位似圖形，位似中心是點O，相似比為2
【分析】本題主要考查矩形的判定和性質以及位似的相關知識，根據矩形的性質可得對應線段的平行和比值，繼而判定四邊形是矩形，結合對應得比值即可得到位似比，結合對應點和交點即可確定位似中心．
【詳解】解：∵E，F，G，H分別是，，，的中點，
∴，，，，，，，，
∴，，
∴．
又∵四邊形是矩形，
∴，，，
∴，，，
∴四邊形是矩形．
又∵，
∴矩形與矩形相似，且相似比為2．
又∵兩個圖形的對應點所在直線都經過點O，
∴它們是位似圖形，位似中心是點O，相似比為2．
【變式訓練3-4】如圖，在邊長都是的小正方形組成的網格中，與是以點為位似中心的位似圖形，它們的頂點都在小正方形的頂點處．
(1)與的位似比是 ，請在圖中標出位似中心的位置；
(2)請以點為位似中心，并在點右側的網格中畫一個，使它與的相似比為．
【答案】(1)，圖見解析
(2)見解析
【分析】本題考查作圖﹣位似變換，
（1）根據位似變換的性質判斷，對應點連線的交點即為位似中心；
（2）根據要求畫出位似圖形即可．
【詳解】（1）解：與的位似比是，如圖位似中心即為所求．
故答案為：；
（2）如圖，即為所求．
【變式訓練3-5】如圖，在平面直角坐標系中， ABC的頂點坐標分別為，，，（每個方格的邊長均為1個單位長度）．

(1)作 ABC關于y軸的軸對稱圖形，請在平面直角坐標系中畫出，并填寫，的坐標．點的坐標為（______，______）；點的坐標為（______，______）．
(2)的頂點坐標分別為，，，若 ABC與是位似圖形，則位似中心的坐標為（______，______）
【答案】(1)；0；；2
(2)0；
【分析】本題考查作圖軸對稱變換、位似變換；
（1）根據軸對稱的性質作圖，即可得出答案．
（2）連接，，，相交于點，則點即為位似中心，即可得出答案．
【詳解】（1）如圖，即為所求．

點的坐標為，點的坐標為．
故答案為：；0；；2．
（2）如圖，作射線，，，相交于點，
則點為與的位似中心，
點的坐標為．
故答案為：0；．
題型四：畫已知圖形放大（縮小）后的圖形
【經典例題4】如圖，在平面直角坐標系中，的頂點坐標分別為，，．
(1)畫出將向左平移2個單位，再向上平移1個單位后得到的；
(2)以原點O為位似中心，在y軸的右側畫出的一個位似，使它與的相似比為；
(3)判斷和是否是位似圖形(直接寫結果)，若是，請在圖中標出位似中心點M，并寫出點M的坐標．
【答案】(1)作圖見解析
(2)作圖見解析
(3)是，
【分析】本題主要考查平移和位似的概念和性質，熟練掌握平移和位似的概念與性質是解題的關鍵．
（1）根據題目要求作圖即可；
（2）根據題目要求作圖即可；
（3）根據位似的概念即可求解．
【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求．
（2）解：如圖所示，即為所求．
（3）解：如圖所示，和是位似圖形，點M即為位似中心，
【變式訓練4-1】如圖，O為原點，B，C兩點坐標分別為．
(1)以O為位似中心在y軸左側將放大兩倍，并畫出圖形；
(2)已知為內部一點，寫出M的對應點的坐標．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】本題主要考查作圖-位似變換、坐標規律等知識點，熟練掌握位似的性質是解答本題的關鍵．
（1）先根據位似的性質作出B，C兩點的對應點，然后順次連接即可；
（2）觀察點的變化規律，并運用規律即可解答．
【詳解】（1）解：如圖，即為所求．
（2）解：由圖可得，點，即對應點的是原點橫、縱坐標的倍．
所以點的對應點的坐標為．
【變式訓練4-2】如圖，已知，，是直角坐標系平面上三點．
(1)以原點O為位似中心，將 ABC縮小為原來的一半，得到，請在所給的坐標系中作出所有滿足條件的圖形．
(2)把 ABC向右平移7個單位再向下平移1個單位，得到．畫出平移后的圖形，并利用網格作出高．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】此題考查了位似變換與平移的變換．注意根據平移與位似的性質求得各點的坐標是關鍵．
（1）利用位似的性質，可求得各點的坐標，繼而畫出圖形；
（2）直接利用平移的性質，可分別求得各點的坐標，繼而畫出圖形，再作出高．
【詳解】（1）符合條件有兩個，如圖所示．
（2）及高如圖所示；
【變式訓練4-3】已知O是坐標原點，A、B的坐標分別為，．
(1)以原點O為位似中心，位似比為，在y軸的左側，畫出放大后的圖形；
(2)直接寫出點的坐標；若點在線段上，點D對應點的坐標為 ．
【答案】(1)見解析
(2)，
【分析】本題考查了位似變換，正確掌握位似比與坐標的關系是解題的關鍵．
（1）根據位似圖形的性質得出、，再順次連接即可；
（2）利用（1）中位似比得出對應點坐標關系即可．
【詳解】（1）解：如圖所示：
；
（2）解：由圖可得：，
點在線段上，點D對應點的坐標為．
【變式訓練4-4】如圖所示，圖中的小方格都是邊長為的正方形， ABC與是以點為位似中心的位似圖形，它們的頂點都在小正方形的頂點上．
(1)畫出位似中心，并直接寫出 ABC與的相似比；
(2)以位似中心為旋轉中心，把按順時針方向旋轉得到，畫出．
【答案】(1)2：1，圖見解析
(2)見解析
【分析】本題主要考查了作位似圖形，作旋轉圖形，
（1）連接并延長，連接并延長，兩延長線交于點；由，即可得出與的位似比為；
（2）分別將點、、繞點O順時針旋轉得到點，然后順次連接即可．
【詳解】（1）圖中點為所求；與的位似比等于；
（2）如圖所示：為所求．
【變式訓練4-5】如圖是由小正方形組成的網格，每個小正方形的頂點叫做格點．A，B，C三點是格點，點P在上，僅用無刻度的直尺在給定網格中完成畫圖．
(1)在圖（1）中，將線段沿的方向平移，使點與點重合，畫出平移后的線段，再將繞的中點順時針旋轉，得到，畫出線段；
(2)在圖（2）中，連接，將以點為位似中心縮小為原來的得到，畫出；
(3)在圖（3）中，在上畫一點，在上畫一點，使得最小．
【答案】(1)圖見解析
(2)圖見解析
(3)圖見解析
【分析】（1）利用平移性質可畫出，利用平行四邊形的性質，連接和的中點并延長交于點，即可得到答案；
（2）根據位似圖形的性質得到，，取中點和上一點，連接并確定其中點，取上一點，連接并延長，根據“對角線相互平分的四邊形為平行四邊形”可作平行四邊形，連接并延長交于點，根據平行線分線段成比例得到點為的中點，則即為所求作；
（3）首先確定點關于的對稱點：取格點，連接，，交于點，連接并延長交于點，根據全等三角形的性質以及垂直平分線的判定，可知點關于對稱；過點作的垂線，確定點：取格點，使得為等腰三角形，連接確定點，連接并延長確定點，連接并延長，交于點，交于點，連接，即可獲得答案．
【詳解】（1）解：如圖，線段、線段即為所求作；
理由：由平移性質得四邊形是平行四邊形，
∵平行四邊形是中心對稱圖形，對角線的交點O為對稱中心，
∴連接并延長與的交點G即為點P的對應點，故線段即為繞的中點O順時針旋轉所得的對應線段；
（2）解：如圖，即為所求作；
（3）解：如圖，點M、N即為所求作．
【點睛】本題考查基本作圖，涉及平移性質、位似圖形性質、中心對稱圖形性質、軸對稱圖形性質、平行四邊形的性質、平行線分線段成比例性質、垂線段最短等知識，熟知網格特點，熟練掌握基本作圖所涉及到的知識點的運用是解答的關鍵．
題型五：求位似圖形對應的坐標
【經典例題5】如圖，在平面直角坐標系中，已知點、，以原點O為位似中心，相似比為2，把放大，則點A的對應點的坐標是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】本題考查的是位似變換，根據在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或計算．
【詳解】解：當位似圖形與在y軸同側時，
∵，相似比為2，
∴；
當位似圖形與在y軸兩側時，
∵，相似比為2，
∴；
故選：D．
【變式訓練5-1】如圖，在平面直角坐標系中，已知點，的坐標分別為，，以點為位似中心，在原點的另一側按的相似比將縮小，則點的對應點的坐標是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此題主要考查了位似變換問題，掌握性質及正確把握規律是解題的關鍵．直接利用位似變換的性質和異側位似變換的坐標變化規律結合點坐標直接得出點的坐標．
【詳解】解：以點為位似中心，在原點的另一側按的相似比將縮小，將的橫縱坐標先縮小為原來的為，再變為相反數得．
故選：D．
【變式訓練5-2】如圖，在四邊形中，，．先將四邊形以點為中心，按順時針方向旋轉，依次旋轉7次，再將得到的圖案以點為位似中心，按照的比例縮小，就得到了一個漂亮的花朵圖案．現以為原點，所在直線為軸建立平面直角坐標系，則圖中點的坐標為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此題考查了位似變換、等腰直角三角形的判定和性質、圖形和坐標等知識．過點C作軸于點D，則，得到點C的坐標為，根據以點為位似中心，按照的比例縮小，即可得到答案．
【詳解】解：如圖，過點C作軸于點D，
在中，，，
∴，
∴點C的坐標為，
∵以點為位似中心，按照的比例縮小，
∴點的坐標為，
故選：A
【變式訓練5-3】如圖，已知點，，以點為位似中心畫三角形，使它與位似，且相似比為，則點的對應點的坐標為 ．
【答案】或
【分析】本題考查以點為位似中心圖形坐標關系，根據在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或，于是把都乘以k或-即可得到點E的對應點坐標；
【詳解】解：∵以點為位似中心畫三角形，使它與位似，且相似比為，，
∴點的對應點的坐標為：，，
故答案為：或．
【變式訓練5-4】如圖，，，以為位似中心，按比例尺把縮小，則點對應點的坐標為 ．

【答案】或
【分析】此題考查了位似變換及坐標與圖形性質的知識，關于原點成位似的兩個圖形，掌握相關知識是解題的關鍵．根據若位似比是，則原圖形上的點，經過位似變化得到的對應點的坐標是或，即可求解．
【詳解】解：按比例尺把縮小，，
點的對應點的坐標是或，即或，
故答案：或．
【變式訓練5-5】如圖，在平面直角坐標系中，等腰直角和 ABC是以原點O為位似中心的位似圖形，且位似比為，點，，C在上，則點坐標為 ．

【答案】
【分析】本題考查位似定義及性質，等腰三角形性質等．根據題意得，再根據等腰直角三角形性質得到點的坐標，再根據位似變換的性質計算即可．
【詳解】解：∵點，，
∴，
∵等腰直角和，
∴點的坐標為，
∵和是以原點O為位似中心的位似圖形，且位似比為，
∴，即，
故答案為：．
題型六：求位似圖形的相似比、周長比、面積比
【經典例題6】已知在平面直角坐標系中的位置如圖所示：
(1)在圖中畫出 ABC沿x軸翻折后的；
(2)以點為位似中心，在第一象限畫出與位似的三角形，使與的相似比為；
(3)點的坐標___________； ABC與的周長比是___________， ABC與的面積比是___________．
【答案】(1)圖見解析
(2)圖見解析
(3)，，
【分析】本題考查坐標與圖形變換—軸對稱與位似：
（1）根據軸對稱的性質，畫出即可；
（2）根據位似的性質，畫出即可；
（3）直接寫出的坐標，根據相似三角形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方，求解即可．
【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求；
（2）如圖所示，即為所求；
（3）由圖可知，，
∵翻折，
∴，
∵與的相似比為
∴與的相似比為，
∴與的周長比是，與的面積比是；
故答案為：，，．
【變式訓練6-1】在平面直角坐標系中， ABC與關于原點位似，點及其對應點的坐標分別為，，則與的相似比為 ．
【答案】/
【分析】此題主要考查了位似變換，根據題意得出位似比是解題關鍵．利用位似圖形的性質，結合對應點的坐標得出位似比，即可得出答案．
【詳解】解：∵與關于原點位似，點及其對應點的坐標分別為，，
∴與的相似比為．
故答案為：．
【變式訓練6-2】如圖，四邊形與四邊形關于點成位似圖形．若四邊形與四邊形的位似比為，則四邊形與四邊形的周長比為 ．
【答案】
【分析】本題考查的是位似圖形的性質，根據位似圖形的周長比等于相似比解題即可．
【詳解】解：∵四邊形與四邊形的位似比為，
∴四邊形與四邊形的周長比為．
故答案為：．
【變式訓練6-3】在平面直角坐標系中， ABC與位似，位似中心是原點O．若對應點坐標分別為，，則 ABC與的面積比為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了位似的定義，勾股定理，相似三角形的性質，由勾股定理得，，由位似的定義得，由相似三角形的性質，即可求解；理解位似的定義，掌握勾股定理，相似三角形的性質是解題的關鍵．
【詳解】解：，，
，
，
，
與位似，
，
；
故選：C．
【變式訓練6-4】如圖， ABC和是以點O為位似中心的位似圖形，點A在線段上，若，則 ABC和的面積之比為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查位似圖形的性質，位似圖形肯定是相似圖形，位似比等于相似比，相似圖形的面積比等于相似比的平方，由此可解．
【詳解】解：，
，
和的相似比為，
和的面積之比為，
故選C．
【變式訓練6-5】在平面直角坐標系中，將一塊直角三角板如圖放置，直角頂點與原點重合，頂點、恰好分別落在函數，的圖象上，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據反比例函數的幾何意義，可得，的面積；根據題意又可知這兩個直角三角形相似，根據面積比等于相似比的平方，即可求解，
本題考查了，反比例函數的幾何意義，相似三角形的判定與性質性質，將面積比轉化為相似比，解題的關鍵是：熟練掌握反比例函數的幾何意義．
【詳解】解：過點、分別作軸，軸，垂足為、，
∴
∴
點在反比例函數上，點在上，
∴，，
又∵，
∴
，
，
∴，
∴，
故選：．
題型七：在坐標系中畫位似中心
【經典例題7】如圖，在平面直角坐標系中， AOB的頂點坐標分別為、、．

(1)畫出將 AOB向左平移3個單位，再向上平移1個單位后的；
(2)以原點為位似中心，位似比為，在軸的左側，畫出將放大后的；
(3)判斷 AOB與，能否是關于某一點為位似中心的位似圖形，若是，請直接寫出點的坐標．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)是，Q點的坐標為
【分析】（1）根據平移規律，畫圖即可．
（2）根據位似的性質，確定坐標，后畫圖即可．
（3）根據位似的性質，確定坐標，解答即可．
本題考查了平移作圖，位似作圖，待定系數法，熟練掌握作圖的基本步驟是解題的關鍵．
【詳解】（1）解：根據題意，的頂點坐標分別為、、．
將向左平移3個單位，再向上平移1個單位后的坐標分別為、、．畫圖如下：

則即為所求．
（2）解：由、、．以原點為位似中心，位似比為，在軸的左側，將放大后的坐標分別為、、．畫圖如下：

則即為所求．
（3）解：∵、、，、、．
∴直線為，
設直線的解析式為，
∴，
解得，
∴，
∴，
解得
故Q點的坐標為．
故與，是關于某一點為位似中心的位似圖形，且位似中心為Q點的坐標為．
【變式訓練7-1】在如圖的方格紙中，的頂點坐標分別為、、，與是關于點P為位似中心的位似圖形．
(1)在圖中標出位似中心P的位置；
(2)以原點O為位似中心，在位似中心的同側畫出的一個位似，使它與的位似比為；
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】本題考查作圖位似變換，解題的關鍵是掌握位似變換的性質：在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為，那么位似圖形對應點的坐標的比等于或．
（1）連接兩組對應點，并延長，延長線的交點即為位似中心；
（2）延長、，并使、，連接即可．
【詳解】（1）解：如圖1，點為所作；
（2）解：如圖2，為所作．
【變式訓練7-2】如圖，在平面直角坐標系中，四邊形與四邊形是位似圖形．位似中心的坐標是 ．
【答案】
【分析】本題考查了位似中心的定義：位似圖形的對應點的連線的交點即為位似中心，熟記定義是解題的關鍵．
連接兩組對應點，對應點的連線的交點即為位似中心．
【詳解】解：如圖，連接兩組點與以及與交于點，
點即為位似中心，．
故答案為：．
【變式訓練7-3】如圖，圖中的小方格都是邊長為1的正方形， ABC與是關于點O為位似中心的位似圖形，它們的頂點都在小正方形的頂點上．
(1)畫出位似中心點O；
(2)求出 ABC與的位似比．
【答案】(1)圖見解析；
(2)．
【分析】本題主要考查位似，相似三角形的性質，熟練掌握位似變換是解題的關鍵．
（1）對應點連線所在的直線的交點即為位似中心；
（2）求出，，即可得到位似比．
【詳解】（1）解：作圖如示．注：畫出任二條線并標出點O
（2）解：由題意得：，，
與的位似比．
【變式訓練7-4】已知， ABC在平面直角坐標系的位置如圖所示，點A，B，C的坐標分別為， ，． 與 ABC是以點 P 為位似中心的位似圖形．
(1)請寫出點P的坐標是 ．
(2)以點O為位似中心，在y軸左側畫出 ABC的位似圖形，使相似比為；
(3)若點為 ABC內一點，則點M在內的對應點的坐標為 ．
【答案】(1)
(2)見解析
(3)
【分析】本題考查位似變換，（1）利用位似圖形的性質得到位似中心的位置即可求解；
（2）根據點O為位似中心，相似比為作圖即可；
（3）利用位似圖形的性質求解即可．
【詳解】（1）解：如圖，連接、、，并延長相交于點P，
∴，
故答案為：；
（2）解：如圖，即為所求；
（3）解：由題意得，點M在內的對應點的坐標為，
故答案為：．
【變式訓練7-5】已知， ABC在平面直角坐標系的位置如圖所示，點，，的坐標分別為，，．與 ABC是以點為位似中心的位似圖形．
(1)寫出點的坐標__________；
(2)以點為位似中心，在軸左側畫出的位似圖形，使相似比為2∶1．
【答案】(1)
(2)作圖見解析
【分析】本題考查位似作圖，涉及圖形與坐標、找位似中心、作位似圖形等知識，熟記位似性質是解決問題的關鍵．
（1）連接對應點并延長，交點就是，在平面直角坐標系中直接寫出坐標即可得到答案；
（2）連接點與的三個頂點并延長，使，連接三個頂點即可得到．
【詳解】（1）解：如圖所示：
點的坐標；
（2）解：如圖所示：
即為所求．
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4.6&4.7相似多邊形和圖形的位似七大題型（一課一講）
【浙教版】
題型一：相似多邊形的性質
【經典例題1】如圖，梯形中，，E是上的一點，，并且將梯形分成的兩個梯形相似，若，求．

【變式訓練1-1】如圖在矩形中，，，、分別是、上的點，且，兩動點、都以2cm/s的速度分別從、兩點沿、向、兩點運動，判斷當、運動多長時間能使矩形與矩形相似，并證明你的結論．

【變式訓練1-2】如圖，在四邊形的邊上任取一點O（不與點A、B重合）連接、，分別取的中點、、、，連接、、，四邊形與四邊形相似嗎？為什么？

【變式訓練1-3】如圖，把一個矩形劃分成三個全等的小矩形．
(1)若原矩形的長，寬．問：每個小矩形與原矩形相似嗎？請說明理由．
(2)若原矩形的長，寬，且每個小矩形與原矩形相似，求矩形長與寬應滿足的關系式．
【變式訓練1-4】正方形ABCD中，E是AC上一點，EF⊥AB，EG⊥AD，AB=6，AE：EC=2：1．求四邊形AFEG的面積．
【變式訓練1-5】如圖，ABCD是邊長為1的正方形，在它的左側補一個矩形ABFE，使得新矩形CEFD與矩形ABEF相似，求BE的長．

【變式訓練1-6】如圖所示，四邊形四邊形，，，求和的長．
題型二：位似圖形的識別
【經典例題2】1．已知：，下列圖形中， ABC與不存在位似關系的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓練2-1】如圖，在正方形網格中， ABC的位似圖形可以是（ ）
A． BDE B． FDE C． D．
【變式訓練2-2】下面四個圖中， ABC均與相似，且對應點交于一點；則 ABC與成位似圖形有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【變式訓練2-3】下面四個圖中， ABC均與相似，且對應點交于一點；則 ABC與成位似圖形有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【變式訓練2-4】下圖所示的四種畫法中，能使得 ABC與是位似圖形的有（ ）
A．①②③④ B．①③④ C．①② D．③④
【變式訓練2-5】下列選項中的兩個相似圖形，不是位似圖形的是（ ）
A．B． C． D．
題型三：判定位似中心
【經典例題3】如圖，在平面直角坐標系中的兩個矩形和矩形是位似圖形，對應點和的坐標分別為，，則位似中心的坐標是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練3-1】如圖，點是等邊三角形的中心，、、分別是、、的中點，則與是位似三角形，此時與的位似比、位似中心分別是（ ）
A．2、點 B．、點 C．2、點 D．、點
【變式訓練3-2】如圖，正方形與正方形是位似圖形，已知，，，，求位似中心的坐標．
【變式訓練3-3】如圖，矩形的對角線與相交于點O，E，F，G，H分別是，，，的中點，那么矩形與四邊形是不是位似圖形？如果是，指出位似中心，并求出相似比；如果不是，請說明理由．
【變式訓練3-4】如圖，在邊長都是的小正方形組成的網格中，與是以點為位似中心的位似圖形，它們的頂點都在小正方形的頂點處．
(1)與的位似比是 ，請在圖中標出位似中心的位置；
(2)請以點為位似中心，并在點右側的網格中畫一個，使它與的相似比為．
【變式訓練3-5】如圖，在平面直角坐標系中， ABC的頂點坐標分別為，，，（每個方格的邊長均為1個單位長度）．

(1)作 ABC關于y軸的軸對稱圖形，請在平面直角坐標系中畫出，并填寫，的坐標．點的坐標為（______，______）；點的坐標為（______，______）．
(2)的頂點坐標分別為，，，若 ABC與是位似圖形，則位似中心的坐標為（______，______）
題型四：畫已知圖形放大（縮小）后的圖形
【經典例題4】如圖，在平面直角坐標系中，的頂點坐標分別為，，．
(1)畫出將向左平移2個單位，再向上平移1個單位后得到的；
(2)以原點O為位似中心，在y軸的右側畫出的一個位似，使它與的相似比為；
(3)判斷和是否是位似圖形(直接寫結果)，若是，請在圖中標出位似中心點M，并寫出點M的坐標．
【變式訓練4-1】如圖，O為原點，B，C兩點坐標分別為．
(1)以O為位似中心在y軸左側將放大兩倍，并畫出圖形；
(2)已知為內部一點，寫出M的對應點的坐標．
【變式訓練4-2】如圖，已知，，是直角坐標系平面上三點．
(1)以原點O為位似中心，將 ABC縮小為原來的一半，得到，請在所給的坐標系中作出所有滿足條件的圖形．
(2)把 ABC向右平移7個單位再向下平移1個單位，得到．畫出平移后的圖形，并利用網格作出高．
【變式訓練4-3】已知O是坐標原點，A、B的坐標分別為，．
(1)以原點O為位似中心，位似比為，在y軸的左側，畫出放大后的圖形；
(2)直接寫出點的坐標；若點在線段上，點D對應點的坐標為 ．
【變式訓練4-4】如圖所示，圖中的小方格都是邊長為的正方形， ABC與是以點為位似中心的位似圖形，它們的頂點都在小正方形的頂點上．
(1)畫出位似中心，并直接寫出 ABC與的相似比；
(2)以位似中心為旋轉中心，把按順時針方向旋轉得到，畫出．
【變式訓練4-5】如圖是由小正方形組成的網格，每個小正方形的頂點叫做格點．A，B，C三點是格點，點P在上，僅用無刻度的直尺在給定網格中完成畫圖．
(1)在圖（1）中，將線段沿的方向平移，使點與點重合，畫出平移后的線段，再將繞的中點順時針旋轉，得到，畫出線段；
(2)在圖（2）中，連接，將以點為位似中心縮小為原來的得到，畫出；
(3)在圖（3）中，在上畫一點，在上畫一點，使得最小．
題型五：求位似圖形對應的坐標
【經典例題5】如圖，在平面直角坐標系中，已知點、，以原點O為位似中心，相似比為2，把放大，則點A的對應點的坐標是（ ）
A． B． C．或 D．或
【變式訓練5-1】如圖，在平面直角坐標系中，已知點，的坐標分別為，，以點為位似中心，在原點的另一側按的相似比將縮小，則點的對應點的坐標是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練5-2】如圖，在四邊形中，，．先將四邊形以點為中心，按順時針方向旋轉，依次旋轉7次，再將得到的圖案以點為位似中心，按照的比例縮小，就得到了一個漂亮的花朵圖案．現以為原點，所在直線為軸建立平面直角坐標系，則圖中點的坐標為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練5-3】如圖，已知點，，以點為位似中心畫三角形，使它與位似，且相似比為，則點的對應點的坐標為 ．
【變式訓練5-4】如圖，，，以為位似中心，按比例尺把縮小，則點對應點的坐標為 ．

【變式訓練5-5】如圖，在平面直角坐標系中，等腰直角和 ABC是以原點O為位似中心的位似圖形，且位似比為，點，，C在上，則點坐標為 ．

題型六：求位似圖形的相似比、周長比、面積比
【經典例題6】已知在平面直角坐標系中的位置如圖所示：
(1)在圖中畫出 ABC沿x軸翻折后的；
(2)以點為位似中心，在第一象限畫出與位似的三角形，使與的相似比為；
(3)點的坐標___________； ABC與的周長比是___________， ABC與的面積比是___________．
【變式訓練6-1】在平面直角坐標系中， ABC與關于原點位似，點及其對應點的坐標分別為，，則 ABC與的相似比為 ．
【變式訓練6-2】如圖，四邊形與四邊形關于點成位似圖形．若四邊形與四邊形的位似比為，則四邊形與四邊形的周長比為 ．
【變式訓練6-3】在平面直角坐標系中， ABC與位似，位似中心是原點O．若對應點坐標分別為，，則 ABC與的面積比為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練6-4】如圖， ABC和是以點O為位似中心的位似圖形，點A在線段上，若，則 ABC和的面積之比為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練6-5】在平面直角坐標系中，將一塊直角三角板如圖放置，直角頂點與原點重合，頂點、恰好分別落在函數，的圖象上，則的值為（ ）
B． C． D．
題型七：在坐標系中畫位似中心
【經典例題7】如圖，在平面直角坐標系中， AOB的頂點坐標分別為、、．

(1)畫出將 AOB向左平移3個單位，再向上平移1個單位后的；
(2)以原點為位似中心，位似比為，在軸的左側，畫出將放大后的；
(3)判斷 AOB與，能否是關于某一點為位似中心的位似圖形，若是，請直接寫出點的坐標．
【變式訓練7-1】在如圖的方格紙中，的頂點坐標分別為、、，與是關于點P為位似中心的位似圖形．
(1)在圖中標出位似中心P的位置；
(2)以原點O為位似中心，在位似中心的同側畫出的一個位似，使它與的位似比為；
【變式訓練7-2】如圖，在平面直角坐標系中，四邊形與四邊形是位似圖形．位似中心的坐標是 ．
【變式訓練7-3】如圖，圖中的小方格都是邊長為1的正方形， ABC與是關于點O為位似中心的位似圖形，它們的頂點都在小正方形的頂點上．
(1)畫出位似中心點O；
(2)求出 ABC與的位似比．
【變式訓練7-4】已知， ABC在平面直角坐標系的位置如圖所示，點A，B，C的坐標分別為， ，． 與 ABC是以點 P 為位似中心的位似圖形．
(1)請寫出點P的坐標是 ．
(2)以點O為位似中心，在y軸左側畫出 ABC的位似圖形，使相似比為；
(3)若點為 ABC內一點，則點M在內的對應點的坐標為 ．
【變式訓練7-5】已知， ABC在平面直角坐標系的位置如圖所示，點，，的坐標分別為，，．與 ABC是以點為位似中心的位似圖形．
(1)寫出點的坐標__________；
(2)以點為位似中心，在軸左側畫出的位似圖形，使相似比為2∶1．
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