資源簡介

第一節(jié)　集合
課標(biāo)要求
1.理解元素與集合的屬于關(guān)系，能用自然語言、圖形語言、符號語言刻畫集合．
2．理解集合間的包含與相等關(guān)系，能識別給定集合的子集．
3．理解集合間的交、并、補(bǔ)的含義，能求兩個(gè)集合的并集與交集，能求給定子集的補(bǔ)集．
4．能使用Venn圖表達(dá)集合間的基本關(guān)系及基本運(yùn)算．
問題思考·夯實(shí)技能
【問題1】　若一個(gè)集合A有n個(gè)元素，則集合A有幾個(gè)子集，幾個(gè)真子集？
【問題2】　從A＝A可以得到集合A，B有什么關(guān)系？從A＝A可以得到集合A，B有什么關(guān)系？
`
關(guān)鍵能力·題型剖析
題型一 集合的含義與表示
例 1 (1)[2024·河北衡水模擬]已知集合A＝{(x，y)|xy＝1}，B＝{(x，y)|x∈Z，y∈Z}，則A有(　　)個(gè)真子集．
A．3　　　B．16　　　C．15　　　D．4
(2)已知集合A＝{1，a，b}，B＝{a2，a，ab}，若A＝B，則a2 023＋b2 024＝(　　)
A．－1 B．0 C．1 D．2
與集合中元素有關(guān)問題的求解策略
鞏固訓(xùn)練1
(1)已知集合A＝{1，a2＋4a，a－2}，－3∈A，則a＝(　　)
A．－1 B．－3
C．－3或－1 D．3
(2)已知集合A＝{0，2}，B＝{1，2，3}，C＝{ab|a∈A，b∈B}，則集合C中元素的個(gè)數(shù)為(　　)
A．6 B．5 C．4 D．3
題型二 集合間的基本關(guān)系
例 2 (1)設(shè)M＝，N＝{x，k∈Z}，則(　　)
A．M?N　　　　　B．N?M
C．M＝N D．M＝
(2)已知全集為R，集合A＝{x|0<2x＋a≤3}，B＝，若A＝A，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【變式練習(xí)】　若把例2(2)中的“A＝A”改為“B A”，其他條件不變，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
判斷集合間關(guān)系的常用方法
鞏固訓(xùn)練2
(1)若集合A滿足{1，2} A?{1，2，3，4，5}，則集合A所有可能的情形有(　　)
A．3種 　B．5種 C．7種 　D．9種
(2)[2023·新課標(biāo)Ⅱ卷]設(shè)集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A B，則a＝(　　)
A．2　 　 B．1 C．　 　 D．－1
題型三 集合的基本運(yùn)算
角度一　集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算
例 3 (1)[2023·新課標(biāo)Ⅰ卷]已知集合M＝{－2，－1，0，1，2}，N＝{x|x2－x－6≥0}，則M＝(　　)
A．{－2，－1，0，1} B．{0，1，2}
C．{－2} D．{2}
(2)[2024·石家莊模擬]已知集合A＝{x|y＝}，B＝{x||x－2|<1}，則A＝(　　)
A．(－3，＋∞) B．[－3，＋∞)
C．(－3，3) D．[－3，3)
集合基本運(yùn)算的求解策略
鞏固訓(xùn)練3
(1)[2024·安徽合肥模擬]若集合M＝{x|x2＋3x－4≤0}，N＝{x|x>－3}，則M＝(　　)
A．(－3，1] B．(－3，4]
C．[－4，＋∞) D．[－1，＋∞)
(2)[2024·河北張家口模擬]已知R為實(shí)數(shù)集，全集U＝R，集合A＝{x||x－1|<2}，B＝{x|x≥1}，則 U(A＝(　　)
A．{x|－1≤x<2} B．{x|x≤1或x>3}
C．{x|1≤x<3} D．{x|x<1或x≥3}
角度二　利用集合的運(yùn)算求參數(shù)
例 4 已知集合A＝{x∈N|3x2－13x＋4<0}，B＝{x|ax－1≥0}．
若A∩( RB)≠ ，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
利用集合的運(yùn)算求參數(shù)的方法
鞏固訓(xùn)練4　[2024·九省聯(lián)考]已知集合A＝{－2，0，2，4}，B＝{x||x－3|≤m}，若A＝A，則m的最小值為________．
隨堂檢測
1.[2023·全國乙卷]設(shè)全集U＝{0，1，2，4，6，8}，集合M＝{0，4，6}，N＝{0，1，6}，則M∪ UN＝(　　)
A．{0，2，4，6，8} B．{0，1，4，6，8}
C．{1，2，4，6，8} D．U
2．[2023·全國甲卷]設(shè)集合A＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，B＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，U為整數(shù)集， U(A＝(　　)
A．{x|x＝3k，k∈Z} B．{x|x＝3k－1，k∈Z}
C．{x|x＝3k－2，k∈Z} D．
3．[2022·新高考Ⅰ卷]若集合M＝{x|<4}，N＝{x|3x≥1}，則M＝(　　)
A．{x|0≤x<2} B．
C．{x|3≤x<16} D．
4．[2022·新高考Ⅱ卷]已知集合A＝{－1，1，2，4}，B＝{x||x－1|≤1}，則A＝(　　)
A．{－1，2} B．{1，2}
C．{1，4} D．{－1，4}
5．若集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|5≤x≤16}，則能使A B成立的所有a組成的集合為(　　)
A．{a|2≤a≤7} B．{a|6≤a≤7}
C．{a|a≤7} D．{a|a<6}
課后定時(shí)檢測案1　集合
一、單項(xiàng)選擇題
1．[2024·河南開封模擬]已知集合A＝{－1，0，1}，B＝{x|x＝ab，a，b∈A}，則集合B的真子集個(gè)數(shù)是(　　)
A．3 B．4
C．7 D．8
2．[2024·河北保定模擬]已知集合A＝{x|x2－4x＋3≤0}，B＝{－1，0，1，2，3}，則A∩B＝(　　)
A．{－1，0，1，2} B．{2，3}
C．{0，1，2} D．{1，2，3}
3．[2024·河南新鄉(xiāng)模擬]已知集合A＝{4，x，2y}，B＝{－2，x2，1－y}，若A＝B，則實(shí)數(shù)x的取值集合為(　　)
A．{－1，0，2} B．{－2，2}
C．{－1，0，2} D．{－2，1，2}
4．[2023·安徽合肥模擬]設(shè)集合M＝{x|x＝＋，n∈Z}，N＝{x|x＝，n∈Z}，則 NM＝(　　)
A． B．{x|x＝，n∈Z}
C．{x|x＝，n∈Z} D．{x|x＝2n，n∈Z}
5．[2024·福建寧德模擬]已知集合A＝{x|x2≤1}，集合B＝{x|x∈Z且x－1∈A}，則B＝(　　)
A．{－1，0，1} B．{0，1，2}
C．{－2，－1，0} D．{－2，－1，0，1，2}
6．[2024·江西萍鄉(xiāng)模擬]已知全集U＝R，集合A＝{x|x≥2或x≤－3}，B＝{x|0≤x≤4}，則Venn圖中陰影部分表示的集合為(　　)
A.[0，2) B．[0，3)
C．(2，4] D．(3，4]
7．[2024·重慶模擬]已知集合A＝{1，3，}，B＝{1，m}，A∩B＝{1，m}，則m＝(　　)
A．0或 B．0或3
C．1或3 D．1或3或0
8．已知集合A＝{x∈Z|x2＋x－2<0}，B＝{－1，2}，那么A∪B＝(　　)
A．{－1，0，1，2} B．{－1，0，2}
C．{－1，2} D．{－1}
9．(素養(yǎng)提升)已知集合A＝{x|x＝＋，a∈Z}，B＝{x|x＝－，b∈Z}，C＝{x|x＝c＋，c∈Z}，則A，B，C之間的關(guān)系正確的是(　　)
A．A＝B C B．A＝B C
C．A＝B＝C D．A B＝C
10．(素養(yǎng)提升)[2024·山東青島模擬]已知全集U＝R，集合A，B滿足A (A∩B)，則下列關(guān)系一定正確的是(　　)
A．A＝B B．B A
C．A∩( UB)＝ D．( UA)∩B＝
二、多項(xiàng)選擇題
11．已知集合M＝{x|6x2－5x＋1＝0}，集合P＝{x|ax＝1}，若M∩P＝P，則實(shí)數(shù)a的取值可能為(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
12．(素養(yǎng)提升)若非空集合M，N，P滿足：M∩N＝N，M∪P＝P，則(　　)
A．P M B．M∩P＝M
C．N∪P＝P D．M∩( PN)＝
三、填空題
13．[2024·天津武清模擬]已知全集U＝{1，2，3，5，7，8}，集合A＝{1，2，3}，集合B＝{3，5}，則A∩( UB)＝________．
14．(素養(yǎng)提升)[2024·福建廈門模擬]設(shè)集合A＝{x|1≤x≤3}，集合B＝{x|y＝}，若ACB，寫出一個(gè)符合條件的集合C＝__________．
四、解答題
15．已知集合A＝{x|3如果A∩B≠ ，求a的取值范圍．
?優(yōu)生選做題?
16．設(shè)A1，A2，A3，…，A7是均含有2個(gè)元素的集合，且A1∩A7＝ ，Ai∩Ai＋1＝ (i＝1，2，3，…，6)，記B＝A1∪A2∪A3∪…∪A7，則B中元素個(gè)數(shù)的最小值是(　　)
A．5 B．6
C．7 D．8
17．已知集合A＝{x|x2－9>0}，B＝{x∈Z|x2－8x＋a<0}，若集合A∩B一共有4個(gè)子集．
(1)求A∩B.(直接寫答案)
(2)求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
狀元筆記 集合的新定義問題
【典例1】　對于數(shù)集A，B，定義A＋B＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，A÷B＝{x|x＝，a∈A，b∈B}，若集合A＝{1，2}，則集合(A＋A)÷A中所有元素之和為(　　)
A． B．
C． D．
[解析]　根據(jù)新定義，數(shù)集A，B，定義A＋B＝，A÷B＝{x|x＝，a∈A，b∈B}，集合A＝{1，2}，(A＋A)＝{2，3，4}，(A＋A)÷A＝{1，2，3，4，1.5}，則可知所有元素的和為11.5.
[答案]　D
【典例2】　(多選)若對任意x∈A，∈A，則稱A為“影子關(guān)系”集合，下列集合為“影子關(guān)系”集合的是(　　)
A．{－1，1} B．
C． D．{x|x>0}
[解析]　根據(jù)“影子關(guān)系”集合的定義，
可知{－1，1}，，{x|x>0}為“影子關(guān)系”集合，
由{x|x2>1}，得{x|x<－1或x>1}，當(dāng)x＝2時(shí)， {x|x2>1}，故不是“影子關(guān)系”集合．
[答案]　ABD
【典例3】　設(shè)Sn＝{a|a＝(a1，a2，…，an)，ai∈{0，1}，i＝1，2，…，n}(n∈N*，n≥2)，a＝(a1，a2，…，an)∈Sn，定義a的差分運(yùn)算為D(a)＝(|a2－a1|，|a3－a2|，…，|an－an－1|)∈Sn－1.用Dm(a)表示對a進(jìn)行m(m∈N*，m≤n)次差分運(yùn)算，顯然，Dm(a)是一個(gè)(n－m)維數(shù)組．稱滿足Dm(a)＝(0，0，…，0)的最小正整數(shù)m的值為a的深度．若這樣的正整數(shù)m不存在，則稱a的深度為n.
(1)已知a＝(0，1，1，1，0，1，1，1)∈S8，則a的深度為__________．
(2)Sn中深度為d(d∈N*，d≤n)的數(shù)組個(gè)數(shù)為__________．
[解析]　(1)因?yàn)閍＝(0，1，1，1，0，1，1，1)∈S8，
則D(a)＝(1，0，0，1，1，0，0)，D2(a)＝(1，0，1，0，1，0)，D3(a)＝(1，1，1，1，1)，D4(a)＝(0，0，0，0)．
(2)易知Sm中僅有一組(0，0，0，…，0)，
Sm＋1中深度d＝1的數(shù)組僅1組(1，1，1，…，1)，
Sm＋2中深度d＝2的數(shù)組僅2組，
Sm＋3中深度d＝3的數(shù)組僅4組，
…，
Sm＋k中深度d＝k的數(shù)組僅2k－1組，
…，
所以Sn中深度為d的數(shù)組僅有2d－1組．
[答案]　(1)4　(2)2d－1
解決集合的新定義問題的關(guān)鍵
(1)緊扣新定義：首先分析新定義的特點(diǎn)，把新定義所敘述的問題的本質(zhì)弄清楚，并能夠應(yīng)用到具體的解題過程中，這是破解新定義集合問題的關(guān)鍵所在．
(2)用好集合的性質(zhì)：解題時(shí)要善于從試題中發(fā)現(xiàn)可以使用集合性質(zhì)的一些因素，在關(guān)鍵之處用好集合的性質(zhì)．
第一節(jié)　集合
問題思考·夯實(shí)技能
【問題1】　提示：一個(gè)集合A有n個(gè)元素，則集合A有2n個(gè)子集，2n－1個(gè)真子集．
【問題2】　提示：A＝A A B，A＝A B A.
關(guān)鍵能力·題型剖析
例1　解析：(1)A＝{(x，y)|xy＝1}，B＝{(x，y)|x∈Z，y∈Z}，則A＝{(1，1)，(－1，－1)}，真子集個(gè)數(shù)為22－1＝3.
(2)由題意A＝B可知，兩集合元素全部相等，得到或，又根據(jù)集合元素的互異性，可知a≠1，解得a＝1(舍)，和(舍)，所以a＝－1，b＝0，則a2 023＋b2 024＝(－1)2 023＋02 024＝－1.
答案：(1)A　(2)A
鞏固訓(xùn)練1　解析：(1)∵－3∈A，∴－3＝a2＋4a或－3＝a－2，
若－3＝a2＋4a，解得a＝－1或a＝－3，
當(dāng)a＝－1時(shí)，a2＋4a＝a－2＝－3，不滿足集合中元素的互異性，故舍去；
當(dāng)a＝－3時(shí)，集合A＝{1，－3，－5}，滿足題意，故a＝－3成立，
若－3＝a－2，解得a＝－1，由上述討論可知，不滿足題意，故舍去，
綜上所述，a＝－3.
(2)因?yàn)锳＝{0，2}，a∈A，b∈B，所以ab＝0或ab＝2或ab＝4或ab＝6，
故C＝{ab|a∈A，b∈B}＝{0，2，4，6}，即集合C中含有4個(gè)元素．
答案：(1)B　(2)C
例2　解析：(1)因?yàn)閤＝k＋＝(2k＋1)，k∈Z，
所以集合N是由所有奇數(shù)的一半組成，
而集合M是由所有整數(shù)的一半組成，故N?M.
(2)若A＝A，則A B，
∵A＝{x|0<2x＋a≤3}＝，B＝，
∴，解得－1∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－1，1].
答案：(1)B　(2)見解析
變式練習(xí)　解析：∵B A，
∴，解得a≤－1或a≥1.
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，－1]
鞏固訓(xùn)練2　解析：(1)由{1，2} A?{1，2，3，4，5}，可知集合A必有元素1，2，即至少有兩個(gè)元素，至多有四個(gè)元素，
依次有以下可能：{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}七種可能．
(2)依題意，有a－2＝0或2a－2＝0.當(dāng)a－2＝0時(shí)，解得a＝2，此時(shí)A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不滿足A B；當(dāng)2a－2＝0時(shí)，解得a＝1，此時(shí)A＝{0，－1}，B＝{－1，0，1}，滿足A B.所以a＝1，故選B.
答案：(1)C　(2)B
例3　解析：(1)方法一　因?yàn)镹＝{x|x2－x－6≥0}＝{x|x≥3或x≤－2}，所以M＝{－2}，故選C.
方法二　由于1 N，所以1 M排除A，B；由于2 N，所以2 M排除D.故選C.
(2)因?yàn)锳＝{x|y＝}＝{x|x＋3≥0}＝{x|x≥－3}，
B＝{x||x－2|<1}＝{x|－1因此，A＝[－3，＋∞)．
答案：(1)C　(2)B
鞏固訓(xùn)練3　解析：(1)M＝{x|－4≤x≤1}，N＝{x|x>－3}，＝{x|x≥－4}．
(2)A＝{x|－1 U(A＝{x|x<1或x≥3}．
答案：(1)C　(2)D
例4　解析：由題意得，A＝＝{1，2，3}．
當(dāng)a＝0時(shí)，B＝ ， RB＝R，∴A∩( RB)＝A≠ ，滿足題意；
當(dāng)a>0時(shí)，B＝， RB＝，
要使A∩( RB)≠ ，則>1，解得0當(dāng)a<0時(shí)，B＝， RB＝.
此時(shí)A∩( RB)＝A≠ ，滿足題意，
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為(－∞，1)．
鞏固訓(xùn)練4　解析：由A＝A，故A B，
由≤m，得－m＋3≤x≤m＋3，
故有，解得，即m≥5，
即m的最小值為5.
答案：5
隨堂檢測
1．解析：由題意知， UN＝{2，4，8}，所以M∪ UN＝{0，2，4，6，8}．故選A.
答案：A
2．解析：因?yàn)檎麛?shù)集，k∈Z}＝3k＋1，k∈Z}＝3k＋2，k∈Z}，U＝Z，所以 U(A＝{x|x＝3k，k∈Z}．
答案：A
3．解析：由＜4，得0≤x＜16，即M＝{x|0≤x＜16}．易得N＝，所以M＝.故選D.
答案：D
4．解析：通過解不等式可得集合B＝{x|0≤x≤2}，則A＝{1，2}．故選B.
答案：B
5．解析：當(dāng)A＝ 時(shí)，即2a＋1>3a－5，a<6時(shí)成立；
當(dāng)A≠ 時(shí)，滿足，解得6≤a≤7；
綜上所述：a≤7.
答案：C
課后定時(shí)檢測案1　集合
1．解析：由題意得B＝{－1，0，1}，所以集合B的真子集個(gè)數(shù)為23－1＝7.故選C.
答案：C
2．解析：因?yàn)锳＝{x|x2－4x＋3≤0}＝{x|1≤x≤3}，所以A∩B＝{1，2，3}．故選D.
答案：D
3．解析：因?yàn)锳＝B，所以－2∈A.
當(dāng)x＝－2時(shí)，2y＝1－y，得y＝；
當(dāng)2y＝－2時(shí)，則x＝2.
故實(shí)數(shù)x的取值集合為{－2，2}．故選B.
答案：B
4．解析：由題意可知，x＝＋＝＝(2n＋1)×，n∈Z，可知集合M表示的是的奇數(shù)倍，
而由x＝，n∈Z可知，集合N表示的是的整數(shù)倍，
即N＝M∪{x|x＝，n∈Z}， NM＝{x|x＝＝，n∈Z}．故選B.
答案：B
5．解析：因?yàn)锳＝{x|x2≤1}＝{x|－1≤x≤1}，
B＝{x|x∈Z且x－1∈A}，
所以B＝{0，1，2}．故選B.
答案：B
6．解析：集合A＝{x|x≥2或x≤－3}，故 UA＝{x|－3由Venn圖可知陰影部分表示的集合為( UA)∩B＝{x|0≤x<2}＝[0，2).故選A.
答案：A
7．解析：∵集合A＝{1，3，}，B＝{1，m}，且A∩B＝{1，m}，
∴B A，
∴m＝3或m＝，
解得m＝3或m＝0或m＝1，
由元素的互異性得m＝1不合題意，舍去，
則m＝3或0.故選B.
答案：B
8．解析：x2＋x－2<0，即(x－1)(x＋2)<0，得－2所以A＝{－1，0}，B＝{－1，2}，
所以A∪B＝{－1，0，2}．故選B.
答案：B
9．解析：由題意知A＝{x|x＝＋，a∈Z}＝{x|x＝，a∈Z}，B＝{x|x＝－，b∈Z}＝{x|x＝，b∈Z}，C＝{x|x＝c＋，c∈Z}＝{x|x＝，c∈Z}，
由此可知集合A，B表示被3除余1的數(shù)再除以6的數(shù)的集合，集合C表示被6除余1的數(shù)再除以6的數(shù)的集合，故A＝B C.故選A.
答案：A
10．解析：因?yàn)榧螦，B滿足A (A∩B)，故可得A B，
對A：當(dāng)A為B的真子集時(shí)，不成立；
對B：當(dāng)A為B的真子集時(shí)，也不成立；
對C：A∩( UB)＝ ，恒成立；
對D：當(dāng)A為B的真子集時(shí)，不成立．故選C.
答案：C
11．解析：由6x2－5x＋1＝0得(2x－1)(3x－1)＝0，解得x＝或x＝，故M＝{，}，
因?yàn)镸∩P＝P，所以P M，
當(dāng)P＝ 時(shí)，得a＝0，滿足題意；
當(dāng)P≠ 時(shí)，得a≠0，則P＝{x|ax＝1}＝{x|x＝}，
所以＝或＝，得a＝2或a＝3；
綜上a＝0或a＝2或a＝3.故選ACD.
答案：ACD
12．解析：由M∩N＝N可得N M，由M∪P＝P，可得M P，則推不出P M，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；由M P可得M∩P＝M，故選項(xiàng)B正確；因?yàn)镹 M且M P，所以N P，則N∪P＝P，故選項(xiàng)C正確；由N M可得：M∩( PN)不一定為空集，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選BC.
答案：BC
13．解析：因?yàn)槿疷＝{1，2，3，5，7，8}，集合A＝{1，2，3}，集合B＝{3，5}，所以 UB＝{1，2，7，8}，所以A∩( UB)＝{1，2}．
答案：{1，2}
14．解析：A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x≥1}，故若A?C?B，則可有C＝[1，4].
答案：[1，4](答案不唯一)
15．解析：因?yàn)榧螦＝{x|3所以a>3，
即a的取值范圍為(3，＋∞).
16．解析：設(shè)x1，x2，…，xn(n≥4)是集合B互不相同的元素，若n＝3，則A1∩A2≠ ，不合乎題意．
①假設(shè)集合B中含有4個(gè)元素，可設(shè)A1＝{x1，x2}，則A2＝A4＝A6＝{x3，x4}，A3＝A5＝A7＝{x1，x2}，這與A1∩A7＝ 矛盾；
②假設(shè)集合B中含有5個(gè)元素，可設(shè)A1＝A6＝{x1，x2}，A2＝A7＝{x3，x4}，A3＝{x5，x1}，A4＝{x2，x3}，A5＝{x4，x5}，滿足題意．
綜上所述，集合B中元素個(gè)數(shù)最少為5.故選A.
答案：A
17．解析：(1)因?yàn)榧螦∩B一共有4個(gè)子集，故A∩B共有2個(gè)元素．
故B≠ 且B＝{x∈Z|4－故4∈B，而A∩B共有2個(gè)元素．
故4∈B，5∈B，6 B，故A∩B＝{4，5}．
(2)由(1)可得，
故a的取值范圍為[12，15).

展開更多......

收起↑