資源簡介

第二節　常用邏輯用語
課標要求
1.理解充分條件、必要條件、充要條件的意義．
2．理解判定定理與充分條件，性質定理與必要條件，數學定義與充要條件的關系．
3．理解全稱量詞和存在量詞的意義，能正確對兩種命題進行否定．
問題思考·夯實技能
【問題1】　充分條件與必要條件的兩個特征是什么？
【問題2】　如何判斷全稱量詞命題與存在量詞命題的真假？
關鍵能力·題型剖析
題型一 充分條件、必要條件的判斷
例 1 (1)[2023·全國甲卷] “sin2α＋sin2β＝1”是“sinα＋cos β＝0”的(　　)
A．充分條件但不是必要條件
B．必要條件但不是充分條件
C．充要條件
D．既不是充分條件也不是必要條件
(2)[2024·重慶萬州模擬]下列四個條件中，是“xA．x2C．xz2 024充分、必要條件的兩種常用判斷方法
鞏固訓練1
(1)[2024·安徽蚌埠模擬]若a，b∈R且ab≠0，則“<1”是“aA．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
(2)a<0，b<0的一個必要條件是(　　)
A．a＋b<0
B．ab>2
C．a－b>0
D．a2－b2<0
題型二 充分條件、必要條件的應用
例2 已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}，若x∈P是x∈S的必要條件，則m的取值范圍為________．
【變式練習】　本例中，若把“x∈P是x∈S的必要條件”改為“x∈P是x∈S的充分不必要條件”，求m的取值范圍．
本例涉及參數問題，直接解決較為困難，先用等價轉化思想，將復雜、生疏的問題化歸為簡單、熟悉的問題來解決．一般地，在涉及字母參數的取值范圍的充要關系問題中，常常要利用集合的包含、相等關系來考慮，這是破解此類問題的關鍵．
鞏固訓練2
已知p：關于x的方程x2－2ax＋a2＋a－2＝0有實數根，q：m－1≤a≤m＋3.
若p是q的必要不充分條件，求實數m的取值范圍.
題型三 全稱量詞與存在量詞
角度一　含有量詞命題的否定
例 3 (1)[2024·河北石家莊模擬]已知命題p： x∈R，tan x<π或ex＋2≥π，則命題p的否定為(　　)
A． x∈R，tan x≥π或ex＋2<π
B． x∈R，tan x<π且ex＋2≥π
C． x∈R，tan x<π且ex＋2≥π
D． x∈R，tan x≥π且ex＋2<π
(2)已知命題p： x≥0，ex≥x2＋1，則命題p的否定為(　　)
A． x≥0，exB． x<0，exC． x≥0，exD． x<0，ex對一個全稱量詞命題或存在量詞命題進行否定時，要把命題的兩個地方進行改變，一是量詞符號要改變，二是結論要進行否定，即“改變量詞，否定結論”．
鞏固訓練3
(1)[2024·廣東深圳模擬]命題“ a∈N*，2a≥a2”的否定是(　　)
A． a∈N*，2a≥a2
B． a∈N*，2aC． a∈N*，2aD． a∈N*，2a>a2
(2)命題：－x0－1≤0的否定是(　　)
－x0－1>0
B． x≤0，x2－x－1>0
－x0－1<0
D． x>0，x2－x－1>0
角度二　含有量詞命題的應用
例 4 [2024·河北衡水二中模擬]設命題p： x∈(，2)，x＋>a，若 p是假命題，則實數a的取值范圍是________．
與全稱量詞命題或存在量詞命題真假有關的參數取值范圍問題的本質是恒成立問題或有解問題．解決此類問題時，一般先利用等價轉化思想將條件合理轉化，得到關于參數的方程或不等式(組)，再通過解方程或不等式(組)求出參數的值或取值范圍．
鞏固訓練4
[2024·山東濟南歷城二中模擬]已知命題“p： x∈R，ax2－ax≥1”，若 p是真命題，則實數a的取值范圍是________．
隨堂檢測
1.[2024·海南海口模擬]命題“ x∈(－1，3)，x2－1≤2x”的否定是(　　)
A． x∈(－1，3)，x2－1≤2x
B． x∈(－1，3)，x2－1>2x
C． x∈(－1，3)，x2－1>2x
D． x (－1，3)，x2－1>2x
2．[2024·河北石家莊模擬]“a＋1>b－2”是“a>b”的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
3．[2024·安徽蕪湖模擬]“lg a>lg b”是“a2>b2”的(　　)
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
4．使≥1成立的一個充分不必要條件是(　　)
A．1C．x<2 D．05．[2024·河南焦作模擬]若命題：“ x0∈R，使－mx0＋1≤0”是假命題，則實數m的取值范圍為________．
課后定時檢測案2　常用邏輯用語
一、單項選擇題
1．命題“所有能被4整除的整數都是偶數”的否定是(　　)
A．所有不能被4整除的整數都是偶數
B．所有能被4整除的整數都不是偶數
C．存在一個不能被4整除的整數是偶數
D．存在一個能被4整除的整數不是偶數
2．命題“存在兩個不同的無理數a，b，使得a＋b是無理數”的否定為(　　)
A．存在兩個相同的無理數a，b，使得a＋b是有理數
B．存在兩個相同的有理數a，b，使得a＋b是有理數
C．任意兩個不同的無理數a，b，都有a＋b是無理數
D．任意兩個不同的無理數a，b，都有a＋b是有理數
3．[2024·湖北武漢模擬]已知p：ab≤1，q：a＋b≤2，則p是q的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
4．已知命題p的否定為“ x∈R，x2＋1≤1”，則下列說法中正確的是(　　)
A．命題p為“ x∈R，x2＋1>1”且為真命題
B．命題p為“ x R，x2＋1>1”且為假命題
C．命題p為“ x∈R，x2＋1>1”且為假命題
D．命題p為“ x∈R，x2＋1≥1”且為真命題
5．[2024·重慶模擬]若p是q的必要不充分條件，q的充要條件是r，則r是p的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
6．[2024·安徽安慶模擬]命題p： x∈R，>0，則 p為(　　)
A． x∈R，≤0 B． x∈R，≤0
C． x∈R，>0 D． x∈R，x≤0
7．[2024·江蘇蘇州模擬]“a＋b>4”是“a>2且b>2”的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
8．“≤”成立的一個充分不必要條件是(　　)
A．x≤y B．0≤x≤y
C．1≤x≤y D．x≤y≤1
9．(素養提升)[2024·河北邯鄲模擬]在等差數列{an}中，“a2＋a5＝a3＋am”是“m＝4”的(　　)
A．必要不充分條件
B．充分不必要條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
10．(素養提升)[2024·廣東深圳模擬]“a≥”是“圓C1：x2＋y2＝1與圓C2：(x＋a)2＋(y－2a)2＝36存在公切線”的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
二、多項選擇題
11．已知條件p：x2＋x－6＝0；條件q：ax＋1＝0(a≠0).若p是q的必要條件，則實數a的值可以是(　　)
A．　　　B． C．－　　　D．－
12．(素養提升)[2024·廣東廣州模擬]下列選項正確的有(　　)
A．命題“ x>1，x2＋2x－3<0”的否定是：“ x>1，x2＋2x－3≥0”
B．命題“ x>1，x2＋2x－3<0”的否定是：“ x≤1，x2＋2x－3≥0”
C．α＝＋2kπ(k∈Z)是sin α＝的充分不必要條件
D．sin α＝是α＝＋2kπ(k∈Z)的必要不充分條件
三、填空題
13．[2024·江蘇天一中學模擬]設A，B，C，D是四個命題，A是B的必要不充分條件，A是C的充分不必要條件，D是B的充分必要條件，那么D是C的______條件．(充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要四選一)
14．若“－1≤x<3”是“x四、解答題
15．已知“ x∈R，ax2＋1<0”為假命題，求實數a的取值范圍．
?優生選做題?
16．[2024·安徽滁州模擬]函數f(x)＝xa－2與g(x)＝()－x在(0，＋∞)上均單調遞減的一個充分不必要條件是(　　)
A．a∈(0，2) B．a∈[0，1)
C．a∈[1，2) D．a∈(1，2]
17．不等式2kx2＋kx－<0對一切實數x恒成立的k的取值集合為A，集合B＝{x|x2－mx－3<0}．
(1)求集合A；
(2)若________，求實數m的取值范圍．
在①“x∈A”是“x∈B”的充分條件；②“x∈ RA”是“x∈ RB”的必要條件這兩個條件中任選一個補充在第(2)問中，并給出解答．
注：如果選擇多個條件分別作答，則按第一種解答情況給分．
第二節　常用邏輯用語
問題思考·夯實技能
【問題1】　提示：(1)對稱性：若p是q的充分條件，則q是p的必要條件，即“p q” “q p”．
(2)傳遞性：若p是q的充分(必要)條件，q是r的充分(必要)條件，則p是r的充分(必要)條件，即“p q且q r” “p r”(“p q且q r” “p r”)．
【問題2】　提示：(1)全稱量詞命題的真假判斷：要判斷一個全稱量詞命題是真命題，必須對限定集合M中的每一個元素x，驗證p(x)成立；但要判斷一個全稱量詞命題是假命題，只需列舉出一個x∈M，使得p(x)不成立即可．
(2)存在量詞命題的真假判斷：要判斷一個存在量詞命題是真命題，只要在限定集合M中，能找到一個x，使得p(x)成立即可；否則這一命題就是假命題．
關鍵能力·題型剖析
例1　解析：(1)當sin2α＋sin2β＝1時，例如α＝，β＝0但sinα＋cos β≠0，
即sin2α＋sin2β＝1推不出sinα＋cos β＝0；
當sin α＋cos β＝0時，sin2α＋sin2β＝(－cosβ)2＋sin2β＝1，
即sinα＋cos β＝0能推出sin2α＋sin2β＝1.
綜上可知，sin2α＋sin2β＝1是sinα＋cos β＝0成立的必要不充分條件．
(2)若x2y，此時x0，此時x答案：(1)B　(2)C
鞏固訓練1　解析：(1)若a＝1，b＝－1，滿足<1，此時a>b，排除充分性，若a＝－2，b＝－1，滿足a1，排除必要性．故選D.
(2)因為a<0，b<0，所以a＋b<0，所以a＋b<0是a<0，b<0的一個必要條件，
若a＝－1，b＝－1，不能得到ab>2，a－b>0，a2－b2<0.
答案：(1)D　(2)A
例2　解析：由x2－8x－20≤0得－2≤x≤10.
∴P＝{x|－2≤x≤10}，
由x∈P是x∈S的必要條件，知S P.
又∵S≠ ，如圖所示，
則∴0≤m≤3.
∴當0≤m≤3時，x∈P是x∈S的必要條件，即所求m的取值范圍是[0，3].
答案：[0，3]
變式練習　解析：∵x∈P是x∈S的充分不必要條件，
∴P?S，
則或
解得m≥9，
故m的取值范圍是[9，＋∞)．
鞏固訓練2　解析：由題意Δ＝4a2－4(a2＋a－2)＝－4a＋8≥0，解得a≤2.
所以{a|m－1≤a≤m＋3}?{a|a≤2}，則m＋3≤2，解得m≤－1，所以實數m的取值范圍是{m|m≤－1}．
例3　解析：(1)根據全稱量詞命題與存在量詞命題的關系，因為命題p： x∈R，tan x<π或ex＋2≥π是存在量詞命題，所以命題p的否定為 x∈R，tan x≥π且ex＋2<π.
(2)已知命題p： x≥0，ex≥x2＋1，則命題p的否定為： x≥0，ex答案：(1)D　(2)C
鞏固訓練3　解析：(1)“ a∈N*，2a≥a2”是全稱量詞命題，它的否定是存在量詞命題“ a∈N*，2a(2)由題意可得命題“－x0－1≤0”的否定是“ x>0，x2－x－1>0”．
答案：(1)B　(2)D
例4　解析： p是假命題，故p是真命題；
又當x∈(，2)時，y＝x＋單調遞增，其值域為(2，3)，
若滿足題意，則2≥a，即a的取值范圍為(－∞，2].
答案：(－∞，2]
鞏固訓練4　解析：命題“ p： x∈R，ax2－ax<1”為真命題，則ax2－ax－1<0恒成立．
當a＝0時，－1<0恒成立，
，解得－4綜上－4答案：(－4，0]
隨堂檢測
1．解析：∵命題“ x∈(－1，3)，x2－1≤2x”是存在量詞命題，∴它的否定是“ x∈(－1，3)，x2－1>2x”．
答案：C
2．解析：a＋1>b－2 a>b－3，
所以，
所以“a＋1>b－2”是“a>b”的必要不充分條件．
答案：B
3．解析：lg a>lg b a>b>0 a2>b2，由a2>b2 |a|>|b|，不能得到a>b>0，也得不到lg a>lg b，
所以lg a>lg b是a2>b2的充分不必要條件．
答案：A
4．解析：由≥1得0答案：B
5．解析：由題意可知命題“ x∈R，mx2－mx＋1>0”是真命題，
①當m＝0時，結論顯然成立；
②當m≠0時，則，解得0答案：[0，4)
課后定時檢測案2　常用邏輯用語
1．解析：全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，且只否定結論，所以“所有能被4整除的整數都是偶數”的否定是“存在一個能被4整除的整數不是偶數”．故選D.
答案：D
2．解析：“存在兩個不同的無理數a，b，使得a＋b是無理數”的否定為“任意兩個不同的無理數a，b，都有a＋b是有理數”．故選D.
答案：D
3．解析：當a＝－1，b＝4時，p不能推出q；
當a＝－2，b＝－2時，q不能推出p，
所以p是q的既不充分也不必要條件．故選D.
答案：D
4．解析：∵命題p的否定為存在量詞命題，
∴p： x∈R，x2＋1>1，排除AD；
∵當x＝0時，x2＋1＝1，
∴p為假命題，排除B.故選C.
答案：C
5．解析：p是q的必要不充分條件，q的充要條件是r，則有q p，p q，q r，則r q p，又由p q，可得p r，則r是p的充分不必要條件．故選A.
答案：A
6．解析：由題意，命題p：“ x∈R，>0”可化為命題p：“ x∈R，x>0”．根據全稱量詞命題與存在量詞命題的關系得，命題p：“ x∈R，x>0”的否定 p：“ x∈R，x≤0”．故選D.
答案：D
7．解析：當a＝1，b＝4，此時滿足a＋b>4，但a>2且b>2不成立，所以充分性不成立；
反之：若a>2且b>2，可得a＋b>4成立，所以必要性成立，
所以“a＋b>4”是“a>2且b>2”的必要不充分條件．故選B.
答案：B
8．解析：因為≤ 0≤x≤y，
0≤x≤y能推出x≤y，但x≤y不能推出0≤x≤y，所以x≤y是≤成立的必要不充分條件，故A不正確；
0≤x≤y能推出≤，≤也能推出0≤x≤y，所以0≤x≤y是≤成立的充要條件，故B不正確；
0≤x≤y不能推出1≤x≤y，但1≤x≤y能推出0≤x≤y，所以1≤x≤y是≤成立的充分不必要條件，故C正確；
0≤x≤y不能推出x≤y≤1，x≤y≤1也不能推出0≤x≤y，故x≤y≤1是≤成立的既不充分也不必要條件，故D不正確．故選C.
答案：C
9．解析：當{an}的公差d＝0時，由a2＋a5＝a3＋am，得m是任意的正整數，
由m＝4，得a2＋a5＝a3＋am，
則“a2＋a5＝a3＋am”是“m＝4”的必要不充分條件．故選A.
答案：A
10．解析：當兩圓無公切線時，兩圓內含，
圓C1的圓心為(0，0)，半徑r1＝1，圓C2的圓心為(－a，2a)，半徑為r2＝6，
所以兩圓的圓心距為d＝|C1C2|＝＝，
即<|6－1|，解得－所以當兩圓有公切線時a≥或a≤－，
所以a≥能推出圓C1和C2有公切線，而圓C1和C2有公切線不能推出a≥，
所以“a≥”是“圓C1：x2＋y2＝1與圓C2：(x＋a)2＋(y－2a)2＝36存在公切線”的充分不必要條件．故選A.
答案：A
11．解析：由x2＋x－6＝0，得x＝2或x＝－3，
由ax＋1＝0(a≠0)，得x＝－.
因為p是q的必要條件，可知－＝2或－＝－3，解得a＝－或a＝.故選BC.
答案：BC
12．解析：對于AB選項，由全稱量詞命題的否定可知，
命題“ x>1，x2＋2x－3<0”的否定是：“ x>1，x2＋2x－3≥0”，A對B錯；
對于CD選項，由sin α＝可得α＝＋2kπ或＋2kπ(k∈Z)，因為{α|α＝＋2kπ，k∈Z}?{α|α＝＋2kπ或α＝＋2kπ，k∈Z}，所以α＝＋2kπ(k∈Z)是sin α＝的充分不必要條件，sin α＝是α＝＋2kπ(k∈Z)的必要不充分條件，C對D對．故選ACD.
答案：ACD
13．解析：因為A是B的必要不充分條件，所以B A，但A B，
A是C的充分不必要條件，所以A C，但C A，
D是B的充分必要條件，所以D B，但B D，
所以D B A C，但C D，
故D是C的充分不必要條件．
答案：充分不必要
14．解析：因為“－1≤x<3”是“x所以{x|－1≤x<3}是{x|x答案：[3，＋∞)
15．解析：因命題“ x∈R，ax2＋1<0”為假命題，則命題“ x∈R，ax2＋1≥0”為真命題，
當a＝0時，1≥0恒成立，則a＝0；
當a≠0時，必有，解得a>0，
綜上，實數a的取值范圍是[0，＋∞).
16．解析：函數f(x)＝xa－2在(0，＋∞)上單調遞減可得a－2<0即a<2；
函數g(x)＝()－x＝()x在(0，＋∞)上單調遞減可得0<<1，解得0若函數f(x)＝xa－2與g(x)＝()－x均單調遞減，可得0由題可得所求區間真包含于(0，2)，
結合選項，函數f(x)＝xa－2與g(x)＝()－x均單調遞減的一個充分不必要條件是a∈[1，2)，C正確．故選C.
答案：C
17．解析：(1)當k＝0時，－<0顯然恒成立，當k≠0時不等式2kx2＋kx－<0對一切實數x都成立，
則解得－3(2)選①②都有A B又B＝{x|x2－mx－3<0}，即x2－mx－3<0在(－3，0]上恒成立，
令f(x)＝x2－mx－3，則解得m≤－2，所以m的取值范圍為(－∞，－2].

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