資源簡介

5.8三元一次方程組
——八年級數學北師大版（2012）上冊課前導學
一、知識詳解
1.含有 個未知數，并且所含未知數的項的次數都是 ，這樣的方程叫做三元一次方程．例如：x＋y＋z＝23和2x＋y－z＝20
2.含有三個未知數的三個一次方程所組成的一組方程，叫做 ．
概念中的三個要點：①未知數的個數；②未知數的次數；③未知數同時滿足三個等量關系．
三元一次方程組中各個方程的 ，叫做這個三元一次方程組的解．
3.類比學習，探究新知：三元一次方程組解法的基本指導思想是 ，方法有 ．
二、題目速練
1.解方程組如果要使運算簡便，那么消元時最好應( )
A.先消去x B.先消去y C.先消去z D.先消常數項
2.三元一次方程組消去未知數后，得到的二元一次方程組是( )
A. B. C. D.
3.感悟思想：
有些關于方程組的問題,欲求的結果不是每一個未知數的值,而是關于未知數的代數式的值,如以下問題：
已知實數x,y滿足①,②,求和的值.
思考：本題常規思路是將①②聯立成方程組,解得x,y的值再代入欲求值的代數式得到答案,有的問題用常規思路運算量比較大.其實,仔細觀察兩個方程未知數的系數之間的關系,本題還可以通過適當變形整體求得代數式的值.
如①-②可得①+②×2可得.
這樣的解題思想就是通常所說的“整體思想”.
體會思想：
(1)已知二元一次方程組,則______,______.
(2)解方程組：.
(3)某班級組織活動購買小獎品,買20支鉛筆、3塊橡皮、2本日記本共需32元,買39支鉛筆5塊橡皮、3本日記本共需58元,則購買5支鉛筆、5塊橡皮、5本日記本共需多少元？
4.解方程組：.
5.解方程組
下面是馬虎同學的解題過程，請問他的解題過程正確嗎？如果不正確，請寫出正確的解題過程.
解：①+②,得,即.④
,得,即.⑤
聯立④⑤得方程組無法求解，故原方程組無解.
答案及解析
一、知識詳解
1.三；1
2.三元一次方程組；公共解
3.消元；代入法，加減法
二、題目速練
1.答案：B
解析：觀察未知數的系數特點發現：
未知數y的系數要么相等，要么互為相反數，
所以要使運算簡便，那么消元時最好應先消去y，
故選B
2.答案：A
解析：
得，，
得：，
三元一次方程組消去未知數z后，得到的二元一次方程組是，
故選A.
3.答案：(1)-1,5
(2)
(3)30元
解析：(1)
①+②得,解得,
①-②得,
故答案為：-1,5.
(2),
①+②+③得,,即④,
④-①得,,
④-②得,,
④-③得,,
方程組的解為.
(3)設購買1支鉛筆a元,1塊橡皮b元,1本日記本c元,
根據題意列方程組得,.
①×2-②得,,則；
答：購買5支鉛筆、5塊橡皮、5本日記本共需30元.
4.答案：.
①②得④，②③得⑤，④⑤得，把代入④得，把、代入③得，由此得到答案.
解析：根據題意：
由①②得④，
由②③得⑤，
④⑤得，
得，
把代入④得，
得，
把、代入③得，
得，
原方程組的解為.
5.答案：不正確，
解析：不正確，正確的解題過程如下：
①+②,得，即.④
③-①×2,得.⑤
聯立④⑤，得方程組
解這個二元一次方程組，得
把代入①，得.
所以原方程組的解為5.5應用二元一次方程組—里程碑上的數
——八年級數學北師大版（2012）上冊課前導學
一、知識詳解
1.一個兩位數，個位數字是a，十位數字是b，則這個兩位數用代數式表示為 ；若交換個位和十位上的數字得到一個新的兩位數，用代數式表示為 ．
2.一個兩位數，個位上的數為x，十位上的數為y，如果在它們之間添上一個0，就得到一個三位數，這個三位數用代數式可以表示為 ．
3.有兩個兩位數a和b，如果將a放在b的左邊，就得到一個四位數，那么這個四位數用代數式表示為 ；如果將a放在b的右邊，將得到一個新的四位數，那么這個四位數用代數式可表示為 ．
二、題目速練
1.A地至B地的航線長1200千米,一艘輪船從A地順水開往B地需30小時,它逆水返回需要40小時,設輪船在靜水中的速度為x千米/小時,水速為y千米/小時,可列方程組( )
A. B.
C. D.
2.在大禹治水的時代，有一種神龜背負著一張神秘的圖(如圖1)浮出洛水，吉祥獻瑞，后世稱之為“洛書”，當后人將“洛書”上的數填在圖2的表中時發現：每行、每列、每條對角線上的三個數字之和相等，像這樣的數字方陣，稱為“幻方”，如果圖3也是一個“幻方”，則的值為( )
A.7 B.9 C.13 D.15
3.小明從家到學校的路是一段平路和一段下坡路，假設他始終保持平路每分鐘走米，下坡路每分鐘走米，上坡路每分鐘走米，從家里到學校需分鐘，從學校到家里需分鐘.小明從家到學校的下坡路長______米.
4.小明和小華在一起玩數字游戲，他們每人取了一張數字卡片，拼成了一個兩位數，小明說：“哇！這個兩位數的十位數字與個位數字之和恰好是9.”他們又把這兩張卡片對調，得到了一個新的兩位數，小華說：“這個兩位數恰好也比原來的兩位數大9.”
那么，你能回答以下問題嗎？
(1)他們取出的兩張卡片上的數字分別是幾？
(2)第一次，他們拼出的兩位數是多少？
5.甲,乙兩車分別從A、B兩站同時出發相向而行,經過3小時兩車相遇,此時甲車比乙車多行18千米,相遇后,甲車再行2.5小時就到達B站.求甲,乙兩車速度.
答案及解析
一、知識詳解
1.；
2.
3.；
二、題目速練
1.答案：B
解析：設輪船在靜水中的平均速度為x千米/小時,水速為y千米/小時,則：
船順水行駛速度為：千米/小時.
船順水行駛速度為：千米/小時.
依題意,得：.
故選：B.
2.答案：C
解析：根據題意得：，
解得：，
.
故選：C.
3.答案：800
解析：設從小華家到學校的下坡路長x米、平路為y米，
根據題意得：，
解得：.
所以，從小明家到學校的下坡路長800米.
故答案為：800.
4.答案：(1)他們取出的兩張卡片上的數字分別是4、5
(2)第一次他們拼成的兩位數為45
解析：（1）設他們取出的兩個數字分別為x、y.
第一次拼成的兩位數為，第二次拼成的兩位數為.
根據題意得：
，
由②，得：③，
得：.
把代入①得：，
∴他們取出的兩張卡片上的數字分別是4、5.
（2）根據（1）得：十位數字是4，個位數字是5，
所以第一次他們拼成的兩位數為45.
5.答案：甲車速度為36千米/小時,乙車速度為30千米/小時
解析：設甲車速度為x千米/小時,乙車速度為y千米/小時,
由題意可得：,
解得：,
∴甲車速度為36千米/小時,乙車速度為30千米/小時.5.6二元一次方程與一次函數
——八年級數學北師大版（2012）上冊課前導學
一、知識詳解
1.一次函數與二元一次方程的關系：
①方程x＋y＝2可化為y＝ ；
②直線y＝2－x上的任意一點的坐標（x，y）都是方程 的解；
③任何一個二元一次方程都可以化為 的形式．
2.一次函數與二元一次方程組的關系：
①方程5x－y＝20可以化為y＝ ，方程5x＋y＝120可以化為y＝ ；
②如圖，直線y＝5x－20與直線y＝－5x＋120的交點坐標為（m，n），則m，n符合方程組 ；
③解關于x、y的方程組，從“數”的角度看，相當于考慮當 為何值時，兩個函數的值相等以及 為多少；從“形”的角度看，相當于確定兩條直線y＝kx＋b與y＝mx＋n的 ．
二、題目速練
1.如圖，直線與直線相交于點，則關于x，y的方程組的解為( )
A. B. C. D.
2.已知直線與的交點為,則方程組的解為( )
A. B. C. D.
3.如圖,直線和直線相交于點,則方程組的解是( )
A. B. C. D.
4.已知函數和的圖象交于點,則二元一次方程組的解是______
5.已知，一次函數的圖象與x軸、y軸分別相交于A，B兩點.
（1）求點A，B的坐標.
（2）在如圖所示的平面直角坐標系中畫出該函數的圖象，并根據圖象直接寫出當x取何值時，.
（3）判斷在同一平面直角坐標系中，一次函數的圖象與一次函數的圖象是否相交.若相交，請求出交點坐標；若不相交，請說明理由.
答案及解析
一、知識詳解
1.；；一次函數
2.①；
②
③；交點
二、題目速練
1.答案：C
解析：∵直線經過點，
∴，
解得，
∴，
∴關于x，y的方程組的解為，
故選：C.
2.答案：A
解析：∵直線與的交點為,
∴.
∴交點坐標為.
∵兩條直線的交點坐標就是相應的二元一次方程組的解,
而方程組,即方程組,
∴方程組的解為.
故選：A.
3.答案：A
解析：∵直線和相交于點,
∴關于x、y的方程組的解為,
故選A.
4.答案：
解析：∵函數和的圖象交于點,
∴點,滿足二元一次方程組；
∴方程組的解是
故答案為：.
5.答案：（1），
（2）見解析
（3）相交，交點坐標為
解析：（1）當時，.
.
當時，.解得.
.
（2）函數圖象如解圖.
當時，.
（3）相交.
聯立方程，解得，
交點坐標為.5.1認識二元一次方程組
——八年級數學北師大版（2012）上冊課前導學
一、知識詳解
1.含有 未知數，且含有未知數的項的次數都是 的方程叫做二元一次方程．
2.共含有 個未知數的兩個一次方程所組成的一組方程，叫做二元一次方程組．
3.適合一個二元一次方程的 的值，叫做這個二元一次方程的一個解．
4.二元一次方程組中各個方程的 解，叫做這個二元一次方程組的解．
5.二元一次方程有 個解；二元一次方程組 解．
二、題目速練
1.下列方程中，屬于二元一次方程的是( )
A. B. C. D.
2.若是方程的一個解，則k的值是( )
A. B. C.3 D.
3.下列方程是二元一次方程組的是( )
A. B. C. D.
4.已知方程是關于x,y的二元一次方程,則_____.
5.方程組的解是( )
A. B. C. D.
答案及解析
一、知識詳解
1.一個；一次
2.兩
3.一組未知數
4.公共
5.無窮多；有且只有一組
二、題目速練
1.答案：D
解析：A、，含有一個未知數，不是二元一次方程，故本選項不符合題意；
B、，未知數的最高次數為2，故本選項不符合題意；
C、，不是整式方程，故本選項不符合題意；
D、，是二元一次方程，故本選項符合題意.
故選：D.
2.答案：B
解析：∵是方程的一個解，
∴，
∴，
故選：B.
3.答案：A
解析：A.此方程符合二元一次方程組的定義，此選項符合題意；
B.此方程含有3個未知數，此選項不符合題意；
C.此方程中xy的次數是2，此選項不符合題意；
D.此選項第1個方程不是整式方程，此選項不符合題意；
故選：A.
4.答案：0
解析：由題意得：
且,
解得：.
故答案為：0.
5.答案：D
解析：，，
故選：D.5.2求解二元一次方程組
——八年級數學北師大版（2012）上冊課前導學
一、知識詳解
1.方程，變形可得 ， ．
2.解方程組應消去y，把 代入 ，方程組的解是 ．
3.解方程組的基本思路是“消元”——把“二元”變為“一元”．已知其中一個方程中的某個未知數用______________________________的代數式表示出來，將這個代數式代入另一個方程中，從而消去一個未知數，化二元一次方程組為 方程求解．
4.解二元一次方程組時，通過兩式相加（減），消去 ，這種解二元一次方程組的方法叫做 ，簡稱加減法．
5.用加減法解二元一次方程組的一般步驟是：
（1）變形——找出兩個方程中同一個未知數系數的絕對值的 ，然后分別在兩個方程的兩邊乘以適當的數，使所找的未知數的系數 ；
（2）加減消元，得到一個 方程；
（3）解一元一次方程；
（4）把求出的未知數的值代入原方程組中的任一方程，求出另一個未知數的值，從而得方程組的解．
二、題目速練
1.已知方程組,將①代入②得( )
A. B. C. D.
2.利用加減消元法解方程,下列做法正確的是( )
A.要消去x,可以將
B.要消去x,可以將
C.要消去y,可以將
D.要消去y,可以將
3.已知二元一次方程,若用含x的代數式表示y,可得_____.
4.課堂上老師布置了一道題目：解方程組.
(1)小組討論時,發現有同學這么做：
解：①+②,得.解得.
把代入①,…
該同學解這個方程組的過程中使用了______消元法,目的是把二元一次方程組轉化為______.
(2)請用另一種消元的方法解這個方程組.
5.解下列方程組：
(1)(代入消元法)；
(2)(加減消元法).
答案及解析
一、知識詳解
1.；
2.①；②；
3.含有另一個未知數；一元一次
4.其中一個未知數；加減消元法
5.最小公倍數；相等或互為相反數；一元一次
二、題目速練
1.答案：A
解析：,
將①代入②得,,
即.故選A.
2.答案：A
解析：利用加減消元法解方程,要消去x,可以將,
要消去y,可以將,故選A.
3.答案：
解析：∵,
∴,
∴.
故答案為：.
4.答案：(1)加減；一元一次方程
(2)
解析：(1)加減；一元一次方程；
(2)由①變形,得：③,
把③代入②,得：,
解得：,
把代入③,得：,
原方程組的解為：.
5.答案：(1)
(2)
解析：(1)由①得,
把③代入②,得,
解得：,
把代入③,得,
∴；
(2)得：,
解得：,
把代入①,得
解得：,
∴.5.7用二元一次方程組確定一次函數表達式
——八年級數學北師大版（2012）上冊課前導學
一、知識詳解
1.一次函數表達式的確定：
方法： ；
一般步驟：
①設，設出一次函數表達式的一般形式 ；
②列，將已知點的 代入函數表達式，得到方程(組)；
③解，解方程(組)，求出待定系數；
④寫出一次函數表達式．
二、題目速練
1.如圖，大拇指與小拇指盡量張開時，兩指尖的距離稱為指距.根據最近人體構造學的研究成果表明，一般情況下人的身高h是指距d的一次函數.下表是測得的指距與身高的一組數據：
指距d（cm） 20 21 22 23
身高h（cm） 160 169 178 187
根據上表解決下面這個實際問題：姚明的身高是226厘米，他的指距為( )
A.26.8厘米 B.26.9厘米 C.27.5厘米 D.27.3厘米
2.小磊在畫一次函數的圖象時列出了如下表格，小穎看到后說有一個函數值求錯了.這個錯誤的函數值是
x … 0 1 2 …
y … 8 5 2 …
A.5 B.2 C. D.
3.彈簧的長度y(cm)與所掛物體的質量x(kg）之間是一次函數關系，圖象如圖所示，則彈簧不掛物體時的長度是( )
A.9 cm B.10 cm C.10.5 cm D.11 cm
4.某商店今年6月初銷售純凈水的數量如下表所示：
日期 1 2 3 4
數量（瓶） 120 125 130 135
觀察此表，利用所學函數知識預測今年6月7日該商店銷售純凈水的數量約為_____瓶.
5.暑假期間，小剛一家乘車去離家380公里的某景區旅游，他們離家的距離與汽車行駛時間之間的函數圖象如圖所示.
(1)求線段對應的函數解析式；
(2)小剛一家出發2.5小時時離目的地多遠？
答案及解析
一、知識詳解
1.待定系數法；；坐標
二、題目速練
1.答案：D
解析：設這個一次函數的解析式是：，
，
解得：，
一次函數的解析式是：，
當時，
，
.
故選：D.
2.答案：C
解析：設一次函數的表達式為：，
由表得：，
解得：，
，
當時，，
當時，，
當時，，
當時，，
這個錯誤的函數值為，
故選：C.
3.答案：B
解析：設y與x的關系式為.
將，代入，
得解得
所以.當時，，
即彈簧不掛在物體時的長度10cm.故選B.
4.答案：150
解析：這是一個一次函數模型，設，則有
解得.表格中其他數據也滿足此函數關系.當時，
，預測今年6月7日該商店銷售純凈水的數量約為150瓶.
5.答案：(1)
(2)出發時離目的地
解析：(1)設段圖象的函數表達式為.
∵，在上，
∴，解得，
∴；
(2)當時，
，
.
故小剛一家出發2.5小時時離目的地遠.5.3應用二元一次方程組—雞兔同籠
——八年級數學北師大版（2012）上冊課前導學
一、知識詳解
1.今有雉(雞)兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足．問雉兔各幾何？
(1)“上有三十五頭”的意思是什么？“下有九十四足”呢？
(2)你能根據（1）中的數量關系列出方程組嗎？
(3)你能解決這個有趣的問題嗎？
二、題目速練
1.《孫子算經》中有一道題,原文是：“今有木,不知長短,引繩度之,余繩四尺五寸；屈繩量之,不足一尺,木長幾何？”意思是：用一根繩子去量一根長木,繩子還剩余4.5尺；將繩子對折再量長木,長木還剩余l尺,問木長多少尺？若設木長尺,繩子長尺,則可列方程組為( )
A. B. C. D.
2.學校的籃球數比排球數的2倍少3個,籃球數與排球數的比是,求兩種球各有多少個？若設籃球有x個,排球有y個,根據題意得方程組( )
A. B. C. D.
3.《九章算術》中有這樣一道題，原文如下：
今有甲乙二人持錢不知其數.甲得乙半而錢五十，乙得甲太半而錢亦五十.問甲、乙持錢各幾何？大意為：今有甲、乙二人，不知其錢包里有多少錢.若乙把其一半的錢給甲，則甲的錢數為；若甲把其的錢給乙，則乙的錢數也能為，問甲、乙各有多少錢？
請解答上述問題.
4.一批貨物要運往某地，貨主準備租用汽車運輸公司的甲、乙兩種貨車.已知過去兩次租用這兩種貨車的情況如下表：
第一次 第二次
甲種貨車輛數（輛） 2 5
乙種貨車輛數（輛） 3 6
累計運貨噸數（噸） 15.5 35
現租用該公司3輛甲種貨車及5輛乙種貨車一次剛好運完這批貨，如果按每噸付運費30元計算，問貨主應付運費多少元？
答案及解析
一、知識詳解
1.（1）“上有三十五頭”的意思是雞和兔的頭共有35個，“下有九十四足”的意思是雞和兔的腳共有94只
（2）
（3）能
二、題目速練
1.答案：C
解析：設木長x尺,繩子長y尺,
∵用一根繩子去量一根長木,繩子還剩余4.5尺,
∴.
∵將繩子對折再量長木,長木還剩余l尺,
∴,
∴可列方程組為.
故選C.
2.答案：D
解析：設籃球有x個,排球有y個,根據題意得：
,
故選D.
3.答案：甲有錢，乙有錢.
解析：設甲有錢，乙有錢.
由題意得： ，
解方程組得： ，
答：甲有錢，乙有錢.
4.答案：貨主應付運費735元
解析：設甲、乙兩種貨車載重量分別為x噸、y噸
根據題意得，
解得
答：貨主應付運費735元.5.4應用二元一次方程組—增收節支
——八年級數學北師大版（2012）上冊課前導學
一、知識詳解
1.例：某工廠去年的利潤（總產值—總支出）為200萬元．今年總收入比去年增加了20%，總支出比去年減少了10%，今年的利潤為780萬元．去年的總收入、總支出各是多少萬元？
我們可以注意到這個例子中蘊涵的數量關系比較復雜，我們是否可以用列表的形式將今年和去年的總支出和總收入列表進行對比，從而使它們的關系一目了然．
設去年的總收入是x萬元，總支出是y萬元，根據題意，填充下面表格：
總收入/萬元 總支出/萬元 利潤/萬元
去年 x y 200
今年 （1＋20%）x （1－10%）y 780
根據上表，可以列出方程組 ，
解得 ．
因此，去年的總收入是萬元 ，總支出是 萬元．
二、題目速練
1.某工廠去年的利潤（總收入總支出）為200萬元，今年總收入比去年增加了，總支出比去年減少了，今年的利潤為780萬元，今年的總收入、總支出各是多少萬元 設今年的總收入為x萬元，總支出為y萬元，可以列出方程組( )
A. B.
C. D.
2.甲、乙兩種商品原來的單價和為元.因市場變化，甲商品降價，乙商品提價，調價后，兩種商品的單價和比原來的單價和提高了.設甲種商品原來的單價是x元，乙種商品原來的單價是y元，可列出的方程組是( )
A.
B.
C.
D.
3.甲、乙兩店分別購進一批無線耳機，每副耳機的進價甲店比乙店便宜，乙店的標價比甲店的標價高元，這樣甲乙兩店的利潤率分別為和，則乙店每副耳機的進價為__________________元.
4.甲、乙兩個玩具的成本共400元，商店老板為獲取利潤，并快速出售玩具，決定甲玩具按的利潤率標價出售，乙玩具按的利潤率標價出售，在實際出售時，應顧客要求，兩個玩具均按標價的9折出售，這樣商店共獲利158元.
(1)小麗按老師要求，勾畫了兩句等量關系句(題中帶橫線的句子)，并把它們寫成等量關系式表述正確的是( )
①甲玩具按的利潤率標價：甲的標價=甲玩具成本價；
②乙玩具按標價的9折出售：乙玩具的售價=乙玩具的標價；
A.①正確，②不正確 B.①不正確，②正確
C.①②不正確 D.①②都正確
(2)甲的成本為x元，乙的成本是y元.用含x，y的代數式表示表格中字母處的代數式；
玩具類型 成本價 標價 售價
甲玩具 x A
乙玩具 y B
(3)在(2)的條件下，求甲、乙兩個玩具的成本各是多少元？
答案及解析
一、知識詳解
1.；；2000；1800
二、題目速練
1.答案：C
解析：已知去年的總產值x萬元、總支出y萬元，根據題意，得
，
故選：C.
2.答案：D
解析：由題意得：甲種商品原來的單價是x元，乙種商品原來的單價是y元，
甲、乙兩種商品原來的單價和為元，
，
甲商品降價即為，
乙商品提價即為，
調價后，兩種商品的單價和比原來的單價和提高了即為，
，
綜上，.
故選：D.
3.答案：
解析：根據題意，設乙店的耳機進價為x元，標價為y元，
則甲店的耳機進價為：元；標價為：元；
甲乙兩店的利潤率分別為和，
，
解得：，
乙店每副耳機的進價為元；
故答案為：.
4.答案：(1)B
(2)；
(3)甲玩具的成本是200元，乙玩具的成本是200元
解析：(1)甲的售價=甲玩具成本價，故①錯誤，
乙玩具的標價=乙玩具的成本價，故②正確，
故選：B.
(2)，
.
(3)根據題意：得
解得：，
答：甲玩具的成本是200元，乙玩具的成本是200元.

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