資源簡介

2.2二次函數的圖象與性質
——九年級數學北師大版（2012）下冊課前導學
一、知識詳解
二次函數的圖象與性質
1.拋物線:二次函數的圖象是一條曲線,這條曲線叫做拋物線拋物線是_____________,拋物線與其對稱軸的交點叫做拋物線的_______,頂點是拋物線的__________或_________.
2.
_________ _________
圖象
開口方向 向上 向下
對稱軸 _________
頂點坐標 _________
增減性 當時,隨的増大而_____;當時,隨的增大而_____. 當時,隨的增大而______;當時,隨的増大而_______.
最值 當時,____ 當時,____
3.對于拋物線的符號決定拋物線的開口方向;的大小決定拋物線的開口程度,越大,拋物線開口______,相等說明拋物線的開口____________.
二次函數的圖象與性質
4.二次函數與圖象間的關系
二次函數與的圖象形狀相同,只是位置不同.拋物線可由拋物線沿_____軸向________平移______|個單位長度得到.
5.
_______ _______
圖象
開口方向 向上 向下
對稱軸 ______
頂點坐標 ______
增減性 當時,隨的增大而____;當時,隨的增大而____ 當時,隨的增大而_____;當時,隨的增大而______.
最值 當時,_____. 當時,_____.
二次函數的圖象和性質
6.二次函數與圖象間的關系
二次函數與的圖象形狀相同,只是位置不同.拋物線可由拋物線沿____軸向_______平移_____個單位長度得到.
7.
_______ _______
圖象
開口方向 向上 向下
對稱軸 ________
頂點坐標 ________
增減性 當時,隨的增大而____;當時,隨的增大而____. 當時,隨的增大而____;當時,隨的增大而_____.
最值 當時,______. 當時,_____.
二次函數的圖象和性質
8.二次函數與圖象間的關系
二次函數的圖象是一條拋物線,可由二次函數的圖象向______平移個單位長度,再向_________平移______個單位長度得到.
由二次函數的圖象得到的圖象的具體平移過程如下：
9.
函數
圖象
開口方向 向上 向下
對稱軸 _________
頂點坐標 _________
增減性 在對稱軸左側,即當時,隨的增大而_______;在對稱軸右側,即當時,隨的增大而_______. 在對稱軸左側,即當時,隨的増大而______;在對稱軸右側,即當時，隨的增大而_____.
最值 當_____時,____. 當_____時,______.
中可以直接看出拋物線的頂點坐標是，所以通常把它稱為二次函數的頂點式.
二次函數的圖象和性質
10.拋物線的對稱軸是直線____________,頂點坐標是______________
11.
函數
圖象
開口方向 向上 向下
對稱軸 直線_________
頂點坐標 ____________
增減性 當時,隨的增大而____;當時,隨的増大而____. 當時,隨的增大而____;當時,隨的増大而____.
最值 當時, _________ 當時, _________
二、題目速練
1.下列二次函數的圖像中開口向上的是( )
A. B. C. D.
2.已知拋物線的對稱軸為直線.則m的值是( )
A. B.1 C.4 D.
3.拋物線的頂點坐標是( )
A. B. C. D.
4.若點、都在二次函數的圖象上,則a與b的大小關系( )
A. B. C. D.無法確定
5.關于拋物線,下列說法錯誤的是( )
A.開口向上 B.頂點坐標為
C.函數的最小值是 D.對稱軸為直線
6.拋物線向左平移1個單位，再向下平移3個單位，則平移后的拋物線的解析式為( )
A. B.
C. D.
7.一次函數的圖象如圖所示，則二次函數的圖象大致是( )
A. B. C. D.
8.已知二次函數
（1）求開口方向、對稱軸及頂點坐標；
（2）當x為何值時，y隨x增大而減小，當x為何值時，y隨x增大而增大.
9.已知函數圖象如圖所示,根據圖象可得：
(1)拋物線頂點坐標___________.
(2)對稱軸為___________.
(3)當___________時,y有最大值是___________.
(4)當___________時,y隨著x的增大而增大.
(5)當___________時,.
答案及解析
一、知識詳解
1.軸對稱圖形；頂點；最低點；最高點
2.
圖象
開口方向 向上 向下
對稱軸 軸
頂點坐標
增減性 當時,隨的増大而減小;當時,隨的增大而增大. 當時,隨的增大而増大;當時,隨的増大而減小.
最值 當時,. 當時,..
3.越小；大小相同
4. ；上（下）；
5.
圖象
開口方向 向上 向下
對稱軸 軸
頂點坐標
增減性 當時,隨的增大而減小;當時,隨的增大 當時,隨的增大而增大;當時,隨的增大而減小.
最值 當時,. 當時,.
6.；右(左)；
7.
圖象
開口方向 向上 向下
對稱軸 直線
頂點坐標
增減性 當時,隨的增大而減小;當時,隨的增大而増大. 當時,隨的增大而增大;當時,隨的增大而減小.
最值 當時,. 當時,..
8.右(左)；；上（下）；
9.
函數
圖象
開口方向 向上 向下
對稱軸 直線
頂點坐標
增減性 在對稱軸左側,即當時,隨的增大而減小;在對稱軸右側,即當時,隨的增大而增大. 在對稱軸左側,即當時,隨的増大而增大;在對稱軸右側,即當時，隨的增大而減小.
最值 當時,. 當時,..
10.；
11.
函數
圖象
開口方向 向上 向下
對稱軸 直線
頂點坐標
增減性 當時,隨的增大而減小;當時,隨的増大而增大. 當時,隨的增大而增大;當時,隨的増大而減小.
最值 當時, . 當時,
二、題目速練
1.答案：C
解析：二次函數開口向上，
二次函數解析式中的二次項系數大于0，
四個選項中只有C選項符合題意，
故選：C.
2.答案：A
解析：由題意得：拋物線的對稱軸為直線：，
解得：
故選：A.
3.答案：B
解析：∵二次函數解析式為,
∴頂點坐標為；
故選：B.
4.答案：B
解析：根據題意得：當時,,
當時,,
∴.
故選：B.
5.答案：B
解析：∵,
∴,則拋物線的開口向上,對稱軸是直線,頂點坐標是,
所以函數有最小值-3.
可知B錯誤.
故選B.
6.答案：B
解析：拋物線向左平移1個單位可得，
再向下平移3個單位可得，
故選：B.
7.答案：A
解析：根據一次函數圖象，得，.所以二次函數的圖象開口向下，經過坐標原點，且對稱軸在y軸左側.故選A.
8.答案：（1）拋物線的開口向下，對稱軸為：直線，頂點坐標為：
（2）時，y隨x增大而減小，時，y隨x增大而增大
解析：（1），
，
拋物線的開口向下，
對稱軸為：直線，頂點坐標為：；
（2）拋物線的開口向下，
時，y隨x增大而減小，時，y隨x增大而增大.
9.答案：(1)
(2)直線
(3),2
(4)
(5)
解析：(1)拋物線與x軸交于點,,
頂點橫坐標為,
由圖可知頂點縱坐標為2,
頂點坐標為；
(2)對稱軸為直線；
(3)當時,y有最大值是2；
(4)當時,y隨著x得增大而增大；
(5)當時,.2.5二次函數與一元二次方程
——九年級數學北師大版（2012）下冊課前導學
一、知識詳解
1.畫出下列二次函數圖象：
（1）y＝x2＋x－2；（2）y＝x2－6x＋9；（3）y＝x2－x＋1，
觀察圖象可知：y＝x2＋x－2與x軸的交點坐標 ，相應方程的根為： ；y＝x2－6x＋9與x軸的交點坐標 ，相應方程的根為： ；y＝x2－x＋1與x軸的交點坐標 ，相應方程的根為：
2.二次函數的圖象和x軸交點的橫坐標與一元二次方程的根的關系：
拋物線（a≠0） 與x軸的公共點的個數 一元二次方程 （a≠0）的根的情況
＞0 有 個 有兩個不相等的實數根
＝0 有 個 有兩個相等的實數根
＜0 沒有公共點 沒有實數根
當時，二次函數 （a≠0）與x軸有兩個不同的交點 ，
一元二次方程有兩個不同解： ；
當時，二次函數 （a≠0）與x軸有唯一一個交點 ，
一元二次方程有兩個相等的解： ；當時，二次函數 （a≠0）與x軸 交點，一元二次方程 實數根．
二、題目速練
1.已知二次函數的圖象在x軸的下方,則a,b,c滿足的條件是( )
A., B.,
C., D.,
2.根據下列表格中二次函數的自變量x與函數值y的對應值，可以判斷出方程的一個根的取值范圍是( )
x 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
y -0.68 -0.32 0.08 0.52 1
A. B. C. D.
3.如圖,已知拋物線,則關于x的方程的解是______.
4.若拋物線(a為常數)與x軸有且只有一個公共點,則a的值為____________.
5.若函數的圖象與x軸只有一個交點，則常數m的值是__________.
6.已知二次函數.
（1）寫出該函數圖象的對稱軸______.
（2）求出該函數圖象與x軸的交點坐標.
（3）當時，求y的取值范圍.
答案及解析
一、知識詳解
1.；；；無交點；無實數根
2.；；；；沒有；沒有
二、題目速練
1.答案：C
解析：二次函教的圖象在x軸的下方,
拋物線開口向下,與x軸無交點,
即,,
故選：C.
2.答案：B
解析：觀察表格可知：當時，；當時，，
方程（，a，b，c為常數）的一個解的范圍是0.2<<0.3.
故選：B.
3.答案：
解析：由函數圖象可知拋物線與x軸交于,,
∴關于x的方程的解是,,
故答案為：,.
4.答案：0
解析：∵拋物線(a為常數)與x軸有且只有一個公共點,
∴,
∴.
故答案為：0.
5.答案：2或-2
解析：①當，即時，該函數是一次函數，則其圖象與x軸只有一個交點；②當，即時，該函數是二次函數，則，解得.綜上，m的值是2或-2.
6.答案：（1）直線
（2）該函數圖象與x軸的交點坐標，
（3）
解析：（1）二次函數的對稱軸為直線；
（2）當時，即
解得，，
該函數圖象與x軸的交點坐標，.
（3）頂點坐標為.拋物線開口向下，
當時，y隨x增大而增大，
當時，y隨x增大而減小，
當時，y有最大值7，
又，
當時取得最小值，最小值，
當時，.2.4二次函數的應用
——九年級數學北師大版（2012）下冊課前導學
一、知識詳解
1.幾何圖形最值：
用總長為60m的籬笆圍成矩形場地，矩形面積S隨矩形一邊長a的變化而變化．當a是多少時，場地的面積S最大，最大面積是多少？
解：根據矩形的面積公式可得S與a滿足：
整理后得： （0＜a＜30），
當a＝＝ 時，S＝＝ m2
當矩形一邊長為15m時，場地的面積取最大值，且最大值為225m2
2.銷售利潤問題：
某產品現在售價為每件60元，每星期可賣出300件．市場調查反映：如果調價，每漲價1元，每星期要少賣出10件；每降價1元，每星期可多賣出20件．已知商品的進價為每件40元，如何定價才能使每周利潤最大化，并確定x的取值范圍？
【銷售最大利潤問題】先通過價格與利潤關系得到二次函數的關系式，根據函數圖象及性質求最大值．
（1）設每件漲價x元，則此時每星期少賣 件，實際賣出 件，此時每件產品的銷售價為 元，每周產品的銷售額 元，此時每周產品的成本 元，因此周利潤合計為：
當產品單價漲價5元，即售價 元，利潤最大，最大利潤為 元
（2）設每件降價x元，則此時每星期多賣 件，實際賣出 件，此時每件產品的銷售價為 元，每周產品的銷售額 元，此時每周產品的成本 元，因此周利潤合計為：
當產品單價降價2.5元，即售價 元，利潤最大，最大利潤為 元
當產品單價漲價5元，即售價65元，利潤最大，最大利潤為6250元．
當產品單價降價2.5元，即售價57.5元，利潤最大，最大利潤為6125元．
綜上所述，當漲價5元時利潤最大，最大利潤6250元
3.拋物線形問題：
如圖是一座拋物線形拱橋，當拱橋頂離水面2m時，水面寬4m．水面下降1m， 水面寬度為多少？水面寬度增加多少？
建立坐標系，設這條拋物線表示的二次函數為 ，
由拋物線過點 ，得到a＝ ，
所以這條拋物線的解析式為 ，
當水面下降1m時，水面的縱坐標為y＝ ，
將y＝ 代入二次函數得，x＝ ，
∴水面下降1m時，水面的寬度為 m
∴水面的寬度增加了 m
4.解決拋物線型實際問題的一般步驟：
（1）根據題意建立適當的 ；
（2）把已知條件轉化為 ；
（3）合理設出函數解析式；
（4）利用 法求出函數解析式；
（5）根據求得的解析式進一步分析、判斷并進行有關的計算．
二、題目速練
1.慈城某店家銷售特產印花糕，經調查發現每盒印花糕售價為元時，日銷售量為盒，當每盒售價每下降1元時，日銷售量會增加2盒.已知每盒印花糕的成本為2元，設每盒降價x元，商家每天的利潤為y元，則y與x之間的函數表達式為( )
A. B.
C. D.
2.鉛球運動是利用人體全身的力量，將一定重量的鉛球從肩上用手臂推出的田徑運動項目之一.如圖，將一位運動員所推鉛球的行進路線近似地看成一條拋物線，其中鉛球行進高度y（m）與水平距離x（m）之間的函數關系式為，則該運動員所推鉛球的水平距離為( )
A. B. C. D.
3.某商店購進一批成本為5角的面包，如果以單價7角銷售，每天可銷售160個.在此基礎上，這種面包單價每提高1角，每天就會少賣出20個，若設每個面包上漲角，每天銷售利潤為角，可列函數式為：，在所列函數中出現的代數式，下列說法錯誤的是( )
A.表示漲價后面包的單價
B.表示漲價后少賣出面包的數量
C.表示漲價后賣出面包的數量
D.表示漲價后面包的單價
4.某工廠1月份的產值是200萬元，平均每月產值的增長率為，則該工廠3月份的產值y關于x的函數解析式為________________.
5.某商人將進價為每件8元的某種商品按每件10元出售,每天可銷出100件.他想采用提高售價的辦法來增加利潤.經試驗,發現這種商品每件每提價1元,每天的銷售量就會減少10件.請問每件售價提高多少元時,才能使一天的利潤最大？最大利潤是多少元？
6.如圖,用一段長為30米的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形苗圃園,已知墻長為18米,設這個苗圃園垂直于墻的一邊長為x米.
(1)若苗圃園的面積為72平方米,求x的值.
(2)若平行于墻的一邊長不小于8米,當x取何值時,這個苗圃園的面積有最大值,最大值是多少？
答案及解析
一、知識詳解
1.；15；225
2.10x ；60＋x；；；；65；6250；20x；60＋x；；；；57.5；6125
3.；；；；－3；－3；；；
4.直角坐標系；點的坐標；待定系數
二、題目速練
1.答案：D
解析：由題意得：，
故選：D.
2.答案：A
解析：當時，
解得或，
該運動員所推鉛球的水平距離為，
故選：A.
3.答案：A
解析：A、表示漲價后面包的每個的利潤，故原說法錯誤，符合題意；
B、表示漲價后少賣出面包的數量，故原說法正確，不符合題意；
C、表示漲價后賣出面包的數量，故原說法正確，不符合題意；
D、表示漲價后面包的單價，故原說法正確，不符合題意；
故選：A.
4.答案：
解析：依題意得：
故答案為：.
5.答案：每件售價提高4元時,才能使一天的利潤最大,最大利潤是360元
解析：設每件售價提高x元,每天的利潤為y元,則每件的利潤為元,每天的銷售量為件,
∴,
解得：.
依題意有：.
∵,
∴當時,y最大,最大值為360,
∴每件售價提高4元時,才能使一天的利潤最大,最大利潤是360元.
6.答案：(1)12
(2)平方米
解析：(1)由題意可得,
,
即,
解得,,,
當時,,故舍去；
當時,,
由上可得,x的值是12；
(2)設這個苗圃園的面積為S平方米,
由題意可得,
,
∵平行于墻的一邊長不小于8米,且不大于18米,
∴,
解得,,
∴當時,S取得最大值,此時,
答：當時,這個苗圃園的面積有最大值,最大值是平方米.2.1二次函數
——九年級數學北師大版（2012）下冊課前導學
一、知識詳解
1.，對于x的每一個值，y都有唯一的 對應值，即y x的函數．
2.像y＝－5x ＋100x＋60000，，，函數都是用自變量的 次式表示的．
一般地，若兩個自變量x，y之間的對應關系可以表示成 （a，b，c是常數，a≠0）的形式，則稱y是x的 函數．其中，x是 ，a為 ，叫做 ；b為 ，bx叫做 ；c為 ．
二、題目速練
1.下列函數中，y是x的二次函數的是( )
A. B. C. D.
2.一部售價為4000元的手機，一年內連續兩次降價，如果每次降價的百分率都是x，則兩次降價后的價格y(元)與每次降價的百分率x之間的函數關系式是( )
A. B. C. D.
3.已知是關于x的二次函數,那么m的值為( )
A.-2 B.2 C.±2 D.0
4.如圖，，點P在線段上（點P不與點A，B重合），以為邊作正方形.設，，正方形的面積為S，則y與x，S與x滿足的函數關系分別是( )
A.一次函數關系，二次函數關系 B.二次函數關系，二次函數關系
C.一次函數關系，一次函數關系 D.二次函數關系，一次函數關系圖
答案及解析
一、知識詳解
1.一個；是
2.二；二次；自變量；二次項系數；二次項；一次項系數；一次項；常數項
二、題目速練
1.答案：B
解析：A.函數不是二次函數，故本選項不符合題意；
B.函數是二次函數，故本選項符合題意；
C.函數是一次函數，不是二次函數，故本選項不符合題意；
D.函數是一次函數，不是二次函數，故本選項不符合題意；
故選：B.
2.答案：B
解析：∵每次降價的百分率都是x，
∴兩次降價后的價格y(元)與每次降價的百分率x之間的函數關系式是.
故選：B.
3.答案：B
解析：∵是y關于x的二次函數,
∴且,
解得,
故選：B.
4.答案：A
解析：由題意得：、，
y與x，S與x滿足的函數關系分別為一次函數關系，二次函數關系.
故選：A.2.3確定二次函數的表達式
——九年級數學北師大版（2012）下冊課前導學
一、知識詳解
1.設一般式確定二次函數的解析式
若已知拋物線上任意三個點的坐標，可將該二次函數的解析式設為一般式，然后列出關于的三元一次方程組求解.
2.設頂點式確定二次函數的解析式
若已知拋物線的頂點坐標或對稱軸或最大(小)值，可將此二次函數的解析式設為頂點式，再把已知的另外一個點或兩點的坐標代入，求出待定系數的值.
3.設交點式確定二次函數的解析式
若已知拋物線與軸的兩個交點的坐標(或已知拋物線與軸的一個交點的坐標和對稱軸)和另一個點的坐標，通常設拋線的解析式為.是二次函數圖象與軸的交點的橫坐標)，再將另一個點的坐標代入求解.
二、題目速練
1.若拋物線的頂點在原點，且過點，則拋物線對應的函數表達式是( )
A. B. C. D.
2.若拋物線的頂點是，且經過點，則拋物線的函數關系式為( )
A. B.
C. D.
3.寫出一個開口向上且過點的拋物線的表達式______.
4.請寫出一個二次函數的表達式__________________，使它滿足以下兩個條件：
①圖像經過原點；
②函數的最大值為2.
5.已知拋物線經過點，，，求該拋物線的函數關系式.
6.如圖，已知二次函數的圖象經過點、.
（1）求該二次函數的表達式；
（2）結合圖象，解答問題：當時，x的取值范圍是______.
答案及解析
二、題目速練
1.答案：C
解析：設該拋物線對應的函數表達式是，因為拋物線過點，所以，所以，所以.
2.答案：B
解析：拋物線頂點是A（2，1），且經過點B（1，0），
設拋物線的函數關系式是，
把B點的坐標代入得：，
解得：，
即拋物線的函數關系式是，即.
故選：B.
3.答案：(答案不唯一)
解析：設該拋物線的表達式為
當時,,所以拋物線過
該拋物線開口向上,且過
,
可得(答案不唯一).
4.答案：（答案不唯一）
解析：由題意，設函數為
圖像過原點，
.
又函數有最大值2，
若取，則b可取4.
綜上，函數的表達式可以是
故答案為：（答案不唯一）.
5.答案：
解析：拋物線經過點，，，
設拋物線的表達式為，
將點代入得：，解得：，
.
該拋物線的函數關系式為.
6.答案：（1）
（2）
解析：（1）將，代入中得：
，解得：，
該二次函數的表達式為.
（2）如圖：拋物線開口向上，
當時，；
當時，；
觀察圖象得，當時，.

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