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第08講 直線與圓錐曲線的位置關系
(
考綱導向
小
)
考點要求 考題統(tǒng)計 考情分析
(1) 直線與圓錐曲線位置關系 (2)弦長公式 2024年北京卷5分2024年I卷15分2023年I卷15分2023年II卷20分2023年天津卷5分2022年浙江卷12分2022年II卷15分
（1）本講為新高考命題必考點，題型以解答題為主，也會出現(xiàn)選擇題和填空題； （2）重點是直線與圓錐曲線位置關系和弦長公式，主要考查直線與圓錐曲線位置關系的判斷方法，圓錐曲線所截的弦長公式以及利用方程及數形結合思想解決焦點弦、中點弦問題，點差法等.
(
考試要求
小
)
1、了解直線與圓錐曲線位置關系的判斷方法；
2、掌握圓錐曲線所截的弦長公式；
3、能利用方程及數形結合思想解決焦點弦、中點弦問題。
(
考點突破考綱解讀
)
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考點梳理
小
)
知識點1: 直線與圓錐曲線的位置
1、直線與圓錐曲線的位置判斷
（1）聯(lián)立：將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立；
（2）消元化簡：消去（或），化簡得到的一元二次方程，則
1）直線與圓錐曲線相交；
2）直線與圓錐曲線相切；
3）直線與圓錐曲線相離；
知識點2: 弦長公式
1、弦長公式
已知，直線的斜率為,則
；
(
題型展示
小
)
題型一: 直線與圓錐曲線位置關系
【例1】已知橢圓的左焦點為，點在橢圓上且在軸的上方，若線段的中點在以原點為圓心，為半徑的圓上，則直線的斜率是 .
【答案】
【解析】
由題意知，由中位線定理得，設，得，
聯(lián)立方程（舍），點在橢圓上且在軸的上方，
求得，；
【變式1】設為坐標原點，直線與拋物線C：交于，兩點，若，則的焦點坐標為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
直線與拋物線交于兩點，且，
根據拋物線的對稱性可以確定，，
代入拋物線方程，焦點坐標為；答案為B.
題型二: 圓錐曲線所截的弦長
【例2】已知拋物線C：y2=3x的焦點為F，斜率為的直線l與C的交點為A，B，與x軸的交點為P．
（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；
（2）若，求|AB|．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）設直線方程為：，，，，
聯(lián)立，
直線的方程為，即；
（2）設，則可設直線方程為：
聯(lián)立，，；
，
則
【變式2】已知橢圓過點，且．
（Ⅰ）求橢圓C的方程：
（Ⅱ）過點的直線l交橢圓C于點,直線分別交直線于點，求的值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）1.
【解析】
(Ⅰ)設橢圓方程為：，由題意得，橢圓方程為.
(Ⅱ)①當直線l與x軸重合，設，，
．
②當直線l不與x軸重合時，設直線，由題意，直線l不過和點，
．設，聯(lián)立得．由題意知，．且．
由題意知直線的斜率存在．．
當時，．
同理，．．
，．
題型三: 焦點弦、中點弦問題
【例3】已知點和拋物線，過的焦點且斜率為的直線與交于，兩點．若，則 ．
【答案】2
【解析】
記拋物線的焦點為F，，則以為直徑的圓與準線相切于點M，
由拋物線的焦點弦性質可知，．
【變式3】16．（2020·山東）斜率為的直線過拋物線C：y2=4x的焦點，且與C交于A，B兩點，則= ．
【答案】
【解析】
∵拋物線的方程為，∴拋物線的焦點F坐標為，
∵直線AB過焦點F且斜率為，∴直線AB的方程為，
代入拋物線方程消去y并化簡得，解得
(
考場演練
)
【真題1】（2024·北京）若直線與雙曲線只有一個公共點，則的一個取值為 ．
【答案】（或，答案不唯一）
【解析】
聯(lián)立，化簡并整理得：，
由題意得或，解得或無解，即，
經檢驗，符合題意.故答案為（或，答案不唯一）.
【真題2】（2024·全國新Ⅰ卷）已知和為橢圓上兩點.
(1)求C的離心率;
(2)若過P的直線交C于另一點B，且的面積為9，求的方程．
【答案】(1)；(2)直線的方程為或.
【解析】
（1）由題意得，.
（2），則直線的方程為，即，
，由（1）知，
設點到直線的距離為，則，
則將直線沿著與垂直的方向平移單位即可，此時該平行線與橢圓的交點即為點，
設該平行線的方程為：，則，解得或，
當時，聯(lián)立，解得或，即或，
當時，此時，直線的方程為，即，
當時，此時，直線的方程為，即，
當時，聯(lián)立得，
，此時該直線與橢圓無交點；
綜上直線的方程為或.
【真題3】（2023·全國新Ⅱ卷）已知橢圓的左、右焦點分別為，，直線與C交于A，B兩點，若面積是面積的2倍，則（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
將直線與橢圓聯(lián)立，消去可得，
直線與橢圓相交于點，則，解得，
設到的距離到距離，易知，
則，，，
解得或（舍去）；答案為C.
【真題4】（2023·天津）已知橢圓的左右頂點分別為，右焦點為，已知．
(1)求橢圓的方程和離心率；
(2)點在橢圓上（異于橢圓的頂點），直線交軸于點，若三角形的面積是三角形面積的二倍，求直線的方程．
【答案】(1)橢圓的方程為，離心率為；(2).
【解析】
（1）如圖，由題意得，解得，，
橢圓的方程為，離心率為.
（2）由題意得，直線斜率存在，由橢圓的方程為可得，
設直線的方程為，
聯(lián)立方程組，消去整理得：，
由韋達定理得，，，.
,,，
，，即，
解得，直線的方程為.
【真題5】（2023·天津）已知過原點O的一條直線l與圓相切，且l與拋物線交于點兩點，若，則 ．
【答案】
【解析】
易知圓和曲線關于軸對稱，不妨設切線方程為，，
，解得：，由解得：或，
．當時，同理可得；答案為．
【真題6】（2023·全國新Ⅰ卷）在直角坐標系中，點到軸的距離等于點到點的距離，記動點的軌跡為．
(1)求的方程；
(2)已知矩形有三個頂點在上，證明：矩形的周長大于．
【答案】(1)；(2)見解析
【解析】
（1）設,則，兩邊同平方化簡得，故.
（2）設矩形的三個頂點在上,且，
易知矩形四條邊所在直線的斜率均存在，且不為0，
則,令，
同理令，且，則，
設矩形周長為,由對稱性不妨設，，
則，
易知則令,
令，解得，當時，，此時單調遞減，
當，，此時單調遞增，則，
故,即.當時,,且，即時等號成立，矛盾，故,得證.
【真題7】（2023·全國新Ⅱ卷）已知雙曲線C的中心為坐標原點，左焦點為，離心率為．
(1)求C的方程；
(2)記C的左、右頂點分別為，，過點的直線與C的左支交于M，N兩點，M在第二象限，直線與交于點P．證明:點在定直線上.
【答案】(1)；(2)證明見解析.
【解析】
（1）設雙曲線方程為，由焦點坐標可知，
則由可得，，雙曲線方程為.
（2）由(1)可得，設，
顯然直線的斜率不為0，設直線的方程為，且，
與聯(lián)立可得，且，
則，
直線的方程為，直線的方程為，
聯(lián)立直線與直線的方程可得：
，由可得，即，
據此可得點在定直線上運動.
【真題8】（2022·浙江）如圖，已知橢圓．設A，B是橢圓上異于的兩點，且點在線段上，直線分別交直線于C，D兩點．
(1)求點P到橢圓上點的距離的最大值；
(2)求的最小值．
【答案】(1)；(2)．
【解析】
（1）設是橢圓上任意一點,,
，
當且僅當時取等號，故的最大值是.
（2）設直線,直線方程與橢圓聯(lián)立,可得,
設，，與交于,
則,同理可得,.則
，
當且僅當時取等號，故的最小值為.
【真題9】（2022·全國新Ⅱ卷）已知直線l與橢圓在第一象限交于A，B兩點，l與x軸，y軸分別交于M，N兩點，且，則l的方程為 ．
【答案】
【解析】
令的中點為，，，
設，，則，，
，即，
，即，設直線，，，
令得，令得，即，，，
即，解得或（舍去），
又，即，解得或（舍去），
直線，即；故答案為：
【真題10】（2021·全國乙卷）設B是橢圓的上頂點，點P在C上，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【解析】
設點，，，
，
而，當時，的最大值為；答案為A．
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第08講 直線與圓錐曲線的位置關系
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考綱導向
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考點要求 考題統(tǒng)計 考情分析
(1) 直線與圓錐曲線位置關系 (2)弦長公式 2024年北京卷5分2024年I卷15分2023年I卷15分2023年II卷20分2023年天津卷5分2022年浙江卷12分2022年II卷15分
（1）本講為新高考命題必考點，題型以解答題為主，也會出現(xiàn)選擇題和填空題； （2）重點是直線與圓錐曲線位置關系和弦長公式，主要考查直線與圓錐曲線位置關系的判斷方法，圓錐曲線所截的弦長公式以及利用方程及數形結合思想解決焦點弦、中點弦問題，點差法等.
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考試要求
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1、了解直線與圓錐曲線位置關系的判斷方法；
2、掌握圓錐曲線所截的弦長公式；
3、能利用方程及數形結合思想解決焦點弦、中點弦問題.
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考點突破考綱解讀
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考點梳理
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知識點1: 直線與圓錐曲線的位置
1、直線與圓錐曲線的位置判斷
（1）聯(lián)立：將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立；
（2）消元化簡：消去（或），化簡得到的一元二次方程，則
1）直線與圓錐曲線 ；
2）直線與圓錐曲線 ；
3）直線與圓錐曲線 ；
知識點2: 弦長公式
1、弦長公式
已知，直線的斜率為,則
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題型展示
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題型一: 直線與圓錐曲線位置關系
【例1】已知橢圓的左焦點為，點在橢圓上且在軸的上方，若線段的中點在以原點為圓心，為半徑的圓上，則直線的斜率是 .
【變式1】設為坐標原點，直線與拋物線C：交于，兩點，若，則的焦點坐標為（ ）
A． B． C． D．
題型二: 圓錐曲線所截的弦長
【例2】已知拋物線C：y2=3x的焦點為F，斜率為的直線l與C的交點為A，B，與x軸的交點為P．
（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；
（2）若，求|AB|．
【變式2】已知橢圓過點，且．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點的直線l交橢圓C于點,直線分別交直線于點，求的值．
題型三: 焦點弦、中點弦問題
【例3】已知點和拋物線，過的焦點且斜率為的直線與交于，兩點．若，則 ．
【變式3】16．（2020·山東）斜率為的直線過拋物線C：y2=4x的焦點，且與C交于A，B兩點，則= ．
(
考場演練
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【真題1】（2024·北京）若直線與雙曲線只有一個公共點，則的一個取值為 ．
【真題2】（2024·全國新Ⅰ卷）已知和為橢圓上兩點.
(1)求C的離心率;
(2)若過P的直線交C于另一點B，且的面積為9，求的方程．
【真題3】（2023·全國新Ⅱ卷）已知橢圓的左、右焦點分別為，，直線與C交于A，B兩點，若面積是面積的2倍，則（ ）．
A． B． C． D．
【真題4】（2023·天津）已知橢圓的左右頂點分別為，右焦點為，已知．
(1)求橢圓的方程和離心率；
(2)點在橢圓上（異于橢圓的頂點），直線交軸于點，若三角形的面積是三角形面積的二倍，求直線的方程．
【真題5】（2023·天津）已知過原點O的一條直線l與圓相切，且l與拋物線交于點兩點，若，則 ．
【真題6】（2023·全國新Ⅰ卷）在直角坐標系中，點到軸的距離等于點到點的距離，記動點的軌跡為．
(1)求的方程；
(2)已知矩形有三個頂點在上，證明：矩形的周長大于．
【真題7】（2023·全國新Ⅱ卷）已知雙曲線C的中心為坐標原點，左焦點為，離心率為．
(1)求C的方程；
(2)記C的左、右頂點分別為，，過點的直線與C的左支交于M，N兩點，M在第二象限，直線與交于點P．證明:點在定直線上.
【真題8】（2022·浙江）如圖，已知橢圓．設A，B是橢圓上異于的兩點，且點在線段上，直線分別交直線于C，D兩點．
(1)求點P到橢圓上點的距離的最大值；
(2)求的最小值．
【真題9】（2022·全國新Ⅱ）已知直線l與橢圓在第一象限交于A，B兩點，l與x軸，y軸分別交于M，N兩點，且，則l的方程為 ．
【真題10】（2021·全國乙）設B是橢圓的上頂點，點P在C上，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．2
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