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第07講 拋物線及其性質
(
考綱導向
小
)
考點要求 考題統計 考情分析
(1) 拋物線的定義、幾何形狀、標準方程 (2) 拋物線的簡單幾何性質 2024年Ⅱ卷5分2024年北京卷5分2024年上海卷5分2024年天津卷5分2023年II卷5分2023年乙卷5分2023年北京卷5分2022年I卷5分
（1）本講為高考命題熱點，題型以選擇題為主； （2）重點是拋物線的定義、幾何形狀、標準方程和拋物線的簡單幾何性質，主要考查 拋物線的定義、幾何形狀、標準方程的理解，范圍、對稱性、頂點、離心率等拋物線的簡單幾何性質的應用.
(
考試要求
小
)
1、理解拋物線的定義、幾何形狀、標準方程；
2、掌握拋物線的簡單幾何性質（范圍、對稱性、頂點、離心率）；
3、掌握拋物線的簡單應用。
(
考點突破考綱解讀
)
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考點梳理
小
)
知識點1: 拋物線定義
1、拋物線定義：
（1）到定點與定直線的距離相等的點的軌跡稱為拋物線；
（2）離心率：；
（3）焦點弦長：；
【在題目中，與焦點有關就用定義！】
知識點2: 拋物線的標準方程
2、拋物線的標準方程
(
題型展示
小
)
題型一: 拋物線的定義和應用
【例1】已知A為拋物線C:y2=2px（p>0）上一點，點A到C的焦點的距離為12，到y軸的距離為9，則p=（ ）
A．2 B．3 C．6 D．9
【答案】C
【解析】
設拋物線的焦點為F，由定義知，即，解得；答案為C.
【變式1】若拋物線y2=2px（p>0）的焦點是橢圓的一個焦點，則p=（ ）
A．2 B．3
C．4 D．8
【答案】D
【解析】
拋物線的焦點是橢圓的一個焦點，
；答案為D．
題型二: 拋物線的標準方程
【例2】已知拋物線的準線經過點，則拋物線焦點坐標為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
由拋物線得準線，準線經過點，，
拋物線焦點坐標為，答案為.
【變式2】已知直線l過點（1,0）且垂直于軸，若l被拋物線截得的線段長為4，則拋物線的焦點坐標為 .
【答案】
【解析】
由題意可得，點在拋物線上，將代入中，解得，，
由拋物線方程可得：， 焦點坐標為.
題型三: 拋物線的幾何性質
【例3】（2022·全國乙卷）設F為拋物線的焦點，點A在C上，點，若，則（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【解析】
由題意得，，則，即點到準線的距離為2，
點的橫坐標為，設點在軸上方，代入得，
，答案為B
【變式3】已知為坐標原點，拋物線：()的焦點為，為上一點，與軸垂直，為軸上一點，且，若，則的準線方程為 .
【答案】
【解析】
拋物線： ()的焦點,∵P為上一點，與軸垂直，
P的橫坐標為，代入拋物線方程求得P的縱坐標為,設,
Q為軸上一點，且，Q在F的右側，又，
，，,
，的準線方程為，答案為.
(
考場演練
)
【真題1】（2024·北京）拋物線的焦點坐標為 ．
【答案】
【解析】
由題意拋物線的標準方程為，其焦點坐標為；答案為.
【真題2】（2024·上海）已知拋物線上有一點到準線的距離為9，那么點到軸的距離為 ．
【答案】
【解析】
由知拋物線的準線方程為，設點，由題意得，解得，
代入，得，解得，則點到軸的距離為；答案為．
【真題3】（2024·天津）圓的圓心與拋物線的焦點重合，為兩曲線的交點，則原點到直線的距離為 ．
【答案】/
【解析】
圓的圓心為，故即，
或（舍），，
直線即或，，答案為.
【真題4】（2024·全國新Ⅱ卷）拋物線C：的準線為l，P為C上的動點，過P作的一條切線，Q為切點，過P作l的垂線，垂足為B，則（ ）
A．l與相切
B．當P，A，B三點共線時，
C．當時，
D．滿足的點有且僅有2個
【答案】ABD
【解析】
A，拋物線的準線為，的圓心到直線的距離顯然是，等于圓的半徑，
故準線和相切，A正確；
B項，三點共線時，即，則的縱坐標，由，得到，故，
切線長，B正確；
C項，當時，，，故或，
當時，，，，不滿足；
當時，，，，不滿足；
不成立，C選項錯誤；
D項，設，由可得，又，又，
根據兩點間的距離公式，，，
則關于的方程有兩個解，即存在兩個這樣的點，D正確；答案為ABD
【真題5】（2023·全國新Ⅱ卷）設O為坐標原點，直線過拋物線的焦點，且與C交于M，N兩點，l為C的準線，則（ ）．
A． B．
C．以MN為直徑的圓與l相切 D．為等腰三角形
【答案】AC
【解析】
A項：直線過點，拋物線的焦點，
，則A正確，且拋物線的方程為.
B項：設，由，
解得，，B錯；
C項：設的中點為，到直線的距離分別為，
，
即到直線的距離等于的一半，以為直徑的圓與直線相切，C正確.
D項：直線，即，到直線的距離為，
三角形的面積為，可知，
，
三角形不是等腰三角形，D錯；答案為AC.
【真題6】（2023·全國乙卷）已知點在拋物線C：上，則A到C的準線的距離為 .
【答案】
【解析】
由題意可得：，拋物線的方程為，
準線方程為，點到的準線的距離為；答案為.
【真題7】（2023·北京）已知拋物線的焦點為，點在上．若到直線的距離為5，則（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】D
【解析】
拋物線的焦點，準線方程為，點在上，
到準線的距離為，又到直線的距離為，
，故；答案為D.
【真題8】（2022·全國新Ⅰ卷）已知O為坐標原點，點在拋物線上，過點的直線交C于P，Q兩點，則（ ）
A．C的準線為 B．直線AB與C相切
C． D．
【答案】BCD
【解析】
將點的代入拋物線方程得，拋物線方程為，故準線方程為，A錯；
，直線的方程為，
聯立，可得，解得，B正確；
設過的直線為，若直線與軸重合，則直線與拋物線只有一個交點，
直線的斜率存在，設其方程為，，
聯立，得，，或，，
又，，
，C正確；
，，
，而，故D正確，答案為BCD
【真題9】（2022·全國新Ⅱ卷）已知O為坐標原點，過拋物線焦點F的直線與C交于A，B兩點，其中A在第一象限，點，若，則（ ）
A．直線的斜率為 B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】
對A，易得，由可得點在的垂直平分線上，則點橫坐標為，
代入拋物線可得，則，直線的斜率為，A正確；
對B，由斜率為可得直線的方程為，聯立拋物線方程得，
設，則，則，代入拋物線得，
解得，則，則，B錯；
對C，由拋物線定義知：，C正確；
對D，，則為鈍角，
，為鈍角，
又，則，D正確；答案為ACD.
【真題10】（2021·全國新Ⅱ卷）拋物線的焦點到直線的距離為，則（ ）
A．1 B．2 C． D．4
【答案】B
【解析】
拋物線的焦點坐標為，其到直線的距離：，
解得：(舍去)；答案為B.
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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第07講 拋物線及其性質
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(1) 拋物線的定義、幾何形狀、標準方程 (2) 拋物線的簡單幾何性質 2024年Ⅱ卷5分2024年北京卷5分2024年上海卷5分2024年天津卷5分2023年II卷5分2023年乙卷5分2023年北京卷5分2022年I卷5分
（1）本講為高考命題熱點，題型以選擇題為主； （2）重點是拋物線的定義、幾何形狀、標準方程和拋物線的簡單幾何性質，主要考查 拋物線的定義、幾何形狀、標準方程的理解，范圍、對稱性、頂點、離心率等拋物線的簡單幾何性質的應用.
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考試要求
小
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1、理解拋物線的定義、幾何形狀、標準方程；
2、掌握拋物線的簡單幾何性質（范圍、對稱性、頂點、離心率）；
3、掌握拋物線的簡單應用。
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考點突破考綱解讀
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知識點1: 拋物線定義
1、拋物線定義：
（1）到定點與定直線的距離相等的點的軌跡稱為 ；
（2）離心率：；
（3）焦點弦長： ；
【在題目中，與焦點有關就用定義！】
知識點2: 拋物線的標準方程
1、拋物線的標準方程
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題型展示
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題型一: 拋物線的定義和應用
【例1】已知A為拋物線C:y2=2px（p>0）上一點，點A到C的焦點的距離為12，到y軸的距離為9，則p=（ ）
A．2 B．3 C．6 D．9
【變式1】若拋物線y2=2px（p>0）的焦點是橢圓的一個焦點，則p=（ ）
A．2 B．3
C．4 D．8
題型二: 拋物線的標準方程
【例2】已知拋物線的準線經過點，則拋物線焦點坐標為（ ）
A． B． C． D．
【變式2】已知直線l過點（1,0）且垂直于軸，若l被拋物線截得的線段長為4，則拋物線的焦點坐標為 .
題型三: 拋物線的幾何性質
【例3】（2022·全國乙卷）設F為拋物線的焦點，點A在C上，點，若，則（ ）
A．2 B． C．3 D．
【變式3】已知為坐標原點，拋物線：()的焦點為，為上一點，與軸垂直，為軸上一點，且，若，則的準線方程為 .
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考場演練
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【真題1】（2024·北京）拋物線的焦點坐標為 ．
【真題2】（2024·上海）已知拋物線上有一點到準線的距離為9，那么點到軸的距離為 ．
【真題3】（2024·天津）圓的圓心與拋物線的焦點重合，為兩曲線的交點，則原點到直線的距離為 ．
【真題4】（2024·全國新Ⅱ卷）拋物線C：的準線為l，P為C上的動點，過P作的一條切線，Q為切點，過P作l的垂線，垂足為B，則（ ）
A．l與相切
B．當P，A，B三點共線時，
C．當時，
D．滿足的點有且僅有2個
【真題5】（2023·全國新Ⅱ卷）設O為坐標原點，直線過拋物線的焦點，且與C交于M，N兩點，l為C的準線，則（ ）．
A． B．
C．以MN為直徑的圓與l相切 D．為等腰三角形
【真題6】（2023·全國乙卷）已知點在拋物線C：上，則A到C的準線的距離為 .
【真題7】（2023·北京）已知拋物線的焦點為，點在上．若到直線的距離為5，則（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【真題8】（2022·全國新Ⅰ卷）已知O為坐標原點，點在拋物線上，過點的直線交C于P，Q兩點，則（ ）
A．C的準線為 B．直線AB與C相切
C． D．
【真題9】（2022·全國新Ⅱ卷）已知O為坐標原點，過拋物線焦點F的直線與C交于A，B兩點，其中A在第一象限，點，若，則（ ）
A．直線的斜率為 B．
C． D．
【真題10】（2021·全國新Ⅱ卷）拋物線的焦點到直線的距離為，則（ ）
A．1 B．2 C． D．4
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