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第06講 事件的相互獨立性、條件概率與全概率公式
考點要求 考題統(tǒng)計 考情分析
(1) 相互獨立事件 (2) 條件概率 (3) 全概率公式 2024年Ⅱ卷5分2024年天津卷5分2024年上海卷5分2023年甲卷5分2023年I卷5分2022年I卷5分2022年II卷5分2022年甲卷5分
（1）本講為高考命題熱點，題型以選擇題和解答題為主； （2）重點是兩個事件相互獨立，條件概率和全概率公式，主要考查兩個事件相互獨立的含義，隨機事件的獨立性和條件的概率的關(guān)系以及利用全概率公式計算概率.
1、了解兩個事件相互獨立的含義；
2、理解隨機事件的獨立性和條件的概率的關(guān)系，會利用全概率公式計算概率.
知識點1: 相互獨立事件
1、相互獨立事件
（1）定義：對任意兩個事件與，若 成立，則稱事件與事件相互獨立，簡稱獨立；
（2）性質(zhì)：若事件與事件相互獨立，則 與 ，事件與 ，事件與事件也相互獨立；
知識點2: 條件概率
1、條件概率
（1）定義：設(shè)與是兩個隨機事件，且，稱 為在事件發(fā)生條件下，事件發(fā)生的條件概率，簡稱條件概率；
（2）兩個公式
1）利用古典概型：；
2）概率的乘法公式： ；
知識點3: 全概率公式
1、全概率公式
設(shè)是一組兩兩互斥的事件，，且，則對任意的事件，有 ；
題型一: 相互獨立事件的概率
【例1】甲乙兩人獨立地解同一道題，解答出這道題的概率分別為，則這題沒被破解出的概率（ ）
A. B. C. D.1
【變式1】甲、乙、丙三位同學(xué)進行羽毛球比賽，約定賽制如下：累計負兩場者被淘汰；比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空；每場比賽的勝者與輪空者進行下一場比賽，負者下一場輪空，直至有一人被淘汰；當(dāng)一人被淘汰后，剩余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結(jié)束.經(jīng)抽簽，甲、乙首先比賽，丙輪空.設(shè)每場比賽雙方獲勝的概率都為.
（1）求甲連勝四場的概率；
（2）求需要進行第五場比賽的概率；
（3）求丙最終獲勝的概率.
題型二: 條件概率
【例2】（2024·天津）五種活動，甲、乙都要選擇三個活動參加.甲選到的概率為 ；已知乙選了活動，他再選擇活動的概率為 ．
【變式2】52張撲克牌，沒有大小王，無放回地抽取兩次，則兩次都抽到A的概率為 ；已知第一次抽到的是A，則第二次抽取A的概率為 .
題型三: 全概率公式的應(yīng)用
【例3】（2024·上海）某校舉辦科學(xué)競技比賽，有3種題庫，題庫有5000道題，題庫有4000道題，題庫有3000道題．小申已完成所有題，他題庫的正確率是0.92，題庫的正確率是0.86，題庫的正確率是0.72．現(xiàn)他從所有的題中隨機選一題，正確率是 ．
【變式3】設(shè)甲乘汽車、動車前往某目的地的概率分別為0.4，0.6，汽車和動車正點到達的概率分別為0.7，0.9，則甲正點到達目的地的概率為（ ）
A. 0.78 B. 0.8 C. 0.82 D. 0.84
【真題1】（2024·全國新Ⅱ卷）某投籃比賽分為兩個階段，每個參賽隊由兩名隊員組成，比賽具體規(guī)則如下：第一階段由參賽隊中一名隊員投籃3次，若3次都未投中，則該隊被淘汰，比賽成績?yōu)?分；若至少投中一次，則該隊進入第二階段.第二階段由該隊的另一名隊員投籃3次，每次投籃投中得5分，未投中得0分.該隊的比賽成績?yōu)榈诙A段的得分總和．某參賽隊由甲、乙兩名隊員組成，設(shè)甲每次投中的概率為p，乙每次投中的概率為q，各次投中與否相互獨立．
(1)若，，甲參加第一階段比賽，求甲、乙所在隊的比賽成績不少于5分的概率．
【真題2】（2024·天津）五種活動，甲、乙都要選擇三個活動參加.甲選到的概率為 ；已知乙選了活動，他再選擇活動的概率為 ．
【真題3】（2024·上海）某校舉辦科學(xué)競技比賽，有3種題庫，題庫有5000道題，題庫有4000道題，題庫有3000道題．小申已完成所有題，他題庫的正確率是0.92，題庫的正確率是0.86，題庫的正確率是0.72．現(xiàn)他從所有的題中隨機選一題，正確率是 ．
【真題4】（2023·全國新Ⅰ卷）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若末命中則換為對方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．
(1)求第2次投籃的人是乙的概率；
【真題5】（2023·全國甲卷）某地的中學(xué)生中有的同學(xué)愛好滑冰，的同學(xué)愛好滑雪，的同學(xué)愛好滑冰或愛好滑雪.在該地的中學(xué)生中隨機調(diào)查一位同學(xué)，若該同學(xué)愛好滑雪，則該同學(xué)也愛好滑冰的概率為（ ）
A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.4
【真題6】（2022·天津）52張撲克牌，沒有大小王，無放回地抽取兩次，則兩次都抽到A的概率為 ；已知第一次抽到的是A，則第二次抽取A的概率為
【真題7】（2022·全國新Ⅰ卷）一醫(yī)療團隊為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣（衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類）的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機調(diào)查了100例（稱為病例組），同時在未患該疾病的人群中隨機調(diào)查了100人（稱為對照組），得到如下數(shù)據(jù)：
不夠良好 良好
病例組 40 60
對照組 10 90
(1)能否有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異？
(2)從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”，B表示事件“選到的人患有該疾病”．與的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對患該疾病風(fēng)險程度的一項度量指標，記該指標為R．
（ⅰ）證明：；
（ⅱ）利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出的估計值，并利用（ⅰ）的結(jié)果給出R的估計值．
附，
0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
【真題8】（2022·全國新Ⅱ卷）在某地區(qū)進行流行病學(xué)調(diào)查，隨機調(diào)查了100位某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：
(1)估計該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；
(2)估計該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間的概率；
(3)已知該地區(qū)這種疾病的患病率為，該地區(qū)年齡位于區(qū)間的人口占該地區(qū)總?cè)丝诘?從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間，求此人患這種疾病的概率．（以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率，精確到0.0001）.
【真題9】（2022·全國甲卷）甲、乙兩個學(xué)校進行體育比賽，比賽共設(shè)三個項目，每個項目勝方得10分，負方得0分，沒有平局．三個項目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍．已知甲學(xué)校在三個項目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項目的比賽結(jié)果相互獨立．
(1)求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；
(2)用X表示乙學(xué)校的總得分，求X的分布列與期望．
【真題10】（2020·全國）甲、乙、丙三位同學(xué)進行羽毛球比賽，約定賽制如下：累計負兩場者被淘汰；比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空；每場比賽的勝者與輪空者進行下一場比賽，負者下一場輪空，直至有一人被淘汰；當(dāng)一人被淘汰后，剩余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結(jié)束.經(jīng)抽簽，甲、乙首先比賽，丙輪空.設(shè)每場比賽雙方獲勝的概率都為，
（1）求甲連勝四場的概率；
（2）求需要進行第五場比賽的概率；
（3）求丙最終獲勝的概率.
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第06講 事件的相互獨立性、條件概率與全概率公式
考點要求 考題統(tǒng)計 考情分析
(1) 相互獨立事件 (2) 條件概率 (3) 全概率公式 2024年Ⅱ卷5分2024年天津卷5分2024年上海卷5分2023年甲卷5分2023年I卷5分2022年I卷5分2022年II卷5分2022年甲卷5分
（1）本講為高考命題熱點，題型以選擇題和解答題為主； （2）重點是兩個事件相互獨立，條件概率和全概率公式，主要考查兩個事件相互獨立的含義，隨機事件的獨立性和條件的概率的關(guān)系以及利用全概率公式計算概率.
1、了解兩個事件相互獨立的含義；
2、理解隨機事件的獨立性和條件的概率的關(guān)系，會利用全概率公式計算概率.
知識點1: 相互獨立事件
1、相互獨立事件
（1）定義：對任意兩個事件與，若成立，則稱事件與事件相互獨立，簡稱獨立；
（2）性質(zhì)：若事件與事件相互獨立，則事件與事件，事件與事件，事件與事件也相互獨立；
知識點2: 條件概率
1、條件概率
（1）定義：設(shè)與是兩個隨機事件，且，稱為在事件發(fā)生條件下，事件發(fā)生的條件概率，簡稱條件概率；
（2）兩個公式
1）利用古典概型：
2）概率的乘法公式：
知識點3: 全概率公式
1、全概率公式
設(shè)是一組兩兩互斥的事件，，且，則對任意的事件，有；
題型一: 相互獨立事件的概率
【例1】甲乙兩人獨立地解同一道題，解答出這道題的概率分別為，則這題沒被破解出的概率（ ）
A. B. C. D.1
【答案】A
【解析】
甲乙都沒解出，則這題沒被破解出，概率為，答案為A.
【變式1】甲、乙、丙三位同學(xué)進行羽毛球比賽，約定賽制如下：累計負兩場者被淘汰；比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空；每場比賽的勝者與輪空者進行下一場比賽，負者下一場輪空，直至有一人被淘汰；當(dāng)一人被淘汰后，剩余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結(jié)束.經(jīng)抽簽，甲、乙首先比賽，丙輪空.設(shè)每場比賽雙方獲勝的概率都為.
（1）求甲連勝四場的概率；
（2）求需要進行第五場比賽的概率；
（3）求丙最終獲勝的概率.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】
（1）記事件甲連勝四場，則；
（2）記事件為甲輸，事件為乙輸，事件為丙輸，則四局內(nèi)結(jié)束比賽的概率為
，
需要進行第五場比賽的概率為；
（3）記事件為甲輸，事件為乙輸，事件為丙輸，記事件甲贏，記事件丙贏，
則甲贏包括：、、、、、、、，
甲贏的概率為；由對稱性可知，乙贏的概率和甲贏的概率相等，
丙贏的概率為.
題型二: 條件概率
【例2】（2024·天津）五種活動，甲、乙都要選擇三個活動參加.甲選到的概率為 ；已知乙選了活動，他再選擇活動的概率為 ．
【答案】；.
【解析】
設(shè)甲、乙選到為事件，乙選到為事件，甲選到的概率為；
乙選了活動，他再選擇活動的概率為；故答案為：；
【變式2】52張撲克牌，沒有大小王，無放回地抽取兩次，則兩次都抽到A的概率為 ；已知第一次抽到的是A，則第二次抽取A的概率為
【答案】；
【解析】
由題意，設(shè)第一次抽到A的事件為B,第二次抽到A的事件為C,
則；答案為；.
題型三: 全概率公式的應(yīng)用
【例3】（2024·上海）某校舉辦科學(xué)競技比賽，有3種題庫，題庫有5000道題，題庫有4000道題，題庫有3000道題．小申已完成所有題，他題庫的正確率是0.92，題庫的正確率是0.86，題庫的正確率是0.72．現(xiàn)他從所有的題中隨機選一題，正確率是 ．
【答案】0.85
【解析】
由題意知，題庫的比例為：，各占比分別為，
；答案為0.85．
【變式3】設(shè)甲乘汽車、動車前往某目的地的概率分別為0.4，0.6，汽車和動車正點到達的概率分別為0.7，0.9，則甲正點到達目的地的概率為（ ）
A. 0.78 B. 0.8 C. 0.82 D. 0.84
【答案】A
【解析】
由全概率公式得，；答案為C.
【真題1】（2024·全國新Ⅱ卷）某投籃比賽分為兩個階段，每個參賽隊由兩名隊員組成，比賽具體規(guī)則如下：第一階段由參賽隊中一名隊員投籃3次，若3次都未投中，則該隊被淘汰，比賽成績?yōu)?分；若至少投中一次，則該隊進入第二階段.第二階段由該隊的另一名隊員投籃3次，每次投籃投中得5分，未投中得0分.該隊的比賽成績?yōu)榈诙A段的得分總和．某參賽隊由甲、乙兩名隊員組成，設(shè)甲每次投中的概率為p，乙每次投中的概率為q，各次投中與否相互獨立．
(1)若，，甲參加第一階段比賽，求甲、乙所在隊的比賽成績不少于5分的概率．
【答案】(1)
【解析】
（1）甲、乙所在隊比賽成績不少于5分，則甲第一階段至少投中1次，乙第二階段至少投中1次，
比賽成績不少于5分的概率.
【真題2】（2024·天津）五種活動，甲、乙都要選擇三個活動參加.甲選到的概率為 ；已知乙選了活動，他再選擇活動的概率為 ．
【答案】；.
【解析】
設(shè)甲、乙選到為事件，乙選到為事件，甲選到的概率為；
乙選了活動，他再選擇活動的概率為；故答案為：；
【真題3】（2024·上海）某校舉辦科學(xué)競技比賽，有3種題庫，題庫有5000道題，題庫有4000道題，題庫有3000道題．小申已完成所有題，他題庫的正確率是0.92，題庫的正確率是0.86，題庫的正確率是0.72．現(xiàn)他從所有的題中隨機選一題，正確率是 ．
【答案】0.85
【解析】
由題意知，題庫的比例為：，各占比分別為，
；答案為0.85．
【真題4】（2023·全國新Ⅰ卷）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若末命中則換為對方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．
(1)求第2次投籃的人是乙的概率；
【答案】(1)；
【解析】
（1）記“第次投籃的人是甲”為事件，“第次投籃的人是乙”為事件，
；
【真題5】（2023·全國甲卷）某地的中學(xué)生中有的同學(xué)愛好滑冰，的同學(xué)愛好滑雪，的同學(xué)愛好滑冰或愛好滑雪.在該地的中學(xué)生中隨機調(diào)查一位同學(xué)，若該同學(xué)愛好滑雪，則該同學(xué)也愛好滑冰的概率為（ ）
A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.4
【答案】A
【解析】
同時愛好兩項的概率為，
記“該同學(xué)愛好滑雪”為事件,記“該同學(xué)愛好滑冰”為事件，則，
；答案為.
【真題6】（2022·天津）52張撲克牌，沒有大小王，無放回地抽取兩次，則兩次都抽到A的概率為 ；已知第一次抽到的是A，則第二次抽取A的概率為
【答案】；
【解析】
由題意，設(shè)第一次抽到A的事件為B,第二次抽到A的事件為C,
則；答案為；.
【真題7】（2022·全國新Ⅰ卷）一醫(yī)療團隊為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣（衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類）的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機調(diào)查了100例（稱為病例組），同時在未患該疾病的人群中隨機調(diào)查了100人（稱為對照組），得到如下數(shù)據(jù)：
不夠良好 良好
病例組 40 60
對照組 10 90
(1)能否有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異？
(2)從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”，B表示事件“選到的人患有該疾病”．與的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對患該疾病風(fēng)險程度的一項度量指標，記該指標為R．
（ⅰ）證明：；
（ⅱ）利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出的估計值，并利用（ⅰ）的結(jié)果給出R的估計值．
附，
0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
【答案】(1)見解析；(2)（i）見解析；(ii)；
【解析】
（1）由已知，
又，，
有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異；
（2）(i)，
；
(ii) 由已知，，
，，.
【真題8】（2022·全國新Ⅱ卷）在某地區(qū)進行流行病學(xué)調(diào)查，隨機調(diào)查了100位某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：
(1)估計該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；
(2)估計該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間的概率；
(3)已知該地區(qū)這種疾病的患病率為，該地區(qū)年齡位于區(qū)間的人口占該地區(qū)總?cè)丝诘?從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間，求此人患這種疾病的概率．（以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率，精確到0.0001）.
【答案】(1)歲；(2)；(3)．
【解析】
（1）平均年齡
（歲）；
（2）設(shè){一人患這種疾病的年齡在區(qū)間}，
．
（3）設(shè)“任選一人年齡位于區(qū)間[40,50)”，“從該地區(qū)中任選一人患這種疾病”，
,
則由條件概率公式可得．
【真題9】（2022·全國甲卷）甲、乙兩個學(xué)校進行體育比賽，比賽共設(shè)三個項目，每個項目勝方得10分，負方得0分，沒有平局．三個項目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍．已知甲學(xué)校在三個項目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項目的比賽結(jié)果相互獨立．
(1)求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；
(2)用X表示乙學(xué)校的總得分，求X的分布列與期望．
【答案】(1)；(2)分布列見解析，.
【解析】（1）設(shè)甲在三個項目中獲勝的事件依次記為，
甲學(xué)校獲得冠軍的概率為
；
（2）依題可知，的可能取值為，
,，
，；
的分布列為
0 10 20 30
0.16 0.44 0.34 0.06
.
【真題10】（2020·全國）甲、乙、丙三位同學(xué)進行羽毛球比賽，約定賽制如下：累計負兩場者被淘汰；比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空；每場比賽的勝者與輪空者進行下一場比賽，負者下一場輪空，直至有一人被淘汰；當(dāng)一人被淘汰后，剩余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結(jié)束.經(jīng)抽簽，甲、乙首先比賽，丙輪空.設(shè)每場比賽雙方獲勝的概率都為，
（1）求甲連勝四場的概率；
（2）求需要進行第五場比賽的概率；
（3）求丙最終獲勝的概率.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】
（1）記事件甲連勝四場，則；
（2）記事件為甲輸，事件為乙輸，事件為丙輸，則四局內(nèi)結(jié)束比賽的概率為
，
需要進行第五場比賽的概率為；
（3）記事件為甲輸，事件為乙輸，事件為丙輸，記事件甲贏，記事件丙贏，
則甲贏包括：、、、、、、、，
甲贏的概率為；由對稱性可知，乙贏的概率和甲贏的概率相等，
丙贏的概率為.
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