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第08講 二項分布、超幾何分布與正態分布
(
考綱導向
小
)
考點要求 考題統計 考情分析
(1) 二項分布 (2) 超幾何分布 (3) 正態分布 2024年I卷5分2024年北京卷12分2023年I卷12分2022年II卷5分2021年II卷5分2021年北京卷12分
（1）本講為高考命題熱點，題型以選擇題、解答題為主； （2）重點是二項分布、超幾何分布和正態分布，主要考查二項分布、超幾何分布的概念理解和應用，正態分布的概念以及正態分布曲線的特點；注意區分分布類型.
(
考試要求
小
)
1、理解二項分布、超幾何分布的概念，能解決一些簡單的實際問題；
2、借助正態曲線了解正態分布的概念，并進行簡單應用.
(
考點突破考綱解讀
)
(
考點梳理
小
)
知識點1: 二項分布
1、二項分布
（1）伯努利試驗
只包含 可能的結果的試驗叫做伯努利試驗；
將一個伯努利試驗獨立地重復進行次，所組成的隨機試驗稱為 ；
（2）二項分布
在重伯努利試驗中，設每次試驗中事件發生的概率為，用表示事件發生的次數，則的分布列為；
若隨機變量的分布列具有上式的形式，則稱隨機變量服從 ，記作 ；
（3）兩點分布與二項分布的均值、方差
1）若隨機變量服從兩點分布，則；
2）若，則 ；
知識點2: 超幾何分布
1、超幾何分布
假設一批產品共有件，其中有件次品，從件產品中隨機抽取件（不放回），用表示抽取的件產品中的次品數，則的分布列為，其中；
若隨機變量的分布列具有上式的形式，則稱隨機變量服從 ；
知識點3: 正態分布
1、正態分布
（1）定義
若隨機變量的概率分布密度函數為，其中為參數，則稱隨機變量服從正態分布，記為
（2）正態曲線的特點
1）曲線是單峰的，關于 對稱；
2）曲線在處達到峰值；
3）當無限增大時，曲線無限接近軸；
（3）原則
1）；
2）；
3）；
（4）正態分布的均值與方差
若，則 .
(
題型展示
小
)
題型一: 二項分布
【例1】設甲、乙兩位同學上學期間，每天7：30之前到校的概率均為.假定甲、乙兩位同學到校情況互不影響，且任一同學每天到校情況相互獨立.
（Ⅰ）用表示甲同學上學期間的三天中7：30之前到校的天數，求隨機變量的分布列和數學期望；
（Ⅱ）設為事件“上學期間的三天中，甲同學在7：30之前到校的天數比乙同學在7：30之前到校的天數恰好多2”，求事件發生的概率.
【變式1】已知隨機變量，則等于 （ ）
A. B. C. D.
題型二: 超幾何分布
【例2】在心理學研究中，常采用對比試驗的方法評價不同心理暗示對人的影響，具體方法如下：將參加試驗的志愿者隨機分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙種心理暗示，通過對比這兩組志愿者接受心理暗示后的結果來評價兩種心理暗示的作用，現有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，從中隨機抽取5人接受甲種心理暗示，另5人接受乙種心理暗示.
（I）求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含的概率．
（II）用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數，求X的分布列與數學期望EX.
【變式2】在含有3件次品的10件產品中，任取4件，表示取到的次品的個數，則 .
題型三: 正態分布
【例3】（2024·全國新Ⅰ卷）（多選）隨著“一帶一路”國際合作的深入，某茶葉種植區多措并舉推動茶葉出口.為了解推動出口后的畝收入（單位：萬元）情況，從該種植區抽取樣本，得到推動出口后畝收入的樣本均值，樣本方差，已知該種植區以往的畝收入服從正態分布，假設推動出口后的畝收入服從正態分布，則（ ）
（若隨機變量Z服從正態分布，）
A． B．
C． D．
【變式3】已知某批零件的長度誤差（單位：毫米）服從正態分布，從中隨機取一件，其長度誤差落在區間（3,6）內的概率為（ ）（若隨機變量ξ服從正態分布，則，）
A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74%
(
考場演練
)
【真題1】（2024·全國新Ⅰ卷）（多選）隨著“一帶一路”國際合作的深入，某茶葉種植區多措并舉推動茶葉出口.為了解推動出口后的畝收入（單位：萬元）情況，從該種植區抽取樣本，得到推動出口后畝收入的樣本均值，樣本方差，已知該種植區以往的畝收入服從正態分布，假設推動出口后的畝收入服從正態分布，則（ ）
（若隨機變量Z服從正態分布，）
A． B．
C． D．
【真題2】（2024·北京）某保險公司為了了解該公司某種保險產品的索賠情況，從合同險期限屆滿的保單中隨機抽取1000份，記錄并整理這些保單的索賠情況，獲得數據如下表：
賠償次數 0 1 2 3 4
單數
假設：一份保單的保費為0.4萬元；前3次索賠時，保險公司每次賠償0.8萬元；第四次索賠時，保險公司賠償0.6萬元.假設不同保單的索賠次數相互獨立.用頻率估計概率.
(1)估計一份保單索賠次數不少于2的概率；
(2)一份保單的毛利潤定義為這份保單的保費與賠償總金額之差.
（i）記為一份保單的毛利潤，估計的數學期望；
（ⅱ）如果無索賠的保單的保費減少，有索賠的保單的保費增加，試比較這種情況下一份保單毛利潤的數學期望估計值與（i）中估計值的大小．（結論不要求證明）
【真題3】（2023·全國新Ⅰ卷）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規則如下：若命中則此人繼續投籃，若末命中則換為對方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．
(1)求第2次投籃的人是乙的概率；
(2)求第次投籃的人是甲的概率；
(3)已知：若隨機變量服從兩點分布，且，則．記前次（即從第1次到第次投籃）中甲投籃的次數為，求．
【真題4】（2022·全國新Ⅱ卷）已知隨機變量X服從正態分布，且，則 ．
【真題5】（2021·全國新Ⅱ卷）某物理量的測量結果服從正態分布，下列結論中不正確的是（ ）
A．越小，該物理量在一次測量中在的概率越大
B．該物理量在一次測量中大于10的概率為0.5
C．該物理量在一次測量中小于9.99與大于10.01的概率相等
D．該物理量在一次測量中落在與落在的概率相等
【真題6】（2021·北京）在核酸檢測中, “k合1” 混采核酸檢測是指：先將k個人的樣本混合在一起進行1次檢測,如果這k個人都沒有感染新冠病毒，則檢測結果為陰性，得到每人的檢測結果都為陰性，檢測結束:如果這k個人中有人感染新冠病毒，則檢測結果為陽性，此時需對每人再進行1次檢測,得到每人的檢測結果，檢測結束.
現對100人進行核酸檢測，假設其中只有2人感染新冠病毒，并假設每次檢測結果準確.
（I）將這100人隨機分成10組，每組10人，且對每組都采用“10合1”混采核酸檢測.
(i)如果感染新冠病毒的2人在同一組，求檢測的總次數;
(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一組的概率為.設X是檢測的總次數，求X的分布列與數學期望E(X).
(II）將這100人隨機分成20組，每組5人，且對每組都采用“5合1”混采核酸檢測.設Y是檢測的總次數，試判斷數學期望E(Y)與(I)中E(X)的大小.(結論不要求證明)
【真題7】（2020·江蘇）甲口袋中裝有2個黑球和1個白球，乙口袋中裝有3個白球．現從甲、乙兩口袋中各任取一個球交換放入另一口袋，重復n次這樣的操作，記甲口袋中黑球個數為，恰有2個黑球的概率為，恰有1個黑球的概率為．
（1）求和；
（2）求與的遞推關系式和的數學期望(用表示) ．
【真題8】（2019·山東）已知某批零件的長度誤差（單位：毫米）服從正態分布，從中隨機取一件，其長度誤差落在區間（3,6）內的概率為（ ）（若隨機變量ξ服從正態分布，則，）
A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74%
【真題9】（2019·天津）設甲、乙兩位同學上學期間，每天7：30之前到校的概率均為.假定甲、乙兩位同學到校情況互不影響，且任一同學每天到校情況相互獨立.
（Ⅰ）用表示甲同學上學期間的三天中7：30之前到校的天數，求隨機變量的分布列和數學期望；
（Ⅱ）設為事件“上學期間的三天中，甲同學在7：30之前到校的天數比乙同學在7：30之前到校的天數恰好多2”，求事件發生的概率.
【真題10】（2017·山東）在心理學研究中，常采用對比試驗的方法評價不同心理暗示對人的影響，具體方法如下：將參加試驗的志愿者隨機分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙種心理暗示，通過對比這兩組志愿者接受心理暗示后的結果來評價兩種心理暗示的作用，現有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，從中隨機抽取5人接受甲種心理暗示，另5人接受乙種心理暗示.
（I）求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含的概率．
（II）用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數，求X的分布列與數學期望EX.
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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第08講 二項分布、超幾何分布與正態分布
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考綱導向
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考點要求 考題統計 考情分析
(1) 二項分布 (2) 超幾何分布 (3) 正態分布 2024年I卷5分2024年北京卷12分2023年I卷12分2022年II卷5分2021年II卷5分2021年北京卷12分
（1）本講為高考命題熱點，題型以選擇題、解答題為主； （2）重點是二項分布、超幾何分布和正態分布，主要考查二項分布、超幾何分布的概念理解和應用，正態分布的概念以及正態分布曲線的特點；注意區分分布類型.
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考試要求
小
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1、理解二項分布、超幾何分布的概念，能解決一些簡單的實際問題；
2、借助正態曲線了解正態分布的概念，并進行簡單應用.
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考點突破考綱解讀
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考點梳理
小
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知識點1: 二項分布
1、二項分布
（1）伯努利試驗
只包含兩個可能的結果的試驗叫做伯努利試驗；
將一個伯努利試驗獨立地重復進行次，所組成的隨機試驗稱為重伯努利試驗；
（2）二項分布
在重伯努利試驗中，設每次試驗中事件發生的概率為，用表示事件發生的次數，則的分布列為；
若隨機變量的分布列具有上式的形式，則稱隨機變量服從二項分布，記作；
（3）兩點分布與二項分布的均值、方差
1）若隨機變量服從兩點分布，則；
2）若，則；
知識點2: 超幾何分布
1、超幾何分布
假設一批產品共有件，其中有件次品，從件產品中隨機抽取件（不放回），用表示抽取的件產品中的次品數，則的分布列為，其中；
若隨機變量的分布列具有上式的形式，則稱隨機變量服從超幾何分布；
知識點3: 正態分布
1、正態分布
（1）定義
若隨機變量的概率分布密度函數為，其中為參數，則稱隨機變量服從正態分布，記為
（2）正態曲線的特點
1）曲線是單峰的，關于直線對稱；
2）曲線在處達到峰值；
3）當無限增大時，曲線無限接近軸；
（3）原則
1）；
2）；
3）；
（4）正態分布的均值與方差
若，則.
(
題型展示
小
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題型一: 二項分布
【例1】設甲、乙兩位同學上學期間，每天7：30之前到校的概率均為.假定甲、乙兩位同學到校情況互不影響，且任一同學每天到校情況相互獨立.
（Ⅰ）用表示甲同學上學期間的三天中7：30之前到校的天數，求隨機變量的分布列和數學期望；
（Ⅱ）設為事件“上學期間的三天中，甲同學在7：30之前到校的天數比乙同學在7：30之前到校的天數恰好多2”，求事件發生的概率.
【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）
【解析】
(Ⅰ)甲同學上學期間的三天中到校情況相互獨立，且每天7:30之前到校的概率均為，
，，
隨機變量的分布列為：
0 1 2 3
.
(Ⅱ)設乙同學上學期間的三天中7:30之前到校的天數為，則，
且，由題意知事件與互斥，
且事件與，事件與均相互獨立，從而由(Ⅰ)知：
.
【變式1】已知隨機變量，則等于 （ ）
A. B. C. D.
【答案】
【解析】
；
；答案為A.
題型二: 超幾何分布
【例2】在心理學研究中，常采用對比試驗的方法評價不同心理暗示對人的影響，具體方法如下：將參加試驗的志愿者隨機分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙種心理暗示，通過對比這兩組志愿者接受心理暗示后的結果來評價兩種心理暗示的作用，現有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，從中隨機抽取5人接受甲種心理暗示，另5人接受乙種心理暗示.
（I）求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含的概率．
（II）用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數，求X的分布列與數學期望EX.
【答案】（1） （2）見解析
【解析】
（I）記接受甲種心理暗示的志愿者中包含但不包含的事件為M，則；
（II）由題意知X可取的值為：，則
X的分布列為
X 0 1 2 3 4
P
=
【變式2】在含有3件次品的10件產品中，任取4件，表示取到的次品的個數，則 .
【答案】
【解析】
服從超幾何分布，；答案為
題型三: 正態分布
【例3】（2024·全國新Ⅰ卷）（多選）隨著“一帶一路”國際合作的深入，某茶葉種植區多措并舉推動茶葉出口.為了解推動出口后的畝收入（單位：萬元）情況，從該種植區抽取樣本，得到推動出口后畝收入的樣本均值，樣本方差，已知該種植區以往的畝收入服從正態分布，假設推動出口后的畝收入服從正態分布，則（ ）
（若隨機變量Z服從正態分布，）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】
由題意得，，，
，C正確，D錯；
，，
，，
而，B正確，A錯，答案為BC．
【變式3】已知某批零件的長度誤差（單位：毫米）服從正態分布，從中隨機取一件，其長度誤差落在區間（3,6）內的概率為（ ）（若隨機變量ξ服從正態分布，則，）
A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74%
【答案】B
【解析】
，答案為B．
(
考場演練
)
【真題1】（2024·全國新Ⅰ卷）（多選）隨著“一帶一路”國際合作的深入，某茶葉種植區多措并舉推動茶葉出口.為了解推動出口后的畝收入（單位：萬元）情況，從該種植區抽取樣本，得到推動出口后畝收入的樣本均值，樣本方差，已知該種植區以往的畝收入服從正態分布，假設推動出口后的畝收入服從正態分布，則（ ）
（若隨機變量Z服從正態分布，）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】
由題意得，，，
，C正確，D錯；
，，
，，
而，B正確，A錯，答案為BC．
【真題2】（2024·北京）某保險公司為了了解該公司某種保險產品的索賠情況，從合同險期限屆滿的保單中隨機抽取1000份，記錄并整理這些保單的索賠情況，獲得數據如下表：
賠償次數 0 1 2 3 4
單數
假設：一份保單的保費為0.4萬元；前3次索賠時，保險公司每次賠償0.8萬元；第四次索賠時，保險公司賠償0.6萬元.假設不同保單的索賠次數相互獨立.用頻率估計概率.
(1)估計一份保單索賠次數不少于2的概率；
(2)一份保單的毛利潤定義為這份保單的保費與賠償總金額之差.
（i）記為一份保單的毛利潤，估計的數學期望；
（ⅱ）如果無索賠的保單的保費減少，有索賠的保單的保費增加，試比較這種情況下一份保單毛利潤的數學期望估計值與（i）中估計值的大小．（結論不要求證明）
【答案】(1)(2)(i)0.122萬元；(ii)數學期望估計值大于(i)中估計值
【解析】
（1）設為“隨機抽取一單，賠償不少于2次”，則；
（2）（ⅰ）設為賠付金額，則可取，
，，，
，，
（萬元）.
（ⅱ）保費的變化為，
（萬元），從而.
【真題3】（2023·全國新Ⅰ卷）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規則如下：若命中則此人繼續投籃，若末命中則換為對方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．
(1)求第2次投籃的人是乙的概率；
(2)求第次投籃的人是甲的概率；
(3)已知：若隨機變量服從兩點分布，且，則．記前次（即從第1次到第次投籃）中甲投籃的次數為，求．
【答案】(1)；(2)；(3)；
【解析】
（1）記“第次投籃的人是甲”為事件，“第次投籃的人是乙”為事件，.
（2）設，，則，
即，構造等比數列，
設，解得，則，
又，是首項為，公比為的等比數列，
即．
（3），，
當時，，
．
【真題4】（2022·全國新Ⅱ卷）已知隨機變量X服從正態分布，且，則 ．
【答案】/．
【解析】
，，；答案為．
【真題5】（2021·全國新Ⅱ卷）某物理量的測量結果服從正態分布，下列結論中不正確的是（ ）
A．越小，該物理量在一次測量中在的概率越大
B．該物理量在一次測量中大于10的概率為0.5
C．該物理量在一次測量中小于9.99與大于10.01的概率相等
D．該物理量在一次測量中落在與落在的概率相等
【答案】D
【解析】
對A，為數據的方差，越小，數據在附近越集中，
測量結果落在內的概率越大，A正確；
對B，該物理量一次測量大于10的概率為，B正確；
對C，該物理量一次測量結果大于的概率與小于的概率相等，C正確；
對D，該物理量一次測量結果落在的概率與落在的概率不同，
一次測量結果落在的概率與落在的概率不同，D錯；答案為D.
【真題6】（2021·北京）在核酸檢測中, “k合1” 混采核酸檢測是指：先將k個人的樣本混合在一起進行1次檢測,如果這k個人都沒有感染新冠病毒，則檢測結果為陰性，得到每人的檢測結果都為陰性，檢測結束:如果這k個人中有人感染新冠病毒，則檢測結果為陽性，此時需對每人再進行1次檢測,得到每人的檢測結果，檢測結束.
現對100人進行核酸檢測，假設其中只有2人感染新冠病毒，并假設每次檢測結果準確.
（I）將這100人隨機分成10組，每組10人，且對每組都采用“10合1”混采核酸檢測.
(i)如果感染新冠病毒的2人在同一組，求檢測的總次數;
(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一組的概率為.設X是檢測的總次數，求X的分布列與數學期望E(X).
(II）將這100人隨機分成20組，每組5人，且對每組都采用“5合1”混采核酸檢測.設Y是檢測的總次數，試判斷數學期望E(Y)與(I)中E(X)的大小.(結論不要求證明)
【答案】（1）①次；②分布列見解析；期望為；（2）．
【解析】
（1）①對每組進行檢測，需要10次；再對結果為陽性的組每個人進行檢測，需要10次；
總檢測次數為20次；
②由題意，可以取20，30，
，，則的分布列:
；
（2）由題意，可以取25，30，兩名感染者在同一組的概率為，
不在同一組的概率為，.
【真題7】（2020·江蘇）甲口袋中裝有2個黑球和1個白球，乙口袋中裝有3個白球．現從甲、乙兩口袋中各任取一個球交換放入另一口袋，重復n次這樣的操作，記甲口袋中黑球個數為，恰有2個黑球的概率為，恰有1個黑球的概率為．
（1）求和；
（2）求與的遞推關系式和的數學期望(用表示) ．
【答案】（1）（2）
【解析】
（1），，
；
（2），
，
，，
；又的分布列為
0 1 2
.
【真題8】（2019·山東）已知某批零件的長度誤差（單位：毫米）服從正態分布，從中隨機取一件，其長度誤差落在區間（3,6）內的概率為（ ）（若隨機變量ξ服從正態分布，則，）
A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74%
【答案】B
【解析】
，答案為B．
【真題9】（2019·天津）設甲、乙兩位同學上學期間，每天7：30之前到校的概率均為.假定甲、乙兩位同學到校情況互不影響，且任一同學每天到校情況相互獨立.
（Ⅰ）用表示甲同學上學期間的三天中7：30之前到校的天數，求隨機變量的分布列和數學期望；
（Ⅱ）設為事件“上學期間的三天中，甲同學在7：30之前到校的天數比乙同學在7：30之前到校的天數恰好多2”，求事件發生的概率.
【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）
【解析】
(Ⅰ)甲同學上學期間的三天中到校情況相互獨立，且每天7:30之前到校的概率均為，
，，
隨機變量的分布列為：
0 1 2 3
.
(Ⅱ)設乙同學上學期間的三天中7:30之前到校的天數為，則，
且，由題意知事件與互斥，
且事件與，事件與均相互獨立，從而由(Ⅰ)知：
.
【真題10】（2017·山東）在心理學研究中，常采用對比試驗的方法評價不同心理暗示對人的影響，具體方法如下：將參加試驗的志愿者隨機分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙種心理暗示，通過對比這兩組志愿者接受心理暗示后的結果來評價兩種心理暗示的作用，現有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，從中隨機抽取5人接受甲種心理暗示，另5人接受乙種心理暗示.
（I）求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含的概率．
（II）用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數，求X的分布列與數學期望EX.
【答案】（1） （2）見解析
【解析】
（I）記接受甲種心理暗示的志愿者中包含但不包含的事件為M，則
（II）由題意知X可取的值為：.則
X的分布列為
X 0 1 2 3 4
P
=
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