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第05講 空間向量及其應用
(
考綱導向
小
)
考點要求 考題統計 考情分析
(1) 向量法證明立體幾何中線面位置關系 (2) 向量法研究異面直線、直線與平面、平面與平面的夾角 (3) 空間中點到直線以及點到平面的距離 2024年I卷5分2024年II卷5分2024年甲卷5分2024年北京卷5分2024年天津卷5分2023年甲卷5分2023年乙卷5分2023年I卷5分2022年I卷5分
（1）本講為新高考必考點，題型以解答題為主，基本上每年都有一道立體幾何大題，考查內容、頻率、題型、難度均變化不大； （2）重點是向量法證明立體幾何中線面位置關系，向量法研究異面直線、直線與平面、平面與平面的夾角，空間中點到直線以及點到平面的距離，主要考查線面角、二面角的求解以及空間中點到直線和點到平面的距離求解，這類題型需重點練習.
(
考試要求
小
)
1、理解直線的方向向量及平面的法向量，能用向量方法證明立體幾何中有關線面位置關系的一些簡單定理；
2、能用向量法解決異面直線、直線與平面、平面與平面的夾角問題，并能描述解決這一類問題的程序，體會向量法在研究空間角問題中的作用；
3、會求空間中點到直線以及點到平面的距離；以空間向量為工具，探究空間幾何體中線、面的位置關系或空間角存在的條件.
(
考點突破考綱解讀
)
(
考點梳理
小
)
知識點1: 空間位置關系的向量表示
1、空間位置關系的向量表示
（1）直線的方向向量
如果表示非零向量的有向線段所在直線與直線平行或重合，那么為直線的 ；
（2）平面的法向量
若直線垂直，取直線的方向向量，則向量為平面的 ；
（3）空間位置關系的向量表示
若直線的方向向量分別為，平面的法向量分別為，則有：
1）線線平行：；
2）線線垂直： ；
3）線面平行： ；
4）線面垂直：；
5）面面平行：；
6）面面垂直： ；
知識點2:空間角
1、異面直線所成角
若異面直線所成的角為，其方向向量分別是， ；
的范圍：；
2、直線與平面所成角
如圖，設為平面的斜線，為的方向向量，為平面的法向量，為與所成的角，則；
的范圍：；
3、二面角
平面與相交于直線，平面的法向量為，平面的法向量為，則二面角為或；設二面角大小為，則；
知識點3:空間距離
1、點到直線的距離
設為直線外一點，點為直線上任一點，直線的方向向量為，則點到直線的距離 ；
2、點到平面的距離
設為平面外一點，點為平面內任一點，平面的法向量為，過點作平面的垂線，則點到平面的距離 ；
(
題型展示
小
)
題型一: 直線與平面所成的角
【例1】在四棱錐中，底面
．
(1)證明：；
(2)求PD與平面所成的角的正弦值．
【變式1】如圖，四面體中，，E為的中點．
(1)證明：平面平面；
(2)設，點F在上，當的面積最小時，求與平面所成的角的正弦值．
題型二: 平面與平面的夾角
【例2】（2023·全國乙卷）如圖，在三棱錐中，，，，，BP，AP，BC的中點分別為D，E，O，，點F在AC上，.
(1)證明：平面；
(2)證明：平面平面BEF；
(3)求二面角的正弦值.
【變式2】如圖，在三棱錐中，平面，．
(1)求證：平面PAB；
(2)求二面角的大小．
題型三: 空間距離
【例3】（2024·天津）已知四棱柱中，底面為梯形，，平面，，其中．是的中點，是的中點．
(1)求證平面；
(2)求平面與平面的夾角余弦值；
(3)求點到平面的距離．
【變式3】如圖，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點.
（1）證明：MN∥平面C1DE；
（2）求點C到平面C1DE的距離．
(
考場演練
)
【真題1】（2024·全國甲卷）如圖，，，，,為的中點.
(1)證明：平面；
(2)求點到的距離.
【真題2】（2024·全國新Ⅱ卷）如圖，平面四邊形ABCD中，，，，，，點E，F滿足，，將沿EF翻折至，使得．
(1)證明：；
(2)求平面PCD與平面PBF所成的二面角的正弦值．
【真題3】（2024·北京）如圖，在四棱錐中，，，,點在上，且，．
(1)若為線段中點，求證：平面．
(2)若平面，求平面與平面夾角的余弦值．
【真題4】（2024·天津）已知四棱柱中，底面為梯形，，平面，，其中．是的中點，是的中點．
(1)求證平面；
(2)求平面與平面的夾角余弦值；
(3)求點到平面的距離．
【真題5】（2024·上海）如圖為正四棱錐為底面的中心．
(1)若，求繞旋轉一周形成的幾何體的體積；
(2)若為的中點，求直線與平面所成角的大小．
【真題6】（2023·全國甲卷）如圖，在三棱柱中，底面ABC，，到平面的距離為1．
(1)證明：；
(2)已知與的距離為2，求與平面所成角的正弦值．
【真題7】（2023·全國乙卷）如圖，在三棱錐中，，，，，BP，AP，BC的中點分別為D，E，O，，點F在AC上，.
(1)證明：平面；
(2)證明：平面平面BEF；
(3)求二面角的正弦值.
【真題8】（2023·全國新Ⅱ卷）如圖，三棱錐中，，，，E為BC的中點．
(1)證明：；
(2)點F滿足，求二面角的正弦值．
【真題9】（2023·全國甲卷）如圖，在三棱柱中，平面．
(1)證明：平面平面；
(2)設，求四棱錐的高．
【真題10】（2022·全國新Ⅰ卷）如圖，直三棱柱的體積為4，的面積為．
(1)求A到平面的距離；
(2)設D為的中點，，平面平面，求二面角的正弦值．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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第05講 空間向量及其應用
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考綱導向
小
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考點要求 考題統計 考情分析
(1) 向量法證明立體幾何中線面位置關系 (2) 向量法研究異面直線、直線與平面、平面與平面的夾角 (3) 空間中點到直線以及點到平面的距離 2024年I卷5分2024年II卷5分2024年甲卷5分2024年北京卷5分2024年天津卷5分2023年甲卷5分2023年乙卷5分2023年I卷5分2022年I卷5分
（1）本講為新高考必考點，題型以解答題為主，基本上每年都有一道立體幾何大題，考查內容、頻率、題型、難度均變化不大； （2）重點是向量法證明立體幾何中線面位置關系，向量法研究異面直線、直線與平面、平面與平面的夾角，空間中點到直線以及點到平面的距離，主要考查線面角、二面角的求解以及空間中點到直線和點到平面的距離求解，這類題型需重點練習.
(
考試要求
小
)
1、理解直線的方向向量及平面的法向量，能用向量方法證明立體幾何中有關線面位置關系的一些簡單定理；
2、能用向量法解決異面直線、直線與平面、平面與平面的夾角問題，并能描述解決這一類問題的程序，體會向量法在研究空間角問題中的作用；
3、會求空間中點到直線以及點到平面的距離；以空間向量為工具，探究空間幾何體中線、面的位置關系或空間角存在的條件.
(
考點突破考綱解讀
)
(
考點梳理
小
)
知識點1: 空間位置關系的向量表示
1、空間位置關系的向量表示
（1）直線的方向向量
如果表示非零向量的有向線段所在直線與直線平行或重合，那么為直線的方向向量；
（2）平面的法向量
若直線垂直，取直線的方向向量，則向量為平面的法向量；
（3）空間位置關系的向量表示
若直線的方向向量分別為，平面的法向量分別為，則有：
1）線線平行：；
2）線線垂直：；
3）線面平行：；
4）線面垂直：；
5）面面平行：；
6）面面垂直：；
知識點2:空間角
1、異面直線所成角
若異面直線所成的角為，其方向向量分別是，；
的范圍：；
2、直線與平面所成角
如圖，設為平面的斜線，為的方向向量，為平面的法向量，為與所成的角，則；
的范圍：；
3、二面角
平面與相交于直線，平面的法向量為，平面的法向量為，則二面角為或；設二面角大小為，則；
知識點3:空間距離
1、點到平面的距離
設為平面外一點，點為平面內任一點，平面的法向量為，過點作平面的垂線，則點到平面的距離；
(
題型展示
小
)
題型一: 直線與平面所成的角
【例1】在四棱錐中，底面
．
(1)證明：；
(2)求PD與平面所成的角的正弦值．
【答案】(1)見解析；(2).
【解析】
（1）證明：在四邊形中，作于，于，
，
四邊形為等腰梯形，
，故，，
，，
平面，平面，，
又，平面，又平面，；
（2）如圖，以點為原點建立空間直角坐標系，，則，
則，設平面的法向量，
則有，可取，則，
與平面所成角的正弦值為.
【變式1】如圖，四面體中，，E為的中點．
(1)證明：平面平面；
(2)設，點F在上，當的面積最小時，求與平面所成的角的正弦值．
【答案】(1)見解析；(2) ；
【解析】
（1），E為的中點，；
在和中，，
，，又E為的中點，；
又平面，，平面，
平面，平面平面.
（2）連接，由（1）知，平面，平面，
，，
當時，最小，即的面積最小，，，
又，是等邊三角形，E為的中點，，，
，,在中，，，
以為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，，
設平面的一個法向量為，
則，取，則，
又，，，
設與平面所成的角為，，
與平面所成的角的正弦值為.
題型二: 平面與平面的夾角
【例2】（2023·全國乙卷）如圖，在三棱錐中，，，，，BP，AP，BC的中點分別為D，E，O，，點F在AC上，.
(1)證明：平面；
(2)證明：平面平面BEF；
(3)求二面角的正弦值.
【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3).
【解析】
（1）連接，設，則，，，
則，
解得，則為的中點，由分別為的中點，
于是，
即，則四邊形為平行四邊形，
，又平面平面，平面.
（2）由（1）可知，則，得，
，則，有，
又，平面，
則有平面，又平面，平面平面.
（3）過點作交于點，設，由，得，且，
又由（2）知，，則為二面角的平面角，
分別為的中點，為的重心，
即有，又，即有，
，解得，同理得，
，即有，則，
，，在中，，
，，
二面角的正弦值為.
【變式2】如圖，在三棱錐中，平面，．
(1)求證：平面PAB；
(2)求二面角的大小．
【答案】(1)證明見解析；(2)
【解析】
（1）平面平面，，同理，
為直角三角形，又，，
，則為直角三角形，故，
又，，平面.
（2）由（1）平面，又平面，則，
以為原點，為軸，過且與平行的直線為軸，為軸，建立空間直角坐標系，
則，，
設平面的法向量為，則，即
令，則，，
設平面的法向量為，則，即，
令，則，，，
二面角為銳二面角，二面角的大小為.
題型三: 空間距離
【例3】（2024·天津）已知四棱柱中，底面為梯形，，平面，，其中．是的中點，是的中點．
(1)求證平面；
(2)求平面與平面的夾角余弦值；
(3)求點到平面的距離．
【答案】(1)證明見解析；(2)；(3)
【解析】
（1）取中點，連接，，由是的中點，故，且，
由是的中點，故，且，則有、，
故四邊形是平行四邊形，故，
又平面，平面，故平面；
（2）以為原點建立如圖所示空間直角坐標系，
有、、、、、，
則有、、，
設平面與平面的法向量分別為、，
則有，，
分別取，則有、、，，即、，
則，
故平面與平面的夾角余弦值為；
（3）由，平面的法向量為，
則有，即點到平面的距離為.
【變式3】如圖，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點.
（1）證明：MN∥平面C1DE；
（2）求點C到平面C1DE的距離．
【答案】（1）見解析；（2）.
【解析】
（1）連接，
，分別為，中點 為的中位線
且，又為中點，且 且
四邊形為平行四邊形
，又平面，平面平面
（2）在菱形中，為中點，，
根據題意有，，棱柱為直棱柱，有平面，
，，設點C到平面的距離為，
根據題意有，則有，
解得，點C到平面的距離為.
(
考場演練
)
【真題1】（2024·全國甲卷）如圖，，，，,為的中點.
(1)證明：平面；
(2)求點到的距離.
【答案】(1)見詳解；(2)
【解析】
（1）由題意得，，且，四邊形是平行四邊形，，
又平面平面，平面；
（2）取的中點，連接，，，且，
四邊形是平行四邊形，，
又，故是等腰三角形，同理是等腰三角形，
可得，
又，，故；
又平面，平面，
易知，在中，，
.
設點到平面的距離為，由，得，得，
故點到平面的距離為.
【真題2】（2024·全國新Ⅱ卷）如圖，平面四邊形ABCD中，，，，，，點E，F滿足，，將沿EF翻折至，使得．
(1)證明：；
(2)求平面PCD與平面PBF所成的二面角的正弦值．
【答案】(1)見解析；(2)
【解析】
（1）由，得，又，在中，
由余弦定理得,
，則，即，
，又平面，平面，又平面，
故；
（2）連接，由，則，
在中，，得，
，由（1）知，又平面，
平面，又平面，
，則兩兩垂直，建立如圖空間直角坐標系，
則，由是的中點，得，
，
設平面和平面的一個法向量分別為，
則，，
令，得，所以，
，
設平面和平面所成角為，則，
即平面和平面所成角的正弦值為.
【真題3】（2024·北京）如圖，在四棱錐中，，，,點在上，且，．
(1)若為線段中點，求證：平面．
(2)若平面，求平面與平面夾角的余弦值．
【答案】(1)見解析；(2)
【解析】
（1）取的中點為，接，則，
而，故，故四邊形為平行四邊形，
故，而平面，平面，平面.
（2）
，故，故，
故四邊形為平行四邊形，故，所以平面，
而平面，故，而，
故建立如圖所示的空間直角坐標系，則，
則
設平面的法向量為，則由可得，取，
設平面的法向量為，則由可得，取，
故，故平面與平面夾角的余弦值為.
【真題4】（2024·天津）已知四棱柱中，底面為梯形，，平面，，其中．是的中點，是的中點．
(1)求證平面；
(2)求平面與平面的夾角余弦值；
(3)求點到平面的距離．
【答案】(1)見解析；(2)；(3)
【解析】
（1）取中點，連接，，由是的中點，故，且，
由是的中點，故，且，
則有、，故四邊形是平行四邊形，故，
又平面，平面，故平面；
（2）以為原點建立如圖所示空間直角坐標系，
有、、、、、，
則有、、，
設平面與平面的法向量分別為、，
則有，，
分別取，則有、、，，
即、，則，
故平面與平面的夾角余弦值為；
（3）由，平面的法向量為，
則有，即點到平面的距離為.
【真題5】（2024·上海）如圖為正四棱錐為底面的中心．
(1)若，求繞旋轉一周形成的幾何體的體積；
(2)若為的中點，求直線與平面所成角的大小．
【答案】(1)；(2)
【解析】
（1）正四棱錐滿足且平面，由平面，則，
又正四棱錐底面是正方形，由可得，，故，
根據圓錐的定義，繞旋轉一周形成的幾何體是以為軸，為底面半徑的圓錐，
即圓錐的高為，底面半徑為，
根據圓錐的體積公式，所得圓錐的體積是
（2）連接，由題意結合正四棱錐的性質可知，每個側面都是等邊三角形，
由是中點，則，又平面，
故平面，即平面，又平面，
直線與平面所成角的大小即為，
設，則，，
線面角的范圍是，故.
【真題6】（2023·全國甲卷）如圖，在三棱柱中，底面ABC，，到平面的距離為1．
(1)證明：；
(2)已知與的距離為2，求與平面所成角的正弦值．
【答案】(1)見解析；(2)
【解析】
（1）如圖，
底面，面，
，又，平面，,
平面ACC1A1，又平面，平面平面，
過作交于，又平面平面，平面，
平面到平面的距離為1，，
在中，，設，則，
為直角三角形，且，
，，，
，解得，，
（2），，
過B作，交于D，則為中點，由直線與距離為2，
，，，在，，
延長，使，連接，由知四邊形為平行四邊形，
，平面，又平面，
則在中，，，
在中，，，
,又到平面距離也為1，
與平面所成角的正弦值為.
【真題7】（2023·全國乙卷）如圖，在三棱錐中，，，，，BP，AP，BC的中點分別為D，E，O，，點F在AC上，.
(1)證明：平面；
(2)證明：平面平面BEF；
(3)求二面角的正弦值.
【答案】(1)見解析；(2)證明見解析；(3).
【解析】
（1）連接，設，則，，，
則，
解得，則為的中點，由分別為的中點，
于是，
即，則四邊形為平行四邊形，
，又平面平面，平面.
（2）由（1）可知，則，得，
，則，有，
又，平面，
則有平面，又平面，平面平面.
（3）過點作交于點，設，由，得，且，
又由（2）知，，則為二面角的平面角，
分別為的中點，為的重心，
即有，又，即有，
，解得，同理得，
，即有，則，
，，在中，，
，，
二面角的正弦值為.
【真題8】（2023·全國新Ⅱ卷）如圖，三棱錐中，，，，E為BC的中點．
(1)證明：；
(2)點F滿足，求二面角的正弦值．
【答案】(1)見解析；(2)．
【解析】
（1）連接，E為BC中點，，①，
，，與均為等邊三角形，
，從而②，由①②，，平面，
平面，而平面，．
（2）設，，．，，又，平面平面．
以點為原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示：
設，
設平面與平面的一個法向量分別為，
二面角平面角為,而，
，，即有，
，取，；，取，，
，從而；二面角的正弦值為．
【真題9】（2023·全國甲卷）如圖，在三棱柱中，平面．
(1)證明：平面平面；
(2)設，求四棱錐的高．
【答案】(1)見解析；(2)
【解析】
（1）證明：平面，平面,,
又，即，平面，,
平面，又平面,平面平面.
（2）如圖，過點作，垂足為，
平面平面，平面平面，平面，
平面，四棱錐的高為.
平面，平面,,,
又，為公共邊，與全等，.
設，則，為中點，,又,,
，，四棱錐的高為．
【真題10】（2022·全國新Ⅰ卷）如圖，直三棱柱的體積為4，的面積為．
(1)求A到平面的距離；
(2)設D為的中點，，平面平面，求二面角的正弦值．
【答案】(1)；(2)
【解析】
（1）在直三棱柱中，設點A到平面的距離為h，
則，解得，
點A到平面的距離為；
（2）取的中點E,連接AE,如圖，，,
又平面平面，平面平面，
且平面，平面，在直三棱柱中，平面，
由平面，平面可得，，
又平面且相交，平面，
兩兩垂直，以B為原點，建立空間直角坐標系，如圖，
由（1）得，，，，
則,的中點，
則，,
設平面的一個法向量，則，
取，設平面的一個法向量，則，
取，，
二面角的正弦值為.
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