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第07講 離散型隨機變量的分布列與數字特征
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考綱導向
小
)
考點要求 考題統計 考情分析
(1) 離散型隨機變量及其分布列 (2) 離散型隨機變量的數字特征 2024年Ⅱ卷15分2023年I卷15分2022年甲卷12分2022年北京卷12分2021年I卷12分2020年甲卷12分2019年天津卷12分2019年甲卷12分
（1）本講為高考命題熱點，題型以解答題為主； （2）重點是離散型隨機變量及其分布列和離散型隨機變量的數字特征，主要考查分布列的定義和性質，離散型隨機變量的分布列，離散型隨機變量的數學期望和方差；常與古典概型、二項分布、超幾何分布等概率知識結合考查.
(
考試要求
小
)
1、理解有限個值的離散型隨機變量及其分布列的概念；
2、理解并會求離散型隨機變量的數字特征。
(
考點突破考綱解讀
)
(
考點梳理
小
)
知識點1: 離散型隨機變量
1、離散型隨機變量
對于隨機試驗樣本空間中的每個樣本點，都有的實數與之對應，稱為隨機變量；
可能取值為有限個或可以一一列舉的隨機變量稱為離散型隨機變量；
知識點2: 離散型隨機變量的分布列
1、離散型隨機變量的分布列
（1）定義：設離散型隨機變量的可能取值為，稱取每一個值的概率
為的概率分布列，簡稱分布列；
（2）性質：1）；2）
知識點3: 離散型隨機變量的均值（數學期望）和方差
1、離散型隨機變量的均值（數學期望）和方差
若離散型隨機變量的分布列為：
（1）均值（數學期望）
稱為隨機變量的均值或數學期望，數學期望簡稱期望；它反映了隨機變量取值的平均水平；
（2）方差
稱為隨機變量的方差，并稱隨機變量的標準差，記為；它們反映了隨機變量取值與其均值的偏離程度；
（3）性質
1）；
2）；（為常數）
(
題型展示
小
)
題型一: 分布列的性質
【例1】若隨機變量X的分布列為下表所示，則則等于（ ）
X -1 0 1
P
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
，答案為C.
【變式1】設隨機變量X滿足，則 ； .
【答案】
【解析】
，
答案為，.
題型二: 離散型隨機變量的分布列
【例2】某銀行規定，一張銀行卡若在一天內出現3次密碼嘗試錯誤，該銀行卡將被鎖定，小王到銀行取錢時，發現自己忘記了銀行卡的密碼，但是可以確定該銀行卡的正確密碼是他常用的6個密碼之一，小王決定從中不重復地隨機選擇1個進行嘗試.若密碼正確，則結束嘗試；否則繼續嘗試，直至該銀行卡被鎖定.
（Ⅰ）求當天小王的該銀行卡被鎖定的概率；
（Ⅱ）設當天小王用該銀行卡嘗試密碼次數為X，求X的分布列和數學期望．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）分布列見解析，期望為．
【解析】
（Ⅰ）設“當天小王的該銀行卡被鎖定”的事件為A，則
（Ⅱ）依題意得，X所有可能的取值是1，2，3，
又
X的分布列為
X 1 2 3
P
．
【變式2】已知2件次品和3件正品混放在一起，現需要通過檢測將其區分，每次隨機檢測一件產品，檢測后不放回，直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時檢測結束.
（Ⅰ）求第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品的概率；
（Ⅱ）已知每檢測一件產品需要費用100元，設表示直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時所需要的檢測費用（單位：元），求的分布列和數學期望.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）記“第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品”為事件，；
（Ⅱ）的可能取值為200,300,400
，，，
的分布列為
X 200 300 400
P
.
題型三: 離散型隨機變量均值（數學期望）和方差的決策問題
【例3】（2024·全國新Ⅱ卷）某投籃比賽分為兩個階段，每個參賽隊由兩名隊員組成，比賽具體規則如下：第一階段由參賽隊中一名隊員投籃3次，若3次都未投中，則該隊被淘汰，比賽成績為0分；若至少投中一次，則該隊進入第二階段.第二階段由該隊的另一名隊員投籃3次，每次投籃投中得5分，未投中得0分.該隊的比賽成績為第二階段的得分總和．某參賽隊由甲、乙兩名隊員組成，設甲每次投中的概率為p，乙每次投中的概率為q，各次投中與否相互獨立．
(1)若，，甲參加第一階段比賽，求甲、乙所在隊的比賽成績不少于5分的概率．
(2)假設，
（i）為使得甲、乙所在隊的比賽成績為15分的概率最大，應該由誰參加第一階段比賽？
（ii）為使得甲、乙所在隊的比賽成績的數學期望最大，應該由誰參加第一階段比賽？
【答案】(1)；(2)（i）由甲參加第一階段比賽；（i）由甲參加第一階段比賽；
【解析】
（1）甲、乙所在隊比賽成績不少于5分，則甲第一階段至少投中1次，乙第二階段也至少投中1次，
比賽成績不少于5分的概率.
（2）（i）若甲先參加第一階段比賽，則甲、乙所在隊的比賽成績為15分的概率為，
若乙先參加第一階段比賽，則甲、乙所在隊的比賽成績為15分的概率為，
，
，
，應該由甲參加第一階段比賽；
(ii)若甲先參加第一階段比賽，比賽成績的所有可能取值為0，5，10，15，
，，
，，
記乙先參加第一階段比賽，比賽成績的所有可能取值為0，5，10，15，
同理
，
，，，，
應該由甲參加第一階段比賽.
【變式3】（2021·全國新Ⅰ卷）某學校組織“一帶一路”知識競賽，有A，B兩類問題，每位參加比賽的同學先在兩類問題中選擇一類并從中隨機抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學比賽結束；若回答正確則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學比賽結束.A類問題中的每個問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得0分，已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關.
（1）若小明先回答A類問題，記為小明的累計得分，求的分布列；
（2）為使累計得分的期望最大，小明應選擇先回答哪類問題？并說明理由.
【答案】（1）見解析；（2）類．
【解析】
（1）由題可知，的所有可能取值為，，．
，，，
的分布列為
（2）由（1）知，．
若小明先回答問題，記為小明的累計得分，則的所有可能取值為，，，
，，，
．
，小明應選擇先回答類問題．
(
考場演練
)
【真題1】（2024·全國新Ⅱ卷）某投籃比賽分為兩個階段，每個參賽隊由兩名隊員組成，比賽具體規則如下：第一階段由參賽隊中一名隊員投籃3次，若3次都未投中，則該隊被淘汰，比賽成績為0分；若至少投中一次，則該隊進入第二階段.第二階段由該隊的另一名隊員投籃3次，每次投籃投中得5分，未投中得0分.該隊的比賽成績為第二階段的得分總和．某參賽隊由甲、乙兩名隊員組成，設甲每次投中的概率為p，乙每次投中的概率為q，各次投中與否相互獨立．
(1)若，，甲參加第一階段比賽，求甲、乙所在隊的比賽成績不少于5分的概率．
(2)假設，
（i）為使得甲、乙所在隊的比賽成績為15分的概率最大，應該由誰參加第一階段比賽？
（ii）為使得甲、乙所在隊的比賽成績的數學期望最大，應該由誰參加第一階段比賽？
【答案】(1)；(2)（i）由甲參加第一階段比賽；（ii）由甲參加第一階段比賽；
【解析】
（1）甲、乙所在隊比賽成績不少于5分，則甲第一階段至少投中1次，乙第二階段也至少投中1次，
比賽成績不少于5分的概率.
（2）（i）若甲先參加第一階段比賽，則甲、乙所在隊的比賽成績為15分的概率為，
若乙先參加第一階段比賽，則甲、乙所在隊的比賽成績為15分的概率為，
，
，
，應該由甲參加第一階段比賽；
(ii)若甲先參加第一階段比賽，比賽成績的所有可能取值為0，5，10，15，
，，
，，
記乙先參加第一階段比賽，比賽成績的所有可能取值為0，5，10，15，
同理
，
，，，，
應該由甲參加第一階段比賽.
【真題2】（2023·全國新Ⅰ卷）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規則如下：若命中則此人繼續投籃，若末命中則換為對方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．
(1)求第2次投籃的人是乙的概率；
(2)求第次投籃的人是甲的概率；
(3)已知：若隨機變量服從兩點分布，且，則．記前次（即從第1次到第次投籃）中甲投籃的次數為，求．
【答案】(1)；(2)；(3)
【解析】
（1）記“第次投籃的人是甲”為事件，“第次投籃的人是乙”為事件，
.
（2）設，依題可知，，則
，
即，構造等比數列，
設，解得，則，
又，是首項為，公比為的等比數列，
即；
（3），，
當時，，
．
【真題3】（2022·全國甲卷）甲、乙兩個學校進行體育比賽，比賽共設三個項目，每個項目勝方得10分，負方得0分，沒有平局．三個項目比賽結束后，總得分高的學校獲得冠軍．已知甲學校在三個項目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項目的比賽結果相互獨立．
(1)求甲學校獲得冠軍的概率；
(2)用X表示乙學校的總得分，求X的分布列與期望．
【答案】(1)；(2)分布列見解析，.
【解析】
（1）設甲在三個項目中獲勝的事件依次記為，甲學校獲得冠軍的概率為：
．
（2）依題可知，的可能取值為，
,，
，.
即的分布列為
0 10 20 30
0.16 0.44 0.34 0.06
.
【真題4】（2022·北京）在校運動會上，只有甲、乙、丙三名同學參加鉛球比賽，比賽成績達到以上（含）的同學將獲得優秀獎．為預測獲得優秀獎的人數及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績，并整理得到如下數據（單位：m）：
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；
乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；
丙：9.85，9.65，9.20，9.16．
假設用頻率估計概率，且甲、乙、丙的比賽成績相互獨立．
(1)估計甲在校運動會鉛球比賽中獲得優秀獎的概率；
(2)設X是甲、乙、丙在校運動會鉛球比賽中獲得優秀獎的總人數，估計X的數學期望E（X）；
(3)在校運動會鉛球比賽中，甲、乙、丙誰獲得冠軍的概率估計值最大？（結論不要求證明）
【答案】(1)0.4；(2)；(3)丙
【解析】
（1）由頻率估計概率可得甲獲得優秀的概率為0.4，乙獲得優秀的概率為0.5，
丙獲得優秀的概率為0.5，答案為0.4
（2）設甲獲得優秀為事件A1,乙獲得優秀為事件A2，丙獲得優秀為事件A3
，
，
，
.
∴X的分布列為
X 0 1 2 3
P
∴
（3）丙奪冠概率估計值最大.
鉛球比賽無論比賽幾次就取最高成績，比賽一次，丙獲得9.85的概率為，
甲獲得9.80的概率為，乙獲得9.78的概率為；
并且丙的最高成績是所有成績中最高的，比賽次數越多，對丙越有利.
【真題5】（2021·全國新Ⅰ卷）某學校組織“一帶一路”知識競賽，有A，B兩類問題，每位參加比賽的同學先在兩類問題中選擇一類并從中隨機抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學比賽結束；若回答正確則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學比賽結束.A類問題中的每個問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得0分，已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關.
（1）若小明先回答A類問題，記為小明的累計得分，求的分布列；
（2）為使累計得分的期望最大，小明應選擇先回答哪類問題？并說明理由.
【答案】（1）見解析；（2）類．
【解析】
（1）由題可知，的所有可能取值為，，．
，，，
的分布列為
（2）由（1）知，．
若小明先回答問題，記為小明的累計得分，則的所有可能取值為，，，
，，，
．
，小明應選擇先回答類問題．
【真題6】（2020·全國）甲、乙、丙三位同學進行羽毛球比賽，約定賽制如下：累計負兩場者被淘汰；比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空；每場比賽的勝者與輪空者進行下一場比賽，負者下一場輪空，直至有一人被淘汰；當一人被淘汰后，剩余的兩人繼續比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結束.經抽簽，甲、乙首先比賽，丙輪空.設每場比賽雙方獲勝的概率都為，
（1）求甲連勝四場的概率；
（2）求需要進行第五場比賽的概率；
（3）求丙最終獲勝的概率.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】
（1）記事件甲連勝四場，則；
（2）記事件為甲輸，事件為乙輸，事件為丙輸，
則四局內結束比賽的概率為，
需要進行第五場比賽的概率為；
（3）記事件為甲輸，事件為乙輸，事件為丙輸，記事件甲贏，記事件丙贏，
甲贏的事件包括：、、、、、、、，
甲贏的概率為，由對稱性可知，乙贏的概率和甲贏的概率相等，
丙贏的概率為.
【真題7】（2019·天津）設甲、乙兩位同學上學期間，每天7：30之前到校的概率均為.假定甲、乙兩位同學到校情況互不影響，且任一同學每天到校情況相互獨立.
（Ⅰ）用表示甲同學上學期間的三天中7：30之前到校的天數，求隨機變量的分布列和數學期望；
（Ⅱ）設為事件“上學期間的三天中，甲同學在7：30之前到校的天數比乙同學在7：30之前到校的天數恰好多2”，求事件發生的概率.
【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）
【解析】
(Ⅰ)甲同學上學期間的三天中到校情況相互獨立，且每天7:30之前到校的概率均為，
，，
隨機變量的分布列為：
0 1 2 3
.
(Ⅱ)設乙同學上學期間的三天中7:30之前到校的天數為，則，
且，由題意知事件與互斥，
且事件與，事件與均相互獨立，從而由(Ⅰ)知：
.
【真題8】（2019·全國）11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當某局打成10:10平后，每球交換發球權，先多得2分的一方獲勝，該局比賽結束.甲、乙兩位同學進行單打比賽，假設甲發球時甲得分的概率為0.5，乙發球時甲得分的概率為0.4，各球的結果相互獨立.在某局雙方10:10平后，甲先發球，兩人又打了X個球該局比賽結束.
（1）求P（X=2）；
（2）求事件“X=4且甲獲勝”的概率.
【答案】（1）；（2）0.1
【解析】
(1) 所包含的事件為“甲連贏兩球或乙連贏兩球”
；
(2)由題意可知，包含的事件為“前兩球甲乙各得分，后兩球均為甲得分”
【真題9】（2017·山東）在心理學研究中，常采用對比試驗的方法評價不同心理暗示對人的影響，具體方法如下：將參加試驗的志愿者隨機分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙種心理暗示，通過對比這兩組志愿者接受心理暗示后的結果來評價兩種心理暗示的作用，現有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，從中隨機抽取5人接受甲種心理暗示，另5人接受乙種心理暗示.
（I）求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含的概率．
（II）用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數，求X的分布列與數學期望EX.
【答案】（1） （2）見解析
【解析】
（I）記接受甲種心理暗示的志愿者中包含但不包含的事件為M，則
（II）由題意知X可取的值為：.則
X的分布列為
X 0 1 2 3 4
P
=
【真題10】（2016·山東）甲、乙兩人組成“星隊”參加猜成語活動，每輪活動由甲、乙各猜一個成語，在一輪活動中，如果兩人都猜對，則“星隊”得3分；如果只有一個人猜對，則“星隊”得1分；如果兩人都沒猜對，則“星隊”得0分．已知甲每輪猜對的概率是，乙每輪猜對的概率是；每輪活動中甲、乙猜對與否互不影響．各輪結果亦互不影響．假設“星隊”參加兩輪活動，求：
（Ⅰ）“星隊”至少猜對3個成語的概率；
（Ⅱ）“星隊”兩輪得分之和為X的分布列和數學期望EX．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）分布列見解析，
【解析】
（Ⅰ）記事件A:“甲第一輪猜對”，記事件B：“乙第一輪猜對”，
記事件C：“甲第二輪猜對”，記事件D：“乙第二輪猜對”，記事件E：“‘星隊’至少猜對3個成語”，
由題意，
由事件的獨立性與互斥性，
,
“星隊”至少猜對3個成語的概率為.
（Ⅱ）由題意，隨機變量的可能取值為0,1,2,3,4,6.
由事件的獨立性與互斥性，得
,,
,
, ,，
可得隨機變量的分布列為
0 1 2 3 4 6
P
.
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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第07講 離散型隨機變量的分布列與數字特征
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考點要求 考題統計 考情分析
(1) 離散型隨機變量及其分布列 (2) 離散型隨機變量的數字特征 2024年Ⅱ卷15分2023年I卷15分2022年甲卷12分2022年北京卷12分2021年I卷12分2020年甲卷12分2019年天津卷12分2019年甲卷12分
（1）本講為高考命題熱點，題型以解答題為主； （2）重點是離散型隨機變量及其分布列和離散型隨機變量的數字特征，主要考查分布列的定義和性質，離散型隨機變量的分布列，離散型隨機變量的數學期望和方差；常與古典概型、二項分布、超幾何分布等概率知識結合考查.
(
考試要求
小
)
1、理解有限個值的離散型隨機變量及其分布列的概念；
2、理解并會求離散型隨機變量的數字特征.
(
考點突破考綱解讀
)
(
考點梳理
小
)
知識點1: 離散型隨機變量
1、離散型隨機變量
對于隨機試驗樣本空間中的每個樣本點，都有的實數與之對應，稱為 ；
可能取值為 或可以 的隨機變量稱為離散型隨機變量；
知識點2: 離散型隨機變量的分布列
1、離散型隨機變量的分布列
（1）定義：設離散型隨機變量的可能取值為，稱取每一個值的概率
為的 ，簡稱分布列；
（2）性質：1）；2）；
知識點3: 離散型隨機變量的均值（數學期望）和方差
1、離散型隨機變量的均值（數學期望）和方差
若離散型隨機變量的分布列為：
（1）均值（數學期望）
稱為隨機變量的 或 ，數學期望簡稱期望；它反映了隨機變量取值的 ；
（2）方差
稱為隨機變量的 ，并稱隨機變量的標準差，記為；它們反映了隨機變量取值與其均值的 ；
（3）性質
1） ；
2）；（為常數）
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題型展示
小
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題型一: 分布列的性質
【例1】若隨機變量X的分布列為下表所示，則則等于（ ）
X -1 0 1
P
A. B. C. D.
【變式1】設隨機變量X滿足，則 ； .
題型二: 離散型隨機變量的分布列
【例2】某銀行規定，一張銀行卡若在一天內出現3次密碼嘗試錯誤，該銀行卡將被鎖定，小王到銀行取錢時，發現自己忘記了銀行卡的密碼，但是可以確定該銀行卡的正確密碼是他常用的6個密碼之一，小王決定從中不重復地隨機選擇1個進行嘗試.若密碼正確，則結束嘗試；否則繼續嘗試，直至該銀行卡被鎖定.
（Ⅰ）求當天小王的該銀行卡被鎖定的概率；
（Ⅱ）設當天小王用該銀行卡嘗試密碼次數為X，求X的分布列和數學期望．
【變式2】已知2件次品和3件正品混放在一起，現需要通過檢測將其區分，每次隨機檢測一件產品，檢測后不放回，直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時檢測結束.
（Ⅰ）求第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品的概率；
（Ⅱ）已知每檢測一件產品需要費用100元，設表示直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時所需要的檢測費用（單位：元），求的分布列和數學期望.
題型三: 離散型隨機變量均值（數學期望）和方差的決策問題
【例3】（2024·全國新Ⅱ卷）某投籃比賽分為兩個階段，每個參賽隊由兩名隊員組成，比賽具體規則如下：第一階段由參賽隊中一名隊員投籃3次，若3次都未投中，則該隊被淘汰，比賽成績為0分；若至少投中一次，則該隊進入第二階段.第二階段由該隊的另一名隊員投籃3次，每次投籃投中得5分，未投中得0分.該隊的比賽成績為第二階段的得分總和．某參賽隊由甲、乙兩名隊員組成，設甲每次投中的概率為p，乙每次投中的概率為q，各次投中與否相互獨立．
(1)若，，甲參加第一階段比賽，求甲、乙所在隊的比賽成績不少于5分的概率．
(2)假設，
（i）為使得甲、乙所在隊的比賽成績為15分的概率最大，應該由誰參加第一階段比賽？
（ii）為使得甲、乙所在隊的比賽成績的數學期望最大，應該由誰參加第一階段比賽？
【變式3】（2021·全國新Ⅰ卷）某學校組織“一帶一路”知識競賽，有A，B兩類問題，每位參加比賽的同學先在兩類問題中選擇一類并從中隨機抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學比賽結束；若回答正確則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學比賽結束.A類問題中的每個問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得0分，已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關.
（1）若小明先回答A類問題，記為小明的累計得分，求的分布列；
（2）為使累計得分的期望最大，小明應選擇先回答哪類問題？并說明理由.
(
考場演練
)
【真題1】（2024·全國新Ⅱ卷）某投籃比賽分為兩個階段，每個參賽隊由兩名隊員組成，比賽具體規則如下：第一階段由參賽隊中一名隊員投籃3次，若3次都未投中，則該隊被淘汰，比賽成績為0分；若至少投中一次，則該隊進入第二階段.第二階段由該隊的另一名隊員投籃3次，每次投籃投中得5分，未投中得0分.該隊的比賽成績為第二階段的得分總和．某參賽隊由甲、乙兩名隊員組成，設甲每次投中的概率為p，乙每次投中的概率為q，各次投中與否相互獨立．
(1)若，，甲參加第一階段比賽，求甲、乙所在隊的比賽成績不少于5分的概率．
(2)假設，
（i）為使得甲、乙所在隊的比賽成績為15分的概率最大，應該由誰參加第一階段比賽？
（ii）為使得甲、乙所在隊的比賽成績的數學期望最大，應該由誰參加第一階段比賽？
【真題2】（2023·全國新Ⅰ卷）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規則如下：若命中則此人繼續投籃，若末命中則換為對方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．
(1)求第2次投籃的人是乙的概率；
(2)求第次投籃的人是甲的概率；
(3)已知：若隨機變量服從兩點分布，且，則．記前次（即從第1次到第次投籃）中甲投籃的次數為，求．
【真題3】（2022·全國甲卷）甲、乙兩個學校進行體育比賽，比賽共設三個項目，每個項目勝方得10分，負方得0分，沒有平局．三個項目比賽結束后，總得分高的學校獲得冠軍．已知甲學校在三個項目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項目的比賽結果相互獨立．
(1)求甲學校獲得冠軍的概率；
(2)用X表示乙學校的總得分，求X的分布列與期望．
【真題4】（2022·北京）在校運動會上，只有甲、乙、丙三名同學參加鉛球比賽，比賽成績達到以上（含）的同學將獲得優秀獎．為預測獲得優秀獎的人數及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績，并整理得到如下數據（單位：m）：
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；
乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；
丙：9.85，9.65，9.20，9.16．
假設用頻率估計概率，且甲、乙、丙的比賽成績相互獨立．
(1)估計甲在校運動會鉛球比賽中獲得優秀獎的概率；
(2)設X是甲、乙、丙在校運動會鉛球比賽中獲得優秀獎的總人數，估計X的數學期望E（X）；
(3)在校運動會鉛球比賽中，甲、乙、丙誰獲得冠軍的概率估計值最大？（結論不要求證明）
【真題5】（2021·全國新Ⅰ卷）某學校組織“一帶一路”知識競賽，有A，B兩類問題，每位參加比賽的同學先在兩類問題中選擇一類并從中隨機抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學比賽結束；若回答正確則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學比賽結束.A類問題中的每個問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得0分，已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關.
（1）若小明先回答A類問題，記為小明的累計得分，求的分布列；
（2）為使累計得分的期望最大，小明應選擇先回答哪類問題？并說明理由.
【真題6】（2020·全國）甲、乙、丙三位同學進行羽毛球比賽，約定賽制如下：累計負兩場者被淘汰；比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空；每場比賽的勝者與輪空者進行下一場比賽，負者下一場輪空，直至有一人被淘汰；當一人被淘汰后，剩余的兩人繼續比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結束.經抽簽，甲、乙首先比賽，丙輪空.設每場比賽雙方獲勝的概率都為，
（1）求甲連勝四場的概率；
（2）求需要進行第五場比賽的概率；
（3）求丙最終獲勝的概率.
【真題7】（2019·天津）設甲、乙兩位同學上學期間，每天7：30之前到校的概率均為.假定甲、乙兩位同學到校情況互不影響，且任一同學每天到校情況相互獨立.
（Ⅰ）用表示甲同學上學期間的三天中7：30之前到校的天數，求隨機變量的分布列和數學期望；
（Ⅱ）設為事件“上學期間的三天中，甲同學在7：30之前到校的天數比乙同學在7：30之前到校的天數恰好多2”，求事件發生的概率.
【真題8】（2019·全國）11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當某局打成10:10平后，每球交換發球權，先多得2分的一方獲勝，該局比賽結束.甲、乙兩位同學進行單打比賽，假設甲發球時甲得分的概率為0.5，乙發球時甲得分的概率為0.4，各球的結果相互獨立.在某局雙方10:10平后，甲先發球，兩人又打了X個球該局比賽結束.
（1）求P（X=2）；
（2）求事件“X=4且甲獲勝”的概率.
【真題9】（2017·山東）在心理學研究中，常采用對比試驗的方法評價不同心理暗示對人的影響，具體方法如下：將參加試驗的志愿者隨機分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙種心理暗示，通過對比這兩組志愿者接受心理暗示后的結果來評價兩種心理暗示的作用，現有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，從中隨機抽取5人接受甲種心理暗示，另5人接受乙種心理暗示.
（I）求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含的概率．
（II）用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數，求X的分布列與數學期望EX.
【真題10】（2016·山東）甲、乙兩人組成“星隊”參加猜成語活動，每輪活動由甲、乙各猜一個成語，在一輪活動中，如果兩人都猜對，則“星隊”得3分；如果只有一個人猜對，則“星隊”得1分；如果兩人都沒猜對，則“星隊”得0分．已知甲每輪猜對的概率是，乙每輪猜對的概率是；每輪活動中甲、乙猜對與否互不影響．各輪結果亦互不影響．假設“星隊”參加兩輪活動，求：
（Ⅰ）“星隊”至少猜對3個成語的概率；
（Ⅱ）“星隊”兩輪得分之和為X的分布列和數學期望EX．
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