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第06講 雙曲線及其性質
(
考綱導向
小
)
考點要求 考題統計 考情分析
(1) 雙曲線的定義、幾何形狀、標準方程 (2) 雙曲線的簡單幾何性質 2024年天津卷5分2024年甲卷5分2023年天津卷5分2023年甲卷5分2023年乙卷5分2022年乙卷5分
（1）本講為高考命題熱點，題型以選擇題為主； （2）重點是雙曲線的定義、幾何形狀、標準方程和雙曲線的簡單幾何性質，主要考查雙曲線的定義和標準方程的理解，范圍、對稱性、頂點、漸近線、離心率等雙曲線的簡單幾何性質應用.
(
考試要求
小
)
1、理解雙曲線的定義、幾何形狀、標準方程；
2、掌握雙曲線的簡單幾何性質（范圍、對稱性、頂點、漸近線、離心率）；
3、掌握雙曲線的簡單應用。
(
考點突破考綱解讀
)
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考點梳理
小
)
知識點1: 雙曲線定義
1、雙曲線定義：
平面內與兩個定點的距離之差的絕對值等于定值（小于）的點的軌跡稱為雙曲線；
即：．
【在題目中，與焦點有關就用定義！】
知識點2: 雙曲線的標準方程與性質
1、雙曲線的標準方程與性質
(
題型展示
小
)
題型一: 雙曲線的定義和標準方程
【例1】已知拋物線分別是雙曲線的左、右焦點，拋物線的準線過雙曲線的左焦點，與雙曲線的漸近線交于點A，若，則雙曲線的標準方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
拋物線的準線方程為，則，則、，
設點為第二象限內的點，聯立，可得，即點，
且，則為等腰直角三角形，，即，得，
，雙曲線的標準方程為；答案為C.
【變式1】若雙曲線離心率為，過點，則該雙曲線的方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
，，，雙曲線的方程為，
將點代入可得，，
雙曲線的方程為；答案為B.
題型二: 雙曲線的離心率
【例2】已知拋物線的焦點為，準線為.若與雙曲線的兩條漸近線分別交于點A和點B，且（為原點），則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【解析】
拋物線的準線的方程為，雙曲線的漸近線方程為，
則有∴，，，∴；答案為D．
【變式2】已知雙曲線（a＞0）的離心率是 則a=（ ）
A． B．4 C．2 D．
【答案】D
【解析】
∵雙曲線的離心率， ，∴，解得；答案為D.
題型三: 雙曲線中的范圍與最值
【例3】設為坐標原點，直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于兩點，若的面積為8，則的焦距的最小值為（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
【答案】B
【解析】
，雙曲線的漸近線方程是
直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于，兩點
設為在第一象限，在第四象限，聯立，解得
故，聯立，解得，，
雙曲線
，當且僅當取等號
的焦距的最小值；答案為B.
【變式3】若，則雙曲線的離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
，，，，；答案為C.
(
考場演練
)
【真題1】（2024·全國甲卷）已知雙曲線的兩個焦點分別為，點在該雙曲線上，則該雙曲線的離心率為（ ）
A．4 B．3 C．2 D．
【答案】C
【解析】
由題意，設、、，則，，，則，則；答案為C.
【真題2】（2024·天津）雙曲線的左、右焦點分別為是雙曲線右支上一點，且直線的斜率為2．是面積為8的直角三角形，則雙曲線的方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
如圖，點必落在第四象限，，設，
，由，求得，
， ，即，
，由正弦定理：，
則由得，由得，
則，
，，方程為；答案為C
【真題3】（2023·全國甲卷）已知雙曲線的離心率為，C的一條漸近線與圓交于A，B兩點，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
，，一條漸近線為，
，；答案為D.
【真題4】（2023·全國乙卷）設A，B為雙曲線上兩點，下列四個點中，可為線段AB中點的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
設，則的中點，，
在雙曲線上，，.
對A： 可得，則，，
，直線AB與雙曲線沒有交點，A錯；
對B：可得，則，，
，直線AB與雙曲線沒有交點，B錯；
對C：可得，則，可得，則為雙曲線的漸近線，
直線AB與雙曲線沒有交點，故C錯誤；
對D：，則， ，
，直線AB與雙曲線有交兩個交點，D正確；答案為D.
【真題5】（2023·天津）已知雙曲線的左、右焦點分別為．過向一條漸近線作垂線，垂足為．若，直線的斜率為，則雙曲線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
如圖，，設漸近線方程為，即，，
設,則，，，,
，，，
，，
方程為；答案為D.
【真題6】（2022·全國乙卷）（多選）雙曲線C的兩個焦點為，以C的實軸為直徑的圓記為D，過作D的切線與C交于M，N兩點，且，則C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】
情況1：M、N在雙曲線的同一支

設雙曲線焦點在軸，設過作圓的切線切點為B，，
，在雙曲線的左支，，， ，
設，由即，則，，，，A正確；
情況2：M、N在雙曲線的兩支
，在雙曲線的右支，，， ，設，
由，即，則，，
，即，雙曲線的離心率，C正確；
【真題7】（2021·全國甲卷）已知是雙曲線C的兩個焦點，P為C上一點，且，則C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
，，，；
；答案為A.
【真題8】（2021·天津）已知雙曲線的右焦點與拋物線的焦點重合，拋物線的準線交雙曲線于A，B兩點，交雙曲線的漸近線于C、D兩點，若．則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【解析】
設與的公共焦點為，的準線為，
令，則，,
又雙曲線的漸近線方程為，，
，即，所以，雙曲線的離心率;答案為A.
【真題9】（2021·北京）若雙曲線離心率為，過點，則該雙曲線的方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
，則，，則雙曲線的方程為，
將點代入得雙曲線的方程為,答案為B.
【真題10】（2020·全國）設為坐標原點，直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于兩點，若的面積為8，則的焦距的最小值為（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
【答案】B
【解析】
雙曲線的漸近線方程是
直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于，兩點
設為在第一象限，在第四象限
聯立，解得故;聯立，解得故
面積為：
雙曲線其焦距為
當且僅當取等號,的焦距的最小值;答案為B.
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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第06講 雙曲線及其性質
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考點要求 考題統計 考情分析
(1) 雙曲線的定義、幾何形狀、標準方程 (2) 雙曲線的簡單幾何性質 2024年天津卷5分2024年甲卷5分2023年天津卷5分2023年甲卷5分2023年乙卷5分2022年乙卷5分
（1）本講為高考命題熱點，題型以選擇題為主； （2）重點是雙曲線的定義、幾何形狀、標準方程和雙曲線的簡單幾何性質，主要考查雙曲線的定義和標準方程的理解，范圍、對稱性、頂點、漸近線、離心率等雙曲線的簡單幾何性質應用.
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1、理解雙曲線的定義、幾何形狀、標準方程；
2、掌握雙曲線的簡單幾何性質（范圍、對稱性、頂點、漸近線、離心率）；
3、掌握雙曲線的簡單應用。
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考點突破考綱解讀
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考點梳理
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知識點1: 雙曲線定義
1、雙曲線定義：
平面內與兩個定點的距離之差的絕對值等于 （小于）的點的軌跡稱為 ；
即：．
【在題目中，與焦點有關就用定義！】
知識點2: 雙曲線的標準方程與性質
1、雙曲線的標準方程與性質
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題型展示
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題型一: 雙曲線的定義和標準方程
【例1】已知拋物線分別是雙曲線的左、右焦點，拋物線的準線過雙曲線的左焦點，與雙曲線的漸近線交于點A，若，則雙曲線的標準方程為（ ）
A． B．
C． D．
【變式1】若雙曲線離心率為，過點，則該雙曲線的方程為（ ）
A． B． C． D．
題型二: 雙曲線的離心率
【例2】已知拋物線的焦點為，準線為.若與雙曲線的兩條漸近線分別交于點A和點B，且（為原點），則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C．2 D．
【變式2】已知雙曲線（a＞0）的離心率是 則a=（ ）
A． B．4 C．2 D．
題型三: 雙曲線中的范圍與最值
【例3】設為坐標原點，直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于兩點，若的面積為8，則的焦距的最小值為（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
【變式3】若，則雙曲線的離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
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考場演練
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【真題1】（2024·全國甲卷）已知雙曲線的兩個焦點分別為，點在該雙曲線上，則該雙曲線的離心率為（ ）
A．4 B．3 C．2 D．
【真題2】（2024·天津）雙曲線的左、右焦點分別為是雙曲線右支上一點，且直線的斜率為2．是面積為8的直角三角形，則雙曲線的方程為（ ）
A． B． C． D．
【真題3】（2023·全國甲卷）已知雙曲線的離心率為，C的一條漸近線與圓交于A，B兩點，則（ ）
A． B． C． D．
【真題4】（2023·全國乙卷）設A，B為雙曲線上兩點，下列四個點中，可為線段AB中點的是（ ）
A． B． C． D．
【真題5】（2023·天津）已知雙曲線的左、右焦點分別為．過向一條漸近線作垂線，垂足為．若，直線的斜率為，則雙曲線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【真題6】（2022·全國乙卷）（多選）雙曲線C的兩個焦點為，以C的實軸為直徑的圓記為D，過作D的切線與C交于M，N兩點，且，則C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【真題7】（2021·全國甲卷）已知是雙曲線C的兩個焦點，P為C上一點，且，則C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【真題8】（2021·天津）已知雙曲線的右焦點與拋物線的焦點重合，拋物線的準線交雙曲線于A，B兩點，交雙曲線的漸近線于C、D兩點，若．則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C．2 D．3
【真題9】（2021·北京）若雙曲線離心率為，過點，則該雙曲線的方程為（ ）
A． B． C． D．
【真題10】（2020·全國）設為坐標原點，直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于兩點，若的面積為8，則的焦距的最小值為（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
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