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第04講 直線、平面垂直的判定與性質
(
考綱導向
小
)
考點要求 考題統計 考情分析
(1) 直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關系 (2) 直線與平面、平面與平面垂直的判定和性質 (3) 直線與平面所成的角、二面角的理解 2024年Ⅱ卷5分2023年甲卷5分2023年II卷5分2023年北京卷5分2022年甲卷5分2022年乙卷5分2022年浙江卷5分2021年I卷5分2021年II卷5分2021年甲卷5分
（1）本講為高考命題熱點，題型以解答題為主，常作為立體幾何大題中的第1小問出現，考查內容、頻率、題型、難度均變化不大； （2）重點是直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關系，主要直線與直線、直線與平面、平面與平面垂直的判定和性質，直線與平面所成的角、二面角的求解，需要熟練掌握幾何法和坐標法兩種證明垂直的思路，多加練習.
(
考試要求
小
)
1、理解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關系，并加以證明；
2、掌握直線與平面、平面與平面垂直的判定和性質，并會簡單應用.
(
考點突破考綱解讀
)
(
考點梳理
小
)
知識點1: 線面垂直
1、線面垂直
（1）定義
若直線與平面內的所有直線都垂直，則直線與平面互相垂直；
（2）判定定理
1）如果一條直線與平面內的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直；
2）圖形語言：
3）符號語言：
（3）性質定理
1）垂直于同一個平面的兩個直線平行；
2）圖形語言：
3）符號語言：
2、直線和平面所成的角（線面角）
（1）定義
1）平面的一條斜線和它在平面上的投影所成的角，叫做這條直線和這個平面所成的角；
2）一條直線垂直于平面，它們所成的角是直角；
3）一條直線與平面平行，或在平面內，它們所成的角是；
（2）范圍：
知識點2: 面面垂直
1、二面角
（1）定義：從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面；
（2）二面角的平面角：
1）在二面角的棱上任取一點，過這點分別在這兩個面上作垂直于棱的射線，這兩條射線的夾角就是二面角的平面角；
2）范圍：
2、面面垂直
（1）定義
若兩個相交平面的二面角是直角，則兩個平面互相垂直；
（2）判定定理
1）如果一個平面過另外一個平面的垂線，那么這兩個平面垂直；
2）圖形語言：
3）符號語言：
（3）性質定理
1）兩個平面垂直，如果一個平面內有一條直線垂直這兩個平面的交線，那么這條直線與另一個平面垂直；
2）圖形語言：
3）符號語言：
知識點3: 三垂線定理
6、三垂線定理
（1）三垂線定理：平面內一條直線如果和穿過這個平面的一條斜線在這個平面內的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直；
（2）三垂線定理的逆定理：平面內一條直線如果和穿過這個平面的一條斜線垂直，那么它也和這一條斜線的在這個平面內的射影垂直；
(
題型展示
小
)
題型一: 線線垂直證明
【例1】如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，，M，N分別為的中點，.
（1）證明：；
【解析】
（1）在中，，，，由余弦定理可得，
，．由題意且，
平面，而平面，，又，．
【變式1】如圖，在三棱柱中，平面 ，，點分別在棱和棱 上，且為棱的中點．
（Ⅰ）求證：；
【解析】
以為原點，分別以、、的方向為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標系，
、、、、、、、、
（Ⅰ）依題意，，，，；
題型二: 線面垂直證明
【例2】如圖，為圓錐的頂點，是圓錐底面的圓心，為底面直徑，．是底面的內接正三角形，為上一點，．
（1）證明：平面；
【解析】
（1）由題設，知為等邊三角形，設，則，，
，，又為等邊三角形，
，，，則，，
同理，又，平面；
【變式2】如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PD底面ABCD．設平面PAD與平面PBC的交線為．
（1）證明：平面PDC；
【解析】
（1）在正方形中，， 平面，平面，
平面，又平面，平面平面，，
在四棱錐中，底面是正方形，
且平面， ，平面；
題型三: 面面垂直證明
【例3】如圖，為圓錐的頂點，是圓錐底面的圓心，是底面的內接正三角形，為上一點，∠APC=90°．
（1）證明：平面PAB⊥平面PAC；
【解析】
（1）連接，為圓錐頂點，為底面圓心，平面，
在上，，
是圓內接正三角形，，≌，
，即，
平面平面，平面平面；
【變式3】如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，M為的中點，且．
（1）證明：平面平面；
【解析】
（1）底面，平面，，又，，
平面，而平面，平面平面．
(
考場演練
)
【真題1】（2024·全國新Ⅱ卷）如圖，平面四邊形ABCD中，，，，，，點E，F滿足，，將沿EF翻折至，使得．
(1)證明：；
【解析】
（1）由，得，又，在中，
由余弦定理得,
，則，即，
，又平面，
平面，又平面，故；
【真題2】（2023·全國新Ⅱ卷）如圖，三棱錐中，，，，E為BC的中點．
(1)證明：；
【解析】
（1）連接，E為BC中點，， ①，
，， 與均為等邊三角形，
，從而②，由①②，，平面，
平面，而平面， ．
【真題3】（2023·全國甲卷）如圖，在三棱柱中，平面．
(1)證明：平面平面；
【解析】
（1）證明：平面，平面, ,
，即，平面，,
平面，又平面, 平面平面.
【真題4】（2023·北京）如圖，在三棱錐中，平面，．
(1)求證：平面PAB；
【解析】
（1）平面平面， ，同理，
為直角三角形， ，，
，則為直角三角形，故，
，，平面.
【真題5】（2022·全國甲卷）在四棱錐中，底面
.
(1)證明：；
【解析】
（1）證明：在四邊形中，作于，于，
，四邊形為等腰梯形， ，
，， ， ，
平面，平面， ，又， 平面，
平面， ；
【真題6】（2022·全國乙卷）如圖，四面體中，，E為的中點．
(1)證明：平面平面；
【解析】
（1），E為的中點， ；
在和中， ，
， ， E為的中點， ；
平面，， 平面，
平面， 平面平面.
【真題7】（2022·浙江）如圖，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角為．設M，N分別為的中點．
(1)證明：；
【解析】
（1）過點、分別做直線、的垂線、并分別交于點、．
∵四邊形和都是直角梯形，，， ，
則四邊形和四邊形是矩形，∴在Rt和Rt，，
∵，且，
∴平面是二面角的平面角，則，
∴是正三角形，由平面，得平面平面，
∵是的中點，，又平面，平面，可得，
，∴平面，而平面．
【真題8】（2021·全國新Ⅰ卷）如圖，在三棱錐中，平面平面，，為的中點.
（1）證明：；
【解析】
（1），O是中點，，平面，平面平面，
且平面平面，平面平面，.
【真題9】（2021·全國新Ⅱ卷）在四棱錐中，底面是正方形，若．
（1）證明：平面平面；
【解析】
（1）取的中點為，連接，，，則，
，，在正方形中，，，
，故，故為直角三角形且，
，平面，平面，平面平面.
【真題10】（2021·全國甲卷）已知直三棱柱中，側面為正方形，，E，F分別為和的中點，D為棱上的點．
（1）證明：；
【解析】
（1），，，，平面，
，構造正方體，如圖所示，
過E作的平行線分別與交于其中點，連接，
E，F分別為和的中點， 是BC的中點，
，．
， ．
， 平面．
平面， ．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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第04講 直線、平面垂直的判定與性質
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考綱導向
小
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考點要求 考題統計 考情分析
(1) 直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關系 (2) 直線與平面、平面與平面垂直的判定和性質 (3) 直線與平面所成的角、二面角的理解 2024年Ⅱ卷5分2023年甲卷5分2023年II卷5分2023年北京卷5分2022年甲卷5分2022年乙卷5分2022年浙江卷5分2021年I卷5分2021年II卷5分2021年甲卷5分
（1）本講為高考命題熱點，題型以解答題為主，常作為立體幾何大題中的第1小問出現，考查內容、頻率、題型、難度均變化不大； （2）重點是直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關系，主要直線與直線、直線與平面、平面與平面垂直的判定和性質，直線與平面所成的角、二面角的求解，需要熟練掌握幾何法和坐標法兩種證明垂直的思路，多加練習.
(
考試要求
小
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1、理解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關系，并加以證明；
2、掌握直線與平面、平面與平面垂直的判定和性質，并會簡單應用.
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考點突破考綱解讀
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考點梳理
小
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知識點1: 線面垂直
1、線面垂直
（1）定義
若直線與平面內的 都垂直，則直線與平面互相垂直；
（2）判定定理
1）如果一條直線與平面內的 垂直，那么該直線與此平面垂直；
2）圖形語言：
3）符號語言：
（3）性質定理
1）垂直于同一個平面的兩個直線 ；
2）圖形語言：
3）符號語言：
2、直線和平面所成的角（線面角）
（1）定義
1）平面的一條斜線和它在平面上的 所成的角，叫做這條直線和這個平面所成的角；
2）一條直線垂直于平面，它們所成的角是 ；
3）一條直線與平面平行，或在平面內，它們所成的角是；
（2）范圍：
知識點2: 面面垂直
1、二面角
（1）定義：從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面；
（2）二面角的平面角：
1）在二面角的棱上任取一點，過這點分別在這兩個面上作 ，這兩條射線的夾角就是二面角的 ；
2）范圍：
2、面面垂直
（1）定義
若兩個相交平面的二面角是直角，則兩個平面互相垂直；
（2）判定定理
1）如果一個平面過另外一個平面的 ，那么這兩個平面垂直；
2）圖形語言：
3）符號語言：
（3）性質定理
1）兩個平面垂直，如果一個平面內有一條直線垂直這兩個平面的 ，那么這條直線與另一個平面垂直；
2）圖形語言：
3）符號語言：
知識點3: 三垂線定理
6、三垂線定理
（1）三垂線定理：平面內一條直線如果和穿過這個平面的一條斜線在這個平面內的 垂直，那么它也和這條斜線垂直；
（2）三垂線定理的逆定理：平面內一條直線如果和穿過這個平面的一條斜線垂直，那么它也和這一條斜線的在這個平面內的射影 ；
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題型展示
小
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題型一: 線線垂直證明
【例1】如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，，M，N分別為的中點，.
（1）證明：；
【變式1】如圖，在三棱柱中，平面 ，，點分別在棱和棱 上，且為棱的中點．
（Ⅰ）求證：；
題型二: 線面垂直證明
【例2】如圖，為圓錐的頂點，是圓錐底面的圓心，為底面直徑，．是底面的內接正三角形，為上一點，．
（1）證明：平面；
【變式2】如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PD底面ABCD．設平面PAD與平面PBC的交線為．
（1）證明：平面PDC；
題型三: 面面垂直證明
【例3】如圖，為圓錐的頂點，是圓錐底面的圓心，是底面的內接正三角形，為上一點，∠APC=90°．
（1）證明：平面PAB⊥平面PAC；
【變式3】如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，M為的中點，且．
（1）證明：平面平面；
(
考場演練
)
【真題1】（2024·全國新Ⅱ卷）如圖，平面四邊形ABCD中，，，，，，點E，F滿足，，將沿EF翻折至，使得．
(1)證明：；
【真題2】（2023·全國新Ⅱ卷）如圖，三棱錐中，，，，E為BC的中點．
(1)證明：；
【真題3】（2023·全國甲卷）如圖，在三棱柱中，平面．
(1)證明：平面平面；
【真題4】（2023·北京）如圖，在三棱錐中，平面，．
(1)求證：平面PAB；
【真題5】（2022·全國甲卷）在四棱錐中，底面
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(1)證明：；
【真題6】（2022·全國乙卷）如圖，四面體中，，E為的中點．
(1)證明：平面平面；
【真題7】（2022·浙江）如圖，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角為．設M，N分別為的中點．
(1)證明：；
【真題8】（2021·全國新Ⅰ卷）如圖，在三棱錐中，平面平面，，為的中點.
（1）證明：；
【真題9】（2021·全國新Ⅱ卷）在四棱錐中，底面是正方形，若．
（1）證明：平面平面；
【真題10】（2021·全國甲卷）已知直三棱柱中，側面為正方形，，E，F分別為和的中點，D為棱上的點．
（1）證明：；
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