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第05講 橢圓及其性質
(
考綱導向
小
)
考點要求 考題統計 考情分析
(1) 橢圓的定義與標準方程 (2) 橢圓的幾何性質與應用 2024年Ⅱ卷5分2023年甲卷5分2023年I卷5分2023年乙卷5分2022年I卷5分2022年甲卷5分2022年乙卷5分2021年I卷5分2021年乙卷5分
（1）本講為高考命題熱點，題型以選擇題、填空題為主； （2）重點是橢圓的定義與標準方程和橢圓的幾何性質與應用，主要考查橢圓的定義、幾何形狀、標準方程的理解，橢圓的對稱性、頂點、離心率的求解和應用以及與橢圓的有關的最值問題.
(
考試要求
小
)
1、理解橢圓的定義、幾何形狀、標準方程；
2、掌握橢圓的簡單幾何性質（范圍、對稱性、頂點、離心率）；
3、掌握橢圓的簡單應用。
(
考點突破考綱解讀
)
(
考點梳理
小
)
知識點1: 橢圓定義
1、橢圓定義：
平面內與兩個定點的距離之和等于定值（大于）的點的軌跡稱為橢圓；
即：．
【在題目中，與焦點有關就用定義！】
知識點2: 橢圓的標準方程與性質
1、橢圓的標準方程與性質
(
題型展示
小
)
題型一: 橢圓的定義與標準方程
【例1】已知橢圓C的焦點為，過F2的直線與C交于A，B兩點.若，，則C的方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
如圖，設，則，
；
在中，，
在中，，解得；
橢圓方程為；答案為B．
【變式1】已知橢圓的長軸長為10，焦距為8，則該橢圓的短軸長等于（ ）
A．3 B．6 C．8 D．12
【答案】B
【解析】
橢圓的長軸長為10，焦距為8，，，可得，，
，可得，短軸長；答案為B.
題型二: 橢圓的離心率
【例2】已知橢圓，焦點，，若過的直線和圓相切，與橢圓在第一象限交于點P，且軸，則該直線的斜率是 ，橢圓的離心率是 .
【答案】，；
【解析】
如圖，不妨假設，設切點為，
，，
, 由，，，
，；答案為；．
【變式2】已知橢圓（a＞b＞0）的離心率為，則（ ）
A．a2=2b2 B．3a2=4b2 C．a=2b D．3a=4b
【答案】B
【解析】
橢圓的離心率；答案為B.
題型三: 與橢圓的有關的最值問題
【例3】設B是橢圓的上頂點，點P在C上，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【解析】
設點，因為，，所以
，
而，所以當時，的最大值為；答案為：A．
【變式3】）已知點P(0，1)，橢圓 (m>1)上兩點A，B滿足，則當m= 時，點B橫坐標的絕對值最大．
【答案】5
【解析】
設，由得
A,B在橢圓上,
，即，與相減得：，
，當且僅當時取等號，
即時，點B橫坐標的絕對值最大；故答案為5．
(
考場演練
)
【真題1】（2024·全國新Ⅱ卷）已知曲線C：（），從C上任意一點P向x軸作垂線段，為垂足，則線段的中點M的軌跡方程為（ ）
A．（） B．（）
C．（） D．（）
【答案】A
【解析】
設點，則，為的中點， ，即，
又在圓上，，即，
即點的軌跡方程為；答案為A.
【真題2】（2023·全國甲卷）設為橢圓的兩個焦點，點在上，若，則（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
【答案】B
【解析】
，，
；答案為B.
【真題3】（2023·全國乙卷）設O為坐標原點，為橢圓的兩個焦點，點 P在C上，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
設，，
由，
由橢圓方程可知，，
，
即，；答案為B．
【真題4】（2023·全國新Ⅰ卷）設橢圓的離心率分別為．若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由，得，，，；答案為A.
【真題5】（2022·全國新Ⅰ卷）已知橢圓，C的上頂點為A，兩個焦點為，，離心率為．過且垂直于的直線與C交于D，E兩點，，則的周長是 ．
【答案】13
【解析】
∵橢圓的離心率為，∴，∴，
∴橢圓的方程為，
設左焦點為，右焦點為，如圖，∵，
∴，∴為正三角形，
∵過且垂直于的直線與C交于D，E兩點，為線段的垂直平分線，
∴直線的斜率為，直線的方程：，
代入橢圓方程，得：，
，
∴，∴ ，，
∵為線段的垂直平分線，根據對稱性，，
∴的周長等于的周長，利用橢圓的定義得到周長為.
答案為13.
【真題6】（2022·全國甲卷）已知橢圓的離心率為，分別為C的左、右頂點，B為C的上頂點．若，則C的方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
，解得，，分別為C的左右頂點，
則，B為上頂點，，， ，
，將代入，解得，橢圓的方程為；答案為B.
【真題7】（2022·全國乙卷）橢圓的左頂點為A，點P，Q均在C上，且關于y軸對稱．若直線的斜率之積為，則C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
設，則，則由得：，
由，得，，即，
；答案為A.
【真題8】（2021·全國新Ⅰ卷）已知，是橢圓：的兩個焦點，點在上，則的最大值為（ ）
A．13 B．12 C．9 D．6
【答案】C
【解析】
由題，，則，
（當且僅當時，等號成立）；答案為C．
【真題9】（2021·全國乙卷）設是橢圓的上頂點，若上的任意一點都滿足，則的離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
設，由，，，
，
，當，即 時，，即 ，符合題意，
由可得，即 ；當，即時， ，
即，不成立；答案為C．
【真題10】（2018·全國·高考真題）已知，是橢圓的兩個焦點，是上的一點，若，且，則的離心率為
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
在中，,設，則，
又由橢圓定義可知,則離心率，
答案為D.
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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第05講 橢圓及其性質
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(1) 橢圓的定義與標準方程 (2) 橢圓的幾何性質與應用 2024年Ⅱ卷5分2023年甲卷5分2023年I卷5分2023年乙卷5分2022年I卷5分2022年甲卷5分2022年乙卷5分2021年I卷5分2021年乙卷5分
（1）本講為高考命題熱點，題型以選擇題、填空題為主； （2）重點是橢圓的定義與標準方程和橢圓的幾何性質與應用，主要考查橢圓的定義、幾何形狀、標準方程的理解，橢圓的對稱性、頂點、離心率的求解和應用以及與橢圓的有關的最值問題.
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考試要求
小
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1、理解橢圓的定義、幾何形狀、標準方程；
2、掌握橢圓的簡單幾何性質（范圍、對稱性、頂點、離心率）；
3、掌握橢圓的簡單應用.
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考點突破考綱解讀
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考點梳理
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知識點1: 橢圓定義
1、橢圓定義：
平面內與兩個定點的距離 等于 （大于）的點的軌跡稱為橢圓；
即：．
【在題目中，與焦點有關就用定義！】
知識點2: 橢圓的標準方程與性質
1、橢圓的標準方程與性質
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題型展示
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題型一: 橢圓的定義與標準方程
【例1】已知橢圓C的焦點為，過F2的直線與C交于A，B兩點.若，，則C的方程為（ ）
A． B． C． D．
【變式1】已知橢圓的長軸長為10，焦距為8，則該橢圓的短軸長等于（ ）
A．3 B．6 C．8 D．12
題型二: 橢圓的離心率
【例2】已知橢圓，焦點，，若過的直線和圓相切，與橢圓在第一象限交于點P，且軸，則該直線的斜率是 ，橢圓的離心率是 .
【變式2】已知橢圓（a＞b＞0）的離心率為，則（ ）
A．a2=2b2 B．3a2=4b2 C．a=2b D．3a=4b
題型三: 與橢圓的有關的最值問題
【例3】設B是橢圓的上頂點，點P在C上，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．2
【變式3】）已知點P(0，1)，橢圓 (m>1)上兩點A，B滿足，則當m= 時，點B橫坐標的絕對值最大．
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考場演練
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【真題1】（2024·全國新Ⅱ卷）已知曲線C：（），從C上任意一點P向x軸作垂線段，為垂足，則線段的中點M的軌跡方程為（ ）
A．（） B．（）
C．（） D．（）
【真題2】（2023·全國甲卷）設為橢圓的兩個焦點，點在上，若，則（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
【真題3】（2023·全國乙卷）設O為坐標原點，為橢圓的兩個焦點，點 P在C上，，則（ ）
A． B． C． D．
【真題4】（2023·全國新Ⅰ卷）設橢圓的離心率分別為．若，則（ ）
A． B． C． D．
【真題5】（2022·全國新Ⅰ卷）已知橢圓，C的上頂點為A，兩個焦點為，，離心率為．過且垂直于的直線與C交于D，E兩點，，則的周長是 ．
【真題6】（2022·全國甲卷）已知橢圓的離心率為，分別為C的左、右頂點，B為C的上頂點．若，則C的方程為（ ）
A． B． C． D．
【真題7】（2022·全國乙卷）橢圓的左頂點為A，點P，Q均在C上，且關于y軸對稱．若直線的斜率之積為，則C的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【真題8】（2021·全國新Ⅰ卷）已知，是橢圓：的兩個焦點，點在上，則的最大值為（ ）
A．13 B．12 C．9 D．6
【真題9】（2021·全國乙卷）設是橢圓的上頂點，若上的任意一點都滿足，則的離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【真題10】（2018·全國·高考真題）已知，是橢圓的兩個焦點，是上的一點，若，且，則的離心率為
A． B． C． D．
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