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第03講 直線、平面平行的判定與性質(zhì)
(
考綱導(dǎo)向
小
)
考點(diǎn)要求 考題統(tǒng)計(jì) 考情分析
(1) 直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行關(guān)系 (2) 直線與平面、平面與平面平行的判定和性質(zhì) 2024年I卷5分2024年甲卷5分2024年北京卷5分2024年天津卷5分2023年I卷5分2023年甲卷5分2023年北京卷5分2022年天津卷5分2022年甲卷5分2022年II卷5分
（1）本講為高考命題熱點(diǎn)，題型以解答題為主，常出現(xiàn)在立體幾何大題的第1小問(wèn)中，考查內(nèi)容、頻率、題型、難度均變化不大； （2）重點(diǎn)是直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行關(guān)系，主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行關(guān)系的判定和性質(zhì)；注意在立體圖形中發(fā)現(xiàn)平行的隱藏條件，可以用幾何法直接證明，也可以用空間向量坐標(biāo)法進(jìn)行證明，熟練掌握這兩種證明思路.
(
考試要求
小
)
1、理解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行關(guān)系，并加以證明；
2、掌握直線與平面、平面與平面平行的判定和性質(zhì)，并會(huì)簡(jiǎn)單應(yīng)用.
(
考點(diǎn)突破考綱解讀
)
(
考點(diǎn)梳理
小
)
知識(shí)點(diǎn)1: 線線平行
1、線線平行
（1）中位線平行
（2）平行四邊形、矩形、菱形對(duì)邊平行
（3）平行于同一條直線的兩條直線相互平行
（4）線段相似比
知識(shí)點(diǎn)2: 線面平行
1、線面平行
（1）判定定理
1）如果平面外一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行；
2）圖形語(yǔ)言：
3）符號(hào)語(yǔ)言：
（2）性質(zhì)定理
1）一條直線與一個(gè)平面平行，如果過(guò)該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行；
2）圖形語(yǔ)言：
3）符號(hào)語(yǔ)言：；
知識(shí)點(diǎn)3: 面面平行
1、面面平行
（1）判定定理
1）如果一個(gè)平面的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行；
2）圖形語(yǔ)言：
3）符號(hào)語(yǔ)言：；
（2）性質(zhì)定理
1）兩個(gè)平面平行，如果另一個(gè)平面與這兩個(gè)平面相交，那么兩條交線平行；
2）圖形語(yǔ)言：
3）符號(hào)語(yǔ)言：；
4、平行垂直常用結(jié)論
（1）垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行：；
（2）平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行：；
（3）垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)直線平行：；
（4）若兩個(gè)平面平行，則其中一個(gè)面上的任一條線與另外一個(gè)平面平行：；
(
題型展示
小
)
題型一: 線線平行的判定
【例1】（2023·全國(guó)新Ⅰ卷）如圖，在正四棱柱中，．點(diǎn)分別在棱,上，．
(1)證明：；
【解析】
（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，
則，
，，
又不在同一條直線上，.
【變式1】如圖所示，在多面體，四邊形，均為正方形，為的中點(diǎn)，過(guò)的平面交于F.
（Ⅰ）證明：；
【解析】
（Ⅰ）由正方形的性質(zhì)可知，且，四邊形為平行四邊形，
，又面，面，面，又面，
而面面，.
題型二: 線面平行的判定與性質(zhì)
【例2】如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，為等邊三角形，平面平面，，，，
（Ⅰ）設(shè)分別為的中點(diǎn)，求證：平面；
【解析】（I）證明：連接，易知，，
，，又平面，平面，平面.
【變式2】如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分別為BC，AC的中點(diǎn)，AB=BC．
求證：（1）A1B1∥平面DEC1；
【解析】（1）D，E分別為BC，AC的中點(diǎn)，
ED∥AB，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB∥A1B1，A1B1∥ED.
又ED 平面DEC1，A1B1平面DEC1，A1B1∥平面DEC1.
題型三: 平行關(guān)系的綜合應(yīng)用
【例3】如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=AD．
（Ⅰ）在平面PAD內(nèi)找一點(diǎn)M，使得直線CM∥平面PAB，并說(shuō)明理由；
【解析】
（Ⅰ）取棱AD的中點(diǎn)M（M∈平面PAD），點(diǎn)M即為所求的一個(gè)點(diǎn).理由如下：
AD∥BC,BC=AD，所以BC∥AM, 且BC=AM.
四邊形AMCB是平行四邊形，從而CM∥AB，又AB平面PAB,CM平面PAB,
CM∥平面PAB.
(
考場(chǎng)演練
)
【真題1】（2024·全國(guó)新Ⅰ卷）如圖，四棱錐中，底面ABCD，，．
(1)若，證明：平面；
【解析】
（1）平面，而平面， ，
又，，平面， 平面，
而平面， .
， ， ，
又平面，平面， 平面．
【真題2】（2024·全國(guó)甲卷）如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的五面體中，四邊形ABCD與四邊形ADEF均為等腰梯形，，，，為的中點(diǎn)．
(1)證明：平面；
【解析】
（1）為的中點(diǎn)， ，
四邊形為平行四邊形， ，又平面，
平面， 平面；
【真題3】（2024·北京）如圖，在四棱錐中，，，,點(diǎn)在上，且，．
(1)若為線段中點(diǎn)，求證：平面．
【解析】
（1）取的中點(diǎn)為，接，則，
而，，四邊形為平行四邊形，
，而平面，平面，平面.
【真題4】（2024·天津）已知四棱柱中，底面為梯形，，平面，，其中．是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)．
(1)求證平面；
【解析】
（1）取中點(diǎn)，連接，，由是的中點(diǎn)，故，且，
由是的中點(diǎn)，故，且，、，
四邊形是平行四邊形，故，又平面，平面，
平面；
【真題5】（2023·全國(guó)新Ⅰ卷）如圖，在正四棱柱中，．點(diǎn)分別在棱,上，．
(1)證明：；
【解析】
（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，
則，，
，又不在同一條直線上，.
【真題6】（2023·全國(guó)甲卷）如圖，在三棱錐中，，，，，BP，AP，BC的中點(diǎn)分別為D，E，O，，點(diǎn)F在AC上，.
(1)證明：平面；
【解析】
（1）連接，設(shè)，則，，，
則，
解得，則為的中點(diǎn)，由分別為的中點(diǎn)，
，即，四邊形為平行四邊形，
，又平面平面，平面.
【真題7】（2023·天津）如圖，在三棱臺(tái)中，平面，為中點(diǎn).，N為AB的中點(diǎn)，
(1)求證：//平面；
【解析】
（1）
連接.由分別是的中點(diǎn)，根據(jù)中位線性質(zhì)，//，且，
由棱臺(tái)性質(zhì)，//，//，由可知，四邊形是平行四邊形，//，又平面，平面，//平面.
【真題8】（2022·全國(guó)新Ⅱ卷）如圖，是三棱錐的高，，，E是的中點(diǎn)．
(1)證明：平面；
【解析】
（1）證明：連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接、，
是三棱錐的高， 平面，平面，
、，又， ，即， ，
又，即， ，，
，即 為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)， ，
又平面，平面，平面
【真題9】（2022·全國(guó)甲卷）小明同學(xué)參加綜合實(shí)踐活動(dòng)，設(shè)計(jì)了一個(gè)封閉的包裝盒，包裝盒如圖所示：底面是邊長(zhǎng)為8（單位：）的正方形，均為正三角形，且它們所在的平面都與平面垂直．
(1)證明：平面；
【解析】
（1）如圖所示：
分別取的中點(diǎn)，連接，為全等的正三角形，
，，又平面平面，平面平面，平面，平面，同理可得平面，
，而，四邊形為平行四邊形，，
又平面，平面，平面．
【真題10】（2022·天津）直三棱柱中，，D為的中點(diǎn)，E為的中點(diǎn)，F(xiàn)為的中點(diǎn)．
(1)求證：平面；
【解析】
（1）在直三棱柱中，平面，且，則
以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，
、、、、、、、、，，平面的一個(gè)法向量為，則，故，
平面，故平面.
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁(yè) （共 2 頁(yè)）
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第03講 直線、平面平行的判定與性質(zhì)
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考綱導(dǎo)向
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考點(diǎn)要求 考題統(tǒng)計(jì) 考情分析
(1) 直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行關(guān)系 (2) 直線與平面、平面與平面平行的判定和性質(zhì) 2024年I卷5分2024年甲卷5分2024年北京卷5分2024年天津卷5分2023年I卷5分2023年甲卷5分2023年北京卷5分2022年天津卷5分2022年甲卷5分2022年II卷5分
（1）本講為高考命題熱點(diǎn)，題型以解答題為主，常出現(xiàn)在立體幾何大題的第1小問(wèn)中，考查內(nèi)容、頻率、題型、難度均變化不大； （2）重點(diǎn)是直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行關(guān)系，主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行關(guān)系的判定和性質(zhì)；注意在立體圖形中發(fā)現(xiàn)平行的隱藏條件，可以用幾何法直接證明，也可以用空間向量坐標(biāo)法進(jìn)行證明，熟練掌握這兩種證明思路.
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考試要求
小
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1、理解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行關(guān)系，并加以證明；
2、掌握直線與平面、平面與平面平行的判定和性質(zhì)，并會(huì)簡(jiǎn)單應(yīng)用.
(
考點(diǎn)突破考綱解讀
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考點(diǎn)梳理
小
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知識(shí)點(diǎn)1: 線線平行
1、線線平行
（1）中位線平行
（2）平行四邊形、矩形、菱形 平行
（3）平行于 的兩條直線相互平行
（4）線段相似比
知識(shí)點(diǎn)2: 線面平行
1、線面平行
（1）判定定理
1）如果平面外一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面 ；
2）圖形語(yǔ)言：
3）符號(hào)語(yǔ)言：
（2）性質(zhì)定理
1）一條直線與一個(gè)平面平行，如果過(guò)該直線的平面與此平面 ，那么該直線與 平行；
2）圖形語(yǔ)言：
3）符號(hào)語(yǔ)言：；
知識(shí)點(diǎn)3: 面面平行
1、面面平行
（1）判定定理
1）如果一個(gè)平面的 與另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行；
2）圖形語(yǔ)言：
3）符號(hào)語(yǔ)言：；
（2）性質(zhì)定理
1）兩個(gè)平面平行，如果另一個(gè)平面與這兩個(gè)平面相交，那么兩條 平行；
2）圖形語(yǔ)言：
3）符號(hào)語(yǔ)言：；
4、平行垂直常用結(jié)論
（1）垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行：；
（2）平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行：；
（3）垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)直線平行：；
（4）若兩個(gè)平面平行，則其中一個(gè)面上的任一條線與另外一個(gè)平面平行：；
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題型展示
小
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題型一: 線線平行的判定
【例1】（2023·全國(guó)新Ⅰ卷）如圖，在正四棱柱中，．點(diǎn)分別在棱,上，．
(1)證明：；
【變式1】如圖所示，在多面體，四邊形，均為正方形，為的中點(diǎn)，過(guò)的平面交于F.
（Ⅰ）證明：；
題型二: 線面平行的判定與性質(zhì)
【例2】如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，為等邊三角形，平面平面，，，，
（Ⅰ）設(shè)分別為的中點(diǎn)，求證：平面；
【變式2】如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分別為BC，AC的中點(diǎn)，AB=BC．
求證：（1）A1B1∥平面DEC1；
題型三: 平行關(guān)系的綜合應(yīng)用
【例3】如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=AD．
（Ⅰ）在平面PAD內(nèi)找一點(diǎn)M，使得直線CM∥平面PAB，并說(shuō)明理由；
(
考場(chǎng)演練
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【真題1】（2024·全國(guó)新Ⅰ卷）如圖，四棱錐中，底面ABCD，，．
(1)若，證明：平面；
【真題2】（2024·全國(guó)甲卷）如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的五面體中，四邊形ABCD與四邊形ADEF均為等腰梯形，，，，為的中點(diǎn)．
(1)證明：平面；
【真題3】（2024·北京）如圖，在四棱錐中，，，,點(diǎn)在上，且，．
(1)若為線段中點(diǎn)，求證：平面．
【真題4】（2024·天津）已知四棱柱中，底面為梯形，，平面，，其中．是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)．
(1)求證平面；
【真題5】（2023·全國(guó)新Ⅰ卷）如圖，在正四棱柱中，．點(diǎn)分別在棱,上，．
(1)證明：；
【真題6】（2023·全國(guó)甲卷）如圖，在三棱錐中，，，，，BP，AP，BC的中點(diǎn)分別為D，E，O，，點(diǎn)F在AC上，.
(1)證明：平面；
【真題7】（2023·天津）如圖，在三棱臺(tái)中，平面，為中點(diǎn).，N為AB的中點(diǎn)，
(1)求證：//平面；
【真題8】（2022·全國(guó)新Ⅱ卷）如圖，是三棱錐的高，，，E是的中點(diǎn)．
(1)證明：平面；
【真題9】（2022·全國(guó)甲卷）小明同學(xué)參加綜合實(shí)踐活動(dòng)，設(shè)計(jì)了一個(gè)封閉的包裝盒，包裝盒如圖所示：底面是邊長(zhǎng)為8（單位：）的正方形，均為正三角形，且它們所在的平面都與平面垂直．
(1)證明：平面；
【真題10】（2022·天津）直三棱柱中，，D為的中點(diǎn)，E為的中點(diǎn)，F(xiàn)為的中點(diǎn)．
(1)求證：平面；
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