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第05講 古典概型與概率的基本性質
(
考綱導向
小
)
考點要求 考題統計 考情分析
(1) 事件間的關系和運算 (2) 事件間的關系和運算 2024年Ⅱ卷5分2024年甲卷10分2024年I卷5分2023年甲卷5分2023年乙卷5分2023年天津卷5分2022年甲卷5分
（1）本講為高考命題熱點，題型以選擇題、填空題為主； （2）重點是事件間的關系和運算和事件間的關系和運算，主要考查事件間的關系和運算的理解，古典概型的特征及其計算公式，古典概型中簡單隨機事件的概率計算.
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考試要求
小
)
1、理解事件間的關系和運算；
2、掌握古典概型及其計算公式，能計算古典概型中簡單隨機事件的概率.
(
考點突破考綱解讀
)
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考點梳理
小
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知識點1: 古典概型的特征
1、古典概型的特征
（1）有限性：樣本空間的樣本點只有 ；
（2）等可能性：每個樣本點發生的可能性 .
知識點2: 古典概型的概率公式
1、古典概型的概率公式
設試驗是古典概型，樣本空間包含個樣本點，事件包含其中的個樣本點，則定義事件的概率 ，其中和分別表示事件和樣本空間包含的樣本點個數；
知識點3: 概率的性質
1、概率的性質
（1）；
（2）；
（3）若事件與事件互斥，則；
（4）若事件與事件互為對立事件，則 ；
（5）設與是一個隨機試驗中的兩個事件，則 ；
(
題型展示
小
)
題型一: 古典概型的特征
【例1】（2022·全國甲卷）從正方體的8個頂點中任選4個，則這4個點在同一個平面的概率為
【變式1】從甲、乙等5名同學中隨機選3名參加社區服務工作，則甲、乙都入選的概率為 ．
題型二: 古典概型的概率計算
【例2】有5支彩筆（除顏色外無差別），顏色分別為紅、黃、藍、綠、紫.從這5支彩筆中任取2支不同顏色的彩筆，則取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的概率為（ ）
A． B． C． D．
【變式2】為美化環境，從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種花種在一個花壇中，余下的2種花種在另一個花壇中，則紅色和紫色的花不在同一花壇的概率是（ ）
A． B． C． D．
題型三: 利用古典概型求參數
【例3】袋中有4個紅球m個黃球，n個綠球.現從中任取兩個球，記取出的紅球數為，若取出的兩個球都是紅球的概率為，一紅一黃的概率為，則 ， .
【變式3】（2024·全國新Ⅱ卷）在如圖的4×4的方格表中選4個方格，要求每行和每列均恰有一個方格被選中，則共有 種選法，在所有符合上述要求的選法中，選中方格中的4個數之和的最大值是 ．
(
考場演練
)
【真題1】（2024·全國甲卷）甲、乙、丙、丁四人排成一列，則丙不在排頭，且甲或乙在排尾的概率是（ ）
A． B． C． D．
【真題2】（2024·全國新Ⅰ卷）甲、乙兩人各有四張卡片，每張卡片上標有一個數字，甲的卡片上分別標有數字1，3，5，7，乙的卡片上分別標有數字2，4，6，8，兩人進行四輪比賽，在每輪比賽中，兩人各自從自己持有的卡片中隨機選一張，并比較所選卡片上數字的大小，數字大的人得1分，數字小的人得0分，然后各自棄置此輪所選的卡片（棄置的卡片在此后的輪次中不能使用）.則四輪比賽后，甲的總得分不小于2的概率為 .
【真題3】（2024·全國甲卷）有6個相同的球，分別標有數字1、2、3、4、5、6，從中無放回地隨機取3次，每次取1個球.記為前兩次取出的球上數字的平均值，為取出的三個球上數字的平均值，則與之差的絕對值不大于的概率為 ．
【真題4】（2024·全國新Ⅱ卷）在如圖的4×4的方格表中選4個方格，要求每行和每列均恰有一個方格被選中，則共有 種選法，在所有符合上述要求的選法中，選中方格中的4個數之和的最大值是 ．
【真題5】（2023·天津）把若干個黑球和白球（這些球除顏色外無其它差異）放進三個空箱子中，三個箱子中的球數之比為．且其中的黑球比例依次為．若從每個箱子中各隨機摸出一球，則三個球都是黑球的概率為 ；若把所有球放在一起，隨機摸出一球，則該球是白球的概率為 ．
【真題6】（2023·全國乙卷）某學校舉辦作文比賽，共6個主題，每位參賽同學從中隨機抽取一個主題準備作文，則甲、乙兩位參賽同學抽到不同主題概率為（ ）
A． B． C． D．
【真題7】（2023·全國甲卷）某校文藝部有4名學生，其中高一、高二年級各2名．從這4名學生中隨機選2名組織校文藝匯演，則這2名學生來自不同年級的概率為（ ）
A． B． C． D．
【真題8】（2022·全國甲卷）從分別寫有1，2，3，4，5，6的6張卡片中無放回隨機抽取2張，則抽到的2張卡片上的數字之積是4的倍數的概率為（ ）
A． B． C． D．
【真題9】（2022·全國新Ⅰ卷）從2至8的7個整數中隨機取2個不同的數，則這2個數互質的概率為（ ）
A． B． C． D．
【真題10】（2022·浙江）現有7張卡片，分別寫上數字1，2，2，3，4，5，6．從這7張卡片中隨機抽取3張，記所抽取卡片上數字的最小值為，則 ， ．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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第05講 古典概型與概率的基本性質
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考綱導向
小
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考點要求 考題統計 考情分析
(1) 事件間的關系和運算 (2) 事件間的關系和運算 2024年Ⅱ卷5分2024年甲卷10分2024年I卷5分2023年甲卷5分2023年乙卷5分2023年天津卷5分2022年甲卷5分
（1）本講為高考命題熱點，題型以選擇題、填空題為主； （2）重點是事件間的關系和運算和事件間的關系和運算，主要考查事件間的關系和運算的理解，古典概型的特征及其計算公式，古典概型中簡單隨機事件的概率計算.
(
考試要求
小
)
1、理解事件間的關系和運算；
2、掌握古典概型及其計算公式，能計算古典概型中簡單隨機事件的概率.
(
考點突破考綱解讀
)
(
考點梳理
小
)
知識點1: 古典概型的特征
1、古典概型的特征
（1）有限性：樣本空間的樣本點只有有限個；
（2）等可能性：每個樣本點發生的可能性相等.
知識點2: 古典概型的概率公式
1、古典概型的概率公式
設試驗是古典概型，樣本空間包含個樣本點，事件包含其中的個樣本點，則定義事件的概率，其中和分別表示事件和樣本空間包含的樣本點個數；
知識點3: 概率的性質
1、概率的性質
（1）；
（2）；
（3）若事件與事件互斥，則；
（4）若事件與事件互為對立事件，則；
（5）設與是一個隨機試驗中的兩個事件，則；
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題型展示
小
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題型一: 古典概型的特征
【例1】（2022·全國甲卷）從正方體的8個頂點中任選4個，則這4個點在同一個平面的概率為 ．
【答案】.
【解析】
從正方體的4個頂點中任取4個，有個結果，
這4個點在同一個平面的有個，；答案為．
【變式1】從甲、乙等5名同學中隨機選3名參加社區服務工作，則甲、乙都入選的概率為 ．
【答案】/0.3
【解析】
從5名同學中隨機選3名的方法數為
甲、乙都入選的方法數為，；答案為.
題型二: 古典概型的概率計算
【例2】有5支彩筆（除顏色外無差別），顏色分別為紅、黃、藍、綠、紫.從這5支彩筆中任取2支不同顏色的彩筆，則取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
選取兩支彩筆的方法有種，含有紅色彩筆的選法為種，
由古典概型公式，滿足題意的概率值為；答案為C.
【變式2】為美化環境，從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種花種在一個花壇中，余下的2種花種在另一個花壇中，則紅色和紫色的花不在同一花壇的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
將4種顏色的花中任選2種種在一個花壇中，余下2種種在另一個花壇中，有6種種法，
其中紅色和紫色的花不在同一個花壇的種數有4種，概率為；答案為C.
題型三: 利用古典概型求參數
【例3】袋中有4個紅球m個黃球，n個綠球.現從中任取兩個球，記取出的紅球數為，若取出的兩個球都是紅球的概率為，一紅一黃的概率為，則 ， .
【答案】1；.
【解析】
，，
, , 則,
,；答案為1；．
【變式3】（2024·全國新Ⅱ卷）在如圖的4×4的方格表中選4個方格，要求每行和每列均恰有一個方格被選中，則共有 種選法，在所有符合上述要求的選法中，選中方格中的4個數之和的最大值是 ．
【答案】24 ；112.
【解析】
由題意知，選4個方格，每行和每列均恰有一個方格被選中，
則第一列有4個方格可選，第二列有3個方格可選，
第三列有2個方格可選，第四列有1個方格可選，共有種選法；
每種選法可標記為，分別表示第一、二、三、四列的數字，則所有可能結果為：
，
，
，
，
選中的方格中，的4個數之和最大，為；故答案為24；112.
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考場演練
)
【真題1】（2024·全國甲卷）甲、乙、丙、丁四人排成一列，則丙不在排頭，且甲或乙在排尾的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
當甲排在排尾，乙排第一位，丙有種，丁就種，共種；
當甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有種，丁就種，共種；
甲排在排尾共種方法，同理乙排在排尾共種方法，共種排法符合題意；
基本事件總數是，根據古典概型的計算公式概率為；答案為B.
【真題2】（2024·全國新Ⅰ卷）甲、乙兩人各有四張卡片，每張卡片上標有一個數字，甲的卡片上分別標有數字1，3，5，7，乙的卡片上分別標有數字2，4，6，8，兩人進行四輪比賽，在每輪比賽中，兩人各自從自己持有的卡片中隨機選一張，并比較所選卡片上數字的大小，數字大的人得1分，數字小的人得0分，然后各自棄置此輪所選的卡片（棄置的卡片在此后的輪次中不能使用）.則四輪比賽后，甲的總得分不小于2的概率為 .
【答案】/0.5
【解析】
設甲在四輪游戲中的得分分別為，四輪的總得分為.
對于任意一輪，甲乙兩人在該輪出示每張牌的概率都均等，其中使得甲獲勝的出牌組合有六種，甲在該輪獲勝的概率，.
；記.
如果甲得0分，則組合方式是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分別對應乙出2，4，6，8，；
如果甲得3分，則組合方式也是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分別對應乙出8，2，4，6，；
的所有可能取值是0，1，2，3，，.
，，兩式相減即得，.
甲的總得分不小于2的概率為；故答案為.
【真題3】（2024·全國甲卷）有6個相同的球，分別標有數字1、2、3、4、5、6，從中無放回地隨機取3次，每次取1個球.記為前兩次取出的球上數字的平均值，為取出的三個球上數字的平均值，則與之差的絕對值不大于的概率為 ．
【答案】
【解析】
從6個不同的球中不放回地抽取3次，共有種，
設前兩個球的號碼為，第三個球的號碼為，則，
，
若，則，則為：，故有2種，
若，則，則為：，
，故有10種，
當，則，則為：，，故有16種，
當，則，同理有16種，當，則，同理有10種，
當，則，同理有2種，
與的差的絕對值不超過時不同的抽取方法總數為，
概率為；答案為.
【真題4】（2024·全國新Ⅱ卷）在如圖的4×4的方格表中選4個方格，要求每行和每列均恰有一個方格被選中，則共有 種選法，在所有符合上述要求的選法中，選中方格中的4個數之和的最大值是 ．
【答案】24 ；112.
【解析】
由題意知，選4個方格，每行和每列均恰有一個方格被選中，
則第一列有4個方格可選，第二列有3個方格可選，
第三列有2個方格可選，第四列有1個方格可選，共有種選法；
每種選法可標記為，分別表示第一、二、三、四列的數字，則所有可能結果為：
，
，
，
，
選中的方格中，的4個數之和最大，為；故答案為24；112.
【真題5】（2023·天津）把若干個黑球和白球（這些球除顏色外無其它差異）放進三個空箱子中，三個箱子中的球數之比為．且其中的黑球比例依次為．若從每個箱子中各隨機摸出一球，則三個球都是黑球的概率為 ；若把所有球放在一起，隨機摸出一球，則該球是白球的概率為 ．
【答案】；/.
【解析】
設甲、乙、丙三個盒子中的球的個數分別為，總數為，
甲盒中黑球個數為，白球個數為；
乙盒中黑球個數為，白球個數為；
丙盒中黑球個數為，白球個數為；
記“從三個盒子中各取一個球，取到的球都是黑球”為事件,；
記“將三個盒子混合后取出一個球，是白球”為事件，黑球共有個，白球有個，
；答案為；．
【真題6】（2023·全國乙卷）某學校舉辦作文比賽，共6個主題，每位參賽同學從中隨機抽取一個主題準備作文，則甲、乙兩位參賽同學抽到不同主題概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
用1，2，3，4，5，6表示6個主題，甲、乙二人每人抽取1個主題的所有結果如下表：
甲乙 1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
共36個不同結果，等可能，其中甲乙抽到相同結果有，共6個，
甲、乙兩位參賽同學抽到不同主題的結果有30個，概率；答案為A
【真題7】（2023·全國甲卷）某校文藝部有4名學生，其中高一、高二年級各2名．從這4名學生中隨機選2名組織校文藝匯演，則這2名學生來自不同年級的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
從這4名學生中隨機選2名組織校文藝匯演，總的基本事件有件，
其中這2名學生來自不同年級的基本事件有，概率為；答案為D.
【真題8】（2022·全國甲卷）從分別寫有1，2，3，4，5，6的6張卡片中無放回隨機抽取2張，則抽到的2張卡片上的數字之積是4的倍數的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
從6張卡片中無放回抽取2張，共有
15種情況，其中數字之積為4的倍數的有6種情況，概率為；答案為C.
【真題9】（2022·全國新Ⅰ卷）從2至8的7個整數中隨機取2個不同的數，則這2個數互質的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
從2至8的7個整數中隨機取2個不同的數，共有種不同的取法，
若兩數不互質，不同的取法有：，共7種，
；答案為D.
【真題10】（2022·浙江）現有7張卡片，分別寫上數字1，2，2，3，4，5，6．從這7張卡片中隨機抽取3張，記所抽取卡片上數字的最小值為，則 ， ．
【答案】，/.
【解析】
從寫有數字1,2,2,3,4,5,6的7張卡片中任取3張共有種取法，
其中所抽取的卡片上的數字的最小值為2的取法有種，，
由已知可得的取值有1，2，3，4，
，，
，答案為，.
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