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第04講 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系
(
考綱導(dǎo)向
小
)
考點(diǎn)要求 考題統(tǒng)計(jì) 考情分析
(1) 直線和圓的位置關(guān)系 (2) 圓和圓的位置關(guān)系 2024年Ⅱ卷5分2024年甲卷5分2024年乙卷5分2023年Ⅱ卷5分2023年I卷5分2023年乙卷5分2023年天津卷5分2022年甲卷5分2022年北京卷5分2022年天津卷5分
（1）本講為高考命題熱點(diǎn)，題型以選擇題、填空題為主，考查頻率非常高； （2）重點(diǎn)是直線和圓的位置關(guān)系和圓和圓的位置關(guān)系，主要考查直線和圓的位置關(guān)系和圓和圓的位置關(guān)系判斷，圓的切線問(wèn)題求解，直線與圓中的最值及范圍問(wèn)題求解等，需要針對(duì)以上考查重點(diǎn)多加練習(xí).
(
考試要求
小
)
1、能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線和圓的、圓和圓的位置關(guān)系；
2、能用直線和圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題和實(shí)際問(wèn)題.
(
考點(diǎn)突破考綱解讀
)
(
考點(diǎn)梳理
小
)
知識(shí)點(diǎn)1: 直線與圓的位置關(guān)系
1、直線與圓的位置關(guān)系
設(shè)圓心到直線的距離為，圓的半徑為，則如下圖所示，有三種關(guān)系：
（1）相交：弦長(zhǎng)公式（求圓的弦長(zhǎng)必用）；
（2）相切 ：求切線方程：可以由得到斜率，代入點(diǎn)斜式；
（3）相離：原上一點(diǎn)到直線距離最大，距離最小 ；
知識(shí)點(diǎn)2: 圓與圓的位置關(guān)系
1、圓與圓的位置關(guān)系
設(shè)兩個(gè)圓的半徑分別為，圓心距為：
知識(shí)點(diǎn)3: 圓上一點(diǎn)到直線的距離
1、圓上一點(diǎn)到圓外直線的距離
若直線與半徑為的圓相離，圓心到直線的距離為，則圓上一點(diǎn)到直線的距離的取值范圍是 .
(
題型展示
小
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題型一: 直線與圓的位置關(guān)系
【例1】已知圓截直線所得線段的長(zhǎng)度是，則圓與圓的位置關(guān)系是（ ）
A．內(nèi)切 B．相交 C．外切 D．相離
【變式1】已知直線和圓相交于兩點(diǎn)．若，則的值為 ．
題型二: 圓的切線
【例2】（多選）已知直線與圓，點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．若點(diǎn)A在圓C上，則直線l與圓C相切 B．若點(diǎn)A在圓C內(nèi)，則直線l與圓C相離
C．若點(diǎn)A在圓C外，則直線l與圓C相離 D．若點(diǎn)A在直線l上，則直線l與圓C相切
【變式2】若直線l與曲線y=和x2+y2=都相切，則l的方程為（ ）
A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+
題型三: 直線與圓中的最值及范圍問(wèn)題
【例3】（2022·全國(guó)新Ⅱ卷）設(shè)點(diǎn)，若直線關(guān)于對(duì)稱(chēng)的直線與圓有公共點(diǎn)，則a的取值范圍是 ．
【變式3】（多選）已知點(diǎn)在圓上，點(diǎn)、，則（ ）
A．點(diǎn)到直線的距離小于
B．點(diǎn)到直線的距離大于
C．當(dāng)最小時(shí)，
D．當(dāng)最大時(shí)，
(
考場(chǎng)演練
)
【真題1】（2024·全國(guó)甲卷）已知直線與圓交于兩點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【真題2】（2024·全國(guó)乙卷）已知b是的等差中項(xiàng)，直線與圓交于兩點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．1 B．2 C．4 D．
【真題3】（2024·全國(guó)新Ⅱ卷）（多選）拋物線C：的準(zhǔn)線為l，P為C上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作的一條切線，Q為切點(diǎn)，過(guò)P作l的垂線，垂足為B，則（ ）
A．l與相切
B．當(dāng)P，A，B三點(diǎn)共線時(shí)，
C．當(dāng)時(shí)，
D．滿足的點(diǎn)有且僅有2個(gè)
【真題4】（2023·全國(guó)新Ⅰ卷）過(guò)點(diǎn)與圓相切的兩條直線的夾角為，則（ ）
A．1 B． C． D．
【真題5】（2023·天津）已知過(guò)原點(diǎn)O的一條直線l與圓相切，且l與拋物線交于點(diǎn)兩點(diǎn)，若，則 ．
【真題6】（2023·全國(guó)乙卷）已知實(shí)數(shù)滿足，則的最大值是（ ）
A． B．4 C． D．7
【真題7】（2023·全國(guó)新Ⅱ卷）已知直線與交于A，B兩點(diǎn)，寫(xiě)出滿足“面積為”的m的一個(gè)值 ．
【真題8】（2022·北京）若直線是圓的一條對(duì)稱(chēng)軸，則（ ）
A． B． C．1 D．
【真題9】（2022·天津）若直線與圓相交所得的弦長(zhǎng)為，則 ．
【真題10】（2022·全國(guó)甲卷）若雙曲線的漸近線與圓相切，則 ．
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁(yè) （共 2 頁(yè)）
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第04講 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系
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考綱導(dǎo)向
小
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考點(diǎn)要求 考題統(tǒng)計(jì) 考情分析
(1) 直線和圓的位置關(guān)系 (2) 圓和圓的位置關(guān)系 2024年Ⅱ卷5分2024年甲卷5分2024年乙卷5分2023年Ⅱ卷5分2023年I卷5分2023年乙卷5分2023年天津卷5分2022年甲卷5分2022年北京卷5分2022年天津卷5分
（1）本講為高考命題熱點(diǎn)，題型以選擇題、填空題為主，考查頻率非常高； （2）重點(diǎn)是直線和圓的位置關(guān)系和圓和圓的位置關(guān)系，主要考查直線和圓的位置關(guān)系和圓和圓的位置關(guān)系判斷，圓的切線問(wèn)題求解，直線與圓中的最值及范圍問(wèn)題求解等，需要針對(duì)以上考查重點(diǎn)多加練習(xí).
(
考試要求
小
)
1、能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線和圓的、圓和圓的位置關(guān)系；
2、能用直線和圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題和實(shí)際問(wèn)題.
(
考點(diǎn)突破考綱解讀
)
(
考點(diǎn)梳理
小
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知識(shí)點(diǎn)1: 直線與圓的位置關(guān)系
1、直線與圓的位置關(guān)系
設(shè)圓心到直線的距離為，圓的半徑為，則如下圖所示，有三種關(guān)系：
（1）相交：弦長(zhǎng)公式（求圓的弦長(zhǎng)必用）
（2）相切：求切線方程：可以由得到斜率，代入點(diǎn)斜式；
（3）相離：原上一點(diǎn)到直線距離最大，距離最小；
知識(shí)點(diǎn)2: 圓與圓的位置關(guān)系
1、圓與圓的位置關(guān)系
設(shè)兩個(gè)圓的半徑分別為，圓心距為：
知識(shí)點(diǎn)3: 圓上一點(diǎn)到直線的距離
1、圓上一點(diǎn)到圓外直線的距離
若直線與半徑為的圓相離，圓心到直線的距離為，則圓上一點(diǎn)到直線的距離的取值范圍是
(
題型展示
小
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題型一: 直線與圓的位置關(guān)系
【例1】已知圓截直線所得線段的長(zhǎng)度是，則圓與圓的位置關(guān)系是（ ）
A．內(nèi)切 B．相交 C．外切 D．相離
【答案】B
【解析】
到直線的距離 ，
又 兩圓相交；答案為B.
【變式1】已知直線和圓相交于兩點(diǎn)．若，則的值為 ．
【答案】5
【解析】
圓心到直線的距離，
；故答案為．
題型二: 圓的切線
【例2】（多選）已知直線與圓，點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．若點(diǎn)A在圓C上，則直線l與圓C相切 B．若點(diǎn)A在圓C內(nèi)，則直線l與圓C相離
C．若點(diǎn)A在圓C外，則直線l與圓C相離 D．若點(diǎn)A在直線l上，則直線l與圓C相切
【答案】ABD
【解析】
對(duì)A，圓心到直線l的距離，若點(diǎn)在圓C上，則，
，則直線l與圓C相切，A正確；
對(duì)B，若點(diǎn)在圓C內(nèi)，則，，則直線l與圓C相離，B正確；
對(duì)C，若點(diǎn)在圓C外，則，，則直線l與圓C相交，C錯(cuò)；
對(duì)D，若點(diǎn)在直線l上，則即，
，直線l與圓C相切，D正確；答案為ABD.
【變式2】若直線l與曲線y=和x2+y2=都相切，則l的方程為（ ）
A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+
【答案】D
【解析】
設(shè)直線在曲線上的切點(diǎn)為，則，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，
則直線的斜率，設(shè)直線的方程為，即，
由于直線與圓相切，則，（舍），
則直線的方程為，即；答案為D.
題型三: 直線與圓中的最值及范圍問(wèn)題
【例3】（2022·全國(guó)新Ⅱ卷）設(shè)點(diǎn)，若直線關(guān)于對(duì)稱(chēng)的直線與圓有公共點(diǎn)，則a的取值范圍是 ．
【答案】
【解析】
關(guān)于對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，在直線上，
所在直線即為直線，直線為，即；
圓，圓心，半徑，
圓心到直線的距離，
即，即；故答案為.
【變式3】（多選）已知點(diǎn)在圓上，點(diǎn)、，則（ ）
A．點(diǎn)到直線的距離小于
B．點(diǎn)到直線的距離大于
C．當(dāng)最小時(shí)，
D．當(dāng)最大時(shí)，
【答案】ACD
【解析】
圓的圓心為，半徑為，直線的方程為，即，
圓心到直線的距離為，
點(diǎn)到直線的距離的最小值為，最大值為，A正確，B錯(cuò)；
如圖：
當(dāng)最大或最小時(shí)，與圓相切，連接、，可知，
，，，CD正確;答案為ACD.
(
考場(chǎng)演練
)
【真題1】（2024·全國(guó)甲卷）已知直線與圓交于兩點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【解析】
直線，即，令，
則，所以直線過(guò)定點(diǎn)，設(shè)，
將圓化為標(biāo)準(zhǔn)式為，
所以圓心，半徑，當(dāng)時(shí)，的最小，
;答案為C.
【真題2】（2024·全國(guó)乙卷）已知b是的等差中項(xiàng)，直線與圓交于兩點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．1 B．2 C．4 D．
【答案】C
【解析】
成等差數(shù)列， ，，代入直線方程
得，即，令得，
故直線恒過(guò)，設(shè)，圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：，
設(shè)圓心為，畫(huà)出直線與圓的圖形，由圖可知，當(dāng)時(shí)，最小，
，此時(shí);答案為C
【真題3】（2024·全國(guó)新Ⅱ卷）（多選）拋物線C：的準(zhǔn)線為l，P為C上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作的一條切線，Q為切點(diǎn)，過(guò)P作l的垂線，垂足為B，則（ ）
A．l與相切
B．當(dāng)P，A，B三點(diǎn)共線時(shí)，
C．當(dāng)時(shí)，
D．滿足的點(diǎn)有且僅有2個(gè)
【答案】ABD
【解析】
A項(xiàng)，拋物線的準(zhǔn)線為，的圓心到直線的距離是，等于圓的半徑，
準(zhǔn)線和相切，A正確；
B項(xiàng)，三點(diǎn)共線時(shí)，即，則的縱坐標(biāo)，由，得到，故，
切線長(zhǎng)，B正確；
C項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，，故或，當(dāng)時(shí)，，，，不滿足；
當(dāng)時(shí)，，，，不滿足；
不成立，C錯(cuò)；
D項(xiàng)，設(shè)，由可得，又，又，
根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，，
則關(guān)于的方程有兩個(gè)解，即存在兩個(gè)這樣的點(diǎn)，D正確；答案為ABD
【真題4】（2023·全國(guó)新Ⅰ卷）過(guò)點(diǎn)與圓相切的兩條直線的夾角為，則（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【解析】
，即，可得圓心，半徑，
過(guò)點(diǎn)作圓C的切線，切點(diǎn)為，，則，
可得，
則，
，即為鈍角，
；
【真題5】（2023·天津）已知過(guò)原點(diǎn)O的一條直線l與圓相切，且l與拋物線交于點(diǎn)兩點(diǎn)，若，則 ．
【答案】
【解析】
易知圓和曲線關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，不妨設(shè)切線方程為，，
，解得：，由解得：或，
，解得：．當(dāng)時(shí)，同理可得；故答案為.
【真題6】（2023·全國(guó)乙卷）已知實(shí)數(shù)滿足，則的最大值是（ ）
A． B．4 C． D．7
【答案】C
【解析】
令，則，代入原式化簡(jiǎn)得，
存在實(shí)數(shù)，則，即，
化簡(jiǎn)得，的最大值是；答案為C.
【真題7】（2023·全國(guó)新Ⅱ卷）已知直線與交于A，B兩點(diǎn)，寫(xiě)出滿足“面積為”的m的一個(gè)值 ．
【答案】（中任意一個(gè)皆可以）
【解析】
設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，由弦長(zhǎng)公式得，
或，
由，或或．
答案為（中任意一個(gè)皆可以）．
【真題8】（2022·北京）若直線是圓的一條對(duì)稱(chēng)軸，則（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【解析】
由題可知圓心為，直線是圓的對(duì)稱(chēng)軸，圓心在直線上；
即；答案為A．
【真題9】（2022·天津）若直線與圓相交所得的弦長(zhǎng)為，則 ．
【答案】
【解析】
圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，
圓心到直線的距離為，
，，解得；答案為.
【真題10】（2022·全國(guó)甲卷）若雙曲線的漸近線與圓相切，則 ．
【答案】
【解析】
雙曲線的漸近線為，即，
取，圓，即，圓心為，半徑，
依題意圓心到漸近線的距離或（舍去）；
故答案為．
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