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第03講 三角函數的圖象與性質
(
考綱導向
小
)
考點要求 考題統計 考情分析
(1) 三角函數的基本性質 (2) 三角函數的圖像變換 (3) 函數的解析式和性質 2024年I卷5分2024年Ⅱ卷5分2024年甲卷5分2024年天津卷10分2024年上海卷5分2024年北京卷5分2023年甲卷5分2022年甲卷5分2022年天津卷5分
（1）本講為新高考命題必考點和熱點，題型以選擇題、選擇題為主，難度中等及以上； （2）重點是三角函數的圖象與性質，三角函數圖象的伸縮平移變換，函數的圖象和性質，主要考查三角函數的周期性、奇偶性、最值及其與的關系，常與三角恒等變換結合考查.
(
考試要求
小
)
1、能畫出三角函數的圖象；
2、了解三角函數的周期性、奇偶性、最值；
3、借助圖像理解正弦函數、余弦函數在上，正切函數在上的性質.
4、結合具體實例，了解的實際意義，能借助圖像理解參數的意義，了解參數的變化對函數圖像的影響；
5、會用三角函數解決簡單的實際問題，體會可以利用三角函數構建刻畫事物周期變化的數學模型.
(
考點突破考綱解讀
)
(
考點梳理
小
)
知識點1:三角函數的圖象與性質
1、“五點作圖法”作正弦函數和余弦函數圖象
（1）正弦函數的五個關鍵點： ；
（2）余弦函數的五個關鍵點：.
2、正弦、余弦、正切的圖象與性質
函數
圖象
定義域
值域
周期性 ；
奇偶性 ； 偶函數 奇函數
最值 當， 當； 當， 當； /
單調遞增區間 ； ； ；
單調遞減區間 ； ； /
對稱中心 ； ； ；
對稱軸 ； ； /
周期與對稱性之間的關系 相鄰的兩個對稱中心或者兩條對稱軸間隔半個周期； 相鄰的對稱中心與對稱軸間隔 ；
知識點2: 三角函數的圖象變換
1、三角函數的圖象變換
經過圖象變換得到：
（1）方法1：對先平移再伸縮
1）向左平移，得到 ；
2）橫坐標縮短到原來的倍，得到；
3）縱坐標伸長到原來的2倍，得到 ；
4）向上平移1個單位長度，得到；
（2）方法2：對先伸縮再平移
1）橫坐標縮短到原來的倍，得到；
2）向左平移，得到；【注意理解只單獨對進行操作】
3）縱坐標伸長到原來的2倍，得到 ；
4）向上平移1個單位長度，得到；
知識點3: 函數
1、“五點作圖法”作圖象
把看作整體，代入正弦函數的五個特征點，解出：
0
0 0 0
2、求三角函數的解析式
（1）已知三角函數圖象求解析式
按以下步驟求得各個量，即可得到統一的形式：
1）求： ；
2）求： ；
3）求：先求周期，再由 得到；
4）求：先把代入中，再代特殊點：上升點、最高點、下降點、最低點；
（2）已知函數表達式求解析式
化簡思路為：
1）二次化一次（降冪公式、二倍角）
2）一次再統一（輔助角、兩角和差）
即可化成統一的形式：
3、正弦型函數的性質
正弦型函數，方法： ；
（1）周期：；
（2）奇偶性：
當時，奇函數；
當時，偶函數；
（3）最值：當時，最大；當時，最小；
（4）單調性：遞增： ；遞減：；
（5）對稱性：對稱軸： ；對稱中心：；
(
題型展示
小
)
題型一: 三角函數的基本性質
【例1】（2022·全國新Ⅱ卷）（多選）已知函數的圖像關于點中心對稱，則（ ）
A．在區間單調遞減
B．在區間有兩個極值點
C．直線是曲線的對稱軸
D．直線是曲線的切線
【變式1】已知，關于該函數有下列四個說法：
①的最小正周期為；
②在上單調遞增；
③當時，的取值范圍為；
④的圖象可由的圖象向左平移個單位長度得到．
以上四個說法中，正確的個數為（ ）
A． B． C． D．
題型二: 三角函數的圖象變換
【例2】把函數圖像上所有點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把所得曲線向右平移個單位長度，得到函數的圖像，則（ ）
A． B．
C． D．
【變式2】為了得到函數的圖象，只要把函數圖象上所有的點（ ）
A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度
C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度
題型三: 函數的解析式和性質
【例3】（2023·全國乙卷）已知函數在區間單調遞增，直線和為函數的圖像的兩條相鄰對稱軸，則（ ）
A． B． C． D．
【變式3】設函數在區間恰有三個極值點、兩個零點，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
(
考場演練
)
【真題1】（2024·全國甲卷）函數在上的最大值是 ．
【真題2】（2024·天津）下列函數是偶函數的是（ ）
A． B． C． D．
【真題3】（2024·上海）下列函數的最小正周期是的是（ ）
A． B． C． D．
【真題4】（2024·北京）設函數.已知，，且的最小值為，則（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【真題5】（2024·天津）已知函數的最小正周期為．則在的最小值是（ ）
A． B． C．0 D．
【真題6】（2024·全國新Ⅰ卷）當時，曲線與的交點個數為（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【真題7】（2024·全國新Ⅱ卷）設函數，，當時，曲線與恰有一個交點，則（ ）
A． B． C．1 D．2
【真題8】（2023·全國甲卷）函數的圖象由函數的圖象向左平移個單位長度得到，則的圖象與直線的交點個數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【真題9】（2022·天津）已知，關于該函數有下列四個說法：
①的最小正周期為；
②在上單調遞增；
③當時，的取值范圍為；
④的圖象可由的圖象向左平移個單位長度得到．
以上四個說法中，正確的個數為（ ）
A． B． C． D．
【真題10】（2022·全國甲卷）將函數的圖像向左平移個單位長度后得到曲線C，若C關于y軸對稱，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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第03講 三角函數的圖象與性質
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考綱導向
小
)
考點要求 考題統計 考情分析
(1) 三角函數的基本性質 (2) 三角函數的圖像變換 (3) 函數的解析式和性質 2024年I卷5分2024年Ⅱ卷5分2024年甲卷5分2024年天津卷10分2024年上海卷5分2024年北京卷5分2023年甲卷5分2022年甲卷5分2022年天津卷5分
（1）本講為新高考命題必考點和熱點，題型以選擇題、選擇題為主，難度中等及以上； （2）重點是三角函數的圖象與性質，三角函數圖象的伸縮平移變換，函數的圖象和性質，主要考查三角函數的周期性、奇偶性、最值及其與的關系，常與三角恒等變換結合考查.
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考試要求
小
)
1、能畫出三角函數的圖象；
2、了解三角函數的周期性、奇偶性、最值；
3、借助圖像理解正弦函數、余弦函數在上，正切函數在上的性質.
4、結合具體實例，了解的實際意義，能借助圖像理解參數的意義，了解參數的變化對函數圖像的影響；
5、會用三角函數解決簡單的實際問題，體會可以利用三角函數構建刻畫事物周期變化的數學模型.
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考點突破考綱解讀
)
(
考點梳理
小
)
知識點1:三角函數的圖象與性質
1、“五點作圖法”作正弦函數和余弦函數圖象
（1）正弦函數的五個關鍵點：；
（2）余弦函數的五個關鍵點：.
2、正弦、余弦、正切的圖象與性質
函數
圖象
定義域
值域
周期性
奇偶性 奇函數 偶函數 奇函數
最值 當， 當； 當， 當； /
單調遞增區間
單調遞減區間 /
對稱中心
對稱軸 /
周期與對稱性之間的關系 相鄰的兩個對稱中心或者兩條對稱軸間隔半個周期； 相鄰的對稱中心與對稱軸間隔；
知識點2: 三角函數的圖象變換
1、三角函數的圖象變換
經過圖象變換得到：
（1）方法1：對先平移再伸縮
1）向左平移，得到；
2）橫坐標縮短到原來的倍，得到；
3）縱坐標伸長到原來的2倍，得到；
4）向上平移1個單位長度，得到；
（2）方法2：對先伸縮再平移
1）橫坐標縮短到原來的倍，得到；
2）向左平移，得到；【注意理解只單獨對進行操作】
3）縱坐標伸長到原來的2倍，得到；
4）向上平移1個單位長度，得到；
知識點3: 函數
2、“五點作圖法”作圖象
把看作整體，代入正弦函數的五個特征點，解出：
0
0 0 0
3、求三角函數的解析式
（1）已知三角函數圖象求解析式
按以下步驟求得各個量，即可得到統一的形式：
1）求：；
2）求：；
3）求：先求周期，再由得到；
4）求：先把代入中，再代特殊點：上升點、最高點、下降點、最低點；
（2）已知函數表達式求解析式
化簡思路為：
1）二次化一次（降冪公式、二倍角）
2）一次再統一（輔助角、兩角和差）
即可化成統一的形式：
4、正弦型函數的性質
正弦型函數，方法：整體代入
（1）周期：；
（2）奇偶性：
當時，奇函數；
當時，偶函數；
（3）最值：當時，最大；當時，最?。?br/>（4）單調性：遞增：；遞減：；
（5）對稱性：對稱軸：；對稱中心：；
(
題型展示
小
)
題型一: 三角函數的基本性質
【例1】（2022·全國新Ⅱ卷）（多選）已知函數的圖像關于點中心對稱，則（ ）
A．在區間單調遞減
B．在區間有兩個極值點
C．直線是曲線的對稱軸
D．直線是曲線的切線
【答案】AD
【解析】
，，，即，
又，時，，；
對A，當時，，
由正弦函數圖象知在上是單調遞減；
對B，當時，，
由正弦函數圖象知只有1個極值點，
由，解得，即為函數的唯一極值點；
對D，由得：，
解得或,或,
函數在點處的切線斜率為，
切線方程為：即；答案為AD．
【變式1】已知，關于該函數有下列四個說法：
①的最小正周期為；
②在上單調遞增；
③當時，的取值范圍為；
④的圖象可由的圖象向左平移個單位長度得到．
以上四個說法中，正確的個數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
，的最小正周期為，①不正確；
令，而在上遞增，在上單調遞增，②正確；，，，③不正確；
由于，
的圖象可由的圖象向右平移個單位長度得到，④不正確；
答案為A．
題型二: 三角函數的圖象變換
【例2】把函數圖像上所有點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把所得曲線向右平移個單位長度，得到函數的圖像，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
函數圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的倍，
縱坐標不變，得到的圖象，
再把所得曲線向右平移個單位長度，應當得到的圖象，
根據已知得到了函數的圖象，，
令,則,
,；
【變式2】為了得到函數的圖象，只要把函數圖象上所有的點（ ）
A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度
C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度
【答案】D
【解析】
，
把函數圖象上的所有點向右平移個單位長度，
即可得到函數的圖象；答案為D.
題型三: 函數的解析式和性質
【例3】（2023·全國乙卷）已知函數在區間單調遞增，直線和為函數的圖像的兩條相鄰對稱軸，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
在區間單調遞增，
，且，則，，
當時，取得最小值，則，，
則，，不妨取，則，
則；答案為D.
【變式3】設函數在區間恰有三個極值點、兩個零點，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
依題意可得，，，
要使函數在區間恰有三個極值點、兩個零點，
又，的圖象如下所示：
則，解得，即；答案為C．
(
考場演練
)
【真題1】（2024·全國甲卷）函數在上的最大值是 ．
【答案】2
【解析】
，當時，，
當時，即時，；答案為2.
【真題2】（2024·天津）下列函數是偶函數的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
對A，設，定義域為，但，，則，A錯；
對B，設，定義域為，
且，則為偶函數，B正確；
對C，設，定義域為，不關于原點對稱，則不是偶函數，C錯；
對D，設，函數定義域為，，，
則，則不是偶函數，D錯；答案為B.
【真題3】（2024·上海）下列函數的最小正周期是的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
對A，，周期，A正確；
對B，，周期，B錯；
對C，，是常值函數，無最小正周期，C錯；
對D，，周期，D錯，答案為A．
【真題4】（2024·北京）設函數.已知，，且的最小值為，則（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】
為的最小值點，為的最大值點，
則，即，且，；答案為B.
【真題5】（2024·天津）已知函數的最小正周期為．則在的最小值是（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】A
【解析】
，由得，
即，當時，，
畫出圖象，如下圖，
由圖可知，在上遞減，
當時，;答案為A
【真題6】（2024·全國新Ⅰ卷）當時，曲線與的交點個數為（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【解析】
函數的最小正周期為，
函數的最小正周期為，
在上函數有三個周期的圖象，
在坐標系中結合五點法畫出兩函數圖象，如圖所示：
由圖可知，兩函數圖象有6個交點;答案為C
【真題7】（2024·全國新Ⅱ卷）設函數，，當時，曲線與恰有一個交點，則（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【解析】
令，即，可得，
令，
原題意等價于當時，曲線與恰有一個交點，
注意到均為偶函數，可知該交點只能在y軸上，
可得，即，解得；
若，令，可得
，則，當且僅當時，等號成立，
可得，當且僅當時，等號成立，
則方程有且僅有一個實根0，即曲線與恰有一個交點，
符合題意；綜上所述：.
【真題8】（2023·全國甲卷）函數的圖象由函數的圖象向左平移個單位長度得到，則的圖象與直線的交點個數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】
向左平移個單位所得函數為，，
而顯然過與兩點，作出與的部分大致圖像如下，

考慮，即處與的大小，
當時，，；
當時，，；
當時，，；
由圖可知，與的交點個數為；答案為C.
【真題9】（2022·天津）已知，關于該函數有下列四個說法：
①的最小正周期為；
②在上單調遞增；
③當時，的取值范圍為；
④的圖象可由的圖象向左平移個單位長度得到．
以上四個說法中，正確的個數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
，的最小正周期為，①錯；
令，而在上遞增，在上單調遞增，②正確；
，，，③錯；
由于，
的圖象可由的圖象向右平移個單位長度得到，④錯；答案為A．
【真題10】（2022·全國甲卷）將函數的圖像向左平移個單位長度后得到曲線C，若C關于y軸對稱，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
由題意知：曲線為，又關于軸對稱，則，
解得，又，故當時，的最小值為；答案為C.
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