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第04講 解三角形
(
考綱導向
小
)
考點要求 考題統(tǒng)計 考情分析
(1) 正弦定理、余弦定理 (2) 三角形中的最值和范圍 (3) 三角形面積公式的應用 2024年I卷13分2024年II卷13分2024年天津卷13分2024年北京卷13分2023年II卷10分2023年甲卷10分2023年乙卷10分2023年I卷10分2022年I卷10分
（1）本講為新高考命題必考點，題型以選解答題為主，常出現(xiàn)在前兩道解答題的位置，考查內(nèi)容、頻率、題型、難度均變化不大； （2）重點是正弦定理、余弦定理和面積公式的理解，主要考查正弦定理、余弦定理和面積公式以及誘導公式，三角恒等變換求角和三角函數(shù)的值，求解邊長、周長的值及范圍，求面積的值及范圍.
(
考試要求
小
)
1、掌握正弦定理、余弦定理及其變形；理解三角形的面積公式并能應用；
2、能利用正弦定理、余弦定理解決一些簡單的三角形度量問題及與測量和幾何計算有關的實際問題；
3、能利用正弦定理、余弦定理解決三角形中的最值和范圍問題；
4、通過解決實際問題，培養(yǎng)學生的數(shù)學建模、直觀想象和數(shù)學運算素養(yǎng).
(
考點突破考綱解讀
)
(
考點梳理
小
)
知識點1:正弦定理
1、三角形內(nèi)角和定理：
（1） （2） （3）
2、三邊關系：
（1）兩邊之和大于第三邊；
（2）兩邊之差小于第三邊.
3、正弦定理
（1）邊化角：；
（2）對應關系：
知識點2:余弦定理
1、余弦定理
（1）求角
f
知識點3:面積公式
1、三角形面積公式
(
題型展示
小
)
題型一: 求角和三角函數(shù)的值
【例1】（2024·天津）在中，角所對的邊分別為，已知．
(1)求；
(2)求；
(3)求的值．
【答案】(1)；(2)；(3)
【詳解】
（1）設，，則根據(jù)余弦定理得，
即，解得（負舍）；則.
（2）為三角形內(nèi)角，，
又，即，解得，
（3），且，，由（2）知，
，則，，
則，，
.
【變式1】在中，角A、B、C的對邊分別為a，b，c.已知.
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值.
【答案】(1)(2)(3)
【詳解】
（1），即，而，代入得；
（2）由（1）可求出，而，，又，．
（3），，故，又， ，，
而，，
.
題型二: 求邊長、周長的值及范圍
【例2】（2024·全國新Ⅰ卷）記的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a，b，c，已知，
(1)求B；
(2)若的面積為，求c．
【答案】(1)(2)
【詳解】
（1）由余弦定理有，對比已知，
可得，
，，
，
又，即， ，.
（2）由（1）可得，，，，，
而，
由正弦定理有，
，
，
.
【變式2】的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知B=150°.
（1）若a=c，b=2，求的面積；
（2）若sinA+sinC=，求C.
【答案】（1）；（2）.
【詳解】
（1）由余弦定理可得，
的面積；
（2），
，
，.
題型三: 求面積的值及范圍
【例3】的內(nèi)角的對邊分別為，已知．
（1）求；
（2）若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍．
【答案】(1) ;(2).
【詳解】
(1)由三角形的內(nèi)角和定理得，
．
，．
在中，由正弦定理知，
，即，
再由二倍角的正弦公式得，解得．
(2) 是銳角三角形，又，，．
，，則，
從而，故面積的取值范圍是．
【變式3】在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知．
(1)求的值；
(2)若，求的面積．
【答案】(1)；(2)．
【詳解】
（1）由于， ，則．，
由正弦定理知，則．
（2），由余弦定理，得，
即，解得，而，，
的面積．
(
考場演練
)
【真題1】（2024·天津）在中，角所對的邊分別為，已知．
(1)求；(2)求；(3)求的值．
【答案】(1)；(2)；(3)
【詳解】
（1）設，，則根據(jù)余弦定理得，
即，解得（負舍）；則.
（2）為三角形內(nèi)角，，
再根據(jù)正弦定理得，即，解得，
（3），且，，由（2）知，
，則，，
則，
.
【真題2】（2024·全國新Ⅱ卷）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．
(1)求A．
(2)若，，求的周長．
【答案】(1)(2)
【詳解】
（1）由可得，即，
由于，故，解得
（2）由題設條件和正弦定理
，
又，則，進而，得到，
，
，
由正弦定理可得，，即，
解得，故的周長為
【真題3】（2024·全國新Ⅰ卷）記的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a，b，c，已知，
(1)求B；
(2)若的面積為，求c．
【答案】(1)(2)
【詳解】
（1）由余弦定理有，對比已知，
可得，
，，，
，即，又，.
（2）由（1）可得，，，，，
而，
由正弦定理有，
，
由三角形面積公式可知，的面積可表示為
，
由已知的面積為，可得，所以.
【真題4】（2024·北京）在中，內(nèi)角的對邊分別為，為鈍角，，．
(1)求；
(2)從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使得存在，求的面積．
條件①：；條件②：；條件③：．
注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．
【答案】(1)；(2)選擇①無解；選擇②和③△ABC面積均為.
【詳解】
（1）由題意得，為鈍角，
則，則，則，解得，
為鈍角，則.
（2）選擇①，則，，則為銳角，則，
此時，不合題意，舍棄；
選擇②，為三角形內(nèi)角，則，
則代入得，解得，
,
則.
選擇③，則有，解得，
則由正弦定理得，即，解得，
為三角形內(nèi)角，則，
則
，則；
【真題5】（2023·全國甲卷）記的內(nèi)角的對邊分別為，已知．
(1)求；
(2)若，求面積．
【答案】(1)；(2)
【詳解】
（1），，解得：．
（2）由正弦定理可得
，
變形可得：，即，
而，所以，又，所以，
故的面積為．
【真題6】（2023·全國乙卷）在中，已知，，.
(1)求；
(2)若D為BC上一點，且，求的面積.
【答案】(1)；(2).
【詳解】
（1）由余弦定理可得：，
則，，
.
（2）由三角形面積公式可得，
則.
【真題7】（2023·全國新Ⅱ卷）記的內(nèi)角的對邊分別為，已知的面積為，為中點，且．
(1)若，求；
(2)若，求．
【答案】(1)；(2).
【詳解】
（1）在中，因為為中點，，，

則，解得，
在中，，由余弦定理得，
即，解得，則，
，
.
（2）在與中，由余弦定理得，
整理得，而，則，
又，解得，而，于是，
.
【真題8】（2023·天津）在中，角所對的邊分別是．已知．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值．
【答案】(1)；(2)；(3)
【詳解】
（1）由正弦定理可得，，即，解得：；
（2）由余弦定理可得，，即，
解得：或（舍去）．
（3）由正弦定理可得，，即，解得：，而，
都為銳角，因此，，
．
【真題9】（2023·全國新Ⅰ卷）已知在中，．
(1)求；
(2)設，求邊上的高．
【答案】(1); (2) 6;
【詳解】
（1），，即，
又，
，
，
，即，所以，.
（2）由（1）知，，
由，
由正弦定理，，可得，
，
.
【真題10】（2022·全國新Ⅰ卷）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的最小值．
【答案】(1)；(2)．
【詳解】
（1），即，
而，所以；
（2）由（1）知，，，
而，
，即有，
．
當且僅當時取等號，的最小值為．
21世紀教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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第04講 解三角形
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考綱導向
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(1) 正弦定理、余弦定理 (2) 三角形中的最值和范圍 (3) 三角形面積公式的應用 2024年I卷13分2024年II卷13分2024年天津卷13分2024年北京卷13分2023年II卷10分2023年甲卷10分2023年乙卷10分2023年I卷10分2022年I卷10分
（1）本講為新高考命題必考點，題型以選解答題為主，常出現(xiàn)在前兩道解答題的位置，考查內(nèi)容、頻率、題型、難度均變化不大； （2）重點是正弦定理、余弦定理和面積公式的理解，主要考查正弦定理、余弦定理和面積公式以及誘導公式，三角恒等變換求角和三角函數(shù)的值，求解邊長、周長的值及范圍，求面積的值及范圍.
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考試要求
小
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1、掌握正弦定理、余弦定理及其變形；理解三角形的面積公式并能應用；
2、能利用正弦定理、余弦定理解決一些簡單的三角形度量問題及與測量和幾何計算有關的實際問題；
3、能利用正弦定理、余弦定理解決三角形中的最值和范圍問題；
4、通過解決實際問題，培養(yǎng)學生的數(shù)學建模、直觀想象和數(shù)學運算素養(yǎng).
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考點突破考綱解讀
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考點梳理
小
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知識點1:正弦定理
1、三角形內(nèi)角和定理：；
（1） ； （2） ； （3） ；
2、三邊關系：
（1）兩邊之和大于第三邊 ；
（2）兩邊之差小于第三邊.
3、正弦定理
；
（1）邊化角：；
（2）對應關系：
知識點2:余弦定理
1、余弦定理
；
（1）求角
；
知識點3:面積公式
1、三角形面積公式
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題型展示
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題型一: 求角和三角函數(shù)的值
【例1】（2024·天津）在中，角所對的邊分別為，已知．
(1)求；
(2)求；
(3)求的值．
【變式1】在中，角A、B、C的對邊分別為a，b，c.已知.
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值.
題型二: 求邊長、周長的值及范圍
【例2】（2024·全國新Ⅰ卷）記的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a，b，c，已知，
(1)求B；
(2)若的面積為，求c．
【變式2】的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知B=150°.
（1）若a=c，b=2，求的面積；
（2）若sinA+sinC=，求C.
題型三: 求面積的值及范圍
【例3】的內(nèi)角的對邊分別為，已知．
（1）求；
（2）若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍．
【答案】(1) ;(2).
【詳解】
【變式3】在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知．
(1)求的值；
(2)若，求的面積．
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考場演練
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【真題1】（2024·天津）在中，角所對的邊分別為，已知．
(1)求；(2)求；(3)求的值．
【真題2】（2024·全國新Ⅱ卷）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．
(1)求A．
(2)若，，求的周長．
【真題3】（2024·全國新Ⅰ卷）記的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a，b，c，已知，
(1)求B；
(2)若的面積為，求c．
【真題4】（2024·北京）在中，內(nèi)角的對邊分別為，為鈍角，，．
(1)求；
(2)從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使得存在，求的面積．
條件①：；條件②：；條件③：．
注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．
【真題5】（2023·全國甲卷）記的內(nèi)角的對邊分別為，已知．
(1)求；
(2)若，求面積．
【真題6】（2023·全國乙卷）在中，已知，，.
(1)求；
(2)若D為BC上一點，且，求的面積.
【真題7】（2023·全國新Ⅱ卷）記的內(nèi)角的對邊分別為，已知的面積為，為中點，且．
(1)若，求；
(2)若，求．
【真題8】（2023·天津）在中，角所對的邊分別是．已知．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值．
【真題9】（2023·全國新Ⅰ卷）已知在中，．
(1)求；
(2)設，求邊上的高．
【真題10】（2022·全國新Ⅰ卷）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的最小值．
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