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第04講 數列的通項公式
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考綱導向
小
)
考點要求 考題統計 考情分析
(1) 等差、等比數列的通項公式 (2) 求通項的幾種常用方法 2024年甲卷5分2024年乙卷5分2023年甲卷5分2022年甲卷5分2022年I卷5分2021年天津卷5分2021年浙江卷5分2021年乙卷5分
（1）本講為高考命題熱點，題型以解答題為主，常作為數列大題的第1小問出現； （2）重點是等差、等比數列的通項公式和非等差、非等比數列求通項的幾種常用方法主要考查由前n項和法求通項，累加法、累乘法，待定系數法（構造法）求通項以及猜想驗證法求通項；重點掌握以上求通項的方法.
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考試要求
小
)
1、熟練掌握等差、等比數列的通項公式；
2、掌握非等差、非等比數列求通項的幾種常用方法；
(
考點突破考綱解讀
)
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考點梳理
小
)
知識點1: 求數列通項常用方法
1、由前n項和法求通項
（1）當時，；
（2）當時，.
2、作差累加法
（1）由可得；
（2）則有；
（3）累加后即可得到通項.
3、作商累乘法
（1）由可得；
（2）則有；
（3）累乘后即可得到通項.
知識點2: 待定系數法（構造法）求數列通項
1、待定系數法（構造法）
（1）形如（A、B為常數），可化為的形式；
（2）形如（A、B、C為常數），可化為的形式；
（3）形如（A、B、C為常數），可化為的形式；
（4）形如（A、B為常數），可化為的形式.
知識點3: 猜想驗證法求數列通項
1、猜想驗證法
（1）利用所給遞推式求出；
（2）猜想出一個滿足遞推式的通項公式；
（3）用數學歸納法證明猜想是正確的：
1）當時，命題成立；
2）假設當時，命題成立；
那么當時，證明命題也成立（核心步驟）.
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題型展示
小
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題型一: 由前n項和法求通項
【例1】（2024·全國甲卷）已知等比數列的前項和為，且.
（1）求的通項公式；
【答案】(1)；(2)
【解析】
（1）,故，
所以即故等比數列的公比為，
故，故，故.
【變式1】（2023·全國甲卷）設為數列的前n項和，已知．
(1)求的通項公式；
【答案】(1)
【解析】
（1），當時，，即；
當時，，即，
當時，，所以，
化簡得：，當時，，即，
當時都滿足上式，所以．
題型二: 待定系數法求數列通項
【例2】設數列滿足，．
（1）計算求的通項公式；
【答案】；
【解析】
，猜想；
由于，設，其中為常數；
整理得．故，解得，
，
又，是各項均為0的常數列，，即．
【變式2】（2019·全國）已知數列和滿足a1=1，b1=0， ，.
（1）證明：是等比數列，是等差數列；
（2）求和的通項公式.
【答案】（1）見解析；（2），．
【解析】
(1)由題意可知，，，，
，即，
數列是首項為、公比為的等比數列，，
，
，數列是首項、公差為的等差數列，．
(2)由(1)可知，，，
，．
題型三: 猜想驗證法求數列通項
【例3】【例2】設數列滿足，．
（1）計算猜想的通項公式并加以證明；
【答案】（1），，，證明見解析
【解析】
（1）由題意可得，，
由數列的前三項可猜想數列是以為首項，2為公差的等差數列，即．
證明如下：
當時，成立；
假設時，成立.
那么時，也成立.
則對任意的，都有成立；
【變式3】記為數列的前n項和，為數列的前n項積，已知．
（1）證明：數列是等差數列;（2）求的通項公式．
【答案】（1）證明見解析；（2）.
【解析】
（1） 由已知，得，，，，
猜想數列是以為首項，為公差的等差數列，且．
下面用數學歸納法證明：當時顯然成立，假設當時成立，即，
那么當時，，
綜上，猜想對任意的都成立；即數列是以為首項，為公差的等差數列．
（2）由（1）可得，數列是以為首項，以為公差的等差數列，
,,
當n=1時，,當n≥2時,,顯然對于n=1不成立,
∴
(
考場演練
)
【真題1】（2024·全國甲卷）記為數列的前項和，已知．
(1)求的通項公式；
(2)設，求數列的前項和．
【答案】(1)
【解析】
（1）當時，，解得．
當時，，所以即，
而，故，故，
∴數列是以4為首項，為公比的等比數列，.
【真題2】（2024·全國乙卷）已知等比數列的前項和為，且.
(1)求的通項公式；
【答案】(1)；
【解析】
（1）,故，
即故等比數列的公比為，
故，故，故.
【真題3】（2023·全國甲卷）設為數列的前n項和，已知．
(1)求的通項公式；
【答案】(1)
【解析】
（1），當時，，即；當時，，即，
當時，，，
化簡得：，當時，，即，
當時都滿足上式，．
【真題4】（2022·全國甲卷）記為數列的前n項和．已知．
(1)證明：是等差數列；
【答案】
【解析】
（1），即①，
當時，②，
①②得，，
即，
即，所以，且，
是以為公差的等差數列．
【真題5】（2022·全國新Ⅰ卷）記為數列的前n項和，已知是公差為的等差數列．
(1)求的通項公式；
【答案】(1)
【解析】
（1）∵，∴,∴,又∵是公差為的等差數列，
∴,∴,∴當時，，
∴,整理得：,
即,∴，
顯然對于也成立，∴的通項公式；
【真題6】（2021·天津）已知是公差為2的等差數列，其前8項和為64．是公比大于0的等比數列，．
（I）求和的通項公式；
（II）記，證明是等比數列；
【答案】（I），；
【解析】
（I）是公差為2的等差數列，其前8項和為64．
，，；
設等比數列的公比為，
，解得（負值舍去），；
（II）由題意，，，
，且，數列是等比數列；
【真題7】（2021·浙江）已知數列的前n項和為，，且.
（1）求數列的通項；
【答案】（1）；
【解析】
（1）當時，，，
當時，由①，得②，①②得
，又是首項為，公比為的等比數列，
；
【真題8】（2021·全國乙卷）記為數列的前n項和，為數列的前n項積，已知．
（1）證明：數列是等差數列;
（2）求的通項公式．
【答案】（1）證明見解析；（2）.
【解析】
（1）由已知條件知 ①
于是 ②由①②得 ③又， ④
由③④得．令，由，得．
數列是以為首項，為公差的等差數列．
（2）由（1）可得，數列是以為首項，以為公差的等差數列，
,,
當n=1時，,當n≥2時,,顯然對于n=1不成立,
∴.
【真題9】（2021·全國）記為數列的前n項和，已知，且數列是等差數列，證明：是等差數列.
【解析】
∵數列是等差數列，設公差為
∴，，∴，
∴當時，
當時，，滿足，∴的通項公式為，
∴∴是等差數列.
【真題10】（2019·全國）已知數列和滿足a1=1，b1=0， ，.
（1）證明：是等比數列，是等差數列；
（2）求和的通項公式.
【答案】（1）見解析；（2），．
【解析】
(1)由題意可知，，，，
，即，
數列是首項為、公比為的等比數列，，
，
，數列是首項、公差為的等差數列，．
（2）由(1)可知，，，
，．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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第04講 數列的通項公式
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考綱導向
小
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考點要求 考題統計 考情分析
(1) 等差、等比數列的通項公式 (2) 求通項的幾種常用方法 2024年甲卷5分2024年乙卷5分2023年甲卷5分2022年甲卷5分2022年I卷5分2021年天津卷5分2021年浙江卷5分2021年乙卷5分
（1）本講為高考命題熱點，題型以解答題為主，常作為數列大題的第1小問出現； （2）重點是等差、等比數列的通項公式和非等差、非等比數列求通項的幾種常用方法主要考查由前n項和法求通項，累加法、累乘法，待定系數法（構造法）求通項以及猜想驗證法求通項；重點掌握以上求通項的方法.
(
考試要求
小
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1、熟練掌握等差、等比數列的通項公式；
2、掌握非等差、非等比數列求通項的幾種常用方法；
(
考點突破考綱解讀
)
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考點梳理
小
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知識點1: 求數列通項常用方法
1、由前n項和法求通項
（1）當時，；
（2）當時， .
2、作差累加法
（1）由可得 ；
（2）則有 ；
（3）累加后即可得到通項.
3、作商累乘法
（1）由可得；
（2）則有；
（3） 后即可得到通項.
知識點2: 待定系數法（構造法）求數列通項
1、待定系數法（構造法）
（1）形如（A、B為常數），可化為 的形式；
（2）形如（A、B、C為常數），可化為的形式；
（3）形如（A、B、C為常數），可化為的形式；
（4）形如（A、B為常數），可化為的形式.
知識點3: 猜想驗證法求數列通項
1、猜想驗證法
（1）利用所給遞推式求出；
（2）猜想出一個滿足遞推式的通項公式；
（3）用數學歸納法證明猜想是正確的：
1）當時，命題成立；
2）假設當時，命題成立；
那么當 時，證明命題也成立（核心步驟）.
(
題型展示
小
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題型一: 由前n項和法求通項
【例1】（2024·全國甲卷）已知等比數列的前項和為，且.
（1）求的通項公式；
【變式1】（2023·全國甲卷）設為數列的前n項和，已知．
(1)求的通項公式；
題型二: 待定系數法求數列通項
【例2】設數列滿足，．
（1）計算求的通項公式；
【變式2】（2019·全國）已知數列和滿足a1=1，b1=0， ，.
（1）證明：是等比數列，是等差數列；
（2）求和的通項公式.
題型三: 猜想驗證法求數列通項
【例3】【例2】設數列滿足，．
（1）計算猜想的通項公式并加以證明；
【變式3】記為數列的前n項和，為數列的前n項積，已知．
（1）證明：數列是等差數列;（2）求的通項公式．
(
考場演練
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【真題1】（2024·全國甲卷）記為數列的前項和，已知．
(1)求的通項公式；
(2)設，求數列的前項和．
【真題2】（2024·全國乙卷）已知等比數列的前項和為，且.
(1)求的通項公式；
【真題3】（2023·全國甲卷）設為數列的前n項和，已知．
(1)求的通項公式；
【真題4】（2022·全國甲卷）記為數列的前n項和．已知．
(1)證明：是等差數列；
【真題5】（2022·全國新Ⅰ卷）記為數列的前n項和，已知是公差為的等差數列．
(1)求的通項公式；
【真題6】（2021·天津）已知是公差為2的等差數列，其前8項和為64．是公比大于0的等比數列，．
（I）求和的通項公式；
（II）記，證明是等比數列；
【真題7】（2021·浙江）已知數列的前n項和為，，且.
（1）求數列的通項；
【真題8】（2021·全國乙卷）記為數列的前n項和，為數列的前n項積，已知．
（1）證明：數列是等差數列;
（2）求的通項公式．
【真題9】（2021·全國）記為數列的前n項和，已知，且數列是等差數列，證明：是等差數列.
【真題10】（2019·全國）已知數列和滿足a1=1，b1=0， ，.
（1）證明：是等比數列，是等差數列；
（2）求和的通項公式.
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