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第04講 隨機事件、頻率與概率
(
考綱導向
小
)
考點要求 考題統計 考情分析
(1) 樣本空間和隨機事件 (2) 兩個隨機事件的關系和運算 (3) 概率與頻率 2024年Ⅱ卷5分2022年甲卷5分2022年北京卷5分2020年乙卷5分2020年甲卷5分2018年北京卷5分
（1）本講為高考命題熱點，題型以選擇題填空題為主； （2）重點是兩個隨機事件的關系和運算和概率與頻率，主要考查隨機事件的概率計算，互斥、對立事件的概率計算，頻率和概率的區別和聯系等.
(
考試要求
小
)
1、了解隨機事件發生的不確定性和頻率的穩定性；
2、了解概率的意義以及頻率和概率的區別；
(
考點突破考綱解讀
)
(
考點梳理
小
)
知識點1: 樣本空間和隨機事件
1、樣本空間和隨機事件
（1）樣本點和有限樣本空間
1）樣本點：隨機試驗的每個可能的基本結果稱為樣本點，常用表示；
2）樣本空間：全體樣本點的集合稱為試驗的樣本空間，常用表示；
3）有限樣本空間：如果一個隨機試驗有個可能結果，則稱樣本空間
為有限樣本空間；
（2）隨機事件
1）定義：將樣本空間的子集稱為隨機事件，簡稱事件；
2）表示：一般用大寫字母表示；
知識點2: 兩個隨機事件的關系和運算
2、兩個隨機事件的關系和運算
1）包含關系：若發生，則一定發生；
2）相等關系：且；
3）并事件：與至少有一個發生；
4）交事件：與同時發生或；
5）互斥關系：與不能同時發生；
6）對立關系：與有且僅有一個發生且；
知識點3: 頻率與概率
3、頻率與概率
（1）頻率的穩定性
隨著試驗次數的增大，頻率偏離概率的幅度會縮小，即事件的發生的頻率會逐漸穩定于事件發生的概率；
（2）頻率穩定性的作用：可以用頻率估計概率；
(
題型展示
小
)
題型一: 隨機事件
【例1】將一顆質地均勻的正方體骰子先后拋擲2次，觀察向上的點數，則點數和為5的概率是 .
【答案】
【解析】
根據題意得基本事件數總為個,點數和為5的基本事件有,,,共4個;
∴出現向上的點數和為5的概率為;答案為.
【變式1】某食堂規定，每份午餐可以在四種水果中任選兩種，則甲、乙兩同學各自所選的兩種水果相同的概率為______．
【答案】
【解析】
甲同學從四種水果中選兩種共種方法，
乙同學從四種水果中選兩種共種方法，則甲、乙兩位同學選法種數共，
兩同學相同的選法種數為，.
題型二: 互斥、對立事件的概率計算
【例2】若某群體中的成員只用現金支付的概率為0.45，既用現金支付也用非現金支付的概率為0.15，則不用現金支付的概率為（ ）
A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7
【答案】B
【解析】
設事件A為不用現金支付，；答案為B.
【變式2】甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是，甲獲勝的概率是，則甲不輸的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
甲不輸概率為；答案為A.
題型三: 頻率與概率
【例3】在校運動會上，只有甲、乙、丙三名同學參加鉛球比賽，比賽成績達到以上（含）的同學將獲得優秀獎．為預測獲得優秀獎的人數及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績，并整理得到如下數據（單位：m）：
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；
乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；
丙：9.85，9.65，9.20，9.16．
假設用頻率估計概率，且甲、乙、丙的比賽成績相互獨立．
(1)估計甲在校運動會鉛球比賽中獲得優秀獎的概率；
【答案】(1)0.4
【解析】
（1）由頻率估計概率可得甲獲得優秀的概率為0.4，乙獲得優秀的概率為0.5，
丙獲得優秀的概率為0.5；答案為0.4
【變式3】電影公司隨機收集了電影的有關數據，經分類整理得到下表：
電影類型 第一類 第二類 第三類 第四類 第五類 第六類
電影部數 140 50 300 200 800 510
好評率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1
好評率是指：一類電影中獲得好評的部數與該類電影的部數的比值．
假設所有電影是否獲得好評相互獨立．
（Ⅰ）從電影公司收集的電影中隨機選取1部，求這部電影是獲得好評的第四類電影的概率；
【答案】(I) 概率為0.025；
【詳解】
（I）由題意知，樣本中電影的總部數是140+50+300+200+800+510=2000，
第四類電影中獲得好評的電影部數是200×0.25=50；所求概率為．
(
考場演練
)
【真題1】（2024·全國新Ⅱ卷）某投籃比賽分為兩個階段，每個參賽隊由兩名隊員組成，比賽具體規則如下：第一階段由參賽隊中一名隊員投籃3次，若3次都未投中，則該隊被淘汰，比賽成績為0分；若至少投中一次，則該隊進入第二階段.第二階段由該隊的另一名隊員投籃3次，每次投籃投中得5分，未投中得0分.該隊的比賽成績為第二階段的得分總和．某參賽隊由甲、乙兩名隊員組成，設甲每次投中的概率為p，乙每次投中的概率為q，各次投中與否相互獨立．
(1)若，，甲參加第一階段比賽，求甲、乙所在隊的比賽成績不少于5分的概率．
(2)假設，
（i）為使得甲、乙所在隊的比賽成績為15分的概率最大，應該由誰參加第一階段比賽？
（ii）為使得甲、乙所在隊的比賽成績的數學期望最大，應該由誰參加第一階段比賽？
【答案】(1)；(2)（i）由甲參加第一階段比賽；（i）由甲參加第一階段比賽；
【解析】
（1）甲、乙所在隊比賽成績不少于5分，則甲第一階段至少投中1次，乙第二階段也至少投中1次，
比賽成績不少于5分的概率.
（2）（i）若甲先參加第一階段比賽，則甲、乙所在隊的比賽成績為15分的概率為，
若乙先參加第一階段比賽，則甲、乙所在隊的比賽成績為15分的概率為，
，
，
，應該由甲參加第一階段比賽；
(ii)若甲先參加第一階段比賽，比賽成績的所有可能取值為0，5，10，15，
，，
，，
記乙先參加第一階段比賽，比賽成績的所有可能取值為0，5，10，15，
同理
，
，，，，
應該由甲參加第一階段比賽.
【真題2】（2022·全國甲卷）甲、乙兩個學校進行體育比賽，比賽共設三個項目，每個項目勝方得10分，負方得0分，沒有平局．三個項目比賽結束后，總得分高的學校獲得冠軍．已知甲學校在三個項目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項目的比賽結果相互獨立．
(1)求甲學校獲得冠軍的概率；
(2)用X表示乙學校的總得分，求X的分布列與期望．
【答案】(1)；(2)分布列見解析，.
【解析】
（1）設甲在三個項目中獲勝的事件依次記為，甲學校獲得冠軍的概率為：
．
（2）依題可知，的可能取值為，
,，
，.
即的分布列為
0 10 20 30
0.16 0.44 0.34 0.06
.
【真題3】（2022·北京）在校運動會上，只有甲、乙、丙三名同學參加鉛球比賽，比賽成績達到以上（含）的同學將獲得優秀獎．為預測獲得優秀獎的人數及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績，并整理得到如下數據（單位：m）：
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；
乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；
丙：9.85，9.65，9.20，9.16．
假設用頻率估計概率，且甲、乙、丙的比賽成績相互獨立．
(1)估計甲在校運動會鉛球比賽中獲得優秀獎的概率；
(2)設X是甲、乙、丙在校運動會鉛球比賽中獲得優秀獎的總人數，估計X的數學期望E（X）；
(3)在校運動會鉛球比賽中，甲、乙、丙誰獲得冠軍的概率估計值最大？（結論不要求證明）
【答案】(1)0.4；(2)；(3)丙
【解析】
（1）由頻率估計概率可得甲獲得優秀的概率為0.4，乙獲得優秀的概率為0.5，
丙獲得優秀的概率為0.5，答案為0.4
（2）設甲獲得優秀為事件A1,乙獲得優秀為事件A2，丙獲得優秀為事件A3
，
，
，
.
∴X的分布列為
X 0 1 2 3
P
∴
（3）丙奪冠概率估計值最大.
鉛球比賽無論比賽幾次就取最高成績，比賽一次，丙獲得9.85的概率為，
甲獲得9.80的概率為，乙獲得9.78的概率為；
并且丙的最高成績是所有成績中最高的，比賽次數越多，對丙越有利.
【真題4】（2020·全國甲）將一顆質地均勻的正方體骰子先后拋擲2次，觀察向上的點數，則點數和為5的概率是 .
【答案】
【解析】
根據題意得基本事件數總為個,點數和為5的基本事件有,,,共4個;
∴出現向上的點數和為5的概率為;答案為.
【真題5】（2020·全國）甲、乙、丙三位同學進行羽毛球比賽，約定賽制如下：累計負兩場者被淘汰；比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空；每場比賽的勝者與輪空者進行下一場比賽，負者下一場輪空，直至有一人被淘汰；當一人被淘汰后，剩余的兩人繼續比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結束.經抽簽，甲、乙首先比賽，丙輪空.設每場比賽雙方獲勝的概率都為，
（1）求甲連勝四場的概率；
（2）求需要進行第五場比賽的概率；
（3）求丙最終獲勝的概率.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】
（1）記事件甲連勝四場，則；
（2）記事件為甲輸，事件為乙輸，事件為丙輸，則四局內結束比賽的概率為，
，
需要進行第五場比賽的概率為；
（3）記事件為甲輸，事件為乙輸，事件為丙輸，記事件甲贏，記事件丙贏，
則甲贏的基本事件包括：、、、、
、、、，甲贏的概率為.
由對稱性可知，乙贏的概率和甲贏的概率相等，丙贏的概率為.
【真題6】（2018·北京）電影公司隨機收集了電影的有關數據，經分類整理得到下表：
電影類型 第一類 第二類 第三類 第四類 第五類 第六類
電影部數 140 50 300 200 800 510
好評率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1
好評率是指：一類電影中獲得好評的部數與該類電影的部數的比值．
假設所有電影是否獲得好評相互獨立．
（Ⅰ）從電影公司收集的電影中隨機選取1部，求這部電影是獲得好評的第四類電影的概率；
（Ⅱ）從第四類電影和第五類電影中各隨機選取1部，估計恰有1部獲得好評的概率；
（Ⅲ）假設每類電影得到人們喜歡的概率與表格中該類電影的好評率相等，用“”表示第k類電影得到人們喜歡，“”表示第k類電影沒有得到人們喜歡（k=1，2，3，4，5，6）．寫出方差，，，，，的大小關系．
【答案】(1) 概率為0.025；(2) 概率估計為0.35；(3) >>=>>
【解析】
（Ⅰ）樣本中電影的總部數是140+50+300+200+800+510=2000，
第四類電影中獲得好評的電影部數是200×0.25=50，所求概率為．
（Ⅱ）設事件A為“從第四類電影中隨機選出的電影獲得好評”，
事件B為“從第五類電影中隨機選出的電影獲得好評”，
所求概率為P()=P()+P=P(A)(1–P(B))+ P(B)(1–P(A))．
P（A）估計為0.25，P（B）估計為0.2,所求概率估計為0.25×0.8+0.75×0.2=0.35．
（Ⅲ）>>=>>．
【真題7】（2018·全國）若某群體中的成員只用現金支付的概率為0.45，既用現金支付也用非現金支付的概率為0.15，則不用現金支付的概率為（ ）
A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7
【答案】B
【解析】
設事件A為不用現金支付，則；答案為B.
【真題8】（2016·山東）甲、乙兩人組成“星隊”參加猜成語活動，每輪活動由甲、乙各猜一個成語，在一輪活動中，如果兩人都猜對，則“星隊”得3分；如果只有一個人猜對，則“星隊”得1分；如果兩人都沒猜對，則“星隊”得0分．已知甲每輪猜對的概率是，乙每輪猜對的概率是；每輪活動中甲、乙猜對與否互不影響．各輪結果亦互不影響．假設“星隊”參加兩輪活動，求：
（Ⅰ）“星隊”至少猜對3個成語的概率；
（Ⅱ）“星隊”兩輪得分之和為X的分布列和數學期望EX．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）見解析，
【解析】
（Ⅰ）記事件A:“甲第一輪猜對”，記事件B：“乙第一輪猜對”，記事件C：“甲第二輪猜對”，
記事件D：“乙第二輪猜對”，記事件E：“‘星隊’至少猜對3個成語”.
由題意，由事件的獨立性與互斥性，
，
“星隊”至少猜對3個成語的概率為.
（Ⅱ）由題意，隨機變量的可能取值為0,1,2,3,4,6.
由事件的獨立性與互斥性，得 ,
,
,
,
,.
可得隨機變量的分布列為
0 1 2 3 4 6
P
.
【真題9】（2016·天津）甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是，甲獲勝的概率是，則甲不輸的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
甲不輸概率為；答案為A.
【真題10】（2016·上海）某食堂規定，每份午餐可以在四種水果中任選兩種，則甲、乙兩同學各自所選的兩種水果相同的概率為______．
【答案】
【解析】
甲同學從四種水果中選兩種共種方法，乙同學從四種水果中選兩種共種方法，
則甲、乙兩位同學選法種數共，兩同學相同的選法種數為，.
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第04講 隨機事件、頻率與概率
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考點要求 考題統計 考情分析
(1) 樣本空間和隨機事件 (2) 兩個隨機事件的關系和運算 (3) 概率與頻率 2024年Ⅱ卷5分2022年甲卷5分2022年北京卷5分2020年乙卷5分2020年甲卷5分2018年北京卷5分
（1）本講為高考命題熱點，題型以選擇題填空題為主； （2）重點是兩個隨機事件的關系和運算和概率與頻率，主要考查隨機事件的概率計算，互斥、對立事件的概率計算，頻率和概率的區別和聯系等.
(
考試要求
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1、了解隨機事件發生的不確定性和頻率的穩定性；
2、了解概率的意義以及頻率和概率的區別；
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考點突破考綱解讀
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考點梳理
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知識點1: 樣本空間和隨機事件
1、樣本空間和隨機事件
（1）樣本點和有限樣本空間
1）樣本點：隨機試驗的每個可能的基本結果稱為 ，常用表示；
2）樣本空間：全體樣本點的集合稱為試驗的 ，常用表示；
3）有限樣本空間：如果一個隨機試驗有個可能結果，則稱樣本空間
為有限樣本空間；
（2）隨機事件
1）定義：將樣本空間的子集稱為 ，簡稱事件；
2）表示：一般用大寫字母表示；
知識點2: 兩個隨機事件的關系和運算
2、兩個隨機事件的關系和運算
1）包含關系：若發生，則一定發生；
2）相等關系：且；
3）并事件：與至少有一個發生；
4）交事件：與同時發生 或 ；
5）互斥關系：與不能同時發生 ；
6）對立關系：與有且僅有一個發生且 ；
知識點3: 頻率與概率
3、頻率與概率
（1）頻率的穩定性
隨著試驗次數的增大，頻率偏離概率的幅度會 ，即事件的發生的頻率會逐漸穩定于事件發生的概率；
（2）頻率穩定性的作用：可以用頻率 概率；
(
題型展示
小
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題型一: 隨機事件
【例1】將一顆質地均勻的正方體骰子先后拋擲2次，觀察向上的點數，則點數和為5的概率是 .
【變式1】某食堂規定，每份午餐可以在四種水果中任選兩種，則甲、乙兩同學各自所選的兩種水果相同的概率為______．
題型二: 互斥、對立事件的概率計算
【例2】若某群體中的成員只用現金支付的概率為0.45，既用現金支付也用非現金支付的概率為0.15，則不用現金支付的概率為（ ）
A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7
【變式2】甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是，甲獲勝的概率是，則甲不輸的概率為（ ）
A． B． C． D．
題型三: 頻率與概率
【例3】在校運動會上，只有甲、乙、丙三名同學參加鉛球比賽，比賽成績達到以上（含）的同學將獲得優秀獎．為預測獲得優秀獎的人數及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績，并整理得到如下數據（單位：m）：
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；
乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；
丙：9.85，9.65，9.20，9.16．
假設用頻率估計概率，且甲、乙、丙的比賽成績相互獨立．
(1)估計甲在校運動會鉛球比賽中獲得優秀獎的概率；
【變式3】電影公司隨機收集了電影的有關數據，經分類整理得到下表：
電影類型 第一類 第二類 第三類 第四類 第五類 第六類
電影部數 140 50 300 200 800 510
好評率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1
好評率是指：一類電影中獲得好評的部數與該類電影的部數的比值．
假設所有電影是否獲得好評相互獨立．
（Ⅰ）從電影公司收集的電影中隨機選取1部，求這部電影是獲得好評的第四類電影的概率；
(
考場演練
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【真題1】（2024·全國新Ⅱ卷）某投籃比賽分為兩個階段，每個參賽隊由兩名隊員組成，比賽具體規則如下：第一階段由參賽隊中一名隊員投籃3次，若3次都未投中，則該隊被淘汰，比賽成績為0分；若至少投中一次，則該隊進入第二階段.第二階段由該隊的另一名隊員投籃3次，每次投籃投中得5分，未投中得0分.該隊的比賽成績為第二階段的得分總和．某參賽隊由甲、乙兩名隊員組成，設甲每次投中的概率為p，乙每次投中的概率為q，各次投中與否相互獨立．
(1)若，，甲參加第一階段比賽，求甲、乙所在隊的比賽成績不少于5分的概率．
(2)假設，
（i）為使得甲、乙所在隊的比賽成績為15分的概率最大，應該由誰參加第一階段比賽？
（ii）為使得甲、乙所在隊的比賽成績的數學期望最大，應該由誰參加第一階段比賽？
【真題2】（2022·全國甲卷）甲、乙兩個學校進行體育比賽，比賽共設三個項目，每個項目勝方得10分，負方得0分，沒有平局．三個項目比賽結束后，總得分高的學校獲得冠軍．已知甲學校在三個項目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項目的比賽結果相互獨立．
(1)求甲學校獲得冠軍的概率；
(2)用X表示乙學校的總得分，求X的分布列與期望．
【真題3】（2022·北京）在校運動會上，只有甲、乙、丙三名同學參加鉛球比賽，比賽成績達到以上（含）的同學將獲得優秀獎．為預測獲得優秀獎的人數及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績，并整理得到如下數據（單位：m）：
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；
乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；
丙：9.85，9.65，9.20，9.16．
假設用頻率估計概率，且甲、乙、丙的比賽成績相互獨立．
(1)估計甲在校運動會鉛球比賽中獲得優秀獎的概率；
(2)設X是甲、乙、丙在校運動會鉛球比賽中獲得優秀獎的總人數，估計X的數學期望E（X）；
(3)在校運動會鉛球比賽中，甲、乙、丙誰獲得冠軍的概率估計值最大？（結論不要求證明）
【真題4】（2020·全國甲）將一顆質地均勻的正方體骰子先后拋擲2次，觀察向上的點數，則點數和為5的概率是 .
【真題5】（2020·全國）甲、乙、丙三位同學進行羽毛球比賽，約定賽制如下：累計負兩場者被淘汰；比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空；每場比賽的勝者與輪空者進行下一場比賽，負者下一場輪空，直至有一人被淘汰；當一人被淘汰后，剩余的兩人繼續比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結束.經抽簽，甲、乙首先比賽，丙輪空.設每場比賽雙方獲勝的概率都為，
（1）求甲連勝四場的概率；
（2）求需要進行第五場比賽的概率；
（3）求丙最終獲勝的概率.
【真題6】（2018·北京）電影公司隨機收集了電影的有關數據，經分類整理得到下表：
電影類型 第一類 第二類 第三類 第四類 第五類 第六類
電影部數 140 50 300 200 800 510
好評率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1
好評率是指：一類電影中獲得好評的部數與該類電影的部數的比值．
假設所有電影是否獲得好評相互獨立．
（Ⅰ）從電影公司收集的電影中隨機選取1部，求這部電影是獲得好評的第四類電影的概率；
（Ⅱ）從第四類電影和第五類電影中各隨機選取1部，估計恰有1部獲得好評的概率；
（Ⅲ）假設每類電影得到人們喜歡的概率與表格中該類電影的好評率相等，用“”表示第k類電影得到人們喜歡，“”表示第k類電影沒有得到人們喜歡（k=1，2，3，4，5，6）．寫出方差，，，，，的大小關系．
【真題7】（2018·全國）若某群體中的成員只用現金支付的概率為0.45，既用現金支付也用非現金支付的概率為0.15，則不用現金支付的概率為（ ）
A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7
【真題8】（2016·山東）甲、乙兩人組成“星隊”參加猜成語活動，每輪活動由甲、乙各猜一個成語，在一輪活動中，如果兩人都猜對，則“星隊”得3分；如果只有一個人猜對，則“星隊”得1分；如果兩人都沒猜對，則“星隊”得0分．已知甲每輪猜對的概率是，乙每輪猜對的概率是；每輪活動中甲、乙猜對與否互不影響．各輪結果亦互不影響．假設“星隊”參加兩輪活動，求：
（Ⅰ）“星隊”至少猜對3個成語的概率；
（Ⅱ）“星隊”兩輪得分之和為X的分布列和數學期望EX．
【真題9】（2016·天津）甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是，甲獲勝的概率是，則甲不輸的概率為（ ）
A． B． C． D．
【真題10】（2016·上海）某食堂規定，每份午餐可以在四種水果中任選兩種，則甲、乙兩同學各自所選的兩種水果相同的概率為______．
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